Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x 0 = m cắt các ñường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñ[r]
(1)11 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ KHẢO SÁT HS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài Cho hàm số y = x − 3x + 2 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số Gọi d là tiếp tuyến (C) tai ñiểm M có x M = a Tìm a ñể d cắt trở lại (C) hai ñiểm phân biệt P, Q khác M Tìm quỹ tích trung ñiểm K ñoạn PQ Bài Cho hàm số y = x − 2x + mx + m − 1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số m = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = x + Từ ñó biện luận theo k số nghiệm và xét dấu các nghiệm phương trình x − 2x − k = 1 Tìm m ñể hàm số ñã cho ñồng biến trên khoảng 0; 3 2x + Bài Cho hàm số y = (C) x+2 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số Chứng minh d: y = − x + m luôn cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ Tìm a ñể phương trình 2sin x + = a có hai nghiệm phân biệt trên ñoạn [ 0; π] sin x + Bài Cho hàm số y = x − 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x − 4(m + 1)m Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = Chứng minh m thay ñổi thì ñồ thị hàm số luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lớn Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số (m + 1)x + m Bài Cho hàm số y = x+m Khi m = 1: Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số; tìm trên (C) ñiểm có tổng khoảng cách ñến hai ñường tiệm cận nhỏ Tìm m ñể tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x = m cắt các ñường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích diện tích tam giác tạo tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñộ Bài Cho hàm số y = − x + 2(m + 1)x − 2m − 1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số m = Tính diện tích tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị (C) Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng 1; ( ) Bài Cho hàm số y = 4x − 3x + 1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số Biện luận theo k số nghiệm PT 4x − 3x + 2k = ðiểm A ∈ (C), x A = ðường thẳng d ñi qua A và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt A, M, N x − xM xP − xM = Tìm quỹ tích ñiểm P m thay ñổi ðiểm P ∈ (C) thoả mãn A x N − xA xP − x N Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (2) 12 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PT - BẤT PT Bài Giải phương trình x+3 1) x − x − 12 = 3x − 12 2) Bài Giải bất phương trình 1) 6log x + x log x ≤ 12 4x + − 3x − = 3) 3(2 + x − 2) = 2x + x + 2) 21− x − 2x + x ≤ −1 Bài 10 Giải hệ phương trình 3 1 + x y = 19x xy − 10 = 20 − x x + + − y = 3) 1) 2) y + xy + 6x = xy = + y y + + − x = Bài 11 Tìm m ñể tổng bình phương tất các nghiệm phương trình sau lớn 2log (2x − x + 2m − 4m ) + log (x + mx − 2m ) = Bài 12 Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau 1) x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + 3) 2x − = x.3 16 − 2x + 2) x − 2x + ≥ − x 4)x + x + 12 x + = 36 5) log x (5x − 8x + 3) > x − 4xy + y = x + 2xy − 3y = 4 x + y −1 + 3.42y −1 ≤ ln(1 + x) − ln(1+y) = x − y 6) 7) 8) 9) 2 + ≥ − x 3y log + = − − + = x | x | y | y | x 12xy 20y y = + 3xy Bài 13 Tìm m ñể phương trình x + = m + x có nghiệm Bài 14 Tìm m ñể bất phương trình m.4x + (m − 1).2x + + m − > nghiệm ñúng với x LƯỢNG GIÁC + cos B 2a + c = , chứng minh tam giác ABC là tam giác cân 2 sin B 4a − c Bài 16 Giải phương trình lượng giác 4x 1) cos = cos x 2) tan 2x.tan 3x.tan 5x = tan 2x − tan 3x + tan 5x Bài 17 Giải phương trình lượng giác x x sin + cos cos x(2sin x + 2) − 2cos x − 2 − tan x.sin x = + sin x + tan x 1) = 2) + sin 2x − sin x Bài 18 Giải phương trình lượng giác Bài 15 Cho 1)5sin x − = 3(1 − sin x) tan x 2)(2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2x − s inx 3) cos2 3x.cos 2x − cos x = 4)1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 5)1 + cos x = cos 2x + cos3x π π 6)cos x + sin x + cos(x − )sin(3x − ) = 4 x 7)sin x(1 + tan x tan ) = − c otx 8)sin 3x − cos3 x = sin x(cos x − sin x cos x) 9)2sin 2x + sin 7x = + s inx 10)(1 + sin 2x) cos 2x + (1 + cos 2x)sin 2x = + 2sin 2x cos 2x Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (3) 13 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh 11)(sin x + cos x) + cos 2x = 12)2sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + 2cos 2x 2(cos6 x + sin x) − sin 2x 1 15π 13) = 14) + = 4sin( − x) sin x sin(x − 3π ) − 2sin x NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Bài 19 Tính 1)I1 = π ln dx ∫ 3cos x + 2sin 2x + 2)I2 = ∫ dx 1+ e 3)I3 = ∫ ln (x+ + x )dx 4)I4 = 4x π − sinx x ∫ − cos x e dx π Bài 20 Tuỳ theo tham số m, tính diện tích hình phẳng giới hạn các ñường y = x + x; y = 3x − m; x = 0; x = Bài 21 Chứng minh với n ∈N * ta có Bài 22 Tính 1) ∫ lnxdx x 1) ∫ tan xdx 2) ∫ cos2x ln Bài 23 Tính π dx x ln e + 2e −x −3 1 2n −1 22n − C2n + C2n + C2n + + C2n = 2n 2n + e 4) ∫ (x − 2)e 2x dx xdx + − x 1 2) ∫ 3) ∫ x ln xdx 3) ∫ x dx (1 − x) 4) ∫ dx 31+ x Bài 24 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai ñồ thị y = (e + 1)x; y = (1 + e x )x Bài 25 Tính tích phân J = ∫ x x + m dx, với m là tham số HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP Bài 26 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N là trung ñiểm SB, SC Biết (SBC) ⊥ (AMND) Tính diện tích tứ giác AMND Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối ña diện NMABCD Bài 27 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P là trung ñiểm AB, DD’, B’C’ Chứng minh MN//(BDC’) và tính góc hai ñường thẳng MN, A’P Bài 28 Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 > a2 + b2) Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’ Xác ñịnh thiết diện lăng trụ cắt (P) và tính diện tích thiết diện ñó Bài 29 Cho ∆ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Trên ñường thẳng vuông góc với (ABC) A ta lấy ñiểm S cho góc hai mặt phẳng (ABC), (SBC) là 600 Tính SA Bài 30 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy a, gọi M, N là trung ñiểm SB, SC, và (SBC) ⊥ (AMN) Tính diện tích ∆AMN Bài 31 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, có I, J là trung ñiểm CD, A’D’ Chứng minh B'I ⊥ C 'J Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (4) 14 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh Trên các cạnh AB, B’C’, CC’, D’A’ lấy các ñiểm M, N, P, Q cho MB = xAB, B' N = xB'C', CP = yCC', D 'Q = yD 'A ' Tìm mối liên hệ x và y ñể MN ⊥ PQ Bài 32 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a Tính góc hai ñường thẳng AB, SC, và tính thể tích khối chóp S.ABC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG (Các bài toán phần này ñều xét mặt phẳng toạ ñộ Oxy) Bài 33 Cho hai ñường tròn (C1) x + y − (m + 6)x + 2my + = 0, (C2 ) x + y − 12x − 6y + 44 = Khi m = 0: viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) và (C2) Tìm quỹ tích tâm ñường tròn (C1) Bài 34 Cho hai ñiểm A, B di ñộng trên (P)y = x cho AB = Giả sử xA < xB Tìm quỹ tích trung ñiểm ñoạn AB Xác ñịnh A, B ñể diện tích hình phẳng giới hạn (P) và ñường thẳng AB ñạt giá trị lớn x = − t x = 11 + 4t ' Bài 35 Cho A là giao hai ñường thẳng d : ; d': Viết phương trình ñường y = −1 − 9t y = − 3t ' thẳng ∆ qua M(5; 0), cắt d, d’ B, C cho diện tích ∆ABM lần diện tích ∆ACM Bài 36 Cho elip (E) có hai tiêu ñiểm và hai ñỉnh trên trục Oy cùng nằm trên ñường tròn Bốn ñỉnh (E) là bốn ñỉnh tứ giác có diện tích 2 Viết phương trình chính tắc (E) Gọi M là ñiểm di ñộng trên (E), F1 và F2 là hai tiêu ñiểm (E) Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác MF1F2 Bài 37 Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua O(0; 0) cho khoảng cách từ A(−3; 5) tới d lần khoảng cách từ B(1; 1) tới d Bài 38 ðường thẳng d1 ñi qua A(1; 4) và cắt d2: 2x + y − = B có xB = − Viết phương trình ñường tròn ñi qua O(0; 0) và tiếp xúc với d1, d2 Bài 39 Cho ∆ABC có ñỉnh A(2; 1), ñường cao BH: x − 3y − = 0, ñường trung tuyến CM: x + y + = Tìm toạ ñộ ñỉnh B, C Bài 40 Tìm m ñể ∆ : y = 2x − m cắt (E) : x y2 + = hai ñiểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung 64 ñiểm I ñoạn AB PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG KHÔNG GIAN (Các bài toán phần này ñều xét không gian toạ ñộ Oxyz) Bài 41 Cho A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), (P): x + y + z − = Viết phương trình mặt cầu ñi qua A, B, C và có tâm thuộc (P) x = −3 + 2t Bài 42 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A(−4; −2; 4), vuông góc và cắt d : y = − t z = −1 + 4t Bài 43 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc toạ ñộ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M là trung ñiểm cạnh SC Tính góc và khoảng cách hai ñường thẳng SA, BM Gọi N = SD ∩ (ABM) Tính thể tích khối chóp S.ABMN x − y +1 z + Bài 44 Cho A(−1; 2; 4), B(−2; 3; 5) Tìm ñiểm M trên d : = = ñể MA + MB nhỏ −1 Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (5) 15 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh x −1 y + z = = −1 Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G ∆OAB và vuông góc với (OAB) Tìm ñiểm M thuộc ∆ ñể MA2 + MB2 nhỏ Bài 46 Cho A(1; 7; 1), B(5; 5; −3) Tìm ñiểm M thuộc mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + = cho MA2 + MB2 nhỏ x = −1 + t Bài 47 Cho A(1; −1; 0), B(1; 0; 1) Tìm ñiểm M thuộc d : y = + t ñể diện tích ∆MAB nhỏ z = −2 x = −1 − 2t x y z Bài 48 Cho hai ñường thẳng d1 : = = , d : y = t 1 z = + t Xét vị trí tương ñối d1 và d2 Tìm hai ñiểm M, N thuộc d1 và d2 cho MN//(P): x − y + z = và MN = Bài 49 Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; ; 0), A’(0; 0; 2) Chứng minh A’C vuông góc với BC’, và viết phương trình mặt phẳng (ABC’) Viết phương trình hình chiếu vuông góc B’C’ trên (ABC’) x −1 y + z Bài 50 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(3; 2; 1), vuông góc với d1 : = = và 1 x = t cắt d : y = 2t + z = −1 + t Bài 51 Viết phương trình mặt cầu tâm M(1; 2; 3) và cắt (P): 2x + 2y + z + = theo ñường tròn có bán kính là Tính diện tích và thể tích khối cầu tương ứng Bài 45 Cho A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4), ∆ : TỔ HỢP - XÁC SUẤT - THỐNG KÊ Bài 52 Tìm số hạng cứa x y z t khai triển (x + y + z + t)20 6 Bài 53 Tính tổng 12 C1n + 22 Cn2 + 32 Cn2 + + n 2Cnn (n ∈ N *) Bài 54 Một hộp có 10 viên bi, gồm bi xanh, bi ñỏ, bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp ñã cho Tính xác suất ñể bi lấy có ñủ ba loại xanh, ñỏ, vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp ñã cho Tính xác suất ñể bi lấy có ñủ ba loại xanh, ñỏ, vàng Bài 55 Cho khai triển n x x x x x −1 x −1 x −1 x −1 − − − − n n n 2 n − − 2 + = C (2 ) + C (2 ) (2 ) + C (2 ) (2 ) + + Cn (2 ) n , n n n biết C3n = 5C1n và số hạng thứ tư khai triển trên 20n Tìm x và n Bài 56 Tìm n biết C0n + 2C1n + 4Cn2 + + 2n Cnn = 243 Bài 57 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập ñược bao nhiêu số nguyên dương có chữ số phân biệt và chữ số ñứng cạnh chữ số 3? Bài 58 Tính tổng +1 A = C12n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C32n +1 − 4.23 C42n +1 + + (2n + 1).22n C2n 2n +1 1 B = 1.C0n + C1n + C2n + + Cnn n +1 Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (6) 16 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh Bài 59 Tìm số hạng có hệ số lớn khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn biết a a a a + + + + n = 4096 2n Bài 60a Cần lập ñề thi gồm câu ñược lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng gồm 60 câu (trong ñó có 20 câu dễ, 20 câu trung bình, 20 câu khó) Tính xác suất ñể ñề thi ñược lập thoả mãn ba yêu cầu: số câu dễ không ít 2, số câu trung bình không ít 1, số câu khó không ít Bài 60b Lấy tuỳ ý số nguyên dương có chữ số Tính xác suất ñể số lấy là số có mặt ch ữ số 1, ch ữ số 2, và chữ số SỐ PHỨC Bài 61 Giải phương trình trên tập số phức z − z + z3 − z + z − = Bài 62 Tìm số phức z thỏa mãn 1) |z| = , phần ảo z hai lần phần thực nó 2) z − (2 + i) = 10 và z.z = 25 3) z2 = – 4i Bài 63 Tìm các số thực x, y biết 2x − y +2i = y + − (x − 2)i Bài 64 Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn 1) |z + 2i| ≤ 2) |z| = |2z – 4i| 3) |z + i| = |z –2| 10 BẤT ðẲNG THỨC - GTLN, NN π Bài 65 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x) = 2cos2x + 4s inx trên ñoạn 0; 2 Bài 66 Cho x + x = y + 12 và y ≤ 0, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A = xy + x + 2y + 17 Bài 67 2 1 + + ≤ + + Cho a, b, c dương Chứng minh 2 a + bc b + ca c + ab ab bc ca 1 + + Cho a, b, c dương, và a + b + c = 2abc Tìm giá trị lớn P = 2 a + bc b + ca c + ab Bài 68 Chứng minh x > thì (x + 1)2 + + 1 ≥ 16 x x Bài 69 Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a + b + c + a + b + c + a + b + c ≥ a c b Bài 70 Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b2 + c2 + Bài 71 Cho ∆ABC có cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + + p−a p−b p−c a b c Bài 72 Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: x x3 + y + y y3 + z2 + z z3 + x2 ≤ b c2 + a2 x2 + y2 + c a2 + b2 + z2 ≥ 3 Bài 73 Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab Bài 74 Cho a > 0, b > 0, a + b = c Chứng minh m > thì am + bm < cm Chứng minh < m < thì am + bm > cm Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (7) 17 Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số − Bắc Ninh 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC −2x x ≥ Bài 75 Cho hàm số f (x) = x < sin x Chứng minh f(x) liên tục x0 = Chứng minh x0 = hàm số không có ñạo hàm, f(x) ñạt cực ñại ñiểm ñó Bài 76 Tìm giới hạn + x + x −1 3x − + 2x + e3x − π 1) lim 2) lim 3) lim 4) lim tan 2x tan( − x) π ln(2x + 1) − cos x x →0 x →0 x →0 tan 4x x→ ax + b x < Bài 77 Tìm a b ñể hàm số f (x) = có ñạo hàm x = Khi ñó hãy viết phương 1 + lnx x ≥ trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x = 12 BÀI TOÁN TỔNG HỢP Bài 78 Chứng minh phương trình 3x5 − 15x − 13 = có nghiệm x0 Và chứng minh 260 < x < a x + a −x a x − a −x Bài 79 Cho hai hàm số f (x) = ; g(x) = Với a > và a ≠ 2 Chứng minh f(x) là hàm chẵn, g(x) là hàm lẻ (trên R) Tìm giá trị nhỏ f(x) trên R Bài 80 Cho hàm số f (x) = a (x + 1)3 + bxe Tìm a, b ñể f '(0) = −22; ∫ f (x)dx = x Bài 81 Tìm ba số thực x, y, z cho ba số x, − z, y − theo thứ tự lập thành cấp số cộng, và ba số −1, x − 1, y + z + 4z − theo thứ tự lập thành cấp số nhân Bài 82 Chứng minh phương trình x x +1 = (x + 1) x có nghiệm dương Bài 83 Tìm m ñể phương trình m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x có nghiệm Bài 84 So sánh hai số 20092010 và 20102009 So sánh hai số 2009 2009 và 2010 2010 Năm tháng trôi qua cách vô vị ñối với nhìn tương lai qua cặp kính viễn vọng nhà thông thái và biết hái hoa tại, biết sử dụng thời gian giống cái cây năm cao thêm ngấn, thì họ có hạnh phúc! Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN Lop12.net (8)