tich phan boi vi phan nhieu bien

í ộ í é ụ í ú s ợ ị ĩ tí é tí t ủ tí é ết ổ ế số tr tí é tí tí é tr ệ t ộ ề tr ệ t ộ ự ột số ứ ụ tí é ộ ệ ề tí é t ọ t tể ìtrụ ột t tể t ột t trụ ó s s s ột t ọ s s t ó t q ột ể ét t tể ì trụ t ột t trụ ó s s s t z = f (x, y) tr ó tụ í tể tí ủ t tể ì trụ ó tí f (x, y) ọ ột ủ t tể ề tế ì ủ trụ t ữ trụ ề t tr t t ọ t ệ tí ủ ó ợ ỏ ọ S1 , S2 , Sn ột ỏ ự t trụ t q ó s s s í tr t t tể ì f (xi , yi )Si f (xi , yi ) Si ợ t Si (i = 1, 2, 3, ) ỗ ỏ ó tí trụ n ế V = ề ì trụ Si f (xi , yi ) rt ỏ tì ó Si f (x, y) ỏ tì ỏ r tụ tr Vi = f (xi , yi )Si tể tí t trụ ề rt ó tể tể tí tể Mi (xi , yi ) tể tí ì trụ t ó trị ủ ó Si tể t ột ể tỳ ý ủ t tể ì trụ ỏ tứ ỉ ọ t z = f (x, y) Vi ế ỉ f (xi , yi )Si i=1 Pé tí ú í ế n ỏ ó tể tí t tể V = lim max di Si f (xi , yi )Si , di = i=1 max d(z1 , z2 ) z1 , z2 Si ị ĩ tí é z = f (x, y) ị tr ề ữ tr t ề t ỏ ệ t ệ tí ủ ó Si (i = 1, 2, 3, ) S1 , S2 , Sn t ột ể tỳ ý Mi (xi , yi ) n f (x1 , y1 )S1 + f (x2 , y2 )S2 + + f (xn , yn )Sn = f (x, y) tr ỗ tổ In = f (xi , yi )Si In i=1 ợ ọ tổ tí ủ t í tr ề n s max di In tớ ột ị ụ tộ ề ể Si ỗ M (xi , yi ) tr f (x, y) tr tì ọ tí é ủ f (x, y)dS ề í ệ D n f (x, y)dS = lim f (xi , yi )Si max di i=1 D f (x, y) ợ ọ tí ọ ề tí ế tố ệ tí tì t ó r x, y f (x, y) ế tí ế tồ t tí tí tr ề f (x, y) t ứ ợ r ế f (x, y)dS tụ tr tì D tồ t tứ f (x, y) tí tr ú tí ế f (x, y) t ọ M (x, y) D tì tí é tể V = f (x, y)dS (2) tí ì trụ t ét tr tứ D í ý ĩ ì ọ ủ tí é ì trị tí é ụ tộ ề t ó tể ó ỗ ỏ dS = dxdy Si s trụ t ộ ó ột ì ữ t t ó ó t ó n f (x, y)dxdy = lim max di D ũ s tí f (xi , yi )Si i=1 tí ị tí é ỉ ụ tộ tí ề tí ụ f (x, y)dxdy = tộ ế tí tứ D f (u, v)dudv (3) D í t ủ tí é D D D kf (x, y)dxdy = k f (x, y)dxdy D k st D ế t ề f (x, y)dxdy = D D1 , D2 tì f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D1 ế g(x, y)dxdy f (x, y)dxdy + [f (x, y) + g(x, y)]dxdy = S D1 ệ tí ề tì S = dxdy ó tứ tí D ệ tí ề ế f (x, y) g(x, y) f (x, y)dxdy tì g(x, y)dxdy D ế D m = f (x, y), M = max f (x, y), D tì D mS f (x, y)dxdy MS D ị í ề trị tr ì ế f (x.y) t tì tr ó t ột ể tụ tr ề (, ) dxdy = s D f (, )S r ó ề ợ ọ t ế ó tể ố ể t ì ủ ó ột tụ t tr ề ề t ợ ọ ế ủ ó ỉ ột tụ ợ ọ ề ị ế ủ ó tụ tí tí é tr t ộ ề ề ì ữ t ị í sử D = [a, b] ì [c, d] f : D R tí tr ó ế ọ x [a, b] y f (x, y) tí tr [c, d]tì d x I(x) = f (x, y)dy tí tr [a, b] b d [ a D b I(x)dx = f (x, y)dy]dx a ế ọ f (x, y)dxdy = c y [c, d] x f (x, y) tí tr [a, b]tì d x I(x) = f (x, y)dy tí tr [c, d] d D d J(y)dx = b [ c f (x, y)dxdy = f (x, y)dx]dy c a ứ ứ [a, b], [c, d] a = x < x1 < ể < xn = b, c < y0 < y1 < < yn = d xi = [xi , xi+1 , yk = [yk , yk+1 ] t Dik = xi ì yi , (i = 0, 1, , n 1, k = 0, 1, , m 1) mik = inf (x,y)Dik f (x, y), ó t ó Mik = inf (x,y)Dik f (x, y) (x, y) Dik mik f (x, y) Mik yk+1 [xi , xi+1 ] t ó mik yk f (i , y)dy Mik yk yk m1 tổ t từ ế m1 d mik yk t ó f (i , y)dy c k=0 m1 Mik yk k=0 ế n1 rồ tổ t từ ế m1 xi i=0 xi n1 mik yk k=0 n1 n1 I(i )xi i=0 m1 xi i=0 t ợ Mik yk k=0 s ế ế ố t tứ tự tổ r S tr I(x) ủ số f (x, y) ì max yk s S tổ r tí tr max xi f (x, y)dxdy ề tớ D n1 lim I(i )xi = max xi i=0 b D b I(x)dx = d [ a f (x, y)dxdy f (x, y)dy]dx a ị í ợ ứ c tự tr t ó ị ị í sử D = {(x, y) : a số tí tr tí tr x b, y1 (x) y y2 (x)}, y1 , y2 y2 (x) x [a, b] [a, b], y1 (x) sử f ột D ế x [a, b] số y f (x, y) tí tr y2 (x) [y1 (x), y2 (x)] tì số x I(x) = f (x, y)dy tí tr [a, b] y1 (x) ó t ó b f (x, y)dxdy = b I(x)dx = [ a D y2 (x) f (x, y)dy]dx a y1 (x) ứ ì y , y2 c, y2 (x) tí tr [a, b] d x [a, b] tồ ó Q = [a, b] ì [c, d] t D t số c, d s ủ ì y1 (x) ữ t F (x, y) = t f (x, y) (x, y) D (x, y) /D ế ế õ r F tí tr ì ữ t Q f (x, y)dxdy = D b f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy = t ị í t ó Q F (x, y)dy]dx c y2 (x) f (x, y)dy = t ó [ a Q d d c b f (x, y)dxdy = ó t ó y2 (x) [ a D f (x, y)dy y1 (x) f (x, y)dy]dx P y1 (x) t t tự t ó ết q s ị í sử D = {(x, y) : c số tí tr ột tí tr D y d, x1 (y) [c, d], x1 (y) ế x x2 (y)}, x1 , x2 x2 (y) y [c, d] sử f y [c, d] số yx f (x, y) tí x2 (y) tr [x1 (y), x2 (y)] tì số y J(y) = f (x, y)dy tí x1 (y) tr [c, d] ó t ó d f (x, y)dxdy = D d J(y)dy = c x2 (y) [ c f (x, y)dx]dy x1 (y) í tí é dxdy (5) sử tí tí é D tr ó ì ữ t a x b, c y tết t d f (x, y) f (x, y) tụ tr t ọ ể (x, y) D ó tí é số tể tí ủ t trụ ó s s s ó í r t z = f (x, y) S(x) ệ tí b tết ệ ó t x [a, b] tì V = dxdy = S(x)dx a D S(x) [c, d] f (x, y)dy t í ệ tí ì t ó d ó trì z = f (x, y) t ó S(x) = c t ó b f (x, y)dxdy = d [ a D b f (x, y)dy]dx f (x, y)dxdy = c d dx a D t ứ ợ tí ú f (x, y) d 0(x, y) D f (x, y) dxdy = t ũ ó D tụ b dy f (x, y)dx c a ệ tí tí é ề tí tí tế d f (x, y)dy tí t số c ú tí ế f (x, y) = f1 (x)f2 (y) ì ữ t tì a x b f (x, y)dxdy = D f1 (x)f2 (y)dxdy = D y d d dx a b, c f1 (x)f2 (y)dy c b f (x, y)dxdy = D d f1 (x)dx a tr trờ f2 (y)dy c ợ tí é tí ủ f (x, y)d c tí í ụ (x2 +y )dxdy í tr ó ì ữ t x 1, y D ó I= ( dx 1 (x +y ) = 0 y3 (x y + ) y=1 dx = y=0 (x2 + )dx = x3 + x) = 3 í ụ xy dxdy í D tr ó ì ữ t ì f (x, y) = xy I= 1, x y t tứ t ó x2 xdx y dy = 2 y3 35 35 = = ề ề t ì f (x, y)dxdy sử tí tí é tr ó ề D ị y1 (x), y2 (x) t tứ é a x b, y1 (x) tụ trị tr [a, b] y (x) f (x, y) tụ tr ế 0, (x, y) D f (x, y) tì t tự tr t ó V = dxdy = D b S(x)dx tr ó a trì S(x) ệ tí ì t ó z = f (x, y) số ò [y1 (x), y2 (x)] y2 (x) S(x) = f (x, y)dy tứ y1 (x) b f (x, y)dxdy = t ó dx a D tứ tr ú ế x ề (y) y2 (x) ị x1 (y), x2 (y) 0(x, y) D f (x, y) f (x, y)dy y1 (x) tứ é tụ c y trị f (x, y) d, tr tụ x1 (y) [c, d] f (x, y) tụ tr í t tự t f (x, y)dxdy = ó D d x2 (y) dy f (x, y)dx c x1 (y) ú ý sử ỗ t s s ề t ủ ề t ề t ể ự ì ữ t a ể ủ ó tế ú t x b, c P y d ó P t P P ó trì t tứ y = y1 (x), y = y2 (x) ự ể ủ t P ó trì t tứ tự x = x1 (y), x = x2 (y) f (x, y)dxdy trờ ợ t ó tể tí tr t tứ D s s ết q t ợ b y2 (x) dx a d f (x, y)dy = y1 (x) x2 (y) dy c f (x, y)dx x1 (y) tứ ổ tứ tự tí í ụ f (x, y)dxdy ị tr tí é D y = 0, y = x, x = a ề ề y = 0, y = x2 , x + y = t ó tể ể ễ ề tứ é , , , n ó ể ú Ti r ỗ Mi (i , i , i ) t ọ i tr t Ti n ế ó ủ tổ Mi i Ti ì ế ể t tệ t ũ í ệ n ứ ự t tế ủ t ủ ó tr t ú Pi (i , i ) ột ể tỳ ý Ti s í t i=1 tr í di i ủ tớ ợ ọ ệ tí t tí ọ i ó ữ t tế t Mi Ti ủ t ó t ó i cos i Mi pi , qi , 1 ; Ti = cos i = + p2i + qi2 Ti = t t tứ ó ữ trụ ữ ệ số ỉ ủ tế t tr ó pi = zx (Mi ), qi = zy (Mi ) + p2i + qi2 i , ệ tí ủ tổ ó p = zx , q = zy tụ í tí é ủ + p2i + qi2 dxdy S= i = Ti cos i n t s ị + p2i + qi2 n i=1 ó t ó + p2i + qi2 i max di ĩ tí ì é tr ề t ó D í ụ trụ í ệ tí ủ t rt x2 + y = z = x2 + y ị t t ó zx = 2x, zy = 2y + zx + zy = + 4(x2 + y ) tứ ệ tí t t ó ó t + 4(x2 + y )dxdy S= tr ó D trò x2 + y tr t ể s t ộ ự t ó 1+ S= 4r2 rdrd = D = (1 + 4r2 ) 12 1 + 4r2 rdr = d = (5 1) ứ ụ ọ ủ tí é í ố ợ ủ ỏ t ột ỏ ế ột ề ố ợ r t ể ột tụ tr D (x, y) D D tr t ó = (x, y) (x, y) tr ó ỏ t ỏ ọ t ệ tí ỏ ó i ó ột ể tỳ ý ỏ i tr ỏ i i , , , n Pi (i , i ) ì = (x, y) r ỗ ỏ tụ tr ỗ é t ó tể ố ợ r t ọ ể ổ (xi , yi ) ó t ó tể ố ợ ỏ ỉ tổ tí Mn = n i=1 (xi , yi )i ỏ tớ ế n Mn s í t ủ tớ ột ữ M tì M ố ợ t ó M= (x, y)dxdy D í ụ ì ố ợ ủ ột ì trò í ết r ố ợ r từ (x, y) P (x, y) ủ t ỗ ể tớ t ủ P (x, y) ủ ó tỷ ệ t ọ ó ệ trụ t ộ x2 + y (x, y) = k s ố t ủ tr ó ệ số tỷ ệ tr t ó k x2 + y dxdy ổ s t ộ ự t ó M= ó t M = R d R 2k d = k = kR3 M = kR3 í q tí ủ q tí ủ ột t ể ố ợ m t t ể P (x, y) ợt ố trụ ố t ộ Ix = my , Iy = mx2 , I0 = m(x2 + y ) ế ét ột t ế ột ề (x, y) ố ợ r t ể D ột tụ tr (x, y) D tr t = (x, y) tr ó ó ự ự tí é tứ t ó y (x, y)dxdy Ix = D x2 (x, y)dxdy Iy = D (x2 + y )(x, y)dxdy I0 = D ú ý r tứ ế (x, y) = tì t ợ tứ tí q tí ì ọ ủ ì í ụ í q tí y = x, x = 0, y = (x, y) t ể ủ ột D ố trụ ế ố ợ r ủ (x, y) = y x2 (x, y)dxdy = Iy = ó = í ụ 1x x2 ydy = x2 (1 x)dx = dx D 0 x2 y 2 1x dx = 24 í q tí ủ ì x y + = 1, x = 0, y = a b ố ố t ộ ó (x2 + y )(x, y)dxdy I0 = tr t ợ D b (ax) a (x2 + y )dy = a I0 = dx a 0 a y3 (x y + ) 3 b (ax) a dx = b 1b ab(a + b ) [ x2 (a x) + (a x)3 ]dx = a 3a 12 tĩ t ộ tr t ủ ột ệ t ể ợt ó ố ợ t t ể P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ), , Pn (xn , yn ) m1 , m2 , , mn ó tĩ n ủ ệ ố trụ Mx = yi mi , n My = i=1 xi mi i=1 t ộ trọ t ủ ó n n xi mi xc = i=1 n yi m i , yc = i=1 n mi i=1 mi i=1 ế t t ế ột ề t ó ố ợ r t ể (x, y) D D tr t = (x, y) tr ó (x, y) D ột tụ tr ó t tứ tr t ự tí é t ợ tứ tí tĩ ố trụ t ộ trọ t ủ s Mx = y(x, y)dxdy, D x(x, y)dxdy D x(x, y)dxdy xc = D = My M = Mx M (x, y)dxdy D x(x, y)dxdy yc = D (x, y)dxdy D ế t ết S xc = st tì t ộ tr t ó tể xdxdy yc = S D xdxdy tr ó D ệ tí ủ ề í ụ ột ột t ó ó OA = a, OB = b ố ợ r t ỗ ể từ ể ó tớ tí tĩ ủ ố OA ọ ệ trụ t ộ s ứ t ó ố ợ rủ t ể M (x, y) OA ứ (x, y) = y OB tĩ a ủ ố OA Mx = y(x, y)dxdy = D a y3 b a b x dx = a b (b x)3 dx = ab3 a 12 b(1 dx ó x ) a y dy = í ụì t ộ trọ t ủ ì t y = 4x + 4, y = 2x + rớ ết t t ì ó ố ứ trụ ỉ tí xc xdxdy = D ó t ó xc = S (4y ) dy dx = (y 4) xdxdy = D y )2 t ó S= yc = 2 (y 4)2 ]dy = 16 2 ( y2 y2 )dy = (4y ) xdx = dy (y 4) [ (4 í ộ í ụ í ú s ợ ị ĩ tí ộ tí t ủ tí ộ ết ổ ế số tr tí é tí tí é tr ệ t ộ ề tr ệ t ộ trụ ệ t ộ ột số ứ ụ tí ộ ộ ệ t í ố ợ ủ ột t tể ũ r ố ợ r ủ ó t ể (x, y, z) r ó t tể V (x, y, z) Vi ố ợ V (x, y, z) ủ ế Vi tr Mi (xi , yi , zi ) tụ ố ợ r t ỗ ể ỉ (xi , yi , zi ) = (Mi ) (Mi )Vi ó ố ủ n i=1 (Mi )Vi Pé tí ú í ó ố ợ n m Vi ỏ ủ t tể ế ó ủ tổ tr s í t tr í ủ ế ỏ tớ n M= ết = (M ) = V1 , V2 , , Vn t ột ể tỳ ý ó tể t tể t ột tụ tr ề ữ Vi (i = 1, 2, , n) mi ột tỳ ý t ế ỏ ỗ ế ỏ ì tr M (x, y, z) V ọ t tể tí ủ ữ ế ỏ ỗ ế lim max di (Mi )Vi i=1 ị ĩ tí ộ số f (x, y, z) ị tr ột ề ó ộ ề V ột t tể tí ề ỏ tỳ ý n t V1 , V1 , , Vn ề V ủ ỏ ọ r ỗ ề n Vi ột ể M (xi , yi , zi ) ổ In = f (xi , yi , zi )Vi ợ ọ i=1 f (x, y, z) tổ tí ủ số n ế ị I ề s tr ề max di ụ tộ ề Vi In V V tớ ột ọ ể tì ó ọ tí ộ ủ số tr ề V f (x, y, z)dV ợ í ệ Mi tr y = f (x, y, z) V ế tí tr ề V ó tr tồ t t ó r số f (x, y, z) tí t ứ ợ r ế f (x, y, z) tụ tr ề ị ó tì ó tí tr ề ế f (x, y, z) = dV tì tể tí ủ ề V V ì dV = dxdydz f (x, y, z)dV = t ó V f (x, y, z)dxdydz V tí tí ộ tr ệ t ộ ề í tí ộ I = f (x, y, z)dxdydz r ó V f (x, y, z) tụ tr ề ế ề V t z = z1 (x, y), z = z2 (x, y) ế ủ ề V z = z1 (x, y), z = z2 (x, y) ữ số tụ tr ề tr t tì t ó z2 (x,y) I= dxdy D f (x, y, z)dz z1 (x,y) tr ó D ì t ế ề ợ y1 (x), y2 (x) số tụ tr b I= y2 (x) dx y1 (x) t ợ f (x, y, z)dz z1 (x,y) dxdydz V (1 + x + y + z)3 I= tí [a, b] tr ó z2 (x,y) dy a í ụ y = y1 (x), y = y2 (x) ề t V x+y+z =1 t t ộ ề V ị t tứ x 1, x0 z 1xy 1x (1 + x + y + z) dx 0t í ụ t tứ t ó I= dx dy = z=0 0 1x dx 0 1xy dy z=1xy y 1x dx (1 + x + y + 1 [ ]dy = (1 + x + y)2 x 1 ( )dx = ln2 4 1+x 16 í I = zdxdydz ột ì t V z=0 t R x2 y z= ọ D ì ế ủ ị ó t ó I= dxdy t R2 x2 y = D V z=0 ó t trò R2 x2 y dxdy D ể s t ộ ự ể tí tí é tr t ợ I= 2 R d 0 (R2 r2 )rdr = (R2 r2 )2 R R4 = P ổ ế số tr tí ộ tứ ổ ế số tr tí ộ ét tí f (x, y, z)dxdydz ộ tr ó f (x, y, z) V tụ tr tự ệ é ổ ế số x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) (32)z = z(u, v, w) sử r t ó ề ệ s x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ữ tụ ù r ủ ú tr ột ề ó ủ tứ ị ột s từ ề ề ủ ị tứ tr xu xv xw D(x, y, z) J= = yu yv yw = D(u, v, w) zu zv zw ó t ó f (x, y, z)dxdydz = f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J|dudvdw V V í tí ộ tr ệ t ộ trụ ộ trụ ủ ột ể số (r, , z) tr ó (r, ) M (x, y, z) t ộ tr ộ ự ủ ể M (x, y) ì ế ủ ể t ó ọ ể ủ t ó r 0, (x, y, z) < 2, < z < + t ộ trụ (r, , z) ố ệ ữ t ộ ề ủ ể tứ x = r cos y = r sin (34) z=z r ế 0, < 2, < z < + tì tứ ị ột s ữ t ộ ề t ộ trụ ể tr trụ r = 0, cos r sin D(x, y, z) cos r sin =r J= = sin r cos = sin r cos D(u, v, w) 0 ó z ế ị r=0 tỳ ý ị tứ ủ é ế ổ f (x, y, z)dxdydz = từ tú t ó V f (r cos , r sin V tứ tí tí ộ tr ệ t ộ trụ í ụ í x2 + y zdxdydz I = ột ề ì trụ V t x2 + y = 2y, z = 0, z = a ể s t ộ trụ tứ x = r cos y = r sin z=z a ó I= r zdrddz = r drd V a2 r 16a2 í ụ D sin í 2 x + y = 2y 4a2 d = zdz ó a2 I = 4a2 sin d = (x2 + y + z )dxdydz I = V sin r2 dr = d 0 tr ó ề (1 cos2 ) sin d = tr ó ề ó trò t z = x2 + y , z = a ể s t ộ trụ t ó a I= (r + z )rdrddz = V I= a d (r2 +z )dz = (ar3 + a d r a = ó t ó a rdr r=a tr ố r D ề trò (r2 + z )dz rdrd ar 3a r4 )dr = 3 10 z3 rdr(r z + ) z=a = z=r í tí tr ệ t ộ ộ ủ ột ể số (r, , ) ế ủ tr ó M M (x, y, z) M (x, y, z) r = OM, t t ó ó ữ trụ r < , 0 tr ộ ó ữ OM , OM M ì ọ ể tứ ệ ữ t ộ ề t ộ x = r sin cos y = r sin sin (36) z = r cos ế r > 0, , tì tứ tr ị ột s ữ t ề t ộ ó r = 0, , ể ố t ộ tỳ ý ò ữ ể tr trụ ó r ị ò =0 = , sin cos r cos cos r sin sin J = sin sin r cos sin r sin cos = r2 sin cos r sin r = sin = tỳ ý ị tứ ủ ó ế t ó f (r sin cos , r sin sin , r cos )r2 sin drdd f (x, y, z)dxdydz = V V tứ tí tí ộ tr ệ t ộ í ụ í I = x2 + y + z V t dxdydz x2 + y + z = 1, V tr ó ề x2 + y + z = t ể s t ộ t ó I= r sin drdd tr ó V V I= d sin d rdr = 2.2 = 0 ị í ụ r í 2, 2, t ó (x2 + y )dxdydz I= V r ó V ề ị x2 + y + z R2 , z ể s t ộ t ợ r4 sin3 drdd V I= V r sin3 d R ì tr ị I= d R, , ó R5 4R5 r dr = = 15 ứ ụ ủ tí ộ tì trọ t t tể t tể tr tể t M (x, y, z) (x, y, z) ế ố ợ r ủ t tì ố ợ r ủ t tể ợ tứ m = (x, y, z)dxdydz ộ trọ t ủ t V tể tứ xG = m yG = m z = G m ế t tể t tì x(x, y, z)dxdydz V y(x, y, z)dxdydz (37) V z(x, y, z)dxdydz V ổ ó t ó x = G V yG = V z = G V xdxdydz V ydxdydz (38) V zdxdydz V r ó tể tí t tể í ụ ị tr t t tể t t ó x2 y = (z > 0) t z2 x2 + y + z = t tế ủ t ó t ợ ị z 2z = z = 2 ó í é t ủ z2 = ể tr tế ột ó ể s t ộ ể tí zG tí ố ứ t ó xG = yG = t tứ t ó r2 sin drdd V = V ề V ị r 1, sin d ó t ó r2 dr V = 0 V = d ó zG = d = r3 dr = 8(2 2) (2 2) r cos r2 sin drdd = V sin cos d 2 zdxdydz = ũ t ó , [...]... ố ợ r ủ ó t ể (x, y, z) r ó t tể V (x, y, z) Vi ố ợ V (x, y, z) ủ ế Vi tr Mi (xi , yi , zi ) tụ ố ợ r t ỗ ể ỉ (xi , yi , zi ) = (Mi ) (Mi )Vi ó ố ủ n i=1 (Mi )Vi Pé tí ú í ớ ó ố ợ n m Vi ỏ ủ t tể ớ ế ó ủ tổ tr s ờ í ớ t tr ờ í ủ ế ỏ tớ n M= ết = (M ) = V1 , V2 , , Vn t ột ể tỳ ý ó tể t tể t ột tụ tr ề ữ Vi (i = 1, 2, , n) mi ồ ột tỳ ý t ế ỏ ỗ ế ... ỗ ế ỏ ì tr M (x, y, z) V ọ t tể tí ủ ữ ế ỏ ỗ ế lim max di 0 (Mi )Vi i=1 ị ĩ tí ộ số f (x, y, z) ị tr ột ề ó ớ ộ ề V ột t tể tí ề ỏ tỳ ý n t V1 , V1 , , Vn ề V ủ ỏ ọ r ỗ ề n Vi ột ể M (xi , yi , zi ) ổ In = f (xi , yi , zi )Vi ợ ọ i=1 f (x, y, z) tổ tí ủ số n ế ị I ề s tr ề max di 0 ụ tộ ề Vi In V V tớ ột ớ ọ ể tì ớ ó ọ tí ộ ủ số tr ề V f (x, y, z)dV ... t tể V (x, y, z) Vi ố ợ V (x, y, z) ủ ế Vi tr Mi (xi , yi , zi ) tụ ố ợ r t ỗ ể ỉ (xi , yi , zi ) = (Mi ) (Mi )Vi ó ố ủ n i=1 (Mi )Vi Pé tí ú í ó ố ợ n m Vi ỏ ủ t tể ... , V1 , , Vn ề V ủ ỏ ọ r ỗ ề n Vi ột ể M (xi , yi , zi ) ổ In = f (xi , yi , zi )Vi ợ ọ i=1 f (x, y, z) tổ tí ủ số n ế ị I ề s tr ề max di ụ tộ ề Vi In V V tớ ột ọ ể tì ó... ý ó tể t tể t ột tụ tr ề ữ Vi (i = 1, 2, , n) mi ột tỳ ý t ế ỏ ỗ ế ỏ ì tr M (x, y, z) V ọ t tể tí ủ ữ ế ỏ ỗ ế lim max di (Mi )Vi i=1 ị ĩ tí ộ số f (x, y, z)