Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.. Điểm số đợc làm tròn theo quy định.[r]
(1)Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp Thêi gian lµm bµi: 150 phót (7) Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx= vµ x + y +z= -1 xy zx yz TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= z y x 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x y 4 b/ T×m x, y tho¶ m·n 1 2 x y 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x y xy x 18 y 50 x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 10 x x Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt N Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H NB BC 1 b/ Chøng minh NE BA a/ Chøng minh KE + KH = 2AM c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC Chøng minh nÕu AB+ AC= 2BC th× IG//BC Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 M«n: To¸n líp Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: a/ Cho x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 vµ x + y +z = - xy zx yz z y x TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc M= 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 xy lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Chøng minh H = Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x2010 + x3 +ax2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x2+ x +1 x y 4 b/ T×m x, y tho¶ m·n 1 2 x y 2 Bµi 3: a/ Cm biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y M= x y xy x 18 y 50 x b/Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 10 x x Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt N Qua E vẽ đờng th¼ng song song víi AM c¾t BC vµ BA t¹i K vµ H a/ Chøng minh KE + KH = 2AM NB BC 1 b/ Chøng minh NE BA c/ Ph©n gi¸c AD cña ABC c¾t BE tai I, gäi G lµ träng t©m ABC Chøng minh nÕu AB + AC= 2BC th× IG//BC Thi häc sinh giái cÊp c¬ së n¨m häc 2009-2010 (7) (2) Híng dÉn chÊm To¸n líp Bµi 1: (2,5 ®iÓm) C©u a=1,5 ® ; c©u b=1 ® 1 0 x y z a/ V× x, y, z kh¸c kh«ng tho¶ m·n xy + yz + zx=0 (0,25 ®) 1 xy zx yz 2 2 2 Nªn M= z y x = xyz x y z (0,25 ®) 1 2 xyz x y z x y z xyz = (0,5 ®) 2 xyz ( 1) xyz xyz 2 =xyz (0,5 ®) 5 3 b/ Cho x, y lµ c¸c sè h÷u tû kh¸c kh«ng tho¶ m·n x y 2 x y 1 nªn ta cã x5 y ( x5 y ) x3 y3 x y (0,25 ®) x5 y 1 6 vËy H = xy = x y x5 y 3 xy 2x y lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû Bµi 2: (2 ®iÓm) mçi c©u ®iÓm a/Ta cã G(x)= x2010 + x3 + ax2 + x + b= (x2010 - 1)+(x3- 1)+ ax2 + x + b+ V× x2010 - = (x- 1) (x2+ x +1)Q(x) vµ x3- 1=(x- 1) (x2+ x + 1) chia hÕt cho x2+ x + nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x2 + x + Th× ax2 + x + b+ chia hÕt cho ®a thøc H(x)= x2+ x +1 (0,25 ®) Ta có ax2 + x + b+ chia cho H(x)=x2+ x + đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a Vậy để ax2 + x + b chia hết cho H(x)=x2+ x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= với x Nªn 1- a= vµ b+ 2- a= a 1 vµ b= -1 (0,5 ®) 1 1 2 x y 4 ( x ) ( y ) 0 x y x y b/ Ta cã x 1 y 1 x 1 1 x x 0 x y x x 1 y 1 x 1 y 0 y y y 1 y x y 2 nªn ta cã 2 1 1 x y 0 x y (0,5 ®) (0,5 ®) Bµi 3: (2,5 ®iÓm) C©u a =1 ®; c©u b =1,5 ® a/ Chøng minh biÓu thøc sau lu«n d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña x, y 2 2 Ta cã M= x y xy x 18 y 50 = x xy x y y y 12 y 32 (0,25 ®) x x y 3 y 3 y 3 32 = (0,5 ®) = x x 2 y y 3 32 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x, y v× (0,25 ®) 3 3 x 10 x x x x x 10 x 0 b/Ta cã (0,25 ®) đặt x2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x2=c ta có a+b+c=0 và a3 + b3 +c3=0 Ta chứng minh đợc a3 + b3 +c3=3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 b=0; c=0 (0,5 đ) (3) 10 ; x 2 xét các khả ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x= (0,75 ®) Bài 4: (3 điểm) câu đúng cho điểm KE KC KC KH BK KE KH ; 2 KE KH 2 AM a/v× KH//AM nªn ta cã AM MC MB AM MB AM MA b/ Trªn tia AM lÊy F cho MA=MF ta cã tø gi¸c ACFB lµ h×nh b×nh hµnh nªn BF AC NB BF AC BC EC NB BC 1 Nªn ta cã NE AE AE Ta cã BE lµ ph©n gi¸c nªn ta cã BA EA NE BA NB MB MC AC BC EC NB BC 1 HoÆc chøng minh c¸ch kh¸c: Ta cã NE MK MK AE ; BA EA NE BA BC AB BC AB AB BC ( v× AB+AC=2BC ) Ta cã BI lµ ph©n gi¸c nªn ta c/ Ta tính đợc BD= AB AC BA GM ID GM ID BD IG // BC cã IA BA BA V× G lµ träng t©m ABC nªn GA IA GA M¤N : TO¸N Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã trang) Bµi 1:(2,0 ®iÓm) K× THI HäC SINH GIáI LíP N¨m häc: 2011 - 2012 T×m hai sè tù nhiªn a, b cho a b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16 (4) T×m sè nguyªn tè p cho p 10; p 14 còng lµ nguyªn tè Bµi 2:(2,0 ®iÓm) 2 Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a 6.x 12 xy 54z y 20 b x x f ( x ) x a x b.x c Xác định các hệ số a, b, c biết f ( x ) Cho ®a thøc bËc , chia hÕt cho x , f ( x ) chia cho x th× d 2x Bµi 3: (2,0 ®iÓm) x x x x x 3.x P : x x 8 x2 x x2 x 1 Cho biÓu thøc tìm x để p Cho a, b và a b 1 , chøng minh r»ng a b4 Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH AC, H AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH a TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD b Chøng minh CF EB DC c Trên tia đối tia lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC Q C/ m QNM MNP §Ò CHÝNH THøC: (§Ò nµy gåm cã trang) Bµi 1:(2,0 ®iÓm) T×m hai sè tù nhiªn a, b cho a b 128 vµ ¦CLN(a,b)=16 T×m sè nguyªn tè p cho p 10; p 14 còng lµ nguyªn tè Bµi 2:(2,0 ®iÓm) 2 20 x 12 xy 54z y Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a b x x f ( x ) x a x b.x c Xác định các hệ số a, b, c biết f ( x ) Cho ®a thøc bËc , chia hÕt cho x , f ( x ) chia cho x th× d 2x Bµi 3: (2,0 ®iÓm) x x x x x 3.x P : x x 8 x2 x x2 x 1 Cho biÓu thøc tìm x để p Cho a, b và a b 1 , chøng minh r»ng a b4 Bµi 4: (4,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB=8cm, AD=6cm kÎ BH AC, H AC , gäi M, N, E, F lÇn lîc lµ trung ®iÓm cña AD, BC, AH vµ BH a TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ABHD b Chøng minh CF EB c Trên tia đối tia DC lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC Q C/ m QNM MNP Bµi (2.0®) (1.0®) H¦íNG DÉN V¾N T¾T §¸P ¸N Vµ BIÓU §IÓM M¤N TO¸N HSG LíP a1; b1 1 a 16a1 và b 16b1 a b a1 , b1 N gi¶ sö ; a b 8 Thay vào a b 128 ta đợc 1 Suy a1 1; b1 7 hoÆc a1 3; b1 5 , ¦C để 0.25® 0.25® 0.25® (5) VËy a 16; b 112 hoÆc a 48; b 80 nÕu p 2 (p nguyªn tè) p 10 12 kh«ng ngtè (lo¹i) 2.(1,0®) Bµi ( 2.0®) 0.25® NÕu p 3 (nguyªn tè) p 10 13; P 14 17 nguyªn tè NÕu p 3; k N suy p cã d¹ng p 3k 1; p 3k 0.25® Khi p 3k p 14 3k 15 3(k 5) chia hÕt cho (lo¹i) 0.5® Khi p 3k p 10 3k 12 3(k 5) chia hÕt cho (lo¹i) VËy p=3 0.25® 2 (1.0®) a 6.x 12 xy 54z y 6( x y 3z)( x y 3z) b 0.5® x 20 x 1 x 20 x x x ( x x 1) x ( x9 1)( x 1)( x x 1) 1 2.(1.0®) v× f ( x) ( x 2) nªn f (2) 0 4a 2b c 0(1) 0.5® 0.25® f ( x ) chia cho x d 2x nªn f ( x) x ( x 1) f (1) 0 a b c 1 (2) 0.25® f ( 1) 0 a b c (3) 10 10 a ; b 1 và c 3 ; Kết luận đúng Tõ (1); (2) vµ (3) suy 0.5® Bµi (2.0®) x x3 x x x 3.x 4( x 1) P : x x x x 1 x x 1 x x 8 1.(1.0®) (§K x 2 ) 0.5® 1 x x x 0 2 NhËn xÐt víi mäi x Đề p >0 4( x 1) x ; Kết luận đúng x và x 2 0.5® (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần a b2 2 a 2b a b2 2ab a b2 a b a b2 0.5® a b Bµi (4.0®) a b2 2 1 4 a b a b4 Vễ hình đúng a (1.25đ) chứng minh đợc ABH CAB 24 32 cm; AH cm 5 Tính đợc kÎ DK AC, K AC BH Chứng minh đợc DK BH 1 24 32 768 SABHD SABH SADH AH.BH DK.AH AH.BH (cm ) 2 5 25 Tính đợc 0.5® 0.5® 0,25® 0,25® 0.25® 0.5® Kết luận đúng b (0.75đ) Chứng minh đợc EF BC Chỉ đợc F là trực tâm BEC Kết luận đợc CF BE c (1.5đ) gọi O là giao điểm MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN t¹i I QM QO Chỉ đợc Vì MO song song với PC nên PM OC QO QI T¬ng tù IO song song víi NC nªn OC IN 0.75® 0.25® 0.25® (6) QM QI Nêu đợc PM IN suy MI song song với PN NMI MNP Chỉ đợc (so le trong) 0.25® Chứng minh đợc MIN cân I; suy NMI INM 0.25® Kết luận đợc QNM MNP 0.25® Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì cho điểm tối đa phần đó Điểm số đợc làm tròn theo quy định (h×nh vÏ) 0.25® (7)