THÔNG TIN TÀI LIỆU
Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz MỤC LỤC Trang Mục lục A PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Ý nghĩa việc thực đề tài Bản đồ tư B PHẦN NỘI DUNG: I/Các kiến thức bản: II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳngrthường gặp: 2 4 Daïng 2: Daïng 3: Daïng 4: Daïng 5: Daïng 6: Daïng 7: Daïng 8: Daïng 9: Daïng 10: Daïng 11: Daïng 12: Daïng 13: Daïng 14: Daïng 15: Daïng 16: Daïng 17: Daïng 18: Dạng 19: Dạng 20: Viết pt mp (P) qua Avà // mp (Q) Viết pt mp(P) qua Avà vuông góc với đường thẳng (d) Viết pt mp (P) qua A vuông góc với mp(Q) , mp(R) Viết pt mp (P) qua điểm A,B,C không thẳng hàng Viết pt mp (P) qua A,B vuông góc mp (Q) Viết pt mp (P) qua A ;vuông góc mp(Q) song song với dt (d) Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song Viết pt mp (P) trung trực AB Viết pt mp (P) chứa (d) qua A Viết pt mp (P) chứa (d) song song dt (d’) Viết pt mp(P) chứa (d) vuông (Q) Viết pt mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h Viết pt mp (P) chứa (d) d(A,(P))=h Viết pt mp(P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 Viết pt mp (P) chứa (d) hợp với ( ∆ )một góc α ≠ 900 Cho A (d), viết pt mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn Viết pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) Viết pt mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi) cho trước Dạng 21: Viết pt mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) Dạng 22: Viết pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến làđường tròn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trước) Dạng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C)có bán kính nhỏ 5 6 8 9 10 11 12 12 C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI D.KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 16 16 Dạng 1: Viết PT mp qua A có VTPT Người thực hiện: n Nguyễn Bá Tường - Trang - 13 13 14 15 Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz 1.Đề tài: Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz cho học sinh khối 12 2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Khi học đến chương phương pháp tọa độ không gian học sinh thường gặp khó khăn gặp tốn viết phương trình mặt phẳng dạng phương trình mặt phẳng có nhiều dạng Để giúp học sinh giải tốt tập viết phương trình mặt phẳng thường gặp chương trình lớp 12 nên tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz” II Ý nghĩa việc thực đề tài: Do đặc điểm lớp 12 năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức học tập trang bị kiến thức cần thiết cho kỳ thi vào cuối năm học Nhằm giúp em giải tốt dạng tập viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz chương trình học lớp 12 Qua q trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tơi thấy học sinh thường lúng túng trước toán viết phương trình mặt phẳng, khơng định hướng giải quyết, hệ thống số dạng tập yêu cầu học sinh phải nắm vững từ viết phương trình mặt phẳng chương trình TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào cao so với trường tỉnh chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu năm chiềm tỉ lệ 5% Với đề tài “Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz” giúp học sinh khơng bị lúng túng trước tốn viết phương trình mặt phẳng chương trình Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz B PHẦN NỘI DUNG I/Các kiến thức bản: Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ kiến thức sau: + Sự liên hệ cặp vectơ phương tuyến (VTPT): r r (VTCP) vectơ pháp r r rr mặt phẳng (P) có cặp vectơ phương a; b vectơ pháp tuyến n n =[ a; b ] + Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ r pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trinh mặt phẳng (P ) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = (A +B2 +C2 ≠ 0) Để viết phương trình mặt ta sử dụng hai cáchr sau: + Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vả vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) ta sử dụng công thức: (α) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (A +B2 +C2 ≠ 0) dựa vào giả thiết toán xác định hệ số A; B; C; D II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ; y0 ; z0 ) r vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) +Cách 1: (P) : A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = + Cách 2: (P): Ax + By + Cz + D = ; M ∈ (P) ⇒ D trả lời phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm A(3;1; −2) : B(4; −3;1) Giải: r uuur - VTPT n = AB = (1; −4;3) - Cách 1: (P): 1( x + 2) − 4( y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ) : x − y + 3z + 11 = - Cách 2: (P): x − 4y + 3z + D = ; M (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P): x − y + 3z + 11 = Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = uuur r +Cách 1: (P)//(Q) ⇒ VTPT n( P ) = VTPT n(Q ) = ( A; B; C ) (P) : A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = + Cách 2: (P) // (Q) ⇒ (P) : Ax + By + Cz + D ' = 0(D' ≠ D) ; M ∈ (α) ⇒ D ' ⇒ phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) song song với mặt phẳng (Q): x − y + 3z − = Giải: uuur r (P) (Q) ⇒ VTPT n = VTPT n (Q ) = (4; −2;3) + Cách 1: // (P) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz (P) : 4(x + 2) − 2(y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P) : 4x − 2y + 3z + 11 = + Cách 2: (P ) // (Q) ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + D = 0(D ≠ −5) M (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + 11 = Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với đường thẳng(d)uuur uuur ⊥ ( d ) ⇒ VTPT n = VTCPu + (P) (P) (d ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm x +1 y − z + M (−2;3;1) vng góc với đường thẳng (d): = = −2 Giải: uuur uuur (P) ⊥ (d ) ⇒ VTPT n( P ) = VTCPu( d ) = (−2;1;3) ( P ) : −2( x + 2) + ( y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ) : −2z + y + 3z − 10 = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai mặt phẳng (P)&(Q) uuur uuur uuur uuur uuur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q) uuur uuur ⇒ VTPTn (P) = n(Q) , n(R) + (P) ⊥ (R) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R) Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 Giải: uuur uuur uuur uuur uuur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q) = (1; −3;2) uuur uuur ⇒ VTPTn(P) = n(Q) , n(R) = (1;5;7) (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R) = (2;1; −1) (P) : (x + 2) + 5(y − 3) + 7(z − 1) = ⇔ (P) : z + 5y + 7z − 20 = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; zB ); C ( xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng: uuur uuur uuur uuur AB ⇒ VTPT n = AB, AC uuu r + Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) AC Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; 0; −1); B(1; −2;3); C (0;1;2) Giải: Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz uuur uuur uuur uuur AB = (−1; −2; 4) ⇒ VTPT n( P ) = AB, AC = (−10; −5; −5) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur AC = (−2;1;3) (P ) : −10( x − 2) − 5( y − 0) − 5(z + 1) = ⇔ (P) : x + y + z − = Daïng 6: Viết ptmp (P) qua A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; z B ) ⊥ (Q) uuur AB uuur uuur uuur uuur ( α ) ⇒ VTPT n = AB, n(Q ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) n(Q ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; 0; −1); B(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + = Giải: uuur AB = (−1; −2; 4) uuur uuur uuur ⇒ VTPT n( P ) = AB, n(Q ) = (2;5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur n(Q ) = (1; −1;1) (P ) : 2( x − 2) + 5( y − 0) + 3(z + 1) = ⇔ (P ) : x + 5y + 3z − = Daïng 7: Viết ptmp (P) qua A( x A ; y A ; z A ) ; ⊥ (Q) // với đt (d) uuur n uuur uuur uuur (Q ) uuu r ⇒ VTPT n( P ) = n(Q ) , u( d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) u( d ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x + y − z + = song song với đường thẳng (d): Giải: x +1 y − z + = = −2 uuur n = (1;2; −1) uuur uuur uuur (Q ) ⇒ VTPT n = n(Q ) , u( d ) = (7;1;5) uuu r Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) u( d ) = (−2;1;3) ( P ) : 7( x − 1) + ( y + 2) + 5(z − 3) = ⇔ ( P ) : x + y + 5z − 20 = Daïng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt uuur u uuur uuur uuur (d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , u( d ') u( d ') + Lấy điểm M0∈ (d) M0 ∈ (d’) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường x = − t x − y + z − 12 = = thẳng cắt (d): (d’): y = + 2t −1 −3 z = Giải: uuuur uuur d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (−1;2; 0) uuuuur uuur uuur MM ' = (0;3; −9); u( d ) , u( d ') = (6;3;1) (d ) & (d ') cắt uuur uuur uuuuur u , u MM ' = ( d ) (d ') uuur u uuur uuur uuur (d ) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , u( d ') = (6;3;1) u( d ') ( P ) : 6( x − 1) + 3( y − 2) + (z − 3) = ⇔ ( P ) : x + 3y + z − 15 = Daïng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song + M1 ∈ (d) , VTCP r r M ∈ (d ') ; , VTCP ud u d’ uuuuuur M M uuur uuuuuur uuur uuur ⇒ VTPT n( P ) = M1 M2 , u( d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (α) uuur u( d ) (hoacë u( d ') ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song với (d): x − y + z − 12 = = −1 −3 x = + t (d’): y = − t z = − 3t Giải: uuuur d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) uuur d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (1; −1; −3) uuuuur uuuuur uuur r MM ' = (0;3; −9); MM ', u( d ) = (−18; −9; −3) ≠ ⇒ (d ) P(d ') Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuuuuur uuur uuuuuur uuur M1 M2 = (0;3; −9) uuu r ⇒ VTPT n = M1M2 , u( d ) = (−18; −9; −3) (P) u( d ) = (1; −1; −3) ( P ) : −18( x − 1) − 9( y − 2) − 3( z − 3) = ⇔ ( P ) : x + 3y + z − 15 = Daïng 10: Viết (P) trung trực AB uuurptmp uuur + VTPT n( P ) = AB Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz + Tìm tọa độ trung điểm M0 đoạn AB Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB biết A(1;1; −1); B(5;2;1) Giải: uuur uuur VTPT n( P ) = AB = (4;1;2) Trung điểm M0 đoạn AB: M (3; ; 0) 27 (P) : 4(x − 3) + (y − ) + 2(z − 0) = ⇔ (P) : 4x + y + 2z − =0 2 Daïng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A r + (d) ∋ M , VTCP u d uuuuur M A uuur uuuuur uuur uuu0r ⇒ VTPT n = M A, u( d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P) u( d ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường x − y + z − 12 thẳng (d): = = qua điểm A(1;1; −1) −1 −3 Giải: uuuur uuuuur d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; M A = (0;2; −13) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuuuur M A = (0;2; −13) uuur uuuuur uuur ⇒ VTPT n( P ) = M A, u( d ) = (−19; −13; −2) uuur u( d ) = (1; −1; −3) ( P ) : −19( x − 1) − 13( y − 1) − 2(z + 1) = ⇔ ( P ) :19 x + 13y + 2z − 30 = Daïng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) // ( ∆ ) + Tìm điểm M0∈ (d) uuur u uuur uuur uuur (d ) uuu r ⇒ VTPT n = u( d ) , u( ∆ ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) (P ) u( ∆ ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng (d): x y z = = ; (∆ ) 1 x + y z −1 = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) song song với (∆) −2 1 Giải: uuur u = (1;1;2) uuur uuur uuur (d ) ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , u( ∆ ) = (−1; −5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur u( ∆ ) = (−2;1;1) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz uuur (d) ∋ M = (0; 0; 0) Mặt phẳng (P) qua M0 có VTPT n( P ) = (−1; −5;3) ⇒ (P) : −1(x − 0) − 5(y − 0) + 3(z − 0) = ⇔ (P) : x + y − 3z = Daïng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) ⊥ (Q) + Tìm điểm M0∈ (d) uuur u uuur uuur uuur (d ) + Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , n(Q ) n(Q ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = mặt −3 phẳng (Q) : 2x + y + z − = Viết phương trình mp (P) chứa (d) vng góc với mp (Q) Giải: uuur (d) ∋ M(1; 0; −2) VTCP u(d) = (2;1; −3) uuur u = (2;1; −3) uuur uuur uuur (d ) ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , n(Q ) = (4; −8; 0) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuur n(Q ) = (2;1;1) (P) : 4(x − 1) − 8(y − 0) + 0(z + 2) = ⇔ (P) : 2x − 4y − = Daïng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 d(A;(P))=h A(x A ; y A ; z A ) cho trước + Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong D’ ≠ D) + Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D’ Kết luận pt mặt phẳng (P) Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = điểm A(3; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) d(A;(P))=2 Giải: Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = ( D ≠ - 3) d(A;(P))=2 ⇔ 3+ D D = −9(n) = ⇔ 3+D = ⇔ D = 3(n) Vậy (P1 ) : x − 2y + 2z − = 0;(P2 ) : x − 2y + 2z + = Daïng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) d(A,( P))=h; A( x A ; y A ; z A ) r + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d uuur uuur r r + Vì (d) nằm (P) ⇒ n (P) ⊥ u(d) ⇔ u d n ( P ) = (1) + PT mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = Người thực hiện: Nguyeãn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz + d(A,( P)) = h (2) + Giải (1); (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ, ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = điểm −3 A(3;1;1) Viết pt mp (P) chứa (d) d (A,( P))= Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur (d) ∋ M (1; 0; −2) VTCP u (d) = (2;1; −3) uuur uuur Vì d ⊂ (P)d ⇒ n (P) ⊥ u(d) ⇔ 2A + B − 3C = ⇒ B = 3C − 2A ( ) () (P): A(x − 1) + B(y − 0) + C(z + 2) = ⇔ Ax + By + Cz − A + 2C = d(A,( P))= ⇔ 2A + B + 3C A +B +C 2 = ⇔ 2A + B + 3C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ C = 5A − 12AC + 10C2 A = C 2 ⇔ 5A − 12AC + 7C = ⇔ A = C *A = C choïn A=C=1 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y+z+1=0 *A = C choïn C=5;A=7 ⇒ B = ⇒ (P):x+y+z+3=0 Daïng 16: Viết Pt mp (P) chứar(d) hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r ⊂ ⇒ + Vì d (P) u d n ( P ) = (1) + cos ((P),(Q))= cos α (2) + Giải (1) ; (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = x +1 y − z + = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) hợp với −1 −1 mp (Q) góc α thỏa cos α = đường thẳng (d): Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur (d) ∋ M (−1;2; −3),VTCP u(d) = (1; −1; −1) r r ⊂ ⇒ Vì d (P) u d n ( P ) = ⇔ A − B − C = ⇒ A = B + C (1) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 10 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz cos uuur uuur ,n (Q) ) = ⇔ (P) ( ( P ) , ( Q ) ) = cos α ⇔ cos(n A + 2B + C A + B2 + C2 = ⇔ A + 2B + C = A + B2 + C2 (2) B = −C (1)Λ(2) ⇒ 4C − 3B = A + B + C ⇔ 8B + 11B + 3C = ⇔ B = −3 C 2 2 *B = −C choïn B=1;C=-1 ⇒ A=0 ⇒ (P):(y-2)-(z+3)=0 ⇔ (P):y-z-5=0 −3 C choïn B=3;C=-8 ⇒ A=-5 ⇒ (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0 ⇔ -5x+3y-8z-35=0 α ≠ 900 ∆ Daïng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) r hợp với đth( )một góc + Gọi VTPT mp ( α ) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ *B = r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r + Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = (1) + sin ((P),( ∆ )) = sin α (2) +Giải (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) (∆) có x−2 z+5 = y −3= Viết phương trình −1 mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với (∆) góc 300 phương trình: (d): x = y−2 = z −1 (∆) : Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur uuur ∋ ( ∆ ) ∋ M (2;3; − 5) M (0;2; 0) u = (1; − 1;1) d) VTCP (d) ; VTCP u( ∆ ) = (2;1; −1) r r Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = ⇔ A − B + C = ⇒ B = A + C (1) uuur uuur sin ((P),( ∆)) = sin30 ⇔ cos(n (p); u ( ∆ ) ) = sin 30 ⇔ 2A + B − C A + B2 + C2 = ⇔ 2A + B − C = A + B2 + C2 (2) A = C (1)Λ(2) ⇒ 3A = A + (A + C) + C ⇔ 2A − AC − C = ⇔ A = −1 C 2 2 2 *A = C choïn A=C=1 ⇒ B=2 ⇒ (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 ⇔ (P):x + 2y + z − = −1 C choïn C=-2;A=1 ⇒ B=-1 ⇒ (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x − y − 2z + = Daïng 18: Cho A (xA; yA; zA) (d), viết PT mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn + Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) *A = Người thực hiện: Nguyeãn Bá Tường - Trang 11 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz + Ta có: d (A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H uuur + Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT x = −1 − 2t Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d): y = t z = 1+ t điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn Giải: Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) Ta có: d (A, (P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A, (P)) max ⇔ AKuuu =rAH ⇔ K ≡ H Mp (P) qua H nhận AH làm VTPT uuur H ∈ (d) ⇒ H(−1 − 2t; t;1 + t) ⇒ AH = (−2 − 2t; t − 2; t − 2) uuur uuur Vì H=hc(d) (A) ⇒ AH ⊥ u (d) = ( −2;1;1) ⇔ 6t = ⇔ t = uuur uuur ⇒ H(−1; 0;1) ⇒ VTPT n (p) = AH = (2;2;2) ⇒ (P) : 2(x + 1) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = ⇔ (P) : x + y + z = Daïng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = (D’ ≠ D) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R ⇒ tìm D' + Từ ta có pt (P) cần tìm Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải: (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 ⇒ I(−1;2;1) BK R=5 Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x - 2y + 2z + D = (D ≠ -3) D−3 (P)tieáp xúc với mặt cầu (S) ⇒ d I, ( P ) = R ⇔ = ⇔ D − = 15 D = 18 ⇒ P1 : x − 2y + 2z − 12 = ⇔ D = −12 ⇒ P2 : x − 2y + 2z + 18 = ( ) ( ) ( ) Daïng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) +Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r + d(I,(P)) = R − r (1) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 12 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' ≠ D) + Suy d (I,(P)) (2) ⇒ ( 1) Λ ( ) ⇒ D' ⇒ pt (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + = mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z − = Viết pt mp(P) // (Q cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r = Giải: (S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 ⇒ Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x+y-2z+D = (D ≠ 4) ( d I, ( P ) ) D = −1 + 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − + 30 = = R − r ⇔ + D = 30 ⇔ D = −1 − 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − − 30 = 2 Daïng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r + (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d r + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ =>pt mp (P) qua M0: A(x-x + rB(y-y0) + C(z-z0) = uuur0)uuu + (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n (P) = (1) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) + Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + = x −1 y z + ( d ) : Viết pt mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) = = −1 Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (zuuu - r3)2 = ⇒ tâm I (1;-2;3), bán kính R = (d) ∋ M (1; 0; −2),VTCP u (d) = ( −1;1;4) r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ ⇒ mp(P) qua điểm M0: (P): A(x -1) +uuu B(y –r0) + C(z +2) = ⇔ Ax + By + Cz -A +2C = r uuu (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n (P) = ⇔ − A + B + 4C = ⇒ A = B + 4C (1) (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇔ 5C − 2B = A + B2 + C2 (2) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 13 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz (1)Λ(2) ⇒ 5C − 2B = 2B2 + 8BC + 17C2 ⇔ 14B2 + 92BC + 128C2 = B = −2C ⇔ B = −32 C *B = −2C choïn B=-2; C=1 ⇒ A=2 ⇒ (P):2x-2y+z=0 *B = −32 C choïn B=32;C=-7 ⇒ A=4 ⇔ (P): 4x+32y-7z-18=0 Daïng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r r +(d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r + Gọi VTPT mp (P) n (P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ 0, =>pt mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = uur r + Vì d ⊂ (P) ⇒ ud n ( P )=0 (1) + Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) +Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x−3 y z−4 x + y + z − x + y + z − = ( d ) : Viết pt mp (P) chứa = = −1 (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = Giải: ⇒ (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z uuu+1) r = tâm I(1;-2;-1), bán kính R = (d) ∋ M (3; 0;4),VTCP u(d) = (3; −1;1) r n Gọi VTPT mp (P) ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ =>pt mp (P) qua M0 ⇔ (P): A(x - 3) + B(y uuu r uuu-r0) + C(z - 4) = Ax + By + Cz –3A – 4C = (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n(P) = ⇔ 3A – B + C = ⇒ B = 3A + C (1) Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r ⇔ 2A + 2B + 5C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ 8A + 7C = 10A + 6AC + 2C2 ⇔ 4A + 76AC + 37C2 = −1 A = C choïn A=1; C=-2 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y-2z+5=0 ⇔ B = −37 Cchoïn A=37;C=-2 ⇒ B=109 ⇔ (P): 37x+109y-2z-103=0 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 14 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz Daïng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính nhỏ ((d) cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Bán kính r = R − d (I,(P)) +Để r ⇒ d(I,(P)) max + Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) +Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) +Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK uu =rAH ⇔ K ≡ H + Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT ⇒ pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x −1 y +1 z x + y + z − x + y + z − = ( d ) : = = Viết pt mp (P) chứa (d) −1 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r nhỏ Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = uuur uuuur uuuur uuur (d) ∋ M (1; −1;0),VTCP u (d) = (2; −1;1); IM = (0;1;1); IM , u (d) = (2;2; −2) uuuur uuur IM , u (d) d(I,(d)) = = < R ⇒ (d) cắt mặt cầu uuur u(d) Bán kính r = R − d (I,(P)) = − d (I, (P)) Để r ⇒ d(I,(P)) max Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AKuu=r AH ⇔ K ≡ H Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT Gọi (Q) làrmặt phẳng qua điểm I vng góc vơi (d) ⇒ VTPT n ( Q ) =(2;-1;1) ⇒ (Q) 2x –y +z – 3=0; H hình chiếu ⊥ I lên (d); tọa độ điểm H lả x = x −1 y +1 z = = ⇔ y = −1 ⇒ H(1; −1; 0) −1 nghiệm hệ phương trình: 2x – y + z – = z = r uur ⇒ VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1) (P): (y + 1) + (z – 0) = ⇔ y + z + = C KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: Lớp Điểm TB Sĩ số (5 đến 6,4) 12A10 35 SL % 13,2 Người thực hiện: Điểm (6,5 đến 7,9) Điểm giỏi Đạt yêu cầu (từ trở lên) SL SL 29 % 10,5 Nguyễn Bá Tường % 76,3 - Trang 15 - SL 35 % 100,0 Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz D KẾT LUẬN: Các tập Viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz, thường học sinh giả thiết nào?, giảng dạy xong đề tài học sinh thấy việc tìm lời giải tốn viết phương trình mặt phẳng, giải nhiều tốn viết phương trình mặt phẳng Đồng thời đứng trước tốn khó cho dù dạng viết phương trình mặt phẳng học sinh có hướng suy nghĩ tập tính tốn, em có tự tin giải tốn viết phương trình mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng chủ đề khơng khó, để giúp học sinh phát triển tư sáng tạo đề tài tiếp tục phát triển sang việc tìm lời giải tốn viết phương trình mặt phẳng nhờ dạng toán E.TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa lớp 12 THPT Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian Trần Đức Hun Hướng dẫn giải tốn hình học giải tích Nhóm giáo viên trung học phổ thơng Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 16 - ... Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ r pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trinh mặt phẳng (P ) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (α) : Ax
Ngày đăng: 02/01/2017, 10:18
Xem thêm: