[toanmath.com] Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc

[toanmath.com] Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc tài liệu,...

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN THI: TỐN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO (Đề thi có 01 trang) Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất giá trị m để y  m x3   m  1 x   m   x  đồng biến  2,   3 b) Cho hàm số y  x  2mx  m   Cm  , với m tham số thực Xác định tất giá trị m để hàm số  Cm  có ba điểm cực trị đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác có góc tù Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình sin x    cos x b) Cho A tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0, 2, 3, 5, 6, Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập A Tính xác suất để số lấy có chữ số chữ số khơng đứng cạnh ì ï x3 - y + x - y + 14 x - y = -9 ï Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình í (x, y Ỵ  ) ï x y = y ï ï ỵ Câu (1,5 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trình  d1  : x  y   Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình  d  : x  y  23  Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hoành độ dương   600 , Câu (1,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với điểm G trọng tâm tam giác BCD Góc SA mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng DC SA theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức: S x  y  z 1 2   x  1 y  1 z  1 -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO (Đáp án có 05 trang) ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN THI: TỐN KHỐI 12 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học khơng gian thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý a Nội dung trình bày Điểm 1,25 Hàm số đồng biến /  2,    y  mx   m  1 x   m    x  (1)  m  x  1    2 x  x   g  x   2 x   m x   x  12  0,25 0,25    Ta có: g   x   2x  x  32    x  x1   ; lim g  x   ( x  x  3)  x  x2   x 0,25 0, Từ BBT  Max g  x   g    Vậy m  3 x2 b 1,25 Tập xác định D   Ta có y '  x  4mx  x  x  m  Khi hàm số  Cm  có điểm cực trị 0,25 y '  có nghiệm phân biệt  x  m  có nghiệm phân biệt khác m0 Phương trình y '   x  0, x   m Giả sử điểm cực trị đồ thị hàm số  Cm     A, B, C Khi A  0; m  1 , B  m ;  m  m  , C  m ;  m2  m  0,25   AB  m ;  m ; AC m ;  m Tam giác ABC cân A, nên có góc tù     900  AB; AC  cos AB; AC            AB  AC m  m4        1  m3   m  (Do m  ) m  m4 AB AC 0,5 0,25 Kết luận: < m < a Phương trình tương đương:  sin x     cos x 0,25 3 cos x  sin x  2 0,25    cos  x    3     x   12  k   x     k  0,25 k   0,25 Vậy phương trình có nghiệm x    12  k x     k ( k   ) b n (W) = 5.5! 0,25 Gọi số cần tìm a1a2a 3a 4a 5a (trong Î {0, 2,3,5, 6,8} ) 0,25 TH1: đứng cạnh vị trí a1, a2 có 4! số TH2: đứng cạnh vị trí lại có 4.2!4! số 0,25 Vậy xác suất để số lấy có chữ số chữ số không đứng cạnh là: P= 0,25 5.5!- (4!+ 4.2.4!) 16 = 5.5! 25 1,5 Điều kiện: 1  x  1;0  y  Ta có (1)   y  1   y  1   x     x   3 0,5 Xét hàm số f (t )  t  2t , ta có f '(t )  3t   0, t    f (t ) đồng biến  0,25 Vậy (1)  f ( y  1)  f ( x  2)  y  x  Thế vào (2) ta  x   x   x   (3) Đặt t   x   x , t    x  t2  2 0,5 t  (l ) t 2  t    t  2t    Khi  3  t  2 Với t    x   x    x   x  x  Với x  suy y  Vậy hệ có nghiệm  y 1 0,25 1,5 d2: 3x - 4y - 23 = A(5; -7) M B I D N C d1 : x - y + = Gọi C  c; c    d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC  d     c  10 c  10  ; Ta có  AIM đồng dạng CID  CI  AI  CI  IA  I     c  10 c  10 Mà I  d nên ta có:   23   c  3 Vậy C(1;5) 3t    3t  23   Ta có: M  d  M  t ;   B  2t  5;        3t     3t  19  AB   2t  10;  , CB   2t  6;      t    Do AB.CB    t   t  3   3t   3t  19     29 t   0,5 0,25 0,25 0,5  B (3; 3) (loai )  33 21     33 21   B ;  B  ;   5   5  1,5 Gọi O tâm đáy Theo ta có : S   600 , Góc SAC AO  3 a  AC  3a, AG  a H 0,5 B Suy SG  AG tan 600  2a C G O E A D Diện tích hình thoi ABCD S ABCD  1 3a.a  AC.BD  a 2 0,25 3 Vậy VS ABCD  S ABCD SG  a 3 Gọi E  BG  CD Ta có CD / / AB  CD / / mp ( SAB )  d (CD , SA)  d (CD, ( SAB ))  d ( E , ( SAB ))  d (G , ( SAB )) 0,5 Do tam giác BDC nên BE  CD  BE  AB Do kẻ GH  SB, H  SB Suy GH  ( SAB )  d (G , ( SAB ))  GH Trong tam giác vng SBG ta có Vậy d (CD, SA)  1 13 2a       GH  2 GH GB GS a 4a 4a 13 0,25 3a 13 Sử dụng BĐT cô-si cho số dương ta có: a b c 3  a  1 b  1 c  1    , dấu xảy a  b  c   Mặt khác a  b  c    a  b  c  1 , dấu xảy a  b  c 1 0,25 Đặt t  x  y  z   , ta có S  f (t )  54   f t  t  t  3 54 162 , t  , f '(t )    ; f '(t )   t   t t t  2 t  2 Suy f max  f (4)  1 Vậy ta có S max   a  b  c  4 -Hết 0,25 0,25 0,25 ...TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO (Đáp án có 05 trang) ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN THI: TỐN KHỐI 12 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình... chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học khơng gian thí sinh khơng vẽ hình phần khơng... sin x  2 0,25    cos  x    3     x   12  k   x     k  0,25 k   0,25 Vậy phương trình có nghiệm x    12  k x     k ( k   ) b n (W) = 5.5! 0,25 Gọi