đề thi hsg toán lớp 7 huyện hoằng hóa

đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá Năm học: 20122013 Câu 1(4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức :
b Tìm x biết :
c Tìm x, y biết rằng :
Câu 2 (4,5 điểm) a Tìm đa thức M biết rằng :
b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
c Tìm x, y, z biết :
và x – y + z = 49 Câu 3 (5,0 điểm) a Tìm hai số hữu tỷ a và b biết
b Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức :
c Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương. Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A : (ABD, (ACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. a Chứng minh DM = AH b Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB. Hết độc quyền DT7

đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá

Năm học: 2012-2013

Câu 1(4,5 điểm)

a/ Tính giá trị biểu thức : 1 1 1

2 3,5 : 4 3 7,5

M       

b/ Tìm x biết : 2x  32  16

c/ Tìm x, y biết rằng : 2x 520123y 42014 0

Câu 2 (4,5 điểm)

a/ Tìm đa thức M biết rằng : M 5x2  2xy  6x2  9xy y 2

b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2

2 2

3 2

x y B

x y

 



  c/ Tìm x, y, z biết : ;

2 3 5 4

x y y z

  và x – y + z = 49

Câu 3 (5,0 điểm)

a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết a b  2a b  a b:

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M  2012  x  2013  x

c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng

Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác vuông tại A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH

a/ Chứng minh DM = AH

b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE

Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC M là một điểm nằm trong tam giác sao

cho MA : MB : MC = 3:4:5 Tính số đo góc AMB

Hết

Đáp án Toán 7

Câu 1

M              

35 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155 69



1,5

b/    

2 2 2

2 3 16

x

x





Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5

1,5 c/ 2x 520123y 42014  0

Ta có :  

2012

2012 2014 2014

x

y







Mà 2x 520123y 42014  0=> 2x 520123y 42014  0

=>  

2012

2014

1 2

1

3

x x











Vậy

1 2 2 1 1 3

x

y









 



1,5

Câu 2

4,5

a/ M5x2  2xy  6x2  9xy y 2 M  6x2  9xy y 2  5x2  2xy

=> M  6x2  9xy y 2  5x2  2xy x 2  11xy y 2

1,5 b/

1

B

B lớn nhất khi x2 y2  2 nhỏ nhất

Ta có

2

2 2 2

0

2 2 0

x

x y y

 



   







=> x2 y2  2 nhỏ nhất bằng 2, khi x =

y = 0

Khi đó B lớn nhất = 3 1

1

2 2

1,5

c/ ;

2 3 5 4

x y y z

10 15 15 12

x y y z

  =>

49 7

10 15 12 10 15 12 7

x y z x y z  

 

=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84

1,5

Câu 3

5,0 a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: a b  2a b  a b: (1)

Từ a b  2a b   a b 2a 2b a 3ba 3b

4

a b a b    b b  b b  b  b

=> 3 9

3.

4 4

a 

;

a b

2,0

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M  2012  x  2013  x

Sử dụng : A  B A B Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu (*)

Ta có :

1,5

3 2 1

5a

4a

3a N

M

C B

A

M   x   x   x  x   x x    

Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤

2013

Nhận xét :

Nếu số chính phơng chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia

hết cho a2

Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phơng

- Xét trờng hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k

=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002

Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho

2 => A chia hết cho 4

Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không

chia hết cho 4(loại)

- Xét trờng hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1

=> A là số chính phơng lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia

cho 4 d 1

Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 d 3 ( loại)

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng

1,5

Câu 4

4,0

Hình vẽ

H

I

4 3

2 1

1

1

N

M

E

D

C B

A

a/ Chứng minh DM = AH

Xét MAD và HBA có

AMD BHA  (gt) (1)

AD = AB (gt) (2)

 

 

 

0

1 1

1 2 0

1 2

90 90

D A

D A

A A



 



(3)

Từ 1,2,3 => MAD = HBA (Cạnh huyền – góc nhọn)

=> DM = AH ( Hai cạnh tơng ứng)(ĐPCM) (4)

2,0

b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE

Chứng minh tơng tự câu a => EN = AH (5)

Gọi giao điểm của MN và DE là I

C/m đợc : MID = NIE (Cạnh góc vuông – góc nhọn)

 ID = IE (Hai cạnh tơng ứng)

 I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE

(ĐPCM)

2,0

2 2

2 2

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

























Câu 5

2,0

Do MA MB MC : : 3: 4 : 5

=> Đặt

MA MB MC

a

=> MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a

Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều

AMN => AM = AN = MN = 3a và AMN 60 0

Xét ABN và ACM có

AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2)

 

 

 

0

1 2

1 3 0

2 3

60 60

A A

A A

A A



 



(3)

Từ 1,2,3 => ABN = ACM (c.g.c)

=> BN = CN = 5a

Xét BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2

BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2

=> BN2 = BM2 + MN2 =>  BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo)

=> NMB 90 0

Suy ra : AMB AMN NMB     90 0  60 0  150 0

2,0

Phòng giáo dục và đào tạo

Thời gian làm bài : 120 phú t( không kể thời gian giao đề)

Bài 1( 4.0 điểm):

a) Cho biểu thức : M a 2ab b Tính giá trị của M với a  1 , 5; b = - 0,75

b) Xác định dấu của c, biết rằng 2a3bc trái dấu với  3a5b3c2

Bài 2( 4.0 điểm):

a) Tìm các số x, y, z biết rằng: ;3 5

4 3

z y y x



 và 2x – 3y + z = 6

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau :

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

























Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2

a) Hãy tính : f(0) ; f( 21 )

b) Chứng minh : f(x – 1) = f(1 – x)

Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM Qua A

kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB

và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng:

2005 1980

1

) 25 (

1

27 2

1 26 1 1

2005 25

1

) 1980 (

1

1982 2

1 1981 1 1





























m m

B

n n

A

a) BD // CE

b) DE = BD + CE

Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng:

Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng

Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao

cho: CD = 2 BD Chứng minh rằng:  1 

2

BAD CAD Hết

Phòng giáo dục và đào tạo

Hoằng hóa

Hớng dẫn chấm toán lơp 7

Cõu

1

(4,0đ)

a.(2.5đ) Ta cú: a  1 , 5  a  1 , 5 hoặc a  1 , 5

Với a = 1,5 và b = -0,75 thỡ M a 2ab b = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0

Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thỡ M a 2ab b = 23

b (1.5đ) Do 2a3bc và  3a5b3c2 trỏi dấu nờn : a 0;b 0;c 0

bc

a3

2 ( 3a5b3c2) < 0

8 4 3 8 4 3

6a b c 0 a b c 0

    ( vỡ a8b4 > 0 với mọi a 0;b 0 )

Vậy c > 0 tức là mang dấu dương

0.5đ 1.0đ 1.0đ

0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

Cõu

2

(4,0

đ)

a( 2.0đ)

3 4 9 12 3 5 12 20

9 12 20 18 36 20

Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú:

3 2

6 20 36 18

3 2 20 36

3 18

2

















x

Suy ra x = 27; y = 36; z = 60

b.(2đ) Từ giả thiết suy ra

0.5đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

H D

E

A

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b a

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

a







































































1

2 1

2 1

2 1

2

* Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);

c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)

Khi đó M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4

* Nếu a + b + c + d  0 thì a1 b1 1c d1 nên a = b = c = d

Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4

0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ

Câu

3

(3,0

đ)

a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2;

f( 12) = 2 – ) 2

2

1

b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2

do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau

Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x)

1.0đ 1.0đ

0.25 đ 0.25 đ 0.5đ

Câu

4

(4,0

đ)

a (2,5đ) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh

huyền của tam giác vuông: MA = MB

Gọi H là giao điểm của MD và AB

Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy

nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB

Chứng minh được MBD  MAD(c.c.c)

suy ra góc MBD = góc MAD = 900;

do đó DB  BC

Tương tự ta có : EC  BC

Vậy BD // CE (vì cùng vuông góc với BC), đpcm

b (1,5đ) Theo câu a, DB = DA

Tương tự, EC = EA

Suy ra DE = DA + AE = BD + CE

0.5đ

0.5đ 0.25đ

0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ

Câu

5

(3,0

Ta có :

0.25đ

3 2 1

1 M

E

D B

C A

đ)

) 25

1 1

( 25

1 ) 25

(

1

) 1980

1 1

( 1980

1 ) 1980

(

1

m m

m m

n n

n n

















Áp dụng tính A và B ta được:

1980 1 1981 2 1982 25 2005

1980 1 2 25 1981 1982 2005

25 1 26 2 27 1980 2005

25 1 2 1980 26 27 2005

[( ) (

25 1 2 25 1981 1982

A

B

)]

2005

 Vậy :251 3965

1980

1





B A

0.25đ

0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ

0.5đ 0.5đ

Câu

6

(2,0

đ)

Gọi M là trung điểm của DC Trên tia đối của tia MA

lấy điểm E sao cho ME = MA

Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau

Vì MD = MC, MA = ME, AMC EMD 

Nên DE = AC, và góc  

3

A DEM Mặt khác ,

 

1

D B( theo tính chất góc ngoài tam giác)

mà B C   ( vì tam giác ABC cân, đáy BC)

nên  

1

D C suy ra AC > AD

Từ đó DE > DA, suy ra  

2

A DEM ,hay  

2 3

A  A

Vì  

3 1

A A ( do ABDACM) nên góc    

A A A A hay   

2A A A

Suy ra  1 

2

BAD CAD

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

Chú ý :

1 Học sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa

2 Bài hình không vẽ hình, hoặc vẽ sai thì không chấm điểm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu 1: (4,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức A 4 2 :2 3 3 :2

b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với 1

2

x 

c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: x y

3 7;

2 5 và x + y + z = - 110.

Câu 2: (4,5 điểm)

a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:

4 : 25 5 7 x 3 : 3,2 4,5.11 31 : 211

110

1

20

1 12

1 6

1 2

1























c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn:

x 1 + (y + 2)20 = 0

Câu 3: (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số

của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác

ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của

AB và DC

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE

b) Chứng minh rằng: DIB = 600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng

AMN đều

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:

* a1 là số dương

* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương

* Tổng của 20 số đó là số âm

Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12

Hết

Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh::

SBD

Giám thị 1: Giám thị

2:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN.

CÂU 1

(4,5đ)

a (1,5)

     

Vậy : A = 0

0,75 đ 0,5đ 0,25đ

b (1,5) Vì

1 2

x  nên x = 1

2 hoặc x = -

1 2 Với x = 1

2 thì: A = 2.(

1

2)

2 – 3 1

2 + 1 = 0 Với x = - 1

2 thì: A = 2.(-

1

2)

2 – 3.(-1

2 ) + 1 = 3

0,75 đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Vậy : A=0 với x = 1

2 và A=3 với x = -

1 2

c

(1,5)

3  7 6 14 ;

2  5 14 35 Suy ra

6 14 35 

Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:

6 14 35 

Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70

Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70

0,5đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

CÂU 2

(4,5đ)

a

(1,5)

2) Ta cú: 4 : 25 5 7 41 18 7 2 7 5

9 18 9 41   

Lạicú:

Do đú: - 5 < x < 2

5



mà x  Z nờn x {-4; -3; -2; -1}

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b

(2,0)

a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn  0 nên vế phải  0 suy ra 11x  0 hay x  0

với x  0 ta có:

suy ra x = 1- 1

11 =

10

11(TM) Vậy:x = 10

11

0,75đ

0,75đ 0,25đ 0,25đ

c

(1,0)

1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0  x 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y

Kết hợp x 1+ (y + 2)20 = 0 suy ra x 1= 0 và (y + 2)20 = 0

 x = 1; y = - 2

Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057

Vậy C=2057

0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ

CÂU 3

(3,5đ)

a

(1,5)

Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c9

Ta có 1  a + b + c  27 Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9,

do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27

a b c a b c 

   Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18

Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9

Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn,

vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936

0,25 đ

0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b

(2,0)

Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x Với x < 0 thì x + x = 0 Do đó x + x luôn là số chẵn với  xZ

Áp dụng nhận xét trên thì b 45 + b – 45 là số chẵn với b  Z

Suy ra 2a + 37 là số chẵn  2a lẻ  a = 0 Khi đó b 45 + b – 45 = 38

+ Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38  0 = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19  b = 64 (TM) vậy (a; b) = (0; 64)

0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ CÂU 4

(6,0đ)

a

A

D

E

Ta có: AD = AB; DAC BAE và AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c)

0,75 đ 0,25 đ

b

(1,5)

Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC  ,

mà BKI AKD (đối đỉnh)

Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 600 (đpcm)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c

(1,5)

I K A

D

E

M

N J

Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN và ACM AEN

ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN và CAM EAN

MAN CAE = 600 Do đó AMN đều

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

d (2,0)

Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB  BIJ đều  BJ = BI và

JBI DBA = 600 suy ra IBA JBD , kết hợp BA = BD

IBA = JBD (c.g.c)  AIB DJB  = 1200 mà BID = 600

DIA

 = 600 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE

CÂU 5

(1,5đ) (1,5)

Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13

> 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0

Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 => a13 + a14 < 0

Mặt khác, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0

Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 < 0 => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm)

0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ

Chú ý:

+)Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm

+)Câu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giá trị trừ 0,1 điểm

+)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm