PHỊNG GD&ĐT NAM TRỰC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) - x3 - x2 - x ÷: Cho biểu thức B = (với x ≠ ±1 ) 1-x 1-x-x +x 1) Rút gọn biểu thức B 2) Tìm giá trị x để B < 3) Tính giá trị biểu thức B với x thỏa mãn: x - = Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x + 3x + 4x + 3x + = 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3xy – 2y2 = Bài 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y2 ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức: Q = 2x + x + 3y + y2 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E 1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC 2) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị khơng đổi 3) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’ H trực tâm HA' HB' HC' + + 1) Tính tổng AA' BB' CC' 2) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM IN theo thứ tự phân giác ·AIC AIB · Chứng minh : AN.BI.CM = BN.IC.AM Bài 6: (2,0 điểm) Cần dùng bìa hình trịn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết khơng cắt bìa PHỊNG GD&ĐT NAM TRỰC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Nội dung 1) Với x ≠ ±1 thì: )( ) ) (1+x ) (1-x+x ( ) -x (1+x ) ( 1-x A= 1+x+x -x : 1+x 0,5 ( )( ) ) (1+x ) (1-2x+x ) ( 1-x = x +1 : = x +1 : 1+x 1,0 1-x ) (1-x ) ( (4,0đ) Điểm ( ) ( ) (1-x ) = x +1 ( 0,5 ) 2) Với x ≠ ±1 B < x +1 ( 1-x ) < (1) 0,25 0,5 Vì ( x +1) > với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > Vậy B < x > 0,25 0,5 0,25 0,25 3) Với x - = x = -1; x = Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x ≠ ±1 Tại x = thỏa mãn điều kiện x ≠ ±1 Tính B = - 656 1) x + 3x + 4x + 3x + = (4,0đ) Ta thấy x = không nghiệm PT Chia hai vế phương trình cho x2 ≠ 0, ta x + 3x + + ⇔ x2 + x + x2 0,5 =0 1 + x + ÷ ÷+ = x2 x 0,5 1 = y x + = y2 – 2, ta PT: y2 + 3y + = (*) x x Giải (*) y1= -1 ; y2 = -2 Với y1= -1 ta có x + = -1 nên x2 + x + = PT vơ nghiệm x Với y1= -2 ta có x + = -2 nên ( x+1) = , x = -1 x Vậy S= { −1} 0,5 Đặt x + 0,25 0,25 2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = ⇔ x + xy − xy − y = ⇔ x( x + y) − y( x + y) = ⇔ (2 x − y)( x + y ) = Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên ước Mà = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau: 2x-y -1 x+2y -7 x 1,8(loại) -1,8(loại) y 2,6(loại) -2,6(loại) 0,5 0,5 -1 -7 -1 -3 0,75 Vậy nghiệm phương trình ( x, y ) ∈ { (3; −1);(−3;1)} Ta có Q = 2x + = 2x + + 3y + 2 x y x + 3y + y + + x y2 = x + ÷+3 y + ÷+ + ÷ x y x y ( 2đ ) 0,25 Ta có x + ÷ ≥ 2.2 = Dấu “=” xảy x =1 ⇔ x =1 ( Vì x > 0) x y + ÷ ≥ 3.2 = Dấu “=” xảy y =1 ⇔ y =1 ( Vì y > 0) y + ≥ (gt) Khi x =1 ; y =1 dấu “=” xảy x y => Q ≥ + + = 19 Vậy giá trị nhỏ Q 19 x = y =1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 E D A M Q B P I H C 1) Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (g-g) EB ED (4,0đ) - Từ suy EC = EA ⇒ EA.EB = ED.EC 2) Kẻ MI vng góc với BC ( I ∈ BC ) Ta có ∆ BIM đồng dạng với ∆ BDC (g-g) BM BI ⇒ = ⇒ BM BD = BI BC (1) BC BD CM CI = ⇒ CM CA = CI BC (2) Tương tự: ∆ ACB đồng dạng với ∆ ICM (g-g) ⇒ BC CA Từ (1) (2) suy BM BD + CM CA = BI BC + CI BC = BC ( BI + CI ) = BC (không đổi) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3) Chứng minh ∆ BHD đồng dạng với ∆ DHC (g-g) 0,5 ⇒ 0,25 BH BD BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC · · - Chứng minh ∆ DPB đồng dạng với ∆ CQD (c-g-c) ⇒ BDP = DCQ · · · · mà BDP + PDC = 90o ⇒ CQ ⊥ PD + PDC = 90o ⇒ DCQ 0,5 0,25 HA ' BC S HBC HA ' = = 1) ' S ABC AA ' BC AA S HAB HC S HAC HB ' = = tương tự: ; S ABC CC ' S ABC BB ' Suy ra: ( 4đ ) (2đ) HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC 2) Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác: ABC; ABI; AIC BI AB AN AI CM IC = = = ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 Suy ra: IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM = IC.NB.MA Giả sử ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh, tam giác ABC chia thành tam giác có cạnh Gọi I, J, K điểm cạnh BC, CA AB cho IC = JA = KB =1 Ba đường trịn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình trịn phủ tam giác nhỏ) Như dùng bìa phủ kín tam giác ABC Số bìa phải dùng 3, ngược lại phải có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình trịn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà cho điểm tương đương 0.5 0.5 0.75 0,25 0,75 0,75 0,5 ... x+2y nguyên ước Mà = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau: 2x-y -1 x+2y -7 x 1 ,8( loại) -1 ,8( loại) y 2,6(loại) -2,6(loại) 0,5 0,5 -1 -7 -1 -3 0,75 Vậy nghiệm phương trình ( x, y ) ∈...PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Nội dung 1) Với x ≠ ±1 thì: )( ) )