Đề thi chọn hsg lớp 11 năm học 2015 2016 đề thi môn: Toán28302

SỞ GD&ĐT trương quang an —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT khơng chun quảng ngãi Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm)  y  x( xy  2)  Giải hệ phương trình:  z  y ( yz  2) ( x, y, z  ฀ )  x  z ( zx  2)  Tính giới hạn sau: lim x x x 0 Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ac  12 bc  Tìm giá trị nhỏ 1    biểu thức D  a  b  c        ab bc ca  abc Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời điều kiện n  p ( p  1) n  chia hết cho n p 1 Câu (2,0 điểm) Xét điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi đường thẳng chứa cạnh AB, AC tam giác ABC cho MN ฀ BC đường thẳng BN, CM cắt P Gọi Q giao điểm thứ hai (khác điểm P) đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP CNP Chứng minh Q nằm đường thẳng cố định Gọi A ', B ', C ' điểm đối xứng với Q qua đường thẳng BC , CA , AB Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A ' B ' C ' nằm đường thẳng cố định Câu (1,0 điểm) Ta gọi ba số nguyên dương (a ; b ; c) n  đẹp a  b  c, ước chung lớn a, b, c a n  b n  c n  a  b  c  Ví dụ, (1; 2; 2)  đẹp,  đẹp Tìm tất n  đẹp với n  (nếu có) —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT trương quang an ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT không chuyên quảng ngãi NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm  y (1  x )  x  Hệ phương trình tương đương:  z (1  y )  y  x(1  z )  z  Nếu ba số x , y , z 1 hệ phương trình vơ nghiệm 0,5  2x  y   x2  2y   hệ phương trình trở thành  z   1 y  2z x  1 z2  tan     Đặt x  tan  với     ;  Do tan 2   tan   2 0,5  y  tan 2  2 3  Ta có  z  tan 4  tan   tan 8    0,    ,    ,   7  x  tan 8  0,5  2 4   Vậy, hệ phương trình có nghiệm: (0;0;0),  tan ; tan ; tan , 7   2 4    4  2    2 4  ; tan ; tan  ,  tan ; tan ; tan ;  tan  tan  ,   tan ;  tan 7   7   7  2 4    4  2   ;  tan ;  tan  ,   tan ;  tan ;  tan   tan  7   7   1,0 điểm Xét hàm số f x   ln x với x  0;1 Theo định lí Lagrange tồn c         cho: f 1  f x  f ' c   x   x c   x  ln1  ln x   x x        1   x   ln x   x  x  x   x ln x  x  x 3 x ThuVienDeThi.com  ,   x ;1 0,5 0,25 0,5     Do lim  x  x   lim x  x   x 0 x 0   x ln x   lim   x x  Vậy lim x    lim x 0 x  0 x 0   0,25 x  2,0 điểm Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b a b ab    3 · ·  3, dấu “=” xảy   ab ab ab (1) b c b c bc    3 · ·  3, dấu “=” xảy   bc bc bc (2) c a 12 c a 12 c a 12    3 · ·  3, dấu “=” xảy   ca ca ca (3) a b c 24 a b c 24 a b c 24     44 · · ·  4, dấu “=” xảy    (4) abc abc abc 32 84 24     40 hay (1)   (2)   (3)  (4)  a  b  c   ab bc ca abc 26 78 3D    40 bc ca 1 1   Do Mặt khác, từ giả thiết suy ca 12 bc 1 13 117 121 40  3D  26   78   3D   39  3D  D bc ca 12 12 Dấu đẳng thức xảy a  3, b  2, c  121 , đạt a  3, b  2, c  Vậy, giá trị nhỏ biểu thức D 12 2,0 điểm p  Với n  số nguyên tố p thỏa mãn Với  n  (2  1) n   n n   Suy n  Xét n  p  Do ( p  1) n  số lẻ bội n p 1 nên n số tự nhiên lẻ, n  p Gọi q ước nguyên tố nhỏ n Do q | ( p  1) n  nên ( p  1) n  1 mod q  ( p  1; q )  Do n, q lẻ nên (n ; q  1)  ; tồn u , v  ฀ * cho un  v(q  1)  Khi u lẻ un u  p  1  ( p  1)·( p  1)v ( q 1)  1   p  11v mod q   p  mod q  0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy q| p , p, qlà số nguyên tố nên q  p Từ đó, n  p suy n  p Vậy p p 1 p ước ( p  1)    (1) p k 1 Do số hạng p  C 1 k 2 k p pk pk  p k  pk C p  p   C p 1 p k   1  k 2  k p k 0,25 p k  chia hết cho p nên p    p  Bởi n  p  Kết luận: (n ; p )  {(2; 2), (3; 3)}  {(1; p ): p số nguyên tố} ThuVienDeThi.com 0,5 2,0 điểm A M B' N P J C' I Q B L C 1,0 điểm Do B, Q, P, M nằm đường tròn C , Q, P, N nằm đường tròn, nên ( BQ ; BM )  ( PQ ; PM )  ( PQ ; PC )  ( NQ ; NC ) mod   ( MQ ; MB)  ( PQ ; PB)  ( PQ ; PN )  (CQ ; CN ) mod   Từ suy BQM ~ NQC (2) Gọi I J theo thứ tự hình chiếu Q đường thẳng BM CN Khi đó, QI MB AB (2) nên (do MN ฀ BC )   QJ NC AC Từ đó, theo tính chất đường đối trung, Q nằm đường đối trung kẻ từ A tam giác ABC 1,0 điểm Gọi L giao điểm AP với BC Áp dụng định lý Céva cho tam giác ABC ta có MA LB NC    1 (1) MB LC NA MA NA LB  Do MN ฀ BC nên từ (1) suy  1 hay L trung điểm BC MB NC LC ฀ ฀ Do AQ đường đối trung nên BAQ  CAP kết hợp với tứ giác AIQJ nội tiếp nên ฀AQI  ฀AJI suy CAP ฀  ฀AJI  ฀AQI  BAQ ฀  900  AP  IJ (3) Do cách xác định điểm B ', C ' nên AB '  AC '  AQ hay tam giác AB ' C ' cân A , kết hợp với IJ đường trung bình tam giác QB ' C '  IJ ฀ B ' C ', AB '  AC ' (4) Từ (3), (4) suy AP đường trung trực đoạn B’C’ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ nằm đường thẳng AP hay nằm trung tuyến AL tam giác ABC 1,0 điểm Trước hết ta có nhận xét: Với số nguyên tố p ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 nÕu a; p   a p 1   (định lý Fermat) 0 nÕu a; p   p Do đó, ước chung lớn a, b, c suy a p 1  b p 1  c p 1  1, 2, mod p  Vậy, p ước nguyên tố a p 1  b p 1  c p 1 p  p  Từ đó, (a ; b ; c) n  đẹp a  b  c có ước nguyên tố 2, mod  a, b, c không chẵn nên a  b2  c  1, 2, mod  Do x3  0,  mod  a, b, c không chia hết a  b6  c  1, 2, mod  (2) Do x  0, 0,25 (1) Từ (1) (2) suy (a ; b ; c) n  đẹp a  b  c khơng chia hết cho Do a  b  c Bằng việc kiểm tra trực tiếp, thu (1; 1; 1) (1; 1; 4) n  đẹp với n  ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT không chuyên quảng ngãi NĂM HỌC 2015- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh...  a  b  c   ab bc ca abc 26 78 3D    40 bc ca 1 1   Do Mặt khác, từ giả thi? ??t suy ca 12 bc 1 13 117 121 40  3D  26   78   3D   39  3D  D bc ca 12 12 Dấu đẳng thức xảy a... ln1  ln x   x x        1   x   ln x   x  x  x   x ln x  x  x 3 x ThuVienDeThi.com  ,   x ;1 0,5 0,25 0,5     Do lim  x  x   lim x  x   x 0 x 0   x ln