Dựng các đường thẳng Bx, Cy vuông góc với P a Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy biết BC=2a b L là điểm di động trên Bx, L phải ở vị trí nào để trên Cy[r]
(1)SỞ GD-ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (5 điểm) a) Tìm tất các số nguyên m cho phương trình x2+(m2-m)x-m3+1=0 có nghiệm nguyên log ( 1) x log ( 1) x 2 b) Giải bất phương trình: Bài (5 điểm) a) Giải phương trình: 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0 b) Cho các số thực x1, x2,…,xn thỏa mãn: sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn=a, với n là số a n(n 1) Xác định các giá trị x1, nguyên dương, a là số thực cho trước, x2,…,xn cho tổng sin2x1+2sin2x2+…+nsin2xn đạt giá trị lớn và tìm giá trị lớn này theo a và n Bài ( 4điểm) a) Cho số thực a,b,c thỏa mãn: abc=1 Chứng minh: 1 2 a (b c ) b (c a ) c (a b ) cot A(cot A cot B) A B 2 cot cot B A B 2 cot cot B b) Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân Bài ( 2điểm) Cho tam giác ABC trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm A’,B’,C’ cho AA’, BB’, CC” đồng qui điểm M Gọi S1,S2,S3 là các MA ' MB ' MC ' x, y, z MB MC diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt MA Chứng minh (y+z-1)S1+(x+z-1)S2+(x+y-1)S3=0 Bài u1 1 un2 un 1 un un Cho dãy {un}, n là số nguyên dương xác định sau: n 1 1 Tính u và chứng minh rằng: u +u +…+u n n Bài (2 điểm) Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có nghiệm x1,x2, x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a, b (2) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2000 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (2,5 điểm) Cho phương trình: x 34 x a ( x 1)( x 33) 1 a) Giải phương trình a=64 b) Tìm a để phương trình có nghiệm Bài (2,5 điểm) Cho số a1, b1 với o<b1= a1 <1 Lập dãy số (an), (bn) với n=1,2,… theo an 1 (an bn ), bn 1 an 1bn quy tắc sau: Tính liman và limbn Bài (2,5 điểm) Trong khôn gian cho tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và điểm A, B, C (khác điểm O) trên Ox, Oy, Oz Dãy số (an) là cấp số cộng có a1>0 và công sai d>0 Với số n nguyên dương trên các tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các điểm An, Bn, Cn cho OA=anOAn,OB=an+1OBn, OC=an+2OCn Chứng minh mặt phẳng (AnBnCn) luôn luôn qua đường thẳng cố định Bài (2,5 điểm) Tập hợp M gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng cho với điểm X thuộc M tồn đúng điểm thuộc M có khoảng cách đến X Hỏi tập hợp M có thể chứa ít bao nhiêu phần tử (3) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2000 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (5 điểm) Cho phương trình: cos3x+asinx.cosx+sin3x=0 a) Giải phương trình a= b) Với giá trị nào a thì phương trình có nghiệm Bài (5 điểm) Giả sử phương trình x3 + x2 +ax+b=0 có nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức a2 – 3b Bài (5 điểm) Tìm các đường tiệm cận đồ thị hàm số y a x x với a>0 Bài (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b, SA=SB=SC=SD=c K là hình chiếu vuông góc P xuống AC a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và BK b) Gọi M,N là trung điểm đoạn thẳng AK và CD Chứng minh các đường thẳng BM, MN vuông góc với (4) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Câu (2,5 điểm) Cho hàm số f: 0;1 0;1 0;1 liên tục trên đoạn , có đạo hàm khoảng (0;1) và f(0)=0, f(1)=1 a) Chứng minh tồn số c thuộc (0;1) cho f(c)=1-c b) Chứng minh tồn hai số a, b phân biệt thuộc (0;1) cho f’(a).f’(b)=1 Câu (2,5 điểm) Cho cặp số thực (x;y) thỏa mãn điều kiện x-2y+4=0 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x 12 y 45 x y 10 x 16 y 89 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M mặt phẳng cho: a) MA MB MC MB MC b) MA MB MB MC Bài (2 điểm) a) Chứng minh tan 21 u1 un un 1 (1 2)un b) Cho dãy số (un) xác định Tính u2006 (5) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (8 điểm) a) Giải phương trình x x x x 6 b) Tìm các giá trị a để hệ phương trình sau có đúng nghiệm: 2 x y 2(1 a) ( x y ) 4 Bài ( điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2), B(0;1); C(-2;1) a Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABC b Giả sử M là điểm chuyển động trên (T) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC luôn thuộc đường tròn cố định Viết phương trình đường tròn đó Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến thuộc các cạnh BC=a, CA=b,AB=c có ma mb mc mc c Chứng minh ( a b c) Bài (4 điểm) Cho hai số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 xy x y xy (6) SỞ GD-ĐT SÓC TRĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (2 điểm) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn điều kiện a, b và a+b=1 Chứng minh rằng: a b Bài (4 điểm) x y 65 2 Giải hệ phương trình x y y x 20 Bài (2 điểm) Tìm tất các hàm số f thỏa mãn: f(2-x)+x.f(x)=x ( x R \ 1 ) Bài (4 điểm) Giải phương trình tanx+tan2x+tan3x+cotx+cot2x+cot3x=6 Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có số đo các góc A,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 1 với công bội q=2 Chứng minh rằng: sin A sin B sin C Bài (4 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng với tâm O đáy Từ trung điểm I đường cao SO hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên (SBC), hai đoạn vuông góc này có độ dài là a và b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b (7) SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Câu 1 x2 Giải phương trình x x 2 3 x2 Câu Giải hệ phương trình 10 x y z 1 2003 2005 2007 1 x y z Câu 3 a) Chứng minh rằng: x4 +px+q 0 x 256q 27 p (*) b) Chứng minh p, q là nghiệm đúng (*) thì qx4+px3+1 0 x Câu Cho hàm số f ( x) x x m Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn và nhỏ 1;1 trên đoạn Câu Hai cạnh đối tứ diện có độ dài x, các cạnh khác có độ dài Với giá trị nào x để thể tích tứ diện đạt giá trị lớn (8) SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài 1 Chứng minh x và n là số nguyên dương ta có: Chứng minh với 0,x<1 và n nguyên dương ex x xn x x2 xn 2! n! 2ne Bài Tìm các giá trị tham số a cho phương trình sau có nghiệm: 4 x a log ( x x 3) x 2 x .log (2 x a 2) 0 Bài Đường chéo hình hộp chữ nhật, tạo với kích thước a,b,c các góc α,β,γ Gọi V a6 b6 c6 2178V 12 12 12 là thể tích hình hộp Chứng minh cos cos cos Bài Người ta sơn bề ngoài khối lập phương thành màu trắng và cưa thành 64 khối lập phương nhỏ Sau đó từ các khối lập phương nhỏ, người ta lại xếp để tạo lại khối lập phương cũ, lúc các khối lập phương nhỏ có thể thay đổi vị trí và quay Hỏi có bao nhiêu cách xếp các khối lập phương nhỏ để khối lập phương lớn có bề ngoài sơn màu trắng (9) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài Cho phương trình cos3x+asinxcosx+sin3x=0 a Giải phương trình a= b Với giá trị nào a thì phương trình có nghiệm Bài Giả sử phương trình x3+x2+ax+b=0 có nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức a2 – 3b Bài Cho hàm số x (1 cos ) f ( x ) x 0 x 0 x=0 a Tìm đạo hàm cảu hàm số và chứng minh hàm số đạt cự tiểu x=0 x (1 cos ) a x b Tìm số a nhỏ để: x 0 Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=b, SA=SB=SC=SD=c, K là hình chiếu vuông góc B xuống AC a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và BK b) Gọi M, N là trung điểm AK và CD Chứng minh các đường thẳng BM và MN vuông góc với (10) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT HÓA CHÂU Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Câu (1,5 điểm) x 1 lim Tính x cos x Câu (1,5 điểm) Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x-mcosx)=msin2x (1) 2 0; Tìm m để phương trình (1) có đúng nghiệm thuộc đoạn Câu (1,5 điểm) 2 Cho bất phương trình: log5 ( x 1) log (mx x m) (1) Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với giá trị x Câu (2 điểm) Từ tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b Người ta cắt bỏ hình vuông góc gò thành hình chữ nhật không có nắp Cạnh hình vuông căt phải bao nhiêu để hình hộp có thể tích lớn Câu (1,5 điểm) Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh số từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết là việc công bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư? a) Có bao nhiêu kết có thể, biết người giữ vé số 47 giải nhất? b) Có bao nhiêu kết có thể biết người giữ vé số 47 trúng giải? Câu (2 điểm) Tìm các đính B, C tam giác ABC biết tam giác ABC có A(-3;1), trực tâm ;1 H( ) và trọng tâm G(1;1) (11) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT TAM GIANG Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài (3,5 điểm) a) Giải phương trình: 3( x x 2) 10 x x x b) Chứng minh log8 log8 10 log8 11 log Bài (3,5 điểm) a) Với A, B, C là ba góc tam giác chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: A B C sin sin 2 x2 x b) Giải phương trình: x.3 ( x 1).3 x x 0 x2 x sin Bài (3 điểm) y 2x x với x>1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường cong (H): a) M là điểm tùy ý trên (H), tiếp tuyến (H) M cắt đường tiệm cận (H) điểm A và B Xác định vị trí M để diện tích tam giác OAB nhỏ b) Với I(1;1) và K là hình chiếu vuông góc M xuống đường thẳng y=x Tìm điểm cố định C cho: 2IK CM luôn là số dương không đổi M thay đổi trên (H) (12) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Bài x 2 ( 1) Giả sử x là nghiệm phương trình ( Chứng minh 1 2 cos đó x là nghiệm phương trình x x Bài 2 sin x 6sin x Giải phương trình: 4.16 2 , x 2 Bài 3 3 3 Cho a,b,c>0 chứng minh: 8(a b c ) a b b c c a Bài Trong mặt phẳng cho tia Ox và Oy và điểm M nằm tia đó Hãy xác định điểm A trên Ox cho MA kéo dài cắt Oy B thì tích MA.MB đạt giá trị nhỏ Bài Cho hàm số y=f(x) liên tục và thỏa mãn điều kiện: f(2x2-1)=2x.f(x), x R Chứng minh f(x)=0 x 1;1 (13) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Câu (3 điểm) Cho ABC là tam giác có góc nhọn Chứng minh rằng: t anA t anB t anC 1 tan B tan C tan A Tìm nghiệm phương trình: cos x s inx cos2 x sin x 0 thỏa mãn điều kiện 2007<x<2008 Câu (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y2-x2-8y2=2xy (1) Câu ( điểm) Cho tam giác ABC cân A, gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu H trên cạnh AC, M là trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc với BD Câu (3 điểm) Cho dãy số {un}; n=1,2,3, xác định sau: u1 1 un 1 un (un 1)(un 2)(un 3) n S n i 1 ui Đặt Tính lim S n Câu (3 điểm) Chứng minh bốn đường tròn có đường kính là bốn cạnh tứ giác lồi thì phủ kín tứ giác đã cho 2 n 1 2 n 1 2 n 1 C C C Chứng minh: ( 1) n 1 C22nn11 0 Câu (3 điểm) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn Giả sử P(9)=32078 Hãy xác định đa thức P(x) Cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện abc=1 Tìm giá trị nhỏ T bc ca bc 2 a b a c b c b a c a c 2b Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bwangf Biết A(2;3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d:3x-y-8=0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC (14) SỞ GD-ĐT THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT VINH LỘC Năm học 2008-2009 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài:180 phút Câu (3 điểm) Giải phương trình: cos13x+sin14x=1 Câu (3 điểm) sin x cos x 10 cos y Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn: Câu (3 điểm) Trong tất các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có f=cos2A+cos2B-cos2C lớn Câu (4 điểm) (1 42 x y ).51 x y 1 22 x y 1 Giải hệ phương trình: y x ln( y x) 0 Câu (3 điểm) Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n! n Chứng minh n 3,n N Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có A=900, C=600 Dựng các đường thẳng Bx, Cy vuông góc với (P) a) Xác định điểm M trên Bx cho mặt cầu đường kính BM tiếp xúc với Cy biết BC=2a b) L là điểm di động trên Bx, L phải vị trí nào để trên Cy có thể tìm N cho tam giác BLN vuông N? c) Trong các vị trí L câu b, hãy xác định vị trí cho hình chóp ABLNC có thể tích nhỏ (15)