Đang tải... (xem toàn văn)
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
TRƯỜNG THCS ĐỨC HỒ ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài 1: Thực phép tính( tính hợp lý có thể ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16
b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 +70)]}
Bài 2: M có số phương khơng : M = + + +…+ (2n-1) ( Với n N , n )
Bài 3: Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990)
b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho
Bài : So sánh A B biết :
A =
1 17
1 17
19 18
+ +
,
B =
1 17
1 17
18 17
+ +
Bài 5: Tím tất số nguyên n để:
a) Phân số
2
n n
+
− có giá trị số nguyên
b) Phân số
2 30
1 12
+ +
n n
phân số tối giản
Bài 6: Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C ( A B, CB ) Trên đoạn
thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300
a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC
c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz ĐÁP ÁN Bài 1. (2đ)
a) 16(123+ 321 - 44):16 = 400
b) 8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273}
=619
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : = 2n2 : = n 2
KL: M số phương
Bài 3. (1đ) a) Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận
19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận
Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho b) Gọi số tự nhiên liên tiếp : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + ) ; ( aN)
Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a +
Vì 4a ; không chia hết nên 4a+ không chia hết
Bài 4
Vì A =
1 17 17 19 18 + +
< A=
1 17 17 19 18 + + < 16 17 16 17 19 18 + + + + = (( )) 17 17 17 17 18 17 + + = 17 17 18 17 + + = B Bài 5.
a)
2
n n
+
− số nguyên ( n+1) (n-2)
Ta có (n+1) = (n− +2) 3
Vậy (n+1) (n-2) 3(n-2) (n-2) Ư(3) = − −3; 1;1;3
=> n −1;1;3;5 b) Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 ( dN* ) 12n+1d,30n+2d
5(12n+1)−2(30n+2) d (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d =
Vậy phân số cho tối giản
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C :
AC= AD + CD = 4+3 = cm
Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC
Ta có đẳng thức : ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD =550 – 300 = 250
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD
Tính ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
- Trường hợp :Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA
Đề số
Bài 1( điểm )
1 Tìm chữ số tận số sau: a) 571999
b) 931999
2 Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh A chia hết cho
3 Cho phân số
b a
( a<b) thêm m đơn vị vào tử mẫu phân số lớn hay bé
b a
?
4 Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396
5 Chứng minh rằng:
a) 64 32 16 − + − + − b) 16 3 100 99 3 3 100 99
2 + − + + −
−
Bài 2( điểm )
Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a
b) Xác định điểm M tia Ox cho OM =
2
(a+b)
ĐÁP ÁN Bài 1:
1) Tìm chữ số tận số sau: ( điểm )
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận (0,25đ)
Vậy số 571999 có chữ số tận : b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27
Suy chữ số tận (0,25đ) 2) Cho A = 9999931999 - 5555571997 chứng minh A chia hết cho
Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận (0,25đ)
Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho (0,25đ) 3) (1điểm) Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m) (0,25đ)
ab + am < ab + bm ( cộng hai vế với ab) (0,25đ) a(b + m) < b( a+m)
m b m a b a + +
4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số đơi khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng chúng 1+2+3=6
Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh
A = 155*710*4*16 chia hết cho ; 11 Thật :
+A số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho (0,25đ) + A tổng chữ số chia hết cho :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*) = 30+ = 36 chia hết cho (0,25đ)
+ A 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1) – (5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – = (0,25đ)
Vậy A 396 5(4 điểm )
a) (2 điểm ) Đặt A= 2 3 4 5 6
2 2 2 64 32 16 − + − + − = − + − +
− (0,25đ)
2A= 2 3 4 5
2 2 2
1− + − + − (0,5đ) 2A+A =3A = 1-
2 2 6 −
= (0,75đ) 3A < A <
3
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Đặt A= 2 3 4 99 100
3 100 99 3 3
1− + − + + −
3A= 1- 2 3 3 98 99
3 100 99 3 3
2− + − + + −
(0,5đ)
4A = 1- 2 3 98 99 100
3 100 3 3
1+ − + + − −
4A< 1- 2 3 98 99
3 3
1+ − + + −
(1) 0,5đ) Đặt B= 1- 2 3 98 99
3 3
1+ − + + −
3B= 2+ 2 97 98
3 3
1− + + −
(0,5đ)
4B = B+3B= 3- 99
3
< B <
4
(2)
Từ (1)và (2) 4A < B <
4
A <
16
(0,5đ)
Bài 2 ( điểm )
a) (1 điểm )Vì OB < OA ( b<a) nên tia Ox điểm B nằm điểm O điểm A Do đó: OB + OA = OA
Từ suy ra: AB = a – b
b)(1 điểm )Vì M nằm tia Ox
OM = 1(a b) a b 2b a b b a b
2 2
+ + − −
+ = = = + = OB + OA OB OB AB
2
2 = +
−
M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM
Đề số
Bài 1: (5,0 điểm) Cho A – 5= 50 48+546 −544+ +5 - 56 4+52 −1. a) Tính A
b) Tìm số tự nhiên n biết n
26.A 1+ =5 c) Tìm số dư phép chia A cho 100
Bài 2: (3,0 điểm).Tìm số tự nhiên x ,biết:
( )
9 2 –1 225
) + + + + ++ =
a x
x x x x x 2015 2019
b) 2 +2 + +2 + +2 + + +2 + =2 −8.
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12+ = +x y
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
Bài 5: (4,0 điểm)
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2) Vẽ đoạn thẳng AB =6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC BD+ =9cm
a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) a A – 5= 50 48 +546 −544 + +5 - 56 4+ −1. 25A – 5= 2( 50 48+546 −544+ +5 - 4+52−1.)
50
52 48 46
– 5 5 5 +5 - 5 + 5 5 .
= + − + −
Suy 25A A+ =552−1 Vậy A =(552−1 : 26)
b) Ta có 26.A 1+ =5n mà 26A=552−1 nên 552− + =1 5n Suy 552 =5n =n 52.Vậy n=52
c) A – 5= 50 48 +546−544 + +5 - 56 4+ −1. ( có 26 số hạng) – 5=( 50 48) (+ 546 −544)+ + - 5( 4)+ 52−1
( 50 48) ( 46 44) ( 4) ( )
– 5= + −5 + + - + −1
( ) 44 ( ) ( ) ( )
48 2
5= –1 +5 –1 + +5 –1 + −1
48 44
.24 24
5= + + +5 24+ 24.
46 42
.25.24 25
5= + 24+ +5 25.24+ 24
( )
46 42 46 42
.600 600 600+ 6.100
= + + +5 24 = +5 + + +24 Suy A chia cho 100 dư 24
Bài 2:
( )
a) 9+ + + + ++ 2 –1x =225
Với x N ta có 2x – số lẻ
Đặt A = + + + + +…+ 2x – 1( )
A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x –1–1 : x) + = (Số hạng)
( )
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
x 15
= Vậy x = 15
x x x x x 2015 2019
.
b) 2 +2 + +2 + +2 + + +2 + =2 −8
2 2 2x + x + x +2 2x + +2 2x 2015 =22019 −2 3
2 2x ( + +22 +23 + +22015) =23 2( 2016 −1 )
Đặt M 2= + + + + 23 +22015
Ta 2.M= +2 22 + +23 2 4 +22016 Suy M =22016 −1
Vậy ta có 2 2x ( 2016 − =1) 2 23 ( 2016 −1 )
x
2 2 x 3
= = Vậy x =3 Bài 3:
a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab cũng chia hết cho 37 Ta có abc 37100.abc 37abc00 37
(ab 1000 c00 37+ ) ab 999+(c00 ab+ ) 37 (ab 999 cab 37+ )
Mà ab 999=ab 37.27 37 cab 37
Vậy abc 37thì cab 37
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12+ = +x y
Ta có x.y 12+ = + x y x.y x− − +y 12=0 x y 1( − − +) y 12=0 x y 1( − − − + =) (y 1) 11 0 (x y 1− ) ( − = −) 11 1( ) Vì x, yZ nên x 1− Z; y 1− Z
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Các ước -11 -11; -1;1;11
+) Với x 1− = −11thì y 1.− = Suy x= −10; y = 2 ( Thỏa mãn)
+) Với x 1− = −1thì y 11.− = Suy x=0; y = 12 ( Thỏa mãn)
+) Với x 1− = y 1− = −11.Suy x=2; y = -10 ( Thỏa mãn)
+) Với x 11− = y 1− = −1.Suy x=12; y = 0 ( Thỏa mãn)
Vậy (x; y) ( − 10; ; 0;12 ; 2; 10 ; 12; ) ( ) ( − ) ( )
Bài :
Vì a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư Nên a ;a ; a− − −4 ; a 7−
+a ;a+2 ; a ; a+ +4 7 +a 11 ;a 11 ; a 11 ; a 11 7+ + + + a 11 BC 2;3;5;7 ( )
Mà a số tự nhiên nhỏ
+a 11=BCNN 2;3;5;7 ( ) Mà số 2; 3; 5; nguyên tố BCNN 2;3;5;7( )=2.3.5.7=210 + =a 11 210.
=a 199.
Vậy số tự nhiên cần tìm 199
Bài
1. 1) – Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng :
+ Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm lại ta vẽ
được 29 đường thẳng
+ Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng
+ Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
(29.30 : 2) =435 đường thẳng
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng – Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ
( )
a a : 2− đường thẳng
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm
( )
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Theo ta có : a a : 1( − ) − =435 421 14− =
a a 1( − =) 30=6.5
Vì a-1 a hai số tự nhiên liên tiếp a a− nên a =6. 2)
a) Chứng tỏ D nằm A C
Vì D nằm A B nên: AD DB+ =AB Thay AB =6 cm ta có AD+DB=6 cm
Lại có AC+DB=9 cm AD DB+ AC DB+ hay ADAC Trên tia AB có : ADACsuy D nằm A C
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Vì D nằm A C suy AD+DC= AC.
Lại có AC+DB=9 cm, suy AD+DC+DB=9cm Hay (AD DB+ )+DC=9cm
Thay AD+DB=6 cm, ta có 6cm DC+ =9 cm( ) Vậy DC= cm( )
Đề số Bài 1 (5 điểm)
1): Rút gọn biểu thức sau: M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016 Bài 2 (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết:
1 + + + + + … + (2x – ) = 225
Bài 3: (5 điểm)
a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N) Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y =
Bài 4: (4 điểm)
Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng
Bài 5 (3 điểm)
Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
ĐÁP ÁN Bài
M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016
B C D
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + … + 32016 – 32017
3M + M = + (32 – 32) + (33 – 33)+ … + (32016 – 32016) – 32017 4M = + + + . + – 32017
4M = – 32017 M = (3 – 32017) :
Bài
Với x N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + + … + (2x – 1)
A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng) A = [(2x – 1) + 1] x : = x2
Mà A = 225 x2 = 225 = 152
x = 15 Vậy x = 15
Bài 3.
a) Vì 3a + 2b 17 10(3a + 2b) 17 (30a + 20b) 17
(30a + 3b + 17b) 17 [3(10a + b) + 17b] 17 Vì 17b 17
3(10a + b) 17
10a + b 17 (vì 17 nguyên tố nhau) b) xy + x – y =
x(y + 1) – y =
x(y + 1) – y – + = x(y + 1) - ( y + ) + 1= ( y + )( x – 1) + = ( y + 1)( x – 1)=
Vì x, y số nguyên nên y + 1,x – ước Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -1 y + = -3 x = y = -4 Nếu x -1 = y + = x = y = Nếu x -1 = -3 y + = -1 x = -2 y = -2
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Bài
Giả sử 20 điểm khơng có điểm thẳng hàng Gọi 20 điểm A1, A2, A3, ,A20
Vì qua điểm ta vẽ đường thẳng nên
Qua điểm A1 điểm 19 điểm lại A2, A3, ,A20 ta vẽ 19 đường thẳng
Qua điểm A2 điểm 18 điểm lại A3, A4, ,A20 ta vẽ 18 đường thẳng
… …
Qua điểm A19 điểm A20 ta vẽ đường thẳng
Do số đường thẳng tạo thành là: + + + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : = 190 ( đường thẳng)
Với a điểm khơng có điểm thẳng hàng ta có số đường thẳng tạo thành + + + +( a – 1) = (a- 1) a:
Với a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng
Vậy 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng sổ đưởng thẳng giảm ( a- 1).a: - = 190 – 170
( a- 1).a: - = 20 ( a- 1).a: = 21 ( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7
Mà a-1 a số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = a =7 Vậy a =
Bài
Gọi số phải tìm a a = 2k + a = 3q + a = 5m + a = 7r + (k, q, m, r N)
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210
a + 11 = 210 a = 210 – 11 a = 199 Vậy a = 199
Đề số
Câu 1: (2điểm)
Cho 2: tậo hợp A = n N | n (n + 1) ≤12 B = x Z | | x | < 3
a Tìm giao tập hợp
b có tích ab (với a A; b B) tạo thành, cho biết tích ước
Câu 2: ( 3điểm)
a Cho C = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ C chia hết cho 40
b Cho số 0; 1; 3; 5; 7; Hỏi thiết lập số có chữ số chia hết cho từ sáu chữ số cho
Câu 3: (3điểm)
Tính tuổi anh em biết 5/8 tuổi anh 3/4 tuổi em năm 1/2 tuổi anh 3/8 tuổi em năm
Câu 4: (2điểm)
a Cho góc xoy có số đo 1000 Vẽ tia oz cho góc zoy = 350 Tính góc xoz trường hợp
b Diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác
ĐÁP ÁN Câu 1: Liệt kê phần từ tập hợp
a A = 0, 1, 2, 3 B = - 2, -1, 0, 1, 2, A ∩ B = 0, 1, 2,
b Có 20 tích tạo thành
-2 -1 0 0 0 -2 -1 2 -4 -2 -6 -3
Những tích ước 6: ±1; ±2 ; ±3 ; ±6
Câu 2:
a B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 = 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) : 40
b Mỗi số có dạng: abc0 , abc5 Với abc0
- Có cách chọn chữ số hạng nghìn (vì chữ số hàng nghìn khơng phải số 0) - Có cách chọn chữ số hàng trăm
- Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số
Với abc5 Cách chọn tương tự có 180 số Vậy ta thiết lập 360 số có chữ số chia hết cho
từ chữ số cho
Câu 3: 1/2 tuổi anh 3/8 tuổi em năm Vậy tuổi anh 6/8 tuổi em 14 năm Mà 5/8 tuổi anh lớn 3/4 tuổi em năm,
nên – 5/8 = 3/8 tuổi anh = 14 – = 12 năm Vậy tuổi anh là: 12 : 3/8 = 32 tuổi 3/4 tuổi em 32 – 14 = 18 tuổi Tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi
Câu 4:
a, Có cách vẽ tia OZ (có hình vẽ)
Góc XOZ = 650 1350 b, Có thể diễn tả trung điểm M đoạn thẳng AB cách khác M trung điểm MA+MB=AB MA=MB=AB/2
(14)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -