Đề thi chọn HSG lớp 10 năm học 20112012 môn: Toán Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc50321

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm) (2 x  3) x   (2 y  3) y   (2 x  3)(2 y  3) Giải hệ phương trình:   y  x  xy Tìm tất hàm số f : A  A thoả mãn:   f ( x) f ( x  y )  f ( x)  y x, y  A f    x  x x Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p , q cho 7 p  p 7 q  4q  chia hết cho pq Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng  qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối tia CD tương ứng E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I1 , I I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Tiếp tuyến đường tròn ( I1 ) song song với CD (ở vị trí gần CD hơn) cắt  H Chứng minh H trực tâm tam giác I1 I I Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức L  abc    a 2b c Câu (1,0 điểm) Tìm tất tập hợp X tập tập hợp số nguyên dương thoả mãn tính chất: X chứa hai phần tử với m, n  X , m  n tồn k  X cho n  mk —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm (2 x  3) x   (2 y  3) y   (2 x  3)(2 y  3) (1)  (2)  y  x  xy 1 Điều kiện xác định: x  ; y  4 (2)  x  y (4 x  1)  0,5 x y  x    y  thay vào (1) ta y x x y  (2 y  3)  (2 x  3)(2 y  3) y x (2 x  3) Do (2 x  3) x y  (2 y  3)  (2 x  3)(2 x  3) y x 0,5 0,5 Suy (1)  x(2 x  3)  y (2 y  3)  ( x  y )(2 x  y  3)   x  y thay vào (2) ta  x  (lo¹i) x  x    x   y  2  0,5 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  2 2 1,0 điểm Ta có: f x  y   f x   y  f ( y )  f (0)  y y  A  f ( x)  a  x với a  f (0) 0,25 1 1 f    f (0)   a  x  x x x   f ( x) f (0)  x a  x  x  Mặt khác f     x x2 x x a ax  x   ax  a x   a  x x ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 Vậy f ( x)  x x  A 0,25 2,0 điểm p , q khác 2, Khơng tính tổng qt ta giả sử q  p Khi từ giả thiết ta 0,5 p  p  p q  4q  p TH1 p  p  p , theo định lí Fermat ta có: 0,5 p  p  mod p    mod p   p  TH2 q  4q  p , ta có  p  1, q    tồn số nguyên dương u , v cho qv   p  1u   q  4q mod p   qv  4qv mod p   1  p 1u 1  p 1u 4 mod p  0,5   mod p    mod p   p  Với p  , từ giả thiết ban đầu ta được: 7  43 7 q  4q  3q  9.31 7 q  4q  3q  q  3, q  31 0,5 Vậy  p , q  3, 3, 31, 3, 3, 31 2,0 điểm A B I1 H K I3 E D L I2 C F Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD đường tròn I1  cắt BC K đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD L, suy CKHL hình bình hành Do tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD  HL  AD  CK  AD  BC  BK  AB  CD  BK  AB  BK  CD  AH  HK  CD  AH  LC  CD  AH  DL Suy tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I )     Vì FD  KH ; FH  HA nên đường phân giác HI1 góc AHK FI góc HFD vng góc với nhau; hay I1 H  I I (Do F , I , I thẳng hàng) (1) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 Chứng minh tương tự, HI  EI hay I H  I1 I (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 4 3 4 a   a·    a    3, dấu đẳng thức xảy a  a a 4 a 9 1 9 b   b·    b    3, dấu đẳng thức xảy b  b b 2 b 16 16  16   c·    c    2, dấu đẳng thức xảy c  c c 4 c  3a b c      8 Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu (1) 4 a 2b c a b 3c Mặt khác, a  2b  3c  20 nên    (chia hai vế cho 4) (2) 4   13 Cộng (1) (2), vế đối vế, ta L  a  b  c   a 2b c Dấu đẳng thức xảy a  2, b  3, c  Vậy giá trị nhỏ biểu thức L 13, đạt a  2, b  3, c  1,0 điểm Giả sử tìm tập hợp X thỏa mãn m  n hai phần tử bé X Khi đó, cách xác định X nên tồn k  X cho n  mk Suy m  k  n k  m k  n Với k  n  n  m.n  m.n  vơ lí Với k  m  m  n  m3  m  +) Nếu | X | tập hợp X  m, m3 m  0,5 0,5 c   +) Nếu | X | , gọi q phần tử bé thứ ba X (tức m  n  q ) Khi tồn   X cho q  m Do q   nên   m   n Nếu   m q  m3  n , vơ lý Vậy   n  m3 q  m  m7 Nhưng tồn t  X cho q  nt , t  m Mà m  m  m3  m   X , vô lý   Vậy | X | X  m, m3 m  ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ... GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh. .. có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu... x   ax  a x   a  x x ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 Vậy f ( x)  x x  A 0,25 2,0 điểm p , q khác 2, Khơng tính tổng quát ta giả sử q  p Khi từ giả thi? ??t ta 0,5 p  p  p q  4q  p TH1