Đang tải... (xem toàn văn)
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có C12 C84 cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai.. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyệ[r]
(1)Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Chuyên đề 11: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VAØ XÁC SUẤT SỬ DỤNG CÔNG THỨC Pn ,Ank ,Cnk Vấn đề 1: A PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI HOÁN VỊ Số hoán vị n phần tử: Pn =n! CHỈNH HỢP: Số chỉnh hợp: Am n n(n 1)(n 2) (n m 1) Am n n! (n m)! Ñieàu kieän: n m vaø n, m nguyeân döông TỔ HỢP: n(n 1)(n 2) (n m 1) Số tổ hợp: Cm n 1.2.3 m n! Cm n m!(n m)! n m Ñieàu kieän: n, m nguyeâ n döông Ta có công thức: n m 1/ Cm n Cn 1 m m 2/ Cm n 1 Cn 1 Cn 3/ C0n C1n C2n Cnn 2n Số tập hợp tập hợp n phân tử là 2n B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Chứng minh n 1 1 k k 1 k n Cn 1 Cn 1 Cn (n, k là các số nguyên dương, k n, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Giaûi Ta coù: n 1 1 n k!(n k)! (k 1)!(n k)! k k 1 n Cn 1 Cn 1 n (n 1)! k!(n k)! (n k) (k 1) n2 n! k!(n k)! k n! Cn 300 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (2) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k {1, 2…, n} cho số tập gồm k phần tử A là lớn Giaûi Số tập k phần tử tập hợp A Cnk Từ giả thiết suy ra: C4n 20C2n n2 5n 234 n 18 (vì n 4) Do k 1 C18 k C18 18 k 9 10 18 k < neân C118 C18 C18 C18 C18 C18 k 1 Vậy số tập gồm k phần tử A là lớn và k = Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tính giá trị biểu thức M A 4n 1 3A3n , bieát raèng : (n 1)! C2n1 2C2n2 2C2n3 C2n4 149 (n là số nguyên dương, A nk là số chỉnh hợp chập k n phần tử và Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Giaûi Ñieàu kieän: n Ta coù C2n1 2C2n2 2C2n3 C2n4 149 (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)! n2 + 4n 45 = n = hay n = 9 (loại) 6! 5! A64 3A35 2! 2! suy M = 6! 6! Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn đẳng thức: 2Pn 6A2n Pn A2n 12 ( Pn là số hoán vị n phần tử và A nk là số chỉnh hợp chập k n phần tử) Giaûi Ta coù: 12 (n , n 2) n! n! 2.n! n! 12 (n 2)! (n 2)! n! n! (6 n!) 2(6 n!) (6 n!) 2 (n 2)! (n 2)! n! n! n n! 20 n(n 1) n (n 2)! 2Pn 6A2n Pn A2n 301 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (3) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VAØ XÁC SUẤT A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI NGUYÊN TẮC ĐẾM bieán coá A vaø B A coù m caùch xaûy B coù n caùch xaûy bieán coá A vaø B cuøng xaûy coù m n caùch Biến cố A B xảy có m + n cách Chuù yù: Nguyeân taéc treân coù theå aùp duïng cho nhieàu bieán coá CHUÙ YÙ Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có hoán vị chỉnh hợp Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có tổ hợp XAÙC SUAÁT KHOÂNG GIAN MAÃU Không gian mẫu là tập hợp tất các kết có thể xảy Bieán coá A laø moät taäp cuûa khoâng gian maãu XAÙC SUAÁT Nếu các phần tử không gian mẫu có cùng khả xảy ra, h là số phân tử biến cố A, n là số phân tử không gian mẫu Xác suất để biến cố A xảy ra: h p(A) n CÁC CÔNG THỨC Khoâng gian maãu E laø bieán coá chaéc chaén xaûy ra: p(E) = Bieán coá laø bieán coá khoâng theå xaûy ra: p () = Bieán coá keùo theo A B laø bieán coá A xaûy thì bieán coá B xaûy ra: A B P(A) p(B) A B laø bieán coá (A xaûy hay B xaûy ra) p(A B) = p(A) + p(B) p(A B) A B laø bieán coá A vaø B cuøng xaûy Biến cố A và B đối lập không cùng xảy Khi đó, ta có A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B) Biến cố A là đối lập A: p( A ) = p(A) Xaùc xuaát coù ñieàu kieän: Biến cố A xảy với điều kiện biến cố B đã xảy ra: p(A B) p(A B) p(B) hay p(A B) = p(B).p(AB) Biến cố A và B độc lập biến cố B có xảy hay không thì xác suất A không đổi: p(AB)=p(A) p(A B) = p(A)p(B) 302 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (4) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Caàn choïn hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, cho hoïc sinh naøy thuoäc khoâng quaù lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? Giaûi Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh đã cho là C12 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít em tính sau: Lớp A có học sinh, các lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C25 C14 C13 120 Lớp B có học sinh, các lớp C, A lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C24 C13 90 Lớp C có học sinh, các lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C14 C32 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø 495 270 = 225 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ? Giaûi Coù C13C12 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ thì có C12 C84 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ và tỉnh thứ hai thì có C11C44 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ ba Số cách phân công niên tình nguyện tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán laø: C13 C12 C12 C84 C11.C44 207900 caùch Baøi 3: Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc goàm caâu hoûi khoù, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít 2? 303 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (5) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Giaûi Có trường hợp xảy 2 Trường hợp 1: dễ + 1trung bình + khó: C15 C10C5 10.500 2 Trường hợp 2: dễ + trung bình + khó: C15 C10C5 23.625 1 Trường hợp 3: dễ + trung bình + khó: C15 C10C5 22750 2 2 1 Theo qui taéc coäng ta coù: C15 C10 C5 + C15 C10 C5 + C15 C10 C5 = 56875 đề Baøi 4: Cho đa giác A1A2 A2n (n 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O), biết raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 2n ñieåm A1, A2, A2n nhieàu gaáp 20 laàn số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n Giaûi Số tam giác thỏa mãn đề bài là C32n Số đường chéo qua tâm đường tròn là n, đường chéo qua tâm thì có hình chữ nhật suy ta có C2n hình chữ nhật Theo giaû thieát ta coù C22n 20C2n n2 9n n = V n = (loại) Kết luận n = Baøi 5: Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11 và học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít em chọn Giaûi Số cách chọn học sinh từ 18 học sinh đội tuyển là: 18! C18 43758 caùch 8!10! Soá caùch choïn hoïc sinh chæ goàm coù hai khoái laø: Soá caùch choïn hoïc sinh khoái 12 vaø 11 laø C13 Soá caùch choïn hoïc sinh khoái 11 vaø 10 laø C11 Số cách chọn học sinh từ khối 10 và 12 là C12 8 C11 C12 Soá caùch choïn theo ycbt: 43758 C13 = 41811 caùch 304 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (6) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN NHỊ THỨC NIUTƠN Vấn đề 3: A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI NHỊ THỨC NIUTƠN: n (a + b) = C0n an C1n an1b Cnn bn Chuù yù: Soá muõ cuûa a taêng daàn, soá muõ b giaûm daàn coù toång baèng n n m Các hệ số đối xứng: Cm n Cn Tam giaùc Pascal: n=0 1 n=1 1 3 n=2 n=3 Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta có thể viết khai triển Niutơn B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn, đó n N* và các hệ số a0, a a a1, …, an thỏa mãn hệ thức a0 nn 4096 Tìm số lớn các số 2 a0, a1, … , an Giaûi n Từ khai triển: (1 + 2x) = a0 + a1x + … + anxn a a Chọn x ta được: 2n a0 nn 4096 212 n 12 2 Vậy biểu thức khai triển là: (1 + 2x)12 k k k Soá haïng toång quaùt laø C12 x (k , k 12) k k 1 heä soá toång quaùt laø ak 2k.C12 ; ak 1 2k 1.C12 k k 1 ak < ak + 2k.C12 2k 1.C12 2k 12! 12! 2k 1 k!(12 k)! (k 1)!(12 k 1)! k + < 24 – 2k k Maø k 23 Do đó: a0 < a1 < a2 < … < a8 Tương tự: ak > ak + k > Do đó: a8 > a9 > … > a12 126720 Số lớn các số a0, a1, …, a12 là: a8 28.C12 305 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (7) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 2n 1 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C12n C32n C2n 2048 ( Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử) Giaûi C12n C32n 2n 1 C2n 2n Ta coù: 1 x 2048 (*) 1 2n 1 2n C2n C12n x C22n x2 C32n x3 C2n C2n 2n x 2n x Với x = thay vào (*) ta được: 1 2n 22n C2n C12n C32n C2n 2n C2n (1) Với x = 1 thay vào (*) ta được: 2n 1 C2n C12n C2n C32n C2n C2n 2n (2) 2n 1 Lấy (1) trừ (2) ta được: 22n C12n C32n C2n 4096 212 n Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Chứng minh rằng: 1 1 2n 1 22n C2n C32n C52n C2n 2n 2n (n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Giaûi Ta coù: 2n 2n 2n 2n (1 x)2n C2n C12n x C2n x ,(1 x)2n C2n C12n x C2n x 2n1 2n 1 (1 x)2n (1 x)2n 2(C12n x C32n x3 C2n x ) (1 x)2n (1 x)2n 1 2n 1 dx (C12n x C32n x3 C52n x5 C2n )dx 2n x (1 x)2n (1 x)2n (1 x)2n 1 (1 x)2n 1 dx 2(2n 1) C2n x C2n x 3 22n 2n (1) 5 2n 1 2n 1 C2n x C2n x dx 2n x2 x4 x 2n 1 x C12n C32n C2n C2n 2n 0 1 2n 1 C12n C32n C2n C2n 2n Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh 306 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (2) (8) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Tìm hệ số số hạng chứa x10trong khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n, biết: 3n C0n 3n1 C1n 3n2 C2n 3n3 C3n (1)n Cnn 2048 (n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Giaûi n Ta coù: C0n 3n1 C1n n 2 C2n 3 (1)n Cnn (3 1)n 2n Từ giả thiết suy n = 11 Hệ số số hạng chứa x10 khai triển Niutơn (2 + x)11 là: C10 11 22 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 –2x)5 + x2(1 + 3x)10 Giaûi Heä soá cuûa x khai trieån cuûa x(1 2x)5 laø (2)4 C54 Heä soá cuûa x5 khai trieån cuûa x2(1 + 3x)10 laø 33 C10 Heä soá cuûa x5 khai trieån cuûa x(1 2x)5 + x2(1 + 3x)10 laø: (2)4 C54 33 C10 3320 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn n 1 n 20 7 x bieát raèng C2n1 C2n1 C2n1 x (n nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử) Giaûi Từ giả thiết suy ra: C2n 1 C12n1 n 20 C2n 1 (1) k 2n 1 k Vì C2n k, k 2n +1 neân: 1 C2n1 n C2n 1 C2n 1 C2n 1 2n 1 C2n 1 C12n 1 C2n 1 (2) Từ khai triển nhị thức Niutơn (1 1)2n1 suy ra: 2n 1 2n 1 C2n 22n1 1 C2n 1 C2n 1 (1 1) 2n Từ (1), (2) và (3) suy : 10 Ta coù: x7 x 10 20 2 (3) hay n = 10 10 x7 C10k x11k40 k 0 k 0 k C10 x4 10 k k k Heä soá cuûa x26 laø C10 với k thỏa mãn: 11k 40 = 26 k = 6 Vậy hệ số số hạng chứa x26 là : C10 210 307 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (9) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Tìm soá nguyeân döông n cho: 2n 2n 1 C12n1 2.2C22n1 3.22 C32n1 4.23 C2n 1 (2n 1).2 C2n1 = 2005 ( Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử ) 2n1 Ta coù: 1 x Giaûi 2 C2n 1 C2n 1x C2n 1x 1 2n 1 C32n1x3 C2n x 2n 1x Đạo hàm hai vế ta có: 2n (2n 1) 1 x 1 2n C12n1 2C22n1x 3C32n1x2 (2n 1)C2n x 2n1x Thay x = 2 ta coù: 2 n 2n 1 C12n1 2.2C2n 1 3.2 C2n1 4.2C2n1 (2n 1).2 C2n1 2n Theo giaû thieát ta coù 2n + = 2005 n = 1002 Baøi 8: Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1 x2 1 x Giaûi 1 x 1 x C8 C8x 1 x C82 x4 1 x 2 C38x6 1 x 3 + C88x16 1 x Số hạng chứa x8 khai triển có C38x6 1 x và C84 x8 1 x Suy heä soá cuûa x8 laø 3C38 C84 238 Baøi 9: Tìm các số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn 3 x với x > x Giaûi 7 3 C7k x4 x k 0 k 7 k k x C7k x 4 x k 0 7k k Số hạng không chứa x ứng với 28 4k 3k = k = 4 7! Số hạng không chứa x là C7k 35 3!4! Baøi 10: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn 5 3 x x n 7 k bieá t raè ng Cnn14 Cnn 3 7(n 3) (n là số nguyên dương, x > 0, Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử) 308 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (10) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Cnn14 Cnn 3 Giaûi n + ! n 3! n 3 n 3 n 1!3! n!3! (n + 3) (3n 36) = n = 12 12 5 3 x x Vaäy Cho x 3 k 0 12 k k 5 x2 12 k C12 12 k 3 k x x 12 k x8 x 3k 12 Vaäy heä soá cuûa x8 khai trieån x5 x =8k=4 laø C12 495 Baøi 11: Cho n laø soá nguyeân döông Tính toång: C0n 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn n 1 ( Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Giaûi Xeùt 1 x n C0n C1n x C2n x2 Cnn x4 n 1 x dx Cn Cn x Cn x 2 1 x n1 n 1 Cnn xn dx x2 x3 xn 1 Cn x C1n C2n Cnn n 3n1 2n1 22 1 23 2n 1 n C0n Cn Cn Cn n 1 n 1 Baøi 12: Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số x3n3 khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n 3 = 26n Giaûi x2 n x2 n k 0 n Cnk x2n 2k n h 0 Cnh x n h 2h n n Cnk Cnh x3n(2kh) k 0 h 0 Ycbt 2k + h = k = h = hay (k = vaø h = 3) a3n3 2C1n C1n 23 Cn0 C3n 26n n = 309 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (11) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – Baøi 13: Cho khai triển nhị thức: 2 x 1 2 x n C0n 2 x 1 n C1n 2 2 + C 2 x 1 n 1 x n 1 n x 1 x n 1 Cnn 2 x n (n là số nguyên dương) Biết khai triển đó C3n 5C1n và số hạng thứ tư 20n Tìm n và x Giaûi + n Z , n Ta coù C3n 5C1n n = V n = (loạ i) n (n 1) 30 Số hạng thứ tư 20n nên ta có C37 2 x 1 2 x 3 140 2x2 22 x = x = Baøi 14: Tìm soá nguyeân döông n cho C0n 2C1n 4C2n 2n Cnn 243 Giaûi C0n 2C1n 4C2n 2n Cnn 243 (*) n Ta coù 1 x C0n xC1n x2C2n xn Cnn (* *) Theá x = vaøo (* *) ta coù: 1 2n C0n 2C1n 4C2n 2n Cnn 243 3n = 243 n = Baøi 15: n Giả sử n là số nguyên dương và 1 x a0 a1x a2 x2 ak x k an xn Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 k n 1) cho ak ak ak 1 24 Haõy tính n Giaûi Ta coù: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn a a a Ck 1 Ck Ck 1 Vì k 1 k k 1 n n n 24 24 k k Cn Cn 2n k 2 n k 1 9k 11 k k 1 3 n k k 1 Cn Cn k 3n 24 11 3n – = 2n + n = 10 310 http://kienthuchay.info http://kienthuchay.info (12)