PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT

BÀI TOÁN 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ - SỐ MŨ THỰC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT GV : Nguyễn Văn Bình I. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho *n N ∈ và a R ∈ . Khi đó • . n a a a a= (n thừa số a) 0 1 ( 0)a a• = ≠ 1 ( 0) n n a a a − • = ≠ Chú ý : 0 0 và 0 n− không có nghĩa II. Căn bậc n 1. khái niệm  Cho số thực b và số nguyên dương 2n ≥ . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a b= .  Với n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b .  Với n chẵn :  Nếu 0b < thì không tồn tại căn bậc n của b.  Nếu 0b = thì có một căn bậc n của b là số 0.  Nếu 0b > thì có hai căn bậc n của b trái dấu với nhau, kí hiệu giá trị dương là n b còn giá trị âm là n b− . 2. Tính chất của căn bậc n • . n n n a b ab= n n n a a b b • = ( ) nm m n a a• = • m n mn a a= , , n n a a a   • =    3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ Cho số thực a dương và số hữu tỷ ( , à 0) m r m n Z v n n = ∈ > . Lũy thừa của a với số mũ r là số r a xác định bởi : m nr m n a a a= = 4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ Cho a là một số dương và α là một số vô tỷ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỷ ( ) n r có giới hạn là α và dãy số tương ứng ( ) n r a có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số ( ) n r . Khi đó lim n r n a a α →+∞ = với lim n n r α →+∞ = . 5. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là các số thực dương và , α β là các số thực tùy ý. Khi đó ta có • .a a a α β α β + = a a a α α β β − • = ( )a a α β αβ • = • ( ) .ab a b α α α = ( ) a a b b α α α • = • Nếu 1a > thì a a α β α β < ⇔ < . • Nếu 0 1a< < thì a a α β α β < ⇔ > . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và tính chất lũy thừa với số mũ thực Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau (không sử dụng máy tính) 2 5 0,75 1,5 32 1 ( ) (0,25) (0,04) (0,125) 16 A − − − − = + + − Đáp : A = 161 1 1 4 0,25 3 2 1 ( 0,5) 625 (2 ) 19( 3) 4 B − − − = − − − + − Đáp : B = 10 Bài 2 : Đơn giản các biểu thức sau : 1 7 1 5 3 3 3 3 1 4 2 1 3 3 3 3 . a a a a a a a a a − − − − − − + 4 4 4 4 4 . a b a ab b a b a b − + − − + 5 3 2 5 5 2 1 5 2 . ( ) . a a c b b − − + − − khi n lẻ khi n chẵn Bài 3 : Tính tổng 3 3 7 5 2 7 5 2A = + + − Đáp : A = 2 3 3 847 847 6 6 27 27 B = + + − Đáp : B = 3 Dạng 2 : Áp dụng tính chất về bất đẳng thức của lũy thừa Bài 4: So sánh các số sau : a. 1 4 ( 3 1)− và 2 2 ( 3 1)− b. 600 3 và 400 5 c. 3 7 15+ và 3 10 28+ d. 5 3 ( 5 2)− và 3 ( 5 2) − + e. 2 ( ) 2 π và 3 ( ) 5 π − Bài 5 : Tìm GTLN và GTNN của 1 3 . 5 x x a y + + − = 6 6 sin cos . 4 x x b y + = Đáp: a. 2 25 ;25 b. 4; 2 BÀI TOÁN 2 LÔGARIT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho hai số dương a, b với 1a ≠ . Số α thỏa mãn a b α = được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b . Vậy log a b a b α α = ⇔ = • Chú ý :  Không có lôgarit của số âm và số 0  Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1 2. Tính chất Cho a, b, c > 0 và , 1a c ≠ . Khi đó :  log 1 0 a = ; log 1 a a = log ( ) a a α α = ; log a b a b=  log ( ) log log a a a xy x y= + (với x, y >0) log ( ) log log a a a x x y y = − (với x, y >0) log ( ) log a a b b α α =  Công thức đổi cơ số : log log log c a c b b a = hay log .log log c a c a b b= 1 log log a b b a = hay log .log 1 b a a b = 1 log log a a b b α α = Đăc biệt : 1 log log a a b b= − ; 1 1 log ( ) log a a b b = ; log ( ) log n n a a b b= ; log log n n a a b b= Mở rộng : log logc a b b a c= 3. So sánh hai lôgarit cùng cơ số Cho a, b, c > 0 và 1a ≠ . Khi đó : log log a a b c b c• = ⇔ = • Nếu 1a > thì log log a a b c b c< ⇔ < • Nếu 0 1a< < thì log log a a b c b c< ⇔ > • Nếu , 1a b > hoặc 0 , 1a b< < thì log 0 a b > • Nếu 1, 0 1a b> < < hoặc 1, 0 1b a> < < thì log 0 a b < 4. Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Lôgarit cơ số 10 của x được kí hiệu là log x hay đơn giản là lg x . • Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e với 1 lim (1 ) 2,718281828459045 n n e n →+∞ = + ≈ Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là ln x . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và các quy tắc tính lôgarit Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau : a. 3 4 5 2 1 log 9 6log 2 3log ( ) log 16 25 A = + − + Đáp : 19 b. 3 7 7 7 1 log 36 log 14 3log 21 2 B = − − Đáp : - 2 c. 5 5 5 log 36 log 12 log 9 C − = Đáp : 1 2 d. 6 log 5 1 lg2 ln 27 36 10D e − = + − Đáp : 3 e. 3 9 2 log 5 log 36 2 log 3 81 27 4E − = + − Đáp : 7553 9 f. 3log( 2 1) log(5 2 7)F = − + + Đáp : 0 g. 2010 2010 ln(2 3) ln(2 3)F = + + − Đáp : 0 h. 2 2 log (2sin ) log (cos ) 8 8 H π π = + Đáp : - 1 2 Bài 2 : Tìm log a x biết log 5; log 4 a a b c= = − và a. 5 3 3 x a b c= 5 4 6 . a b b x c = Đáp : a. 56 3 b. 121 4 Bài 3 : Tìm x biết : a. 2 2 log ( 4) 3x x+ − = [ ] 4 3 2 . log log (log ) 0b x = 1 3 3 3 3 1 1 . log log 125 log 4 log 2 3 2 c x = − + Bài 4 : So sánh các số sau : a. 3 log 10 và 4 log 63 0,5 . log 3b và 7 log 2 6 6 . 3log 2 log 3c + và 6 log 5 4 log 1,05 . 5d và 6 log 0,995 7 Dạng 2 : Áp dụng công thức đổi cơ số Bài 5 : 1. Chứng minh 2 1 1 1 ( 1) . log log log 2log n a a a a n n x x x x + + + + = với 0 , 1; *a x n N< ≠ ∈ . 2. log 1 log log a a ab c b c = + với , , 0 và , , 1a b c a c ab> ≠ 3. Cho 2 2 9 10x y xy+ = và , , 0a x y > ; 1a ≠ . Chứng minh 1 log ( 3 ) 2log 2 (log log ) 2 a a a a x y x y+ − = + 4. Cho 1 1 1 lg 1 lg 10 ; 10 x y y z − − = = với x, y, z > 0. Chứng minh 1 1 lg 10 z x − = . Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A có 1a b ± ≠ . Chứng minh log log 2log .log a b a b a b a b c c c c + − + − + = Bài 7 : a) Cho 2 2 log 3; log 5a b= = . Hãy tính theo a và b giá trị của 36 log 540 b) Cho 2 3 3 log 6; log 5; log 7a b c= = = . Hãy tính theo a, b, c giá trị của 3 210 log 45 BÀI TOÁN 3 : HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa : Cho số 0, 1a a> ≠ • Hàm số dạng x y a= được gọi là hàm số mũ cơ số a. • Hàm số dạng log a y x= được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 2. Giới hạn : 0 1 lim 1 x x e x → − = 0 ln(1 ) lim 1 x x x → + = 3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.  Đạo hàm của hs mũ : • ' .ln x x y a y a a= ⇒ = Đặc biệt : ' x x y e y e= ⇒ = • ' .ln . u' u u y a y a a= ⇒ = Đặc biệt : ' . ' u u y e y e u= ⇒ =  Đạo hàm của hàm số lôgarit : • 1 log ' .ln a y x y x a = ⇒ = Đặc biệt : 1 ln 'y x y x = ⇒ = • ' log ' .ln a u y u y u a = ⇒ = Đặc biệt : ' ln ' u y u y u = ⇒ = Ví dụ : 4. khảo sát sự biến thiên và vẽ đths mũ và lôgarit.  Hàm số mũ x y a= ( 0, 1a a> ≠ ) Hàm số lôgarit log (a>0, a 1) a y x= ≠ • TXĐ : D = . TXĐ : D = . • ' .y = ' .y = Nếu 1a > : ta có lna ⇒ y’ Nếu 1a > : ta có lna ⇒ y’ ⇒ hs . ⇒ hs . Nếu 0 1a< < : ta có lna ⇒ y’ . Nếu 0 1a< < : ta có lna . ⇒ y’ ⇒ hs . ⇒ hs . • Đồ thị : Đồ thị : NX : Đồ thị hs x y a= ( 0, 1a a> ≠ ) luôn đi qua điểm NX : Đồ thị hs log a y x= ( 0, 1a a> ≠ ) luôn đi qua điểm A(O;1) và B(1;a) và nhận trục Ox làm TCN. Điểm A(1;0) và B(a;1) và nhận trục Oy làm TCĐ. BÀI TẬP : Bài 1 : Tính các giới hạn sau . ( 1) x y a a = > x −∞ +∞ (0 1) x y a a = < < x −∞ +∞ x 1 . O y log ( 1) a y x a = > x 0 +∞ log (0 1) a y x a = < < x 0 +∞ x O y 1 0 0 +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ . 1. 3 0 1 lim x x e x → − 2 3 0 2. lim 5 x x x e e x → − 2 0 ln(1 ) 3. lim 3 x x x → + 0 ln(4 1) 4. lim x x x → + 0 ln(3 1) ln(2 1) 5. lim x x x x → + − + 0 ln(3 1) 6. lim sin 2 x x x → + 1 7. lim ( . ) x x x e x →+∞ − sin 2 sin 0 8. lim sin x x x e e x → − 1 1 9. lim 1 1 1 x x e x →+∞ − + − 2 2 0 3 cos 10. lim x x x x → − Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau 1. 2 ln( 1)y x= + ln 2. x y x = 2 2 3. ln 1y x x= + 2 4. ( 2 3). x y x x e= − + 5. x x x x e e y e e − − − = + 3 6. 3 2 x x y e= − + Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 ( 1)lny x x= + tại điểm có hoành độ bằng e. Bài 4 : 1. Cho . x y x e= . Chứng minh rằng '' 2. ' 0y y y− + = . 2. Cho 4 2 x x y e e − = + . Chứng minh rằng (3) 13 ' 12 0y y y− − = 3. Cho sin x y e x − = . Chứng minh rằng '' 2 ' 2 0y y y+ + = 4. Cho 2 ln( 1)y x x= + + . Chứng minh rằng ( ). ' 1 y e x y− = 5. Cho a,b là 2 số thực thỏa 0 1a b< < < . Chứng minh 2 2 ln ln ln lna b b a a b− > − . (Cao Đẳng A- 2009) Gợi ý: Bpt 2 2 ln ln 1 1 a b a b ⇔ < + + . Chứng minh hàm số 2 ln ( ) 1 x f x x = + đồng biến trên khoảng (0;1) . 6. Chứng minh 2 2ln( 1 ) x x e e x x − − ≥ + + x R + ∀ ∈ . BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Phương trình mũ • Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng : x a b= (1) trong đó 0, 1a a> ≠ . • Cách giải : Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( ) : x C y a= Và ( ) :d y b= (cùng phương với Ox) Số nghiệm của phương trình (1) cũng là số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị ta thấy :  Nếu 0b ≤ thì phương trình (1) vô nghiệm  Nếu 0b > thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất log a x b= II. Các phương pháp giải phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Phương pháp lôgarit hóa. 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 5. Phương pháp đối lập. B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : ( ) ( )f x g x a a= (1) • Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) ( ) ( )f x g x⇔ = 1 O x y a = x y y b = • Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì [ ] 0 (1) ( 1) ( ) ( ) 0 a a f x g x >   ⇔  − − =   Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2 8 1 3 2 4 x x x− + − = ĐS : { } 2; 3− − 2. 2 5 6 2 2 16 2 x x− − = ĐS : { } 1;7− 3. 3 (3 2 2) 3 2 2 x − = + ĐS : 1 3   −     4. 1 1 5 6.5 3.5 52 x x x+ − + − = ĐS : { } 1 5. 1 2 3 1 2 3 3 3 9.5 5 5 x x x x x x+ + + + + + + = + + ĐS : { } 0 6. 1 3 .2 72 x x+ = ĐS : { } 2 7. 1 2 2 .3 .5 12 x x x− − = ĐS : { } 2 8. 4 4 1 3 81 x x − − = ĐS : 1x ≥ 9. 1 2 2 2 ( 4 2) 4 4 4 8 x x x x x+ − − = + − − ĐS : 1 2       10. 6 4.3 2 4 0 x x x − − + = ĐS : { } 0;2 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) x x x x + − = − ĐS : { } 2; 3± − 2. 3 ( 1) 1 x x − + = ĐS : { } 3 3. 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 x x x x x x− − − − + + = − + ĐS : 2 4. 3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x − + − + + = − ĐS : 5± 5. 8.3 3.2 24 6 x x x + = + (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : { } 1;3 6. 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = (ĐH D-2006) ĐS : { } 0;1 Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ( ) , 0 f x t a t= > với a và ( )f x thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x. Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 9 4.3 45 0 x x − − = ĐS : 2 2. 1 8 6.2 2 0 x x− − + = ĐS : 0 3. 1 1 5 5 26 x x+ − + = ĐS : 1; -1 4. 1 7 7 6 0 x x− − + = ĐS : 1 5. 2 2 sin cos 9 9 10 x x + = ĐS : 2 k π 6. 2 2 4 16 10.2 x x− − + = ĐS : 3; 11 7. 2 2 5 5 2 4 2 4 x x x x+ − + − + − = − ĐS : 2 8. 2 3 3 8 2 12 0 x x x + − + = ĐS : 3; 6 log 8 9. (7 4 3) (2 3) 2 0 x x + + + − = ĐS : 0 10. (2 3) (2 3) 14 x x + + − = ĐS : 2 11. 1 1 1 6.9 13.6 6.4 0 x x x − + = ĐS : 1; -1 12. 2 4 3.4 2.3 5.36 x x x + = ĐS : 0; 1/2 13. 3 (3 5) 16.(3 5) 2 x x x+ + + − = ĐS : 3 5 ( ) 2 log 4 + 14. lg lg5 5 50 x x= − ĐS : 100 15. 2 2 2 2 6 9 3 5 2 6 9 3 4.15 3.5 x x x x x x+ − + − + − + = ĐS : 1; -4 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = (ĐH A-2006) ĐS : 1 2. 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = (ĐH D-2003) ĐS : -1; 2 3. ( 2 1) ( 2 1) 2 2 0 x x − + + − = (ĐH B-2007) ĐS : 1; -1 4. 2 4.3 9.2 5.6 x x x − = (ĐH Hàng Hải-1999) ĐS : 4 5. 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x+ + + − + = (ĐH Thủy Lợi-2000) ĐS : -1; 2 6. 25 15 2.9 x x x + = (ĐHSP Hải Phòng-2000) ĐS : 0 7. 3 1 125 50 2 x x x+ + = (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0 8. 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x− + + + + + + = + (HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS : 1;2; 5± − 9. cos cos ( 7 4 3) ( 7 4 3) 4 x x + + − = (ĐH Luật HN-1998) ĐS : k π 10. 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x− − − + = (ĐH Y HN-2000) ĐS : 1 Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau : • ( ) ( ) log f x a a b f x b= ⇔ = • ( ) ( ) ( ) ( )log f x g x a a b f x g x b= ⇔ = • ( ) ( ) . ( ) ( )log log f x g x a a a b c f x g x b c= ⇔ + = Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ. Giải các phương trình sau 1. 2 3 .2 1 x x = ĐS : 3 0; log 2− 2 4 2 2. 2 3 x x− − = ĐS : 3 2;log 2 2− 3. 2 5 6 3 5 2 x x x− + − = ĐS : 5 3;2 log 2+ 1 4. 3 .4 18 x x x − = ĐS : 3 2; log 2− 5. 2 2 8 36.3 x x x − + = ĐS : 3 4; 2 log 2− − 7 5 6. 5 7 x x = ĐS : 7 5 5 log (log 7) 7. 5 3 log 5 25 x x − = ĐS : 5 log 5 4 3 8. .5 5 x x = ĐS : 4 1 ; 5 5 9. 9 log 2 9. x x x= ĐS : 9 1 10. 5 .8 500 x x x − = ĐS : 5 3; log 2− Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. • Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất) Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= (*) • Bước 1 : Chỉ ra 0 x là một nghiệm của phương trình (*) • Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm nghịch biến hoặc ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm hằng hoặc ( )f x là hàm nghịch biến, ( )g x là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm • Cách 2 : Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f u f v= , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = . Ví dụ 1: Giải phương trình 3 4 0 x x+ − = Cách 1 : 3 4 0 3 4 (*) x x x x+ − = ⇔ + = • Ta thấy 1x = là một nghiệm của phương trình (*) • Đặt : ( ) 3 ( ) 4 x f x x g x  = +  =  Ta có : '( ) 3 .ln3 1 >0 x x f x = + ∀ Suy ra ( ) 3 x f x x= + là hàm đồng biến trên R. Mà ( ) 4g x = là hàm hằng Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 1x = Cách 2 : 3 4 0 3 4 (*) x x x x+ − = ⇔ + = Ta thấy 1x = là một nghiệm của phương trình (*) • Nếu 1x > , ta có 1 3 3 3 1 x x  > =  >  3 3 1 4 x x⇒ + > + = (vô lý) • Nếu 1x < , ta có 1 3 3 3 1 x x  < =  <  3 3 1 4 x x⇒ + < + = (vô lý). Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 1x = . Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2 3 1 x x = + Ví dụ 3: Giải pt 1 1 3.9 (3 7).3 2 0 x x x x − − + − + − = (1) Ta có : 2 2 3 1 x x = + 2 ( 3) 1 x x ⇔ = + 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x ⇔ = + (*) • Ta thấy 2x = là một nghiệm của phương trình (*) • Đặt : 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 x x f x g x  = +    =  Ta có : 3 3 1 1 '( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x 2 2 2 2 x x f x R= + < ∀ ∈ Suyra 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x x f x = + là hàm nghịch biến trên R Mà ( ) 1g x = là hàm hằng Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 2x = Đặt 1 3 , 0 x t t − = > . Phương trình (1) 2 3. (3 7). 2 0t x t x⇔ + − + − = 2 2 2 (3 7) 12(2 ) 9 30 25 (3 5)x x x x x∆ = − − − = − + = − 3 7 3 5 1 6 3 3 7 3 5 2 6 x x t x x t x − + + −  = =  ⇒  − + − +  = = − +   1 1 1 3 0 3 3 x t x − • = ⇔ = ⇔ = 1 2 3 2 x t x x − • = − + ⇔ = − + (*)  Ta thấy 1x = là một nghiệm của phương trình (*)  Đặt : 1 ( ) 3 ( ) 2 x f x g x x −  =  = − +  Ta có : 1 '( ) 3 .ln3 0 x f x x R − = > ∀ ∈ Suyra 1 ( ) 3 x f x − = là hàm đồng biến trên R '( ) 1 0 g x x R= − < ∀ ∈ Suyra ( )g x là hàm nghịch biến trên R Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 1x = . Vậy pt (1) có 2 nghiệm là 0; 1x x= = . Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 1 2 3 17 x x− + = ĐS : 3 2. 3 4 5 x x x + = ĐS : 2 3. 2 ( 3 2) ( 3 2) 10 x x x + + − = ĐS : 2 4. 2 2 3.25 (3 10).5 3 0 x x x x − − + − + − = ĐS : { } 5 2;2 log 3− 5. 2 (2 3) 2(1 2 ) 0 x x x x+ − + − = ĐS : { } 0;2 6. 3 8 .2 2 0 x x x x − − + − = ĐS : 2 7. (2.3 1) 3 2 x x x − = + ĐS : 1 8. 2 5 1 1 1 2 5 1 x x e e x x − − − = − − − ĐS : 2; 4 9. 3 2 2 3 2 3 .2 (1 3 ).2 2 0 x x x x x x x+ + + + + − = ĐS : 0 10. 2 1 2 2 1 1 2 2 3 5 2 3 5 x x x x x x− + + + + + = + + ĐS : 1 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. (2 3) (2 3) 4 x x x − + + = (Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) ĐS : 1 2. 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − = − (ĐH Thủy lợi-2001) ĐS : 1 3. 1 2 4 1 x x x + − = − (ĐH Bách khoa TPHCM-1995) ĐS : 1 4. ( 3 2) ( 3 2) ( 5) x x x + + − = (Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) ĐS : ∅ 5. 3 5 6 2 x x x+ = + (ĐH Sư Phạm HN-2001) ĐS : { } 0;1 Dạng 5 : Phương pháp đối lập Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= rồi đánh giá hai vế của phương trình Nếu ( ) ( ) f x g x α α ≥   ≤  thì ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) f x g x α α =  ⇔  =  Giải các phương trình sau 1. 3 2 1 3 8 3 x x x+ = − ĐS : 0 2. 3 1 3 3 2 x x − + − = ĐS : 0 1x≤ ≤ 3. 2 2 1 2 2 2 x x x x− + − = − + ĐS : 1 4. 2 2 sin cos 8 8 10 cos2 x x y+ = + ĐS : ; 2 2 k x y l π π π = = + 5. sin 1 sin 4 2 cos( ) 2 0 y x x xy + − + = ĐS : ; 0x k y π = = 6. 3 2 1 x x= + ĐS : 0; 1 7. 2 1 2 2 3 1 x x x x − + − + = + ĐS : 1 8. 2 2 27 (6 4 1).9 x x x x= − + ĐS : 2 1 0;1; ; 3 3 − 9. 9 3 10 2 x x x+ = + ĐS : 0; 1 BÀI TOÁN 5 : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Phương trình lôgarit • Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng : log a x b= (1) trong đó 0, 1a a> ≠ . • Cách giải : Ta có log a x b= b x a⇔ = II. Các phương pháp giải phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Phương pháp mũ hóa. 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 5. Phương pháp đối lập. II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng • [ ] [ ] log ( ) log ( ) a a f x g x= 0 1 ( ) ( ) 0 a f x g x < ≠  ⇔  = >  • [ ] 0 1 log ( ) ( ) a b a f x b f x a < ≠  = ⇔  =  Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2 log (5 1) 4x + = ĐS : 3 2. 3 9 27 log log log 11x x x+ + = ĐS : 729 3. 3 3 log log ( 2) 1x x+ + = ĐS : 1 4. 2 2 2 log ( 3) log (6 10) 1 0x x− − − + = ĐS : 2 5. 3 2 1 log( 1) log( 2 1) log 2 x x x x+ − + + = ĐS : 1 6. 3 2 2 log (1 1) 3log 40 0x x+ + − − = ĐS : 48 7. 4 2 log ( 3) log ( 7) 2 0x x+ − + + = ĐS : 1 8. 2 1 8 log ( 2) 6log 3 5 2x x− − − = ĐS : 3 9. 3 1 8 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = − ĐS : 1 17 2 + 10. 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2x x− + − = ĐS : 2 11. 4 2 2 1 1 1 log ( 1) log 2 log 4 2 x x x + − + = + + ĐS : 5 2 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. 2 2 1 log (4 15.2 27) 2log 0 4.2 3 x x x + + + = − (ĐH D-2007) ĐS : 2 log 3 1 O x y y b = log a y x = 2. 4 log ( 2).log 2 1 x x + = (ĐH Huế-1999) ĐS : 2 3. 2 2 2 2 2 log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = + (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5 4. 2 9 3 3 2log log .log ( 2 1 1)x x x= + − (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4 5. 2 3 2 3 log log log .logx x x x+ = (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6 6. 5 3 5 9 log log log 3.log 225x x+ = (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3 7. 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + + (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2;2 2 6− 8. 2 2 2 2 3 2 3 log ( 1 ) log ( 1 ) 6x x x x + − + + + + − = (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : 4 3 9. 2 2 9 3 3 1 1 log ( 5 6) log log 3 2 2 x x x x − − + = + − (HV BCVT-2000) ĐS : 3 2 Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x. Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 2 2 2 log 2log 2 0x x+ − = ĐS : 1 2; 4 2. 2 2 3 log log (8 ) 1 0x x− + = ĐS : 2; 16 3. 2 1 1 log ( 1) log 4 x x − + − = ĐS : 5 3; 4 4. 2 2 log 16 log 64 3 x x + = ĐS : 1 3 4;2 − 5. 2 2 3 log (3 ).log 3 1 x x = ĐS : 1 2 3 ± 6. 2 2 log (2 ) log 2 x x x x + + + = ĐS : 2 7. 2 5 5 5 log log ( ) 1 x x x + = ĐS : 1 1;5; 25 8. 2 2 log 2 2log 4 log 8 x x x + = ĐS : 2 9. 1 3 3 log (3 1).log (3 3) 6 x x+ − − = ĐS : 3 3 28 log 10;log 27 10. 2 2 1 2 1 3 log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0 x x x x x x − − − + − − + − = ĐS : 1 4 11. 2 lg(10 ) lg lg(100 ) 4 6 2.3 x x x − = ĐS : 1 100 12. 2 2 2 log 9 log log 3 2 .3 x x x x= − ĐS : 2 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. 3 3 2 2 4 log log 3 x x+ = (ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : 2 2. 2 2 2 log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + = (Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3 3. 9 4log log 3 3 x x + = (ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS : 3; 3 4. 4 2 2 3 lg ( 1) log ( 1) 25x x− + − = (ĐH Y HN-2000) 5. 2 2 log 2 log 4 3 x x+ = (HV CNBCVT-1999) ĐS : 1; 4 6. 1 5 25 log (5 1).log (5 5) 1 x x+ − − = (ĐH Sư Phạm HN-1998) ĐS : 5 5 26 log 6;log 25 7. 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 x x x− = (ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS : 1 4 8. 2 2 2 1 1 log (2 1) log (2 1) 4 x x x x x − + + − + − = (ĐH Khối A-2008) ĐS : 5 2; 4 9. 2 2 3 7 2 3 log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4 x x x x x x + + + + + + + = (ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) ĐS : 1 4 − 10. 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x+ + − = + (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0;1 [...]... : I PHƯƠNG PHÁP ĐS : (5;2) ĐS : (-1;-1), (1;0) ĐS : (0;0) ĐS : (1;1) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : f ( x) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) • Nếu a > 1 thì a f (x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) • Nếu 0 < a < 1 thì a a > 0  a f ( x) > a g ( x) ⇔  Tổng quát : (a − 1) [ f ( x) − g ( x) ] > 0  II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương. .. 1 ĐS : 1; (5 20 + log 20 4 ) 2 5 Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau 0 < a ≠ 1 • log a f ( x ) = g ( x) ⇔  g ( x)  f ( x) = a t   f ( x) = a log a f ( x ) = log b g ( x) đặt = t suy ra  • Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t, t  g ( x) = b  giải pt này tìm t, từ đó tìm x Bài 1 : Giải các phương trình sau x 1 log 3 (9 + 8) = x + 2 ĐS :... + 4x + 5 ĐS : 3 ĐS : 0; 1 (ĐH Đông Đô-1997) ĐS : (ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS : −1; −2 Dạng 5 : Phương pháp đối lập Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x) = g ( x) rồi đánh giá hai vế của phương trình 1 ;2 4  f ( x) ≥ α  f ( x) = α Nếu  thì ta có f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≤ α  g ( x) = α Giải các phương trình sau 2 2 1 log 2 ( x + 3) + log x2 +3 4 = 3 + 2 x − x ĐS : 1 2 log 3 ( x + x + 1) − log... 1) − log 3 x = 2 x − x ĐS : 1 2 2 3 2 2 2 4 log 2 x − 2( x − 1) log 2 x + 2 x − 6 x + 5 = 0 2 2 3 log 2 ( x + 1) − log 4 ( x + 1) = x − 2 x + BÀI TOÁN 5 : 1 2 3 4 5 ĐS : 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau : log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )  (ĐH A-2009)  x2 − xy + y2 = 81 3   23 x = 5 y 2 − 4 y  x (ĐH D-2002)  4 + 2 x +1 =y  x  2 +2 1  log 1 ( y − x)... nghiệm đó là nghiệm duy nhất) Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x) = g ( x) (*) • Bước 1 : Chỉ ra x0 là một nghiệm của phương trình (*) • Bước 2 : Chứng minh f ( x ) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến hoặc f ( x ) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm hằng hoặc f ( x ) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm • Cách 2 : Đưa phương trình đã cho về dạng f (u ) = f (v)... − 22 x+1 − 12 2 < 0 2.3x − 2 x+2 4 ≤1 3x − 2 x ĐS : x > −1 ĐS : 0 < x ≤ log 3 3 (ĐH Phương Đông-2000) ĐS : x < 0 ∨ x > 1 2 2 − x +x Dạng 3 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 1 3x−1 + 2 x > 3 ĐS : x > 1 x ĐS : x < 2 2 2 x < 3 2 + 1 3 2.2 x + 3.3x > 6 x − 1 ĐS : x < 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BÀI TOÁN 7 : I PHƯƠNG PHÁP • Nếu a > 1 thì log a f ( x ) > log a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) > 0 •... −7 x ĐS : x ≤ −6 ∨ x ≥ 10 >1 Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : 1 2 x + 2 x+1 ≤ 3x + 3x−1 x 2 −2 x 4 (x 2 (ĐH Quốc Gia HN-1996) ĐS : x ≥ 2 (Học Viện Quân Y-1995) ĐS : (ĐH Bách Khoa HN-1997) ĐS : x ≥ 2 (ĐH Sư Phạm TPHCM-1976) x 2 ( 2 + 1) x+1 ≥ ( 2 − 1) x−1 3 3 ĐS : x < −1 + x + 1) < 1 x Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các bất phương trình sau : 1 9 x − 2.3x − 3 > 0 2 22 x+6 + 2 x +7... nghịch biến trên D) Từ đó suy ra f (u ) = f (v ) ⇔ u = v Bài 1 : Giải các phương trình sau 1 log 5 ( x − 3) = 4 − x ĐS : 4 2 2 lg( x − x − 12) + x = lg( x + 3) + 5 ĐS : 5 2 3 log 2 x + ( x − 3).log 2 x − x + 2 = 0 ĐS : 2; 4 2 4 x + (log 3 x − 3) x − 4 + log 3 x = 0 5 ln( x + x + 1) − ln(2 x + 1) = x − x Bài 2 : Giải các phương trình sau 2 2 2 2 1 log 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2 x 2 log 3 x2 + x +... = log 4 x Bài 2 : Giải các phương trình sau x 1 x + log 2 (9 − 2 ) = 3 2 log 5 x = log 7 ( x + 2) (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16 (ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3 (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5 3 log 7 x = log 3 ( x + 2) (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49 4 2log 6 ( x + x ) = log 4 x (ĐH Y HN-1998)ĐS : 256 5 2log 3 cot x = log 2 cos x (ĐH Y Dược TPHCM-1986) 4 8 ĐS : π + k 2π 3 Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn... −1  2 x + 3 = 2 ĐS : ( ;log 3 4)  y 3 3 x + 9 = 18  log y x + log x y = 2  7  2  x + y = 12  ĐS : 1 ĐS : (3;3)  y = 1 + log 4 x 9  y ĐS : (16;3), (1/64;-2)  x = 4096 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :  −x y 3 2 = 1152 1  log 5 ( x + y ) = 2  ĐS : (2;2), (-2;-2) ĐS : (0;1), (2;4) ĐS : (3;4) ĐS : (1;1), (2;2) 3x.2 y = 972  6  log 3 3 ( x − y ) = 3  y  x+x  4 y = 32 8  ĐS : . ≥ + + x R + ∀ ∈ . BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Phương trình mũ • Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng : x a b= (1) trong. ĐS : 0; 1 BÀI TOÁN 5 : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Phương trình lôgarit • Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng : log a x