Bai Tap To Hop Xac Suat

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT PHẦN A: TỔ HỢP I Quy tắc đếm: Quy tắc cộng: Một cơng việc thực theo k phương án khác mà phương án có số cách thực n1, n2, , nk Nếu phương án độc lập với tức khơng có cách thực xuất hai phương án trở lên cơng việc có n = n1 + n2 + + nk cách thực Quy tắc nhân: Một công việc thực qua k giai đoạn để hoàn thành Nếu giai đoạn thứ i có ni cách thực ứng với cách có n i+1 cách thực giai đoạn cơng việc có n = n1.n2 nk cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường, từ thành phố A đến C có đường Khơng có đường nối thành phố B với D nối A đến D Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 20 cách Bài 2: Có số tự nhiên nhỏ 200000, chia hết cho 3, viết chữ số 0, 1, 2? ĐS: Có 2.34 = 162 (số) Bài 3: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho d) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 6.7.7 = 294 b) 6.6.5.4 = 720 c) 6.5.4.3 + 3.5.5.4.3 = 1260 d) 6.5.4.3.2 + 5.5.4.3.2 = 1320 Bài 4: Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vơ địch ngoại hạng Anh Cứ đội phải đấu với trận gồm lượt lượt Hỏi có trận đấu? Nếu vịng đấu đội đá thêm trận có vịng đấu? ĐS: có 20.19 = 380 trận, 38 vịng đấu Bài 5: Có số palindrom gồm chữ số Số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi Ví dụ: 12521 số panlindrom ĐS: 9.10.10 = 900 số Bài 6: a Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bơng hoa gồm đủ ba màu? b Từ chữ số 1, 2, lập số khác mà chữ số khác nhau? ĐS: a 5.6.7 = 210 b 15 Bài 7: a Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? b Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? c Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? d Có số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho ĐS: a 168 b 20 c 900 d 72 Bài 8: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo cà vạt nếu: a Chọn áo cà vạt được? b Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a 35 b 29 Bài 9: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a x y thuộc A b {x, y} tập A c x y thuộc A cho x + y = ĐS: a 25 b 20 c Bài 10: Có số có chữ số mà số đứng trước lớn số đứng sau ĐS: 45 Bài 11: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập a số lẻ gồm chữ số? b số gồm chữ số khác không chia hết cho 5? c số có chữ số mà tổng chữ số số chẵn? d có chữ số khác chia hết cho 9? ĐS: a 18 b 100 c 108 d Bài 12: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác a lớn 300? b không chia hết cho 5? c số chẵn nhỏ 300? d số lẻ phải có mặt chữ số 0? ĐS: a 60 b 64 c 20 d 12 Bài 13: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: 40 Bài 14: Có cách xếp viên bi đỏ có đánh dấu khác viên bi đen có đánh dấu khác xếp thành dãy cho màu xen kẻ ĐS: 1152 II Hoán vị: Khái niệm giai thừa: n! = n(n – 1) Qui ước: 0! = Tính chất: n! = (n – 1)!n Hốn vị (khơng lặp): Cho tập hợp gồm n phần tử, n số nguyên dương, cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho tập hợp gồm k phần tử a 1, a2, , ak, k số nguyên dương Một cách xếp n phần tử gồm n1 lần lặp phần tử a1, n2 lần lặp phần tử a2, …, nk lần lặp phần tử ak cho n1 + n2 + …+ nk = n, theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 !n ! n k ! Chứng minh: giả sử ta có n phần tử ta có n! hốn vị khơng lặp, có n phần tử a1 giống n! hốn vị có n 1! lần trùng lặp cách xếp ta đổi chổ n phần tử giống Chứng minh tương tự có n2 phần tử a2 giống số lần trùng lặp cách xếp nhân thêm n 2! Như a1, a2, , ak lặp lại n1, n2, , nk lần số lần trùng lặp toàn cách xếp nói n 1!n2! nk! Nếu ta gọi Pn(n1, n2, …, nk) số cách xếp khác cần tìm n1!n2! nk!Pn(n1, n2, …, nk) = n! Từ suy cơng thức nói Ví dụ: Nếu có viên bi đỏ viên bi xanh có cách xếp tất bi thành dãy bi? Mỗi cách xếp bi nói hốn vị lặp cấp kiểu (2, 3) phần tử bi đỏ xanh Số cách xếp P5(2, 3) = 5!/(2!3!) = 10 cách Hốn vị vịng: Cho tập hợp gồm n phần tử, n số nguyên dương, cách xếp n phần tử theo thứ tự vịng trịn kín hốn vị vịng n phần tử Số hốn vị vịng n phần tử là: Qn = (n – 1)! Chứng minh: Nếu xếp thành vịng trịn khơng phân biệt vị trí dầu vị trí cuối so với hốn vị khơng vịng Trên vịng trịn ta phải có chiều quy ước để xét thứ tự Nếu lấy vị trí vịng làm điểm đầu tách khỏi ta cách xếp hốn vị khơng vịng theo thứ tự quy ước Như ta tách n vị trí khác vịng tạo thành n hốn vị khác khơng vịng Trong tất hốn vị vịng trịn lại tính cách xếp nên số hốn vị vịng nhỏ số hốn vị khơng vịng n lần Gọi Qn số hốn vị vịng ta nQn = n! Từ ta suy cơng thức cho Ví dụ: Có người tham gia hội nghị bàn trịn có ghế bố trí cách Vậy số cách xếp người vào bàn tròn 3! = cách Để dễ dàng kiểm chứng ta gọi tên người A, B, C, D cách bao gồm thứ tự sau: ABCD, ADCB, ACBD, ADBC, ABDC, ACDB Bài 1: Chứng minh a) Pn – Pn–1 = (n – 1)Pn–1 b) Pn = (n – 1)Pn–1 + (n – 2)Pn–2 + + 2P2 + P1 + 1 1 + + + + < 1! 2! 3! n! n 1 = + d) n! (n − 1)! (n − 2)! x!− (x − 1)! = Bài 2: Giải phương trình: (x + 1)! ĐS: x = 2; x =  (n + 1)! n.(n − 1)!  − ≤5 Bài 3: Giải bất phương trình: (1)  n −  n + (n − 3)!4! 12(n − 3).(n − 4)!2! ÷  ĐS: n = 4, n = 5, n = Bài 4: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 5: Với hoán vị số 1, 2, 3, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hốn vị phần tử trên? ĐS: Tổng tất số là: 3! (1 + + + 4).(1 + 10 + 100 + 1000) = 66660 Bài 6: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) Bài 7: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4 học sinh nữ B1, B2 xếp ngồi xung quanh bàn trịn có chổ Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? ĐS: a) Q6 = 5! b) 3(4!) Bài 8: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! 7! ĐS: − = C7 5!+ 4C7 4! = 5880 3! 3! Bài 9: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: có ba số thỏa mãn điều kiện {1, 2, 6}; {1, 3, 5}; {2, ,4} Số số cân tìm 3.(3!) = 18 Bài 10: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài 11: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài có chỗ ngồi cho: a Bạn C ngồi giữa? b Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a 24 b 12 Bài 12: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: người Mỹ, người Nga, người Anh, người Pháp, người Đức Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 4976640 Bài 13: Sắp xếp người vào dãy ghế chổ ngồi Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau? ĐS: a 576 b 3600 Bài 14: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế 10 chỗ ngồi Hỏi có cách xếp chỗ c) + ngồi nếu: a Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a 34560 b 120960 Bài 15: Có viên bi đen khác nhau, viên bi đỏ khác nhau, viên bi vàng khác Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 103680 Bài 16: Với chữ số 1, 2, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần? ĐS: 210 Bài 17: Xét số gồm chữ số, có chữ số xếp kề chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số thế? ĐS: 120 III Chỉnh hợp: Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phân tử, n số nguyên dương Từ chọn k phần tử cho k số nguyên dương không lớn n, đồng thời k phần tử theo thứ tự Mỗi cách chọn gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: n! A kn = = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! Quy ước: A n = Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử, n số nguyên dương Một dãy gồm k phần tử A cho k số nguyên dương, phần tử chọn nhiều lần tùy ý, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử A kn = nk Bài 1: Chứng minh 1 n −1 a + + + = với n số nguyên dương lớn A2 A3 An n k k k −1 b A n = A n −1 + k.A n −1 n +2 n +1 n c A n + k + A n + k = k A n + k Bài 2: Giải phương trình 3 2 a) A n = 20n b) A n + 5A n = 2(n + 15) c) 3A n − A 2n + 42 = ĐS: a) n = b) n = c) n = 2 Bài 3: Tìm số nguyên dương n cho 2Pn + 6A n − Pn A n = 12 ĐS: n = 2; n = Bài 4: Giải bất phương trình A 4n + 143 A 4n + 15 − uk+1 (*) n n n n Thật vậy, (*) C 2n + k C2n − k > C 2n + k +1.C 2n −k −1 n + 2nk > Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp Bài 9: k −1 k n k a) Chứng minh: C 2n < C2n ; k ≤ n Từ suy C 2n lớn dãy số uk = C 2n k −1 k n n +1 k b) Chứng minh: C 2n +1 < C 2n +1 ; k ≤ n Từ suy C 2n +1 = C 2n +1 lớn dãy số uk = C 2n +1 p Bài 10: Cho n > 2, p thuộc đoạn [1; n] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ C n p n −p HD: Vì C n = C n nên ta chi cần xét ≤ p ≤ n/2 p ĐS: Cn = n p = p = n – m maxCpn = Cm2m = C2m +1 p = m n = 2m n = 2m + Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Bài 11: Giải phương trình sau: A 4n 24 = a) n −4 A n +1 − Cn 23 1 b) x − x = x C C5 C6 x −1 x −2 x −3 x −10 c) C x + C x + C x + + C x = 1023 ĐS: a) n = b) x = c) x = 10 Bài 12: Giải phương trình sau: x +4 2x −10 x a) C10+ x = C10+ x b) y − C4 y + C3 C3 = x +3 d) C8+ x = 5A x + x −2 c) A x − + C x = 101 e) C x + 6C x + 6C x – 9x² + 14 = ĐS: a) x = 14, x = b) y = 3, x = c) x = 10 d) x = 17 e) x = Bài 13: Giải bất phương trình: Pn +5 C nn −−13 ≤ 60A kn ++32 a) < b) c) C n −1 − Cn −1 − A n −2 < (n − k)! A n +1 14P3 ĐS: a) n ≥ b) Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm; nghiệm (n, k) (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3) c) n = 6; 7; 8; 9; 10 Bài 14: Giải phương trình bất phương trình: x −2 3 x −2 x −5 a C x +1 + 2C x −1 = 7(x – 1) b A x + C x = 14x c A x = 336C x −2 C nn −−13 C − C − A < e n −1 f < n −1 n −2 A n +1 14P3 2 g 2C x +1 + 3A x < 30 h A 2x − A x ≤ C x + 10 x ĐS: a x = b x = c x = d x = e ≤ n < 11 f n > g x = h x = 3, x = Bài 15: Giải hệ phương trình: 5C xy +1 = 6C xy +1 C xy − C xy +1 = a)  y b)  y y −1 y −1 C x +1 = 3C x  4C x − 5C x = ĐS: a) (8; 3) b) (17; 8) Bài 16: Giải hệ phương trình hệ bất phương trình: y y 3C xy = C xy + lg(3C3x ) − lg C1x ≤  2A x + 5C x = 90 a  y b  c  y x x 5A x + 2C x = 80  x − 3y ≤  24C y = A y ĐS: a x = 5, y = b x = 4, y = c ≤ x ≤ 6; x, y số nguyên dương k k +1 k +2 Bài 17: Tìm số tự nhiên k cho C14 , C14 , C14 lập thành cấp số cộng ĐS: k = 4; Dạng 6: Tìm số tổ hợp toán số học Bài 18: Cho 20 câu hỏi, có câu lý thuyết 12 tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: 9856 Bài 19: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có em nam d) Có nam nữ ĐS: a) 91390 b) 31500 c) 90025 d) 77375 Bài 20: Cho điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? Có tam giác tạo thành từ điểm đó? ĐS: 10; 10 Bài 21: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Bài 22: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a viên bi màu? b viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a 20 b 150 Bài 23: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 24: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ, hoa xem đôi khác 2x 2x − d 11C28 = 225C 24 nhau, người ta muốn chọn bó hoa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa a Có bơng hồng đỏ? b Có bơng hồng vàng hồng đỏ? ĐS: a 112 b 150 Bài 25: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 Bài 26: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số a Chẵn gồm chữ số đôi khác chữ số đứng đầu chữ số 2? b Gồm chữ số đôi khác cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a 360 b 2448 Bài 27: a Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số khơng có chữ số b Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt không lần ĐS: a 33600 b 11340 Bài 28: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, cho số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 Bài 29: Từ tập thể gồm nam nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a 2974 b 15048 Bài 30: Một đồn tàu có toa chở khác đánh dấu I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a Có cách xếp cho vị khách lên tàu b Có cách xếp cho vị khách lên tàu cho toa có vị khách nói ĐS: a 81 b 24 Bài 31: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh ĐS: Xét trường hợp cộng ta 3780 Dạng 7: Tìm số tổ hợp tốn hình học Bài 32: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đơi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? ĐS: n(n – 1)/2 n(n – 1)(n – 2)/6 Bài 33: Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? c) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) 45 b) 120 c) 210 Bài 34: Cho đa giác lồi có n cạnh, n ≥ a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo khơng qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm khơng phải đỉnh đường chéo? ĐS: a) n = b) Số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh đỉnh đa giác: C n Bài 35: Cho đa giác lồi có n cạnh n ≥ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? ĐS: C n Bài 36: Tìm số giao điểm tối đa a 10 đường thẳng phân biệt? b 10 đường tròn phân biệt? ĐS: a 45 b 90 Bài 37: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 Bài 38: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? ĐS: a 1140; 20 b 320; 80 Bài 39: Có 10 điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng a Có đường thẳng khơng qua A hay B? b Có tam giác có đỉnh A? Bao nhiêu tam giác có cạnh AB? ĐS: a 28 b 36; Bài 40: Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng có điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với a Có đường thẳng? b Chúng tạo tam giác? 2 3 ĐS: a C p − Cq + b C p − Cq Bài 41: Cho p điểm khơng gian có q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm a Có mặt phẳng khác nhau? b Chúng tạo tứ diện? 3 4 ĐS: a C p − Cq + b C p − Cq V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với số nguyên dương n cặp số thực a, b ta có: n (a + b) n = ∑ C nk a n − k b k k =0 Tính chất: i) Số số hạng khai triển n + ii) Tổng số mũ a b số hạng n k n−k k iii) Số hạng tổng quát hay số hạng thứ (k + 1) có dạng: Tk +1 = Cn a b , k số nguyên không âm không lớn n k n −k iv) Cn = C n k −1 k k v) C n + C n = Cn +1 Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức 10 2 a) (x + ) b) (4 x + ) c) (3x − ) x 2x x ĐS: a) 45 b) 160 c) 2160 Bài 2: Tìm hệ số x4y3 khai triển (2x + 3y)7 ĐS: 15120 Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xkym k + m < n, k m hai số tự nhiên k m k m n −k − m ĐS: C n Cn − k x y z Bài 4: Khai triển rút gọn đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + + (1 + x)12 đa thức P(x) = ao + a1x + a2x² + + a12x12 Hãy xác định hệ số a9? ĐS: 286 Bài 5: Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + 3(1 + x)³ + + 20(1 + x)20 = ao + a1x + a2x² + a3x³ + + a20x20 Hãy xác định hệ số a18? ĐS: 4179 Bài 6: Trong khai triển P(x) = (3 – x)20, tính tổng hệ số đa thức P(x) ĐS: 220 Bài 7: Tìm số hạng không chứa thức khai triển nhị thức: ( 3 + 2)5 Bài 8: Trong khai triển nhị thức ( a b + )17 , tìm số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau? b a ĐS: 24310a5b5 Bài 9: Tìm số hạng chứa a7 khai triển (6 a + a )12 ĐS: 59136a7 16 Bài 10: Tìm hạng tử độc lập với x khai triển ( x + ) x ĐS: 1820 Bài 11: Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau 13 a ( x + x)10 b (x + ) x 10 10 13 9 ĐS: a C10 x, C10 x , C10 x b C13 x , C13 x , C13 x , C13 x Bài 12: a Tìm số hạng khai triển ( + 2)9 số nguyên b Xác định số hạng hữu tỉ khai triển ( + 7)36 c Có hạng tử số nguyên khai triển ( + 5)124 ĐS: a T4 = 4536, T10 = b T7, T22, T37 c 32 số hạng Bài 13: Trong khai triển (1 + x)n theo lũy thừa tăng x, cho biết: T3 = 4T5 3T4 = 40T6 Tìm n x? ĐS: n = 6, x = 1/2 x = –1/2 n Bài 14: Cho biết khai triển (x + ) theo thứ tự giảm dần bậc x, tổng hệ số hạng tử x thứ nhất, thứ hai, thứ ba 46 Tìm hạng tử không chứa x ĐS: 84 Dạng 2: Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 15: Chứng minh n n a S = C n + Cn + C n + + C n = 2n 2n −1 2n −1 b S = C 2n + C2n + C2n + + C 2n = C2n + C2n + C2n + + C2n = 2 k k n n n c S = C n + 2C n + Cn + + Cn + + Cn = 32n + Bài 16: Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x² + 1)n 1024, tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển ĐS: 210 Bài 17: Chứng minh n +1 n+2 2n +1 2n a S1 = C2n +1 + C 2n +1 + + C2n +1 = 2 d S = C02n + 22 C2n + C 2n + + 22n C2n 2n = 16 15 14 16 16 b S2 = C16 − C16 + C16 − + C16 = 2 4 2n 2n 2n −1 2n Bài 18: Chứng minh C 2n + C2n + C2n + + C2n = (2 + 1) Bài 19: Dùng đẳng thức (1 + x)m.(1 + x)n = (1 + x)m+n, chứng minh k k −1 k −2 m k −m k a C m C n + C m C n + C m C n + + C m C n = C m + n , m ≤ k ≤ n 2 2 n n b (Cn ) + (Cn ) + (C n ) + + (C n ) = C 2n k k +1 k +2 n −k n c C n Cn + Cn Cn + C n C n + + C n C n = (2n)! (n − k)!(n + k)! Bài 20: Tính giá trị biểu thức 2n 2n − 2 2n 2n −1 2n − 3 2n −1 A = C 2n + C2n + + C 2n B = C 2n + C2n + + C2n ĐS: A = (9n + 1)/2, B = (9n – 1)/2 17 16 17 17 17 Bài 21: Chứng minh C17 + C17 + + C17 = Dạng 3: Toán chia hết Nếu a chia cho b có số dư r a = bq + r Nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn Do an rn có số dư chia cho b Tức là: an ≡ rn (mod b) Vậy a ≡ r (mod b) an ≡ rn (mod b) Ví dụ: Chứng minh với số nguyên dương n ta có a) 4n + 15n – chia hết cho b) 16n – 15n – chia hết cho 225 HD: a) Ta có 4n = (3 + 1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + ≡ 3n + (mod 9) 4n + 15n – ≡ 3n + + 15n – (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy đpcm b) 16n = (1 + 15)n = + n.15 + + n.15n–1 + 15n ≡ + 15n (mod 152) Do đó: 16n – 15n – ≡ (mod 225) Vậy đpcm c) 26n+1 + 36n+1 + 56n + chia hết cho HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + = 2.64n + 3.729n + 15625n + = 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + Với số tự nhiên p q 7p + ≡ (mod 7) (7p + 1)q ≡ (mod 7) (7p + 1)q – ≡ (mod 7) Nên [(7p + 1)q – 1] chia hết cho Vậy biểu thức cho chia hết cho PHẦN B: XÁC SUẤT Khái niệm: – Không gian mẫu Ω: tập hợp kết xảy phép thử – Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A tập Ω – Biến cố không tập rỗng – Biến cố chắn tập Ω – Biến cố đối A biến cố A không xảy – Hợp hai biến cố biến cố A xảy B xảy – Giao hai biến cố biến cố A B đồng thời xảy ra, ký hiệu A ∩ B – Hai biến cố xung khắc giao chúng rỗng – Hai biến cố độc lập việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố n(A) – Xác suất biến cố A P(A) = n(Ω) Trong n(A) số phần tử tập A, n(Ω) số phần tử tập Ω Tính chất: – ≤ P(A) ≤ – P(A ∩ B) = P(A).P(B) biến cố độc lập – Xác suất biến cố hợp tổng xác suất biến cố chúng xung khác – Nếu hai biến cố khơng xung khắc xác suất biến cố hợp tổng xác suất biến cố trừ xác suất biến cố giao – Tổng xác suất hai biến cố bù Bài 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn ĐS: a) 5/36 b) 1/4 c) 3/4 Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn a) Tính xác suất để chọn em học mơn b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn không môn Văn ĐS: a) 1/20 b) 21/575 Bài 3: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm ĐS: a) 1/6 b) 1/6 Bài 4: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh ĐS: 5/8 Bài 5: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh ĐS: 0,5 Bài 6: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ 3/5, người thứ hai 1/2 Tính xác suất để thú bị bắn trúng ĐS: 4/5 Bài 7: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm ĐS: a) 1/6 b) 1/6 c) 11/36 d) 25/36 Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa b) Có đồng xu ngửa c) Có hai đồng xu ngửa ĐS: a) 1/16 b) 1/4 c) 11/16 Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để lấy a) bóng tốt b) bóng tốt ĐS: a) 7/11 b) 21/22 Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi mơn Tốn Văn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi mơn Tốn Văn ĐS: 21/190 Bài 11: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen ĐS: 46/57 Bài 12: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái ĐS: 8/15 Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình ĐS: a) 2/145 b) 18/29 c) 253/580 Bài 14: Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a Số số lẻ b Số chia hết cho c Số chia hết cho ĐS: a 4/7 b 1/7 c 1/7 ... đồn tàu có toa chở khác đánh dấu I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a Có cách xếp cho vị khách lên tàu b Có cách xếp cho vị khách lên tàu cho toa có vị khách... khơng gian cho 10 điểm phân biệt khơng có điểm tạo thành hình bình hành Từ điểm ta lập vector khác không kể vector không? ĐS: 90 Bài 7: Có số tự nhiên gồm chữ số cho a) Các chữ số khác nhau? b) Hai... khác nhau? b Chúng tạo tứ diện? 3 4 ĐS: a C p − Cq + b C p − Cq V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với số nguyên dương n cặp số thực a, b ta có: n (a + b) n = ∑ C nk a n −