MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010- 2011 - Đề thức ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 05 tháng 11 năm 2010 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu ( điểm ) Câu ( điểm) Giải phương trình: (6 sin x – sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27 x ( x + 2) = y3 − x + Giải hệ phương trình: y ( y + ) = z3 − y + z ( z + ) = x − z + ( ( ( ) ) ) Câu ( điểm) Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = (un + un + 4), n = 1,2,3, a) Chứng minh ( un ) dãy tng nhng khụng b chn trờn n b) Đ ặt , n = 1,2,3, TÝnh : lim n →∞ k =1 uk + = ∑ Câu ( điểm) Hình chóp n- giác có góc tạo mặt bên mặt đáy α , góc tạo cạnh bên mặt đáy β Chứng minh rằng: sin α − sin β ≤ tan π 2n Câu ( điểm) Xét x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện: x − x + = y + 18 − y x y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ bỉểu thức P = + − Câu ( điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2010 thỏa mãn: f ( n ) = với n = 1, 2, 3, …2011 n Tính f(2012) Hết Họ tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: …………………… www.mathvn.com – book.mathvn.com MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - Câu ( điểm ) Giải phương trình: (6 sin x – sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27 (1) Lời giải chi tiết Điểm (1) ⇔ [6 sin x – (3 sin x – 4sin3x) +1]3 = 27(6 sin x – 1) (1) O,5đ ⇔ (8 sin3 x +1)3 = 27(6 sin x – 1) ⇔ 8sin x + = 3 6sin x − Đặt: sin x = t ( t ≤ ) O,5đ O,5đ Phương trình trở thành: t + = 3 3t − u3 + = 3t Đặt: u = 3t − Ta có hệ: Giải ta t = u t + = 3u O,5đ Với t = u: ta có phương trình: t3 – t + = Khi đó, theo cách đặt, ta có: sin3 x - sin x +1 = ⇔ sin 3x = π 2π x = 18 + k ⇔ sin 3x = ⇔ sin x = ⇔ x = 5π + k 2π 18 Câu ( điểm ) ( ( ( O,5đ O,5đ ) ) ) x ( x + 2) = y3 − x + Giải hệ phương trình: y ( y + ) = z3 − y + z ( z + ) = x − z + Lời giải chi tiết Điều kiện: x, y, z ∈ R x + x + x = y + (1) Hệ trở thành y + y + y = 3z3 + ( ) 3 z + z + 3z = x + ( ) Đặt: f(t) = t3 +2 t2 + t, t∈ R g(t) = 3t + , t∈ R Điểm 0, đ 0,5 đ www.mathvn.com – book.mathvn.com MATHVN.COM | www.mathvn.com f ( x) = g(y) Hệ trở thành: f ( y ) = g ( z ) f ( z) = g ( x ) Ta có: f’(t) = t2 + t + > ∀ t∈ R g’(t) = t2 ≥ ∀x ∈ R Nên f, g hàm số đồng biến R Giả sử (x; y; z) nghiệm hệ , khơng giảm tính tổng qt giả sử x ≥ y Từ (1) (2) ta có: g(y) ≥ g(z) suy y ≥ z nên từ (2) (3) ta có: g(z) ≥ g(x) suy z ≥ x Từ ta có: x = y = z Thay vào hệ phương trình ta hệ có nghiệm: 3 3 3 3 (1; 1; 1); − ; − ; − ; ; ; 2 2 2 Câu ( điểm) u1 = Cho dãy số (un) xác định un+1 = (un2 + un + 4), n = 1,2,3, 0,5 đ 1,5 đ a) Chứng minh ( un ) dãy tăng không b chn trờn n b) Đ ặt , n = 1,2,3, TÝnh : lim n →∞ u + k =1 k Lời giải chi tiết = ∑ Điểm a) u n + u n + ) − u n = ( u n − ) ≥ ; ∀n = 1, 2, ( 5 dãy tăng Từ đó, un ≥ u1 = ∀n = 1, 2, + Ta có u n +1 − u n = 0, đ + Vậy ( u n ) + Mặt khác dãy ( u n ) bị chặn có giới hạn Giả sử lim u n = a n →+∞ ( a ≥ 3) 1 + nlim u n +1 = lim ( u n2 + u n + ) ⇒ a = ( a + a + ) ⇔ a = →+∞ n →+∞ 5 Điều khơng thể xảy a ≥ Vậy dãy ( u n ) không bị chặn b) Theo a) Vậy nlim u n = +∞ ⇒ lim →+∞ =0 un ( u k + u k + ) ⇔ 5(u k +1 − 2) = (u k − 2)(u k + 3) 5 1 ⇔ = = − ( u k ≥ ; ∀k ≥ 1) ⇔ u k +1 − ( u k − )( u k + 3) u k + u k − u k +1 − + Ta có u k +1 = n 1 = − Vậy lim = u − u n +1 − k =1 u k + + Do lim v n = ∑ www.mathvn.com – book.mathvn.com 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ MATHVN.COM | www.mathvn.com Câu ( điểm) Hình chóp n- giác có góc tạo mặt bên mặt đáy α , góc tạo π cạnh bên mặt đáy β Chứng minh rằng: sin α − sin β ≤ tan 2n S S A2 M E β α A1 Lời giải chi tiết + Gọi hình chóp n-giác S.A1A2…An + Xét hình chóp S.OA1M, đó, O tâm đa giác đáy, M trung điểm cạnh A1A2 Khi đó, SO ⊥ (OA1M) ; OM ⊥ A1A2 + Góc tạo mặt bên mặt đáy ∠SMO = α + Góc tạo cạnh bên mặt đáy ∠SA1O = α π n Đặt OA1 = a; OM = b; OS = h Gọi OE phân giác góc ∠A1OM O Điểm 1,0 đ Ta có: ∠A1OM = ϕ = www.mathvn.com – book.mathvn.com 1,0 đ MATHVN.COM | www.mathvn.com h2 Khi đó: sin α = h2 + b ;sin β = h2 h2 + a ;tan ϕ π ME = tan = 2n b ME ME + A1E MA1 a − b2 ME A1E = = = Do : = nên b a+b a+b a+b b a Ta cần chứng minh: h2 h +b ⇔ − h2 h +a 2 ( h2 a − b2 ≤ ) 2,0 đ a2 − b2 ( a + b )2 ≤ a2 − b2 ( h + b )( h + a ) ( a + b ) ⇔ ( h + a )( h + b ) ≥ h ( a + b ) ⇔ ( ab − h ) ≥ 2 2 2 2 1,0 đ 2 2 2 Dấu xảy ⇔ ab = h ⇔ SO = OA1 OM Câu ( điểm) Xét x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện: x − x + = 3y + 18 − y x y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ bỉểu thức P = + − Điểm Điều kiện : x ≥ -2; y ≥ -6 Lời giải chi tiết x − x + = y + 18 − y x x y y ⇔ + = +1 + + 3 x = X Đặt: ( X ≥ −1;Y ≥ −2 ) y =Y Ta được: X + Y = ( X +1 + Y + 0,5 đ 0,5 đ ) Gọi T tập giá trị P1 = X + Y , ta có: a ∈ P1 ⇔ a ∈ R cho hệ phương trình ẩn (X; Y) sau có nghiệm: www.mathvn.com – book.mathvn.com MATHVN.COM | www.mathvn.com X + Y = a (I) 2 X + + Y + = a ( ) X + = u Đặt: Y + = v X = u − ( u, v ≥ ) ⇒ Y = v − 0,5 đ u + v = a + (II) Hệ trở thành: a u + v = Ta tìm a để hệ phương trình (II) có nghiêm (u; v) với u, v ≥ Phương trình ẩn t: t2 – a t + a2 - a - 12 = có nghiệm khơng âm 0,5 đ a − 8a − 24 ≤ ⇔ a ≥ a − 4a − 12 ≥ 0,5 đ ⇔ ≤ a ≤ + 10 Do đó: Max P1 = + 10 ; Min P1 = Và vì: P = P1 – nên: 0,5 đ + 10 Max P = + 10 khi: u = v = x x = + 10 = u − ⇒ ⇔ 3 + 10 ; y = v − y = ⇔ ( ) u = x = −2 v = y = 21 ⇔ ⇒ u = x = 16 Min P = v = y = −6 Câu ( điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2010 thỏa mãn: f ( n ) = với n = 1, 2, 3, …2011 n Tính f(2012) Điểm Lời giải chi tiết www.mathvn.com – book.mathvn.com MATHVN.COM | www.mathvn.com Xét phương trình: f ( x ) − =0 x 1 với n = 1, 2, 3, …2011 nên phương trình: f ( x ) − = có 0,5 đ n x nghiệm: 1, 2, …, 2011 Nhưng f ( x ) − không đa thức nên xét: g(x) = x f(x) – (1) 0,5 đ x Do deg f(x) = 2010 nên deg g(x) = 2011 g(x) có nghiệm: 1, 2, …, 2011 Nên g(x) = a (x – 1).(x – 2)…(x – 2011) (2) Từ (1) ta có: g(0) = - Từ (2) ta có: - = g(0) = a (-1)2011 2011 ! Do f ( n ) = Suy ra: a= Như 2011! vậy: g(x) = ( x − 1)( x − ) ( x − 2011) 2011! ( 2012 − 1)( 2012 − ) ( 2012 − 2011) = 2011! 2012.f(2012) = ⇔ f(2012) = 1006 ⇒ 2012.f(2012) − = g(2012) = HẾT _ www.mathvn.com – book.mathvn.com 0,5 đ 0,5 đ ... www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - Câu ( điểm ) Giải phương trình:... 2011! vậy: g(x) = ( x − 1)( x − ) ( x − 2011) 2011! ( 2 012 − 1)( 2 012 − ) ( 2 012 − 2011) = 2011! 2 012. f(2 012) = ⇔ f(2 012) = 1006 ⇒ 2 012. f(2 012) − = g(2 012) = HẾT _ www.mathvn.com... …, 2011 Nên g(x) = a (x – 1).(x – 2)…(x – 2011) (2) Từ (1) ta có: g(0) = - Từ (2) ta có: - = g(0) = a (-1 )2011 2011 ! Do f ( n ) = Suy ra: a= Như 2011! vậy: g(x) = ( x − 1)( x − ) ( x − 2011)