CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARIT

Netschool.edu.vn CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ CHỦ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: a    a  f  x g x  a a   0  a   a  1  f  x   g  x       f  x   g  x    II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình:   x  x  sin    x  x2  2 cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: 1  x  2(*)   x  x       x  x   0(1)  2  x  x  1 sin x   cos x      sin x  cos x  2(2)   1 thoả mãn điều kiện (*)      cos x   sin x  x     x    2k  x   2k , k  Z Giải (2): sin x  2 3  Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:       1   2k    1    k      k  0, k  Z ta nhận x3  2  6 2  6 1  ; x 3 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  Giải (1) ta x1,2  VD2: Giải phương trình:  x  3 x 5 x    x2  6x  Giải: Phương trình biến đổi dạng:  x  3  x2  x 4 x 5 x  2   x      x   x  x      0  x     x    x   3x  x   x  x    x  x  10    Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x=4, x=5 Netschool.edu.vn x2  x 4   x  3 2( x  x  4) Netschool.edu.vn BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình: 0  a  1, b   a f  x  b     f  x   log a b Dạng 2: Phương trình : a f  x   b g ( x )  log a a f ( x )  log a b f ( x )  f ( x)  g ( x).log a b logb a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x).logb a  g ( x) II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x 2 x  Giải: Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x 2 x  log  x  x  log   x  x   log  , Ta có     log  log  suy phương trình có nghiệm x =  log VD2: Giải phương trình: x 1 x  500 Giải: Viết lại phương trình dạng: x 5x.8 x 1  500  5x.2 x 1 x  53.22  5x 3.2 x 3 x 1 Lấy logarit số vế, ta được: x 3    x 3  x 3 log  5x 3.2 x    log  x 3   log  x     x  3 log  log 2  x     x  1    x  3  log      x   x  log  Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x  3; x   log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hoá BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình  k   k 1a( k 1) x .1a x  0  Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Khi đặt t  a x điều kiện t>0, ta được:  k t k   k 1t k 1 1t    Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0 Khi đó: a f ( x )  t , a3 f ( x )  t , , a kf ( x )  t k Và a  f ( x )  t Dạng 2: Phương trình 1a x   a x  3  với a.b=1  Khi đặt t  a x , điều kiện t0, suy b f ( x )  t x 2x 2x Dạng 3: Phương trình 1a    ab   3b  chia vế phương trình cho b x >0 2x x x a a ( a x ,  a.b  ), ta được: 1          b b x a Đặt t    , điều kiện t0 b Dạng 4: Lượng giác hoá Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t  a f ( x ) vì: - Nếu đặt t  a x t>0 điều kiện - Nếu đặt t  x 1 t>0 điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải t  Điều kiện đặc biệt quan trọng cho lớp toán có chứa tham số II VD minh hoạ: - VD1: Giải phương trình: 4cot g x  sin x   (1) Giải: Điều kiện sin x   x  k , k  Z (*)   cot g x nên phương trình (1) biết dạng: Vì sin x 2 cot g x 4cot g x  2.2   (2) cot g x Đặt t  điều kiện t  cot g x   2cot g x  20  Khi phương trình (2) có dạng: t  t  2t      2cot g x   cot g x  t  3  cot gx   x    k , k  Z thoả mãn (*) Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Vậy phương trình có họ nghiệm x    k , k  Z   Giải: Nhận xét rằng:      ;       1 Do đặt t     điều kiện t>0, thì:        t VD2: Giải phương trình:    x x 3 2   x x x  t2 Khi phương trình tương đương với: t  t     t  2t     t  1  t  t  3    t t  t   0(vn)   2  x 1 x  Vậy phương trình có nghiệm x=0 Nhận xét: Như ví dụ việc đánh giá:  74  2        Ta lựa chọn ẩn phụ t     x cho phương trình Ví dụ ta miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b=1, là: a b a.b  c   tức với phương trình có dạng: A.a x  B.b x  C  c c Khi ta thực phép chia vế phương trình cho c x  , để nhận được: x x x a b a A    B    C  từ thiết lập ẩn phụ t    , t  suy c c c x b    c t VD3: Giải phương trình: 22 x 1  9.2x  x  Giải: Chia vế phương trình cho 22 x  ta được: 2 22 x 2 x 1  9.2 x 2 x 2    22 x 2 x  x  x   x2  x x2  x  2.2  9.2 40 x2  x Đặt t  điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: t   x  x  22  x2  x   x  1  2t  9t         2 t   x  x  21  x  x  1  x   Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=2 Chú ý: Trong ví dụ trên, toán tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t>0 thấy với t  vô nghiệm Do toán có chứa tham số cần xác định điều kiện cho ẩn phụ sau: 2 Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1 1  x2  x x x x      24  t  2 4  12 VD4: Giải phương trình: 23 x  6.2 x  3 x1  x  2 Giải: Viết lại phương trình có dạng:  x 23   x    x     x   (1)     23  2  Đặt t   x  23 x  x   x  x   3.2 x  x  x 2       t  6t  Khi phương trình (1) có dạng: t  6t  6t   t   x  x  x Đặt u  , u  phương trình (2) có dạng: u  1(1) u u    u2  u      u   2x   x  u  Vậy phương trình có nghiệm x=1 Chú ý: Tiếp theo quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá x   VD5: Giải phương trình:   22 x    22 x x Giải: Điều kiện  22 x   22 x   x    Như  x  , đặt x  sin t , t   0;   2 Khi phương trình có dạng:     sin t  sin t   sin t   cos t  1  cos t  sin t  cos t t 3t t t 3t   sin t  sin 2t  cos  2sin cos  cos 1  sin   2 2 2 2 t     x cos  0(1) t    x  1    2  x  3t x  t     sin     2 Vậy phương trình có nghiệm x=-1, x=0 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x Phương pháp thường sử dụng phương trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức lại không biểu diễn triệt để qua ẩn phụ biểu diễn công thức biểu diễn lại phức tạp Khi thường ta phương trình bậc theo ẩn phụ ( theo ẩn x) có biệt số  số phương Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 32 x  x  3x  9.2x    Giải: Đặt t  3x , điều kiện t>0 Khi phương trình tương đương với: 2 t  t   x   t  9.2 x  0;    x    4.9.2 x   x     x t  Khi đó: + Với t   3x   t  x 3 + Với t  x  3x  x      x  2 Vậy phương trình có nghiệm x=2, x=0 2 VD2: Giải phương trình: x  x  3x  x     Giải: Đặt t  3x điều kiện t  x2   3x  30  Khi phương trình tương đương với: t  x  t  x   2   2 t    x   2 x   x    t   x Khi đó:       + Với t   3x   x  log3  x   log3 2 + Với t   x2  3x   x2 ta có nhận xét: 3x  VT  VT      x0   x  VP  VP    Vậy phương trình có nghiệm x   log3 2; x  BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng sử dụng ẩn phụ cho biểu thức mũ phương trình khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích II VD minh hoạ: 2 VD1: Giải phương trình: 4x 3 x2  4x 6 x5  42 x 3 x7  2 2 Giải: Viết lại phương trình dạng: 4x 3 x  42 x 6 x5  x 3 x 2.42 x 6 x5  x 3 x   u  , u, v  Đặt  x2  x 5 v    Khi phương trình tương đương với: u  v  uv    u  11  v   Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn x  x   x  3x   1 u       x  x 5  x  1 v  x  x    1     x  5 Vậy phương trình có nghiệm 2 VD2: Cho phương trình: m.2x 5 x6  21 x  2.265 x  m(1) a) Giải phương trình với m=1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải: Viết lại phương trình dạng: x 3 x  m.2 x 5 x   21 x  27 5 x  m  m.2 x 2 5 x   21 x  2  ( x 5 x  6)  1 x  m  m.2 x 5 x 6  21 x  x 5 x 6.21 x  m x 5 x   u  Đặt:  , u, v  Khi phương trình tương đương với: 1 x v    2 2 x   x 5 x    u  mu  v  uv  m   u  1 v  m       x   21 x  m v  m  1 x2   m(*) Vậy với m phương trình có nghiệm x=3, x=2 a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 21 x    x2   x2   x  1 Vậy với m=1, phương trình có nghiệm phân biệt: x=3, x=2, x=  b) Để (1) có nghiệm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt khác m  m  (*)   Khi điều kiện là:  2 1  x  log m  x   log m m  m  m   1  log m    1   m   m   0;  \  ;    256  1  log m   1  log m   m  256  1  Vậy với m   0;  \  ;  thoả mãn điều kiện đầu  256  BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ Trong hệ k-1 phương trình nhận từ mối liên hệ đại lượng tương ứng Trường hợp đặc biệt việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với ẩn phụ ẩn x, ta thực theo bước: Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu tượng phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f  x,   x    y    x  Bước 3: Đặt y    x  ta biến đổi phương trình thành hệ:   f  x; y   II VD minh hoạ: 2x 18 VD1: Giải phương trình: x 1  x  x 1 1 x 1  2   18 Giải: Viết lại phương trình dạng: x 1  1 x  x 1 1 x 1 1   x 1 u   Đặt:  , u, v  1 x v   Nhận xét rằng: u.v  2x 1  21 x   2x 1  21 x   u  v    Phương trình tương đương với hệ: 18 8 u  v  u  8v  18      u v u  v   u  9; v  u  v  uv u  v  uv  2 x 1   + Với u=v=2, ta được:  1 x  x 1 2   2 x 1   9  + Với u=9 v  , ta được:  1 x x4 2    Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=4 VD2: Giải phương trình: 22 x  2x   Giải: Đặt u  x , điều kiện u>0 Khi phương trình thành: u  u   Đặt v  u  6, điều kiện v   v  u  Khi phương trình chuyển thành hệ:  u  v  u  v   u  v    u  v    u  v  u  v      v  u  u  v    u  + Với u=v ta được: u  u      2x   x  u   2(1)  + Với u+v+1=0 ta được:  1  21 u  21  21  u2  u      2x   x  log 2  1  21 (1) u   Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 21 1 BÀI 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ I Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng toán quen thuộc Ta có hướng áp dụng: Hướng1: Thực bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: + Với x  x0  f  x   f  x0   k x  x0 nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x=8 x= log + Với x  x0  f  x   f  x   k phương trình vô nghiệm + Với x  x0  f  x   f  x0   k phương trình vô nghiệm Vậy x  x0 nghiệm phương trình Hướng 2: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) Là đồng biến hàm số y=g(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f  x0   g  x0  Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm x  x0 Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3)  u  v với u, v  D f II VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: x  2.3log2 x  (1) Giải: Điều kiện x>0 Biến đổi phương trình dạng: 2.3log2 x   x (2) Nhận xét rằng: + Vế phải phương trình hàm nghịch biến + Vế trái phương trình hàm đồng biến Do phương trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương t rình (2) 2.3log2 x   Vậy x=1 nghiệm phương trình   1 VD2: Giải phương trình: log3 x  3x      5 x  Giải: Điều kiện: x  3x     x  2 x  x 1  (1) Đặt u  x  3x  , điều kiện u  suy ra: x2  3x   u  3x  x2    u Netschool.edu.vn Netschool.edu.vn 1u 1 Khi (1) có dạng: log3  u      5 2 1 x 1 Xét hàm số: f ( x)  log  x      5 + Miền xác định D  0; ) + Đạo hàm: f   log  x    x 1  x.5x ln  0, x  D Suy hàm số tăng D  x   ln Mặt khác f 1  log3 1     Do đó, phương trình (2) viết dạng: f  u   f 1  u   x  3x    x  Vậy phương trình có hai nghiệm x   mx  3 3 2 x2  mx 5  x  2mx  m a) Giải phương trình với m   b) Giải biện luận phương trình Giải: Đặt t  x2  2mx  phương trình có dạng: 5t  t  52t m2  2t  m  (1) Xác định hàm số f  t   5t  t + Miền xác định D=R + Đạo hàm: f  5t.ln   0, x  D  hàm số tăng D VD2: Cho phương trình: 5x Vậy (1)  f  t   f  2t  m  2  t  2t  m   t  m    x  2mx  m  (2) x  4 2 a) Với m   ta được: x  x    x  x     x   5 5  Vậy với m   phương trình có 2nghiệm x  2; x   5 b) Xét phương trình (2) ta có:  '  m  m + Nếu  '   m2  m    m  Phương trình (2) vô nghiệm  phương trình (1) vô nghiệm + Nếu  '   m=0 m=1 với m=0 phương trình có nghiệm kép x=0 với m=1 phương trình có nghiệm kép x0=-1 m  + Nếu  '    phương trình (2) có nghiệm phân biệt x1,2  m  m2  m m  nghiệm kép (1) Kết luận: Netschool.edu.vn 10 Netschool.edu.vn t  x  2y  1 2  t     2t  5t       t   t  y  2x   y 1 x  + Với x=2y  (2)  y  y     y  1  x  2(1) + Với y=2x  (2)  x2  y  vô nghiệm Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1) BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết Bước 3: Giải hệ nhận II VD minh hoạ:  log x    log y Giải hệ phương trình:   log y    log x Giải: Điều kiện x; y>0 Biến đổi tương đương hệ dạng:   log  x  3  1  log y  log  x  3  1  log y   (I)  log  y  3  1  log x  2 1  log x   log  y  3    log  x  3  2log3 x  log  y  3  2log y (1) Xét hàm số: f  t   log  t  3  2log3 t Miền xác định D   0;   Đạo hàm f  t     0, t  D  hàm số đồng biến  t  3 ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f  x   f  y   x  y  x  y Khi hệ (I) trở thàmh:   log  x  3  1  log x  (2) + Giải (2):  x    1log3 x     x   x log3 (II)  x   4.2log3 x  x   4.2log3 2.log2 x 2  x   4.xlog3  x1log3  3.x  log3  (3) Xét hàm số g  x   x1log3  3.x  log3 Miền xác định D   0;   Đạo hàm: g '  x   1  log3  x log3  3log3 4.x1log3  0x  D  hàm số nghịch biến Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x=1 nghiệm phương trình bới đó: 11log3  3.11log3    Netschool.edu.vn 45 Netschool.edu.vn x  y Khi hệ (II) trở thành:   x  y 1 x  Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: II VD minh hoạ: x y  e  e   log y  log x  xy  1 (1) VD1: Giải hệ phương trình:  2   x  y  1(2) Giải: Điều kiện x; y>0 *) Giải (1) ta có nhận xét sau: VT1  - Nếu x  y  log x  log y , đó:   (1) vô nghiệm VP     VT1  - Nếu x  y  log x  log y , đó:   (1) vô nghiệm VP     - Vậy x=y nghiệm (1) x  y x  y x  y    Khi hệ có dạng:  x y 2  x  y  2 x   x    1  Vậy hệ có cặp nghiệm  ;   2  log  x  y   x  y  VD2: Giải hệ phương trình:   log x  y   xy  1  x  y  x  y  x  y    Giải: Điều kiện:  xy   0  x  y    xy    Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t=x+y>0, ta được: log t  t  Đặt u  log t  t  2u phương trình có dạng: log t  u  x  y  Bernoulli 2u  u  1    u  x  y  log t  x  y  x  y   x  y   x  0; y      + Với x+y=1 hệ có dạng:  log3  xy  1   xy    xy   x  1; y   x  y  x  y  x  y     + Với x+y=2 hệ có dạng:  log  xy  1   xy    xy   Khi x; y nghiệm phương trình: t  2t   vô nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) Netschool.edu.vn 46 Netschool.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT I.Hàm số mũ PHƯƠNG TRÌNH MŨ x 1 x4 x2 1)    2) 34 x8  4.32 x5  27  x 3) 4.3  9.2  5.6 4) 8.3x  3.2 x  24  x 72x x 5)  6.0.7   x 100 6) 125 x  50 x  23 x1 7) x  x.3x  31 x  x 3x  x  x x x 1 8) x.8 x  500 9) 3x1  3x2  3x3  3x4  750 10) 7.3x1  x2  3x4  x3 11) 6.4 x  13.6 x  6.9 x  12) x  82 x1 13) 52 x1  3.52 x1  110 14) 3.4 x  2.9 x  5.6 x 15) 32 x8  4.3x5  27  16) 7.3x1  x2  3x4  x3 x 17) 6.9  13.6  18)  x 1  x  x  x 1 x  6.4    2 19)    2 20) 2 x3  x 3 x5 x x x x x2  x  x 1  23) 24) 25) 26) 101 10    0 21)    32 x1 22) x  log  x  x   2    7  2   x x   2  25  15  2.9 x2  16  10.2 x2 2 2 x 1  9.2 x  x  2 x2  12 27) x  6.2 x  3 x1  x  2 x x x Netschool.edu.vn 47 Netschool.edu.vn x 28)   x 29) x  128 30) x  x   31) 25 X  6.5 x1  53  32) x  5.3 x   33) x  25.3x  54  34) 32 x  32 x  30 35) 32 x1  82.3x   36) 73 x  9.52 x  52 x  9.73 x 2 37) x 1  36.3 x 3   2 38) x 1  x 1   x 39)  x  x1 40) 52 x  32 x  2.5 x  2.3x 2 2 41) x 1  x  x 1  x 2 42) x.5 x 1  10 2 x    x 43)   16   x  x 3 44) 3.16 x  2.81x  2.36 x  45)    lo2 x  x     log2 x  1 x2  46) x x   x   x   x  47) x log2  x 3log2 x  x log2 x 48) 49) 50) 51) 6 log2 x 2.x  x 3 log8 x   x  x log2  x log2 x  2log2 4 x2  4x  23 x x2 52) 4lg10x  6lg x  2.3lg100x x x x 1 1 1 53)     x        2 x   3 2 6 x 54) 5.32 x1  7.3 x1   6.3 x  x1  55) 12.3x  3.15 x  x1  20 56) 4log2 x  x log2  2.3log2 x 57) x  x  x  2 58) x1  x  x  x  1 Netschool.edu.vn 48 Netschool.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1) log x  3  log x  1   log 2) log 5 x x  x  65  3) lg  lgx  10   lg21x  20  lg2 x  1  1 1  1  4) lg x  lg x    lg x    lg x    2 2  8  2 5) lg x  lg x  lg x    6) log x  log x   3 7) log 21 4 x   log 2 8) log 4 x x2 8      log x   x  log x x  log x x 9) log x 10) log  log 32 x  x 11) log x x  40 log x x  14 log16x x  12) log x log x log x  log x log x  log x log x  log x log x x3   log x 14) lglg x   lg lg x   15) log x  1  log 2 x  1  13) log 3x  log x  log       16) log x   log 6 x  10     17) log x  x  log x 18) log x2  x2 x  19) log x x log 22 x  12 20) log x x  1  lg 4,5  3 3   21) log  x    log  x    x x   22) x  lg x  x    lgx  2 23) log x   log 6 x  10       Netschool.edu.vn 49 Netschool.edu.vn 24) log x log x 3  log 25) log 2 x  3 3  x   log 2  x    2x  26) log 92 x  log x log x   27) log x  log 3x   log x  log x x  log x 28)  log x 29) lg x  10  lg x   lg log2 x3 1 30) 3x   log x   log x 31) x  3log 32 x  2  4x  2log x  2  16 32) log  x3   x  x  2 log 36 33)  log 81  log x 4 x15 log       34) log x1 x   35) 36) log 22 x  x  1log x  x   37) log x  log x    38) log  x  log  x  39) log x  3x   log x  x  12   log         x    x  log x  x  41) log 5 x  log 25 x1   40)  42) log 43) log 2      x  x  log x x    x  log 2 44) log 2  log 4 x   x 45) log 3 x  1  x    x  log x  log 3x  3 0 47) log x  log x  log log 225 48) log 3x  1    log x  1 log x3 46) log x  log x      49) log x   x  log x1  50) log x  log x   log x log x Netschool.edu.vn 50 Netschool.edu.vn      51) log x  x  log x  x   log 20 x  x      log 9  6  2  4 x  log 2  52) log  5.3  53) log x x1  4.3 x   3x  x 54) log x x x 55) log x 56) log x  1  log x1 16    log2 x   12  x  log2 x 57)   x 2 2 58) log x   log x  1    1 x2 59) log log log x   60)         61) x  lg x   x  lg x   62) log x  1  x  5log x  1  x        63) log x  x  log x  x   log x  x   64) log x  log x  log x    16   65) log 5  log 25 x1   66) log x  log x  log log 225 67) log x  8  log x  26   x 68) x log x 27 log x  x  69) log x  2  log x  x       71) x  1lg x  1  2x  1 lg x  1  72) log x  1  log  log x  2  log x  2 70) log12 x x  5x   log13 x x  x    2 2 2 5 25 73) x  2log 32 x  1  4x  1log x  1  16  3 74) log x  2   log 4  x   log x  6 4 x3   log x 75) log log x  log x 76) log x7  12 x  x  log x5 x  23x  21    77) x log x  x   x log  5x    2x   x  2x 78) log x log x  log x  log x  3 79) x  3 log x  1  log x1  x  3 log x1  log x  2 Netschool.edu.vn 51 Netschool.edu.vn x  80) log 22 x  x log x  3    log x  3 log x 2  BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1)  x 7x 9 x 1 1  1  x 2)    3   12 3 3 loga x 3) 16   3.x loga 4)   1  x2  x  2x   x 1   1  x2  x 5) 32 x  8.3 x x4  9.9 x4  6) x 4  x  x2  7) x1  16 x  log   8) x  2 x1  1  9) 2 x 1  21  2 10) 9.4 11) 8.3 1 x   x 1  52 x 3 20 1 x x  5.6  4.9  x 1  x 4 x  x  x 12) x  x   13) 6.9 z x  13.6 x  6.4 x x 0  5x  3x  x  x.3 x  5x  3x  x x 14) 15) x  x x  31 16) x  52 17) 25  x 1 x  x 1  9   2.3 x x  x  x  1 x  x 1 x 1 x 1  34.152 x x 2 18) 5log5 x   x log5 x  10 19) log3 x2 x 1 20) 0,12 logx 1 x 21) x 4  5       log x 1   x 1  x  x2   log1 log2 32 log3 x 3 x  log3  22) 1 log62 x log6 x 23) x  12 log2 x log2  x 1 log2  x 2  24)  12 Netschool.edu.vn 52 Netschool.edu.vn 25) x 2 x 1  7.3 x 2 x  x1  26) x log2 x4  32 2 27) x  x.2 x 1  3.2 x  x 2 x  8x  12 2 x 28) x1  2 x1  12  BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT x  8x  2 x 1 2) log 2 x   log x   2 1) log 3) log  x 4)      3x   1    log 3x  x    log 3x  x  x 5  1 6x 2x 1 6) log  x 1 1  7) log x  x    4   32  2 x  8) log x  log    log    log 21 x 8 x  2 5) log x3    9) x  log x  x    x  1log 2  x  10) log x2 4 x  5  11) log x  log x  x    x  8x  x    x 13) x  16 x  log x  3  14) log x  x   log x   log x  3 3 12)  x   log   2x  1 1 x 16) log x  log x   log x log x 1  17) log x  3x  log x  1 15) log 3    18) log x  3x  19) log x  11x  43  2  Netschool.edu.vn 53 Netschool.edu.vn   20) log x  x   2 21) log x  1  log 2  x  22) log x  6x    log x  1 2x  1 18  x  23) log 18  x log    1   24) log x log x   25) log x  1  log x  1  log 5  x        26) log x x2  3  x   27) log x x  x       2  28)  x  x  12   1  14 x  x  24  log x x x  29) log x 5x  8x   30)   3x     31) log x  log  16   4    32) log 0,3    x   x 1  33) log x  x   log x   log x  3 3 34)     log x  x  11  log 11 x   11  x  3x 0  1 35) log x    log x   4   4x   36) log x    x2  37) log x  1  log 1   x 2 2   log x  log x  2 x 5 0 39) log x  4  38) 40) log x   log  x  2 Netschool.edu.vn 54 Netschool.edu.vn  log x  2  2x  x log x  1 42) 0 2x  x  41) 43)  log x   log x    44) log x log   45) log x  log x  log x log x 46) x   log x  x  2 log 3  x  47) log x 22  log x   log x  2x 1  48) log x   1  x 1   log 32 x 49) 1  log x 50) log x  log x  log 35  x 51) 3 log 5  x  52) log x  x1 x  x   53) log x  log x  2 log x  1  log x  1 0 54) x  3x  lg x  3x  2 55) lg x  lg 56) log x 5x  18x _  16        57) log x 64  log x2 16  58) log 21 x  log x  1  59) log x  x    4  60) x  log x  x    x  1log 2  x    61) log  x2   log x x 1 Netschool.edu.vn 55 Netschool.edu.vn   62) log 225 x  1  log   log x  1  2x 1 1  63)    log x  3x    log 2 x  3x    x3   32  64) log 42 x  log 21    log    log 21 x 8 x  2 65)   log 22 x  log x   log x     66) log x1    log x1   HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGA I Hệ phương trình mũ x   y4 x 5 y    3 x y 1)   x  y 1  xy  xy   32 2) 4  log x  y    log x  y  x  1y 2y    3)   x  3y  2x   x y 3y  2yx 2  2 x 4)  x 1 y   y y 3  3.3  xy  5)  2 lg x  lg y  32 x  y  77  6)  y 3 x  2   y logy x   y 7)  log x xy  log y x 3.2 x  2.3 y  6 8)  x 1 2  y 1  19 Netschool.edu.vn 56 Netschool.edu.vn x y  x  y  9)  x  y 5  5.3 x  y 3  10) 11) 12) 13) 2 x  y  y  x   x 1 y  x  2 y x4  1 x  y .3  4 x y  0 8x  y   3lg x  lg y  4 x lg  3 y lg  logxy  y.x  x2  log y logy  y 3 x   x 1   y 2  3.2 y 3 x 2 14)    3x  xy   x  2 x  xy  y  14  15)  log  x 1  y  2  log y  x  1    2 x   y  16)  y x   2    II.Hệ phương trình lôgarit  x  y  log y  log x 2  xy  1)  3  x  y  16 3lg x  lg y 2)  4 x lg  3 y lg log x  log y   log 3)  log x  y           2log y x  log x y   4)   xy   x log8 y  y log8 x  5)  log x  log y   x log8 y  y log8 x  6)  log x  log y  Netschool.edu.vn 57 Netschool.edu.vn   log x  y  log 2 x    log x  y   7)  x log xy  1  log 4 y  y  x   log y   log log x   log log y  8)  log log x   log log x    2 x  xy  y  14  9)  log  x 1  y  2  log y  x  1  log x 3x  y   10)  log y 3 y  x    log x 3x  y   log y 3 y  x   11)   log x 3x  y  log y 3 y  x   1  log x  log y  12)   x  y2  2y    x log3 y  y log3 x  27 13)  log y  log x   5 log x  log y  8 14)   5 log x  log y  9 2  lg x  lg y  lg xy  15)   lg x  y   lg x lg y     2 log 1 x  xy  x  y  2  log 2 y x  x   16)   log 1 x  y  5  log 2 y x  4   4 x  x   y  17)  x log x  y     4 log3  xy    xy log3 18)   x  y  3x  y  12  xy  xy   32 19) 4  log x  y    log x  y   x  log y  20)  x  y  y  12  81y   Netschool.edu.vn 58 Netschool.edu.vn log xy   21)  x log y   2  1 x2 x  xy   y 2 22)  2  2  x y  2x  2x y  4x     Netschool.edu.vn 59 [...]... 1  x  5 Netschool.edu.vn 13  10  3 1 Netschool.edu.vn    Vậy nghiệm của bất phương trình là: 3;  5  1; 5  BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit hoá theo cùng 1 cơ số cả hai vế của bất phương trình mũ Chúng ta lưu ý 1 số trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình mũ:  a  1   ... 3: Với bất phương trình: a f ( x )  b g ( x )  lg a f ( x )  lg b g ( x )  f ( x).lg a  g ( x).lg b hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b II VD minh hoạ: 2 VD: Giải bất phương trình: 49.2x  16.7 x Giải: Biến đổi tương đương phương trình về dạng: 2x4  7 x2 Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được: 2  log 2 2x 4  log 2 7 x2  x2  4   x  2  log 2 7  f ( x)  x 2  x log... hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau Trong mục này sẽ minh hoạ những ví dụ được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau với mục đích cơ bản là: + Giúp các em học sinh đã tiếp nhận đầy đủ kiến thức toán THPT trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải + Giúp các em học sinh lớp 10 và 11 lựa chọn được phương pháp phù hợp với kiến thức của mình II VD minh hoạ: VD: Tìm m dương để bất phương trình ... là: 3;   1;  BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit hoá theo số hai vế bất phương trình mũ Chúng... a  g ( x).lg b sử dụng logarit theo số a hay b II VD minh hoạ: VD: Giải bất phương trình: 49.2x  16.7 x Giải: Biến đổi tương đương phương trình dạng: 2x4  x2 Lấy logarit số hai vế phương... Giải: Viết lại phương trình dạng: x 5x.8 x 1  500  5x.2 x 1 x  53.22  5x 3.2 x 3 x 1 Lấy logarit số vế, ta được: x 3    x 3  x 3 log  5x 3.2 x    log  x 3   log  x  