Cac dang BT CSC CSN GIOI HAN

CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: Định nghóa: Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số không đỗi gọi công sai Gọi d công sai, theo định nghóa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Đặc biệt: Khi d = cấp số cộng dãy số tất số hạng Để dãy số (un) cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un, Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát un cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d cho công thức: un = u1 + (n - 1)d Tính chất số hạng cấp số cộng Định lí: cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai ( trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức u + u k +1 u k = k −1 (k ≥ 2) Tổng n số hạng đàu cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau: n S n = [ 2u1 + (n − 1)d ] • Sn tính theo u1 d: n S n = (u1 + u n ) • Sn tính theo u1 un BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a /÷ 2,5,8, tìm u15 b / ÷ + ,4,2 − , tìmu20 ĐS: a / u15 = 44 b / u 20 = 40 − 18 Bài tập 2: Xác định cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối 12 có tổng 30 Giải: n Ta có: S = (u1 + u n ) n ⇔ 30 = (u1 + 12) maø u1 = u n − (n − 1)d = 12 − (n − 1)d = 12 − 3(n − 1) = 15 − 3n n neân 30 = (15 − 3n + 12) n = ⇔ 3n − 27 n + 60 = ⇔  n = Với n = : u1 = ta có cấp số cộng ÷ 3,6,9,12 Với n = : u1 = ta có cấp số cộng ÷ 0,3,6,9,12 u + u − u = 10 Bài tập 3: Cho cấp số cộng:  Tìm số hạng đầu công sai u + u = 26 Giaûi: u + u − u = 10 u + d + u1 + 4d − u1 − 2d u = ⇔ ⇔  d = u + u = 26 u1 + 3d + u1 + 5d = 26 Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có số hạng biết tổng 25 tổng bình phương chúng 165 Giải: Gọi cấp số cộng là: ÷ u3 - 3d, u3 - d, u3, u3 + d, u3 + 2d Theo giả thiết ta có: (u − 2d ) + (u − d ) + u + (u + d ) + (u + 2d ) = 25 u = ⇔   (u − 2d ) + (u − d ) + u + (u + d ) + (u + 2d ) = 165 d = ±2 Với d = ta có ÷ 1,3,5,7,9 Với d = -2 ta có ÷ 9,7,5,3,1 Bài tập 5: Tìm số tạo thành cấp số cộng biết số hạng đầu tích số chúng 1140 Giải: Xét cấp số cộng ÷ 5,5 + d ,5 + 2d Theo ta có: 5(5 + d )(5 + 2d ) = 1140 d = ⇔ 2d + 15d − 203 = ⇔  d = − 29  ÷ , 12 , 19 Với d = ta có 29 19 Với d = − ta có ÷ 5,− ,−24 2 Bài tập 6: Tìm chiều dài cạnh tam giác vuông biết chúng tạo thành cấp số cộng với công sai 25 Giải: Đặt cạnh cần tìm là: x − 25, x, x + 25, với x > 25 Theo định lí Pitago ta coù: ( x + 25) = x + ( x − 25) ⇔ x + 50 x + 625 = x + x − 50 x + 625  x = 0(loai ) ⇔ x − 100 x = ⇔   x = 100 Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng cạnh là: 75,100,125 Bài tập 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Giải: Ta có: u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 ⇔ (u1 + u16) + (u4 + u13) + (u7 + u10) = 147 ⇔ (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 147 ⇔ 3(2u1 + 15d) = 147 ⇔ 2u1 + 15d = 49 Mặt khác: u1 + u6 + u11 + u16 = (u1 + u16) + (u6 + u11) = (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98 Suy ra: u1 + u6 + u11 + u16 = 98 Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng Giải: 15 Ta có: S15 = (u1 + u15) 2 Mặt khác ta có: u3 + u13 = (u1 + 2d) + (u1 + 12d) = u1 + (u1 + 14d) = u1 + u15 = 80 15 15 Do đó:S15 = (u1 + u15) = 80 = 600 2 Bài tập 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm cấp số Giải: 11 Ta có: S11 = 176 = (u1 + u11) 11 ⇔ (2u1 + 10d) = 176 (1) vaø u11 - u1 = 30 ⇔ (u1 + 10d) - u1 = 30 ⇔ 10d = 30 ⇔ d = (2) Thay (2) vaøo (1) ta được: u1 = Do đó: Cấp số cộng cần tìm là: ÷ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 Bài tập10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Giải: Ta có: a10 = a1 + (10 - 1)(-3) = + 9(-3) = -23 Bài tập 11: Tính u1, d cấp số cộng sau  u + u = 14 1/  S13 = 129 S4 =  3/  45 S6 =  u = 19 2/  u = 35  u + u10 = −31 4/  2u − u9 = 53 38 vaø d = ; 2/ u1 = vaø d = 13 39 3/ u1 = vaø d = ; 4/ u1 = vaø d = Bài tập 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng Giải: u = u1 + 2d = −15 d = ⇒ Theo giả thiết ta coù:  u14 = u1 + 13d = 18 u1 = −21 ÑS: 1/ u1 = 20 (u1 + u 20 ) = 150 Bài tập 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = Tính u20 S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài tập 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài tập 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 u11 = -1 Tính d S11 18 ĐS: d = − S11 = 187 Bài tập 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng ĐS: S20 = 1350 Heát Vậy: S20= CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1) Định nghóa: Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước với số không đỗi gọi công bội Gọi q công bội, theo định nghóa ta có un+1 =un.q (n = 1, 2, ) Đặc biệt: Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = cấp số nhân dãy số dạng u1, u1, , u1, Nếu u1 = với q, cấp số nhân dãy số 0, 0, , Để dãy số (un) cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un, 2) Số hạng tổng quát Định lí: Số hạng tổng quát cấp số nhân cho công thức: n −1 un = u1 q (q ≠ ) 3) Tính chất số hạng cấp số nhân Định lí: Trong cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức là: (k ≥ 2) u k = u k −1 u k +1 4) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Cho cấp số nhân với công bội q ≠ u1, u2, ,un, qn −1 S n = u1 Định lí: Ta có: (q ≠ 1) q −1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm số hạng cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có số hạng mà u1 = 243 vaøu6 = 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Giải: 1 5 = ⇔q= 1/ Ta coù: u = u1 q ⇔ = 243.q ⇔ q = 243 3 Vậy cấp số nhân là: 243, 81, 27, 9, 3, 2/ Ta có: 1 1−   1− q6   ⇔ 2730 = u 1365 ⇔ u = 512 S = u1 ⇔ 2730 = u1 1 1− q 1024 1− 4 512 1 = vaø u = u1 q = 512.  = 1024 4 Bài tập 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 u6 = -486 Tìm số hạng công bội q cấp số nhân Giải: u = u1 q 18 = u1 q (1) ⇔ Ta coù:   (2) − 486 = u1 q u = u1 q Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = −27 ⇒ q = −3 Thế q = -3 vào (1) ta được: u1 = Vậy ta có: u1 = 2, q = -3 Bài tập 3: Tìm u1 q cấp số nhân biết: u − u = 72  u − u = 144 Giaûi: (1) u1 q − u1 q = 72 u1 q (q − 1) = 72 ⇔ Ta coù:   2 (2) u1 q − u1 q = 144 u1 q ( q − 1) = 144 Lấy (2) chia (1) vế theo vế ta được: q = Thay q = vào (1) ta được: 2u1 (4 − 1) = 72 ⇒ u1 = 12 Vậy u1 = 12, q = Bài tập 4: Tìm u1 q cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Giải: u1 q = 12 (1) u = 12 ⇔ Ta coù:   (2) u1 q = 48 u = 48 q = 0, u = không nghiệm hệ Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được: q = ⇒ q = ±2 Thay vào (1) tacóù: u1 = * q = 2, ta có cấp số nhân 3, 6, 12, 24, * q = -2, ta có cấp số nhân -3, -6, -12, -24, Bài tập 5: Tìm u q cấp số nhân (un) biết: u1 + u + u = 13  u + u + u = 351 Giải: Ta có: u1 (1 + q + q ) = 13 (1) u1 + u + u = 13 u1 + u1 q + u1 q = 13 ⇔ ⇔  (2) u1 q + u1 q + u1 q = 351 u1 q (1 + q + q ) = 351 u + u + u = 351 Laáy (2) chia (1) vế theo vế ta được: 351 q3 = = 27 ⇒ q = 13 Thay q = vào (1) ta u1 = Vậy u1 = 1, q = Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số có số hạng có tổng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Giải: Theo ta coù: u1 + u1 q + u1 q + u1 q = 360 (1) u1 + u + u + u = 360 ⇔  (2) u1 q = 9u1 q u = 9u 2 Từ (2) ⇒ q = ⇒ q = ±3 Thay q = vaøo (1) ta được: 40u1 = 360 ⇒ u1 = Ta có cấp số nhân: 9, 27, 81, 243 Thay q = -3 vào (1) ta được: u1 = -18 Ta có cấp số nhân: -18, 54, -162, 486 Bài tập 7: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng là21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số lập thành cấp số nhân Tìm ba số Giải: Gọi u1, u2, u3 ba số hạng cấp số cộng công sai d Theo u1, u2-1, u3 +1 lập thành cấp số nhaân  u1 + (u1 + d) + (u1 + 2d) = 21 u1 + u + u = 21 ⇔  Ta coù:  2 (u1 + d − 1) = u1 (u1 + 2d + 1) (u − 1) = u1 (u + 1) u1 = − d  u1 + d = u1 = − d  u1 = − d  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  d = 2 36 = (7 − d)(8 + d) d + d − 20 =  d = −5 6 = u1 + 8d  Với d = u1 = ta có cấp số cộng: 3, 7, 11 Với d = -5 u1 = 12 ta có cấp số cộng: 12, 7, Heát - GIỚI HẠN A: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) Nếu dãy số có giới hạn bị chặn Định lý2: (Tính giới hạn) Nếu dãy số có giới hạn giới hạn Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat) Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn Định lý4: (Giới hạn dãy số kẹp hai dãy số dần tới giới hạn) Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) Nếu ∀n ∈ N * ta coù v n ≤ u n ≤ wn lim = lim wn = A lim un = A Định lý5: (Các phép toán giới hạn dãy số) Nếu hai dãy số (u n ), (v n ) có giới ta coù: lim(u n ± v n ) = lim u n ± lim v n lim(u n v n ) = lim u n lim v n lim u n lim u n = (lim v n ≠ 0) v n lim v n lim u n = lim u n (u n ≥ 0, ∀n ∈ N * ) Định lý6: Nếu q < 1`thì lim q n = Tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q với q < là: u1 ( q < 1) S=u1+u2+ +un+ = 1− q n Soá e:  1 lim1 +  = e ≈ 2,71828  n * Định lý7: Nếu lim u n = 0(u n ≠ 0, ∀n ∈ N ) lim Ngược lại, lim u n = ∞ lim = ∞ un = un B Giới hạn hàm số: Kiến thức cần nhớ: 1/ Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý1: (Tính giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn x dần tới a giới hạn Định lý2: (Các phép toán giới hạn hàm số) Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x → a thì: lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a x →a x →a lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x →a lim x →a x →a x→a f ( x) f ( x) lim = x →a , (lim ≠ 0) g ( x) lim g ( x ) x →a x →a lim f ( x) = lim f ( x) , ( f ( x) ≥ 0) x →a x →a Định lý3: (Giới hạn hàm số kẹp hai hàm số dần tới giới hạn) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với điểm x khoảng g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) lim g ( x ) = lim h( x ) = L, lim f ( x) = L x →a x →a x →a Định lý4: Nếu x → a , hàm số f(x) có giới hạn L với giá trị x đủ gần a mà f(x) > (hoặc f(x) < 0) L ≥ (hoaëc L ≤ ) = (và f ( x) ≠ với x đủ gần a) lim =∞ Định lý5: Nếu lim x →a x→ a f ( x) f ( x ) = ∞ lim =0 Ngược lại, lim x→a x →a f ( x) 2/ Giới hạn bên : Định nghóa: Số L gọi giới hạn bên phải( bên trái) hàm số f(x) x dần tới a, với dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) cho limxn = a limf(xn) = L lim+ = L (hoaëc lim− f ( x) = L ) Ta vieát: x →a x →a f ( x) = L lim+ f ( x), lim− f ( x) tồn Định lý: Điều kiện ắc có đủ để lim x →a x →a x →a L 3/ Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn hàm số, ta gặp số trường hợp sau Ta cần tìm: u ( x) lim u ( x) = lim v( x) = x → x0 1/ xlim maø x → x0 → x0 v ( x ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) 2/ 3/ 4/ u ( x) x → x0 v ( x ) ( x →∞ ) lim x → x0 ( x →∞ ) lim [ u ( x).v( x)] maø x → x0 ( x →∞ ) lim [ u ( x) − v( x)] x → x0 ( x →∞ ) hoaëc lim u ( x) = lim v( x) = ∞ maø maø x → x0 ( x →∞ ) lim u ( x) = x → x0 ( x →∞ ) lim u ( x) = lim v( x) = +∞ x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ ) lim u ( x) = lim v( x) = −∞ x → x0 ( x →∞ ) vaø x → x0 ( x →∞ ) BÀI TẬP ÁP DỤNG A GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính giới hạn: lim v ( x ) = ∞ x → x0 ( x →∞ ) / lim / lim 2n + n+2 n2 + n + 5n − 3n + (n + 1)(2n − 1) / lim (3n + 2)(n + 3) 3n + n2 + 2n n + / lim n + n +1 / lim / lim 2n + n − n n + 2n 2n / lim 3n + n + n + 3n + Bài tập 2: Tính giới hạn: 2n + 2n − / lim / lim n −n+2 n +1 2n + n + 3 / lim / lim n − n + n 3n − Bài tập 3: Tính giới hạn: (n + 1) (n + 2) n2 +1 / lim / lim n(n − 1) 2n − 3n / lim ) ( / lim(n + 3n − n ) / lim B GIỚI HẠN HÀM SỐ 2n − 11n + n2 − / lim (2n n )(3 + n ) ( n + 1)(n + 2) / lim n − 2n 3n + n − ( / lim n − 2n − n ) ( / lim n + n − n + / lim ) n2 + − n2 + Bài tập 1: Tính giới hạn: / lim(2 x + 3) x →2 / lim x → −3 − x + 2x x +1 0 Bài tập 2: Tính giới hạn: x2 + x − / lim x →2 x2 − x − 3x + / lim x →1 x − x − x + / lim (2 x − 3x + 4) x → −2 / lim ( x + + x ) x → −1 x + 4x + x →1 x − x + x − 25 / lim x →5 x + / lim Daïng x − 16 x → x + x − 20 − x2 / lim x → −2 x + / lim x − 4x + 3 / lim x →3 x−3 x+3 / lim x → −3 x − Bài tập 3: Tính giới haïn: 4x + 2x −1 / lim x →0 x →0 9+ x −3 2x + 2x − x + x − 3x − / lim / lim x → − x →2 3x + x −4 4x − + 2x − / lim / lim x→2 x →0 x−2 2x Bài tập 4: Tính giới hạn: x −1 x3 − x + 2x + / lim / lim x →1 x −1 x → −1 x − 3x − x −2 x+2 x −3 / lim / lim x→ x − x + −2 x →1 x−5 x +4 x − x − 27 / lim − x2 −1 x → −3 x + x + x + / lim x →0 + x − 3x + / lim / lim x →1 2x + − 2− x+3 2x + + x − x →1 x3 − 4x + 2−3 x+3 / lim x →5 x − 25 / lim / lim x →0 x +1 − x2 + x +1 x 3x − − x − x − / lim x →1 x − 3x + x− x+2 / lim x →2 4x + − Bài tập 5: Tính giới haïn: x − 4x + x −3 x →3 1− 31− x x x →0 / lim 3− 5+ x x →4 − − x / lim / lim / lim / lim x −1 x + 3x + x →−2 2x + x + x − + − x + x2 x →1 x2 −1 x +1 / lim 1− 31− x 3x x →0 + 2x − x −2 x →4 / lim x →3 x + x + x x →1 x + − / lim (x + 1)(x − 1) 10 / lim / lim x →−1 x + − • Tính giới hạn cách thêm, bớt lượng liên hợp Bài tập 6: Tính giới hạn: 8x + 11 − x + x →2 x − 3x + / lim / lim x +1 − x + x −3 x →3 / lim x x →0 x −6 + x +6 x →−2 x2 + x − x −9 + x +3 / lim x −1 x →1 31+ x − 1− x / lim / lim x →−1 + x − 2x − x2 − x − ∞ ∞ Bài tập 7: Tính giới hạn: Dạng x + 3x − x →∞ x − x + x + 3x − 7 / lim x →∞ x − x + x2 +1 / lim x → −∞ x + − x3 + x + / lim x → +∞ x2 − x5 + 2x + / lim x →∞ x3 + x + 3x + / lim x →∞ x − x + ( x − 2)(2 x + 1)(1 − x) / lim x →∞ (3x + 4) 1/ − ; 2 / ∞; / lim x →∞ x + 2x + x3 − x + 4x + / lim x →∞ 3x − 2x + 10 / lim x →∞ x − x + ÑS: 4/ ; 3 / +∞; / ∞; / 0; / lim 5/− 9/± ; / ±1; 27 10 / Bài tập 8: Tính giới hạn: / lim x →∞ x + 2x + + + 4x 9x + x + − 4x + 2x + x →∞ x −1 − 1 / ÑS: /  5 −1 / lim 4x + + − x Dạng ∞ − ∞ Bài tập 9: Tính giới hạn: / lim ( x + x − x) / lim (2x − − 4x − 4x − 3) x →+∞   / lim  − ÷ x →1 − x − x  x →∞ / lim (x + 3x − x ) x →∞ / lim ( x − x + − x + x + 1) x →−∞ / lim ( x + x − x) x¬ ∞ / lim (x − x + 1) x →+∞   1 / lim  + ÷ 2 x →  x − 3x + x − 5x +  − ∞ / ÑS: 0 1/ /− Dạng : Tìm giới hạn hàm số lượng giác: sin x =1 Cho biết : lim x →0 x 3/ Bài tập 10: Tính giới hạn hàm số lượng giác sau: sin x x →0 2x sin x / lim x →0 x +1 −1 − cos x / lim x →0 x sin x − cos x / lim x →0 2x / lim / lim tan x − sin x /1 6/0 /1 /− − cos 3x x →0 − cos x − + cos x 10 / lim x →0 tg x / lim x3 x sin / lim x →0 x tan 3x / lim x → 2x − cos 6x / lim x →0 x2 x →0 + sin x − cos x 11 / lim x →0 sin x π  sin  x −  3 12 / lim  π x → − cos x 2/4 4/4 3/ 2 6/ / 18 7/ ÑS: / 2 12 / 11 / 10 / 9/ 25 Heát -1/ HÀM SỐ LIÊN TỤC Kiến thức cần nhớ: Hàm số liên tục điểm: Định nghóa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) Hàm số f(x) gọi liên tục f ( x) = f ( x0 ) điểm x0 ∈ (a; b) nếu: xlim →x Nếu điểm xo hàm số f(x) không liên tục, gọi gián đoạn x o điểm xo gọi điểm gián đoạn hàm số f(x) Theo định nghóa hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) liên tục điểm x0 ∈ (a; b) lim− f ( x ) lim+ f ( x ) tồn lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( x0 ) x → xo x → x0 x → x0 x → x0 Hàm số liên tục khoảng: a Định nghóa: Hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) gọi liên tục khoảng đó, liên tục điểm khoảng Hàm số f(x) xác định đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng (a; b) lim+ f ( x) = f (a ), lim− f ( x) = f (b) x →a x →a Löu ý: Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng 10 b Một số định lý tính liên tục: Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xá định Định lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b], đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giá trị trung gian giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Hệ Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồn điểm c ∈ (a; b) cho f(c) = Noùi cách khác: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a; b) MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm điểm gián đoạn hàm số: Bài tập: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: c / y = tan x + cos 5x a / y = x − x + x − cot x + sin 2x x − 5x + d/y= b/ y = tan 2x x − 3x + Daïng 2: Xét tính liên tục hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số:  x ( x < 1) − f ( x) =  Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 =  x − 3x + ( x ≥ 1)  x − Bài tập 2: Cho hàm soá: ( x ≥ 2) 1 − x  f ( x) =  − x Xeùt tính liên tục hàm số f(x) x0 =  ( x < 2)  x−2 Bài tập 3: Cho hàm số: 3 2  f ( x) =   x +1 −1  x + − Bài tập 4: Cho hàm số:  x2 −1  f ( x) =  x − 5  Bài tập 5: Cho hàm số: ax +  f ( x) =  x −   x −1 Bài tập 6: Cho hàm số: 1  f ( x ) = 1 − x −   2−x ( x ≤ 0) Xét tính liên tục hàm số f(x) taïi x0 = ( x > 0) ( x ≠ 1) ( x = 1) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = ( x ≥ 1) Định a để hàm số f(x) liên tục taïi x0 = ( x < 1) ( x = 2) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = ( x ≠ 2) 11 Bài tập 7: Cho hàm số: 4−x  ( x ≥ 0) a + x + f ( x) =   1− x − 1+ x ( x < 0)  x Định a để hàm số f(x) liên tục x0 = Bài tập 8: Cho hàm soá:  ( x ≤ 2) ax + f ( x) =   3x + − ( x > 2)  x − Định a để hàm số f(x) liên tục R Bài tập 9: Cho hàm số:  2 ( x ≤ 2) ax + f ( x) =   4x − ( x > 2)  x − 3x + Định a để hàm số f(x) liên tục R Bài tập 10: Cho hàm số: 1 ( x = 0)  f ( x) = 1 − cos x ( x ≠ 0)  x Xét tính liên tục hàm số toàn trục số Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR phương trình sau có nghiệm: a / x − 3x + = b / x − x + x − 10 = c / x − 10 x + 100 = Bài tập 2: CMR phương trình x − x + = có nghiệm khoảng (-2 ; 2) Bài tập 3: CMR phương trình x − x + = coù nghiệm phân biệt Bài tập 4: CMR phương trình x − x − x + 12 x − 20 = có hai nghiệm Bài tập 5: CMR phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: a / m( x − 1)( x − 2) + x − = b / m( x − 9) + x ( x − 5) = - Heát - 12