Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.. Điểm số đợc làm tròn theo quy định.[r]
(1)Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp Thêi gian lµm bµi: 150 phót (7) Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx= vµ x + y +z= -1 xy zx yz TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= z y x 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x y 4 b/ T×m x, y tho¶ m·n 1 2 x y 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x y xy x 18 y 50 x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 10 x x Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt N Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H NB BC 1 b/ Chøng minh NE BA a/ Chøng minh KE + KH = 2AM c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC Chøng minh nÕu AB+ AC= 2BC th× IG//BC Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 vµ x + y +z = - xy zx yz z y x TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x y 4 b/ T×m x, y tho¶ m·n 1 2 x y 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x y xy x 18 y 50 x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 10 x x Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt N Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H a/ Chøng minh KE + KH = 2AM NB BC 1 b/ Chøng minh NE BA c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC Chøng minh nÕu AB + AC= 2BC th× IG//BC Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 (7) (2) Híng dÉn chÊm To¸n líp Bµi 1: (2,5 ®iÓm) C©u a=1,5 ® ; c©u b=1 ® 1 0 x y z a/ V× x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 (0,25 ®) 1 xy zx yz 2 2 2 Nªn M= z y x = xyz x y z (0,25 ®) 1 2 xyz x y z x y z xyz = (0,5 ®) 2 xyz ( 1) xyz xyz 2 =xyz (0,5 ®) 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 nªn ta cã x5 y ( x5 y ) x3 y3 x y (0,25 ®) x5 y 1 6 vËy H = xy = x y x5 y 3 xy 2x y lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Bµi 2: (2 ®iÓm) mçi c©u ®iÓm a/Ta cã G(x)= x2010 + x3 + ax2 + x + b= (x2010 - 1)+(x3- 1)+ ax2 + x + b+ V× x2010 - = (x- 1) (x2+ x +1)Q(x) vµ x3- 1=(x- 1) (x2+ x + 1) chia hÕt cho x2+ x + nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x2 + x + Th× ax2 + x + b+ chia hÕt cho ®a thøc H(x)= x2+ x +1 (0,25 ®) Ta có ax2 + x + b+ chia cho H(x)=x2+ x + đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a Vậy để ax2 + x + b chia hết cho H(x)=x2+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= với x Nªn 1- a= vµ b+ 2- a= a 1 vµ b= -1 (0,5 ®) 1 1 2 x y 4 ( x ) ( y ) 0 x y x y b/ Ta cã x 1 y 1 x 1 1 x x 0 x y x x 1 y 1 x 1 y 0 y y y 1 y x y 2 nªn ta cã 2 1 1 x y 0 x y (0,5 ®) (0,5 ®) Bµi 3: (2,5 ®iÓm) C©u a =1 ®; c©u b =1,5 ® a/ Chøng minh biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y 2 2 Ta cã M= x y xy x 18 y 50 = x xy x y y y 12 y 32 (0,25 ®) x x y 3 y 3 y 3 32 = (0,5 ®) = x x 2 y y 3 32 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x, y v× (0,25 ®) 3 3 x 10 x x x x x 10 x 0 b/Ta cã (0,25 ®) đặt x2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x2=c ta có a+b+c=0 và a3 + b3 +c3=0 Ta chứng minh đợc a3 + b3 +c3=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 b=0; c=0 (0,5 đ) (3) 10 ; x 2 xét các khả ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x= (0,75 ®) Bài 4: (3 điểm) câu đúng cho điểm KE KC KC KH BK KE KH ; 2 KE KH 2 AM a/v× KH//AM nªn ta cã AM MC MB AM MB AM MA b/ Trªn tia AM lÊy F cho MA=MF ta cã tø gi¸c ACFB lµ h×nh b×nh hµnh nªn BF AC NB BF AC BC EC NB BC 1 Nªn ta cã NE AE AE Ta cã BE lµ ph©n gi¸c nªn ta cã BA EA NE BA NB MB MC AC BC EC NB BC 1 HoÆc chøng minh c¸ch kh¸c: Ta cã NE MK MK AE ; BA EA NE BA BC AB BC AB AB BC ( v× AB+AC=2BC ) Ta cã BI lµ ph©n gi¸c nªn ta c/ Ta tính đợc BD= AB AC BA GM ID GM ID BD IG // BC cã IA BA BA V× G lµ träng t©m ABC nªn GA IA GA M¤N : TO¸N Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã trang) Bµi 1:(2,0 ®iÓm) K× THI HäC SINH GIáI LíP N¨m häc: 2011 - 2012 T×m hai sè tù nhiªn a, b cho a b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16 (4) T×m sè nguyªn tè p cho p 10; p 14 còng lµ nguyªn tè Bµi 2:(2,0 ®iÓm) 2 Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a 6.x 12 xy 54z y 20 b x x f ( x ) x a x b.x c Xác định các hệ số a, b, c biết f ( x ) Cho ®a thøc bËc , chia hÕt cho x , f ( x ) chia cho x th× d 2x Bµi 3: (2,0 ®iÓm) x x x x x 3.x P : x x 8 x2 x x2 x 1 Cho biÓu thøc tìm x để p Cho a, b và a b 1 , chøng minh r»ng a b4 Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH AC, H AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH a TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD b Chøng minh CF EB DC c Trên tia đối tia lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC Q C/ m QNM MNP §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã trang) Bµi 1:(2,0 ®iÓm) T×m hai sè tù nhiªn a, b cho a b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16 T×m sè nguyªn tè p cho p 10; p 14 còng lµ nguyªn tè Bµi 2:(2,0 ®iÓm) 2 20 x 12 xy 54z y Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a b x x f ( x ) x a x b.x c Xác định các hệ số a, b, c biết f ( x ) Cho ®a thøc bËc , chia hÕt cho x , f ( x ) chia cho x th× d 2x Bµi 3: (2,0 ®iÓm) x x x x x 3.x P : x x 8 x2 x x2 x 1 Cho biÓu thøc tìm x để p Cho a, b và a b 1 , chøng minh r»ng a b4 Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH AC, H AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH a TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD b Chøng minh CF EB c Trên tia đối tia DC lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC Q C/ m QNM MNP Bµi (2.0®) (1.0®) H¦íNG DÉN V¾N T¾T §¸P ¸N Vµ BIÓU §IÓM M¤N TO¸N HSG LíP a1; b1 1 a 16a1 và b 16b1 a b a1 , b1 N gi¶ sö ; a b 8 Thay vào a b 128 ta đợc 1 Suy a1 1; b1 7 hoÆc a1 3; b1 5 , ¦C để 0.25® 0.25® 0.25® (5) VËy a 16; b 112 hoÆc a 48; b 80 nÕu p 2 (p nguyªn tè) p 10 12 kh«ng ngtè (lo¹i) 2.(1,0®) Bµi ( 2.0®) 0.25® NÕu p 3 (nguyªn tè) p 10 13; P 14 17 nguyªn tè NÕu p 3; k N suy p cã d¹ng p 3k 1; p 3k 0.25® Khi p 3k p 14 3k 15 3(k 5) chia hÕt cho (lo¹i) 0.5® Khi p 3k p 10 3k 12 3(k 5) chia hÕt cho (lo¹i) VËy p=3 0.25® 2 (1.0®) a 6.x 12 xy 54z y 6( x y 3z)( x y 3z) b 0.5® x 20 x 1 x 20 x x x ( x x 1) x ( x9 1)( x 1)( x x 1) 1 2.(1.0®) v× f ( x) ( x 2) nªn f (2) 0 4a 2b c 0(1) 0.5® 0.25® f ( x ) chia cho x d 2x nªn f ( x) x ( x 1) f (1) 0 a b c 1 (2) 0.25® f ( 1) 0 a b c (3) 10 10 a ; b 1 và c 3 ; Kết luận đúng Tõ (1); (2) vµ (3) suy 0.5® Bµi (2.0®) x x3 x x x 3.x 4( x 1) P : x x x x 1 x x 1 x x 8 1.(1.0®) (§K x 2 ) 0.5® 1 x x x 0 2 NhËn xÐt víi mäi x Đề p >0 4( x 1) x ; Kết luận đúng x và x 2 0.5® (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần a b2 2 a 2b a b2 2ab a b2 a b a b2 0.5® a b Bµi (4.0®) a b2 2 1 4 a b a b4 Vễ hình đúng a (1.25đ) chứng minh đợc ABH CAB 24 32 cm; AH cm 5 Tính đợc kÎ DK AC, K AC BH Chứng minh đợc DK BH 1 24 32 768 SABHD SABH SADH AH.BH DK.AH AH.BH (cm ) 2 5 25 Tính đợc 0.5® 0.5® 0,25® 0,25® 0.25® 0.5® Kết luận đúng b (0.75đ) Chứng minh đợc EF BC Chỉ đợc F là trực tâm BEC Kết luận đợc CF BE c (1.5đ) gọi O là giao điểm MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN t¹i I QM QO Chỉ đợc Vì MO song song với PC nên PM OC QO QI T¬ng tù IO song song víi NC nªn OC IN 0.75® 0.25® 0.25® (6) QM QI Nêu đợc PM IN suy MI song song với PN NMI MNP Chỉ đợc (so le trong) 0.25® Chứng minh đợc MIN cân I; suy NMI INM 0.25® Kết luận đợc QNM MNP 0.25® Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì cho điểm tối đa phần đó Điểm số đợc làm tròn theo quy định (h×nh vÏ) 0.25® (7)