Hệ thống bài tập tổ hợp xác suất 11

Baøi 10 : Xaùc suaát ñeå 1 saûn phaåm cuûa nhaø maùy A bò hoûng laø 0,05, khi kieåm tra moät loâ haøng goàm caùc saûn phaåm cuûa nhaø maùy A, ngöôøi ta laáy ngaãu nhieân n saûn phaåm tro[r]

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP CHƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Quy tác cộng, Quy tắc nhân:

1 Một trường phổ thơng có 12 học sinh chuyên Tin 18 học sinh chuyên Toán Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên Toán học sinh chuyên Tin Hỏi có cách lập đồn ?

2 Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8

a Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác ?

b Có số gồm chữ số đôi khác chia hết cho ?

3 Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ chữ số: 0,2,3,6,9 ? Có số chẵn có chữ số đơi khác ?

5 Từ số 0,1,2,3,4,5

a Có số có ba chữ số khác chia hết cho ? b có số có chữ số khác chia hết cho ?

Hoán vị.

1 Cho chữ số 1,2,3,4,5

a Có số có chữ số khác ?

b Có số có chữ số đơi khác bắt đầu số ?

c Có số có chữ số đơi khác khơng bắt đầu số 1? d Có số có chữ số khác bắt đầu chữ số lẻ ?

2 Có xếp bạn A,B,C,D, E vào ghế dài cho: a Bạn C ngồi ?

b Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế ?

3 Một học sinh có 12 sách đơi khác có Văn, Tốn, Anh Văn, Hỏi có cách sách lên kệ dài cho môn nằm kề ?

4 Có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu:

a Các học sinh ngồi tuỳ ý ?

b Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn ?

5 Xét số gồm chữ số có chữ số chữ số lại 2,3,4,5 Hỏi có cách nếu:

a Năm chữ số xếp kề ? b Năm chữ số xếp tuỳ ý ?

Chỉnh hợp.

1 Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số đơi khác ? Có số tự nhiên có chữ số đôi khác ?

3 Từ số 0,1,3,5,7 lập số gồm chữ số khác nhau: a Chia hết cho ?

b Không chia hết cho ?

4 Từ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số có chữ số khác đó: a Số tạo thành số chẵn ?

b Một chữ số phải có mặt số ? c Nhất thiết phải có mặt chữ số ?

d Phải có mặt hai số ?

5 Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc số có chữ số khác nhỏ 276 ? Giải phương trình bất phương trình sau:

b A3x 5Ax2 21x c A10x Ax9 9Ax8

Tổ hợp.

1 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời câu a Hỏi có cách chọn tuỳ ý ?

b Hỏi có cách chọn câu đầu bắt buộc ?

c Hỏi có cách chọn câu đầu câu sau?

2 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho đề kiểm tra Hỏi có cách chọn ?

3 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Mỗi bì thư dán tem Hỏi có cách làm ?

4 Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự Hội nghị cho có cán lớp ?

5 (ĐH Y-2000) Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý Muốn lập đồn cơng tác có nguời gồm nam lẫn nữ, cần có nhà Tốn học lẫn Vật lý Hỏi có cách chọn ?

6 Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời có nữ, nam Có cách chia đội văn nghệ:

a Thành hai nhóm có số nguời nhóm có số nữ ? b Có cách chọn người khơng q nam ?

7 Có hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, d2 lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà có đỉnh điểm lấy ?

8 Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng, cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có cách chọn:

a Trong cầu chọn có đủ ba màu ? b Khơng có đủ ba màu ?

9 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ?

10 (ĐH-CĐ khối B-2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi số câu hỏi dễ không ?

11 Đội TNXK trường có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A ; học sinh lớp B ; học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn ?

12 Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Cử em dự trại hè cho khối có em Hỏi có cách cử ?

13 Một tiệc có 10 nam nữ biết khiêu vũ Hỏi có cách chọn nam nữ để ghép thành cặp nhảy ?

14 Bill Gate có người bạn thân.Ơng muốn mời số họ chơi xa Trong 11 người có người khơng muốn gặp mặt Hỏi ngài tỷ phú có cách mời ?

16 ĐH-CĐ khối B-2005

Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội tình nguyện tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ?

Cho đa giác A1,A2, A2n(nN n 2) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam

giác có đỉnh 2n đỉnh A1, A2, ,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh A1, A2, ,A2n Tìm n

RÚT GỌN BIỂU THỨC

1/ Rút gọn biểu thức sau:

a A =

4 10

P P P P

P P P P P

 



 

  b B =

6 n n

4 n A +A

A c C =

2

5

5

4

5 5

3

P P P P

A

A A A A

P 2P           d D= n+1 n n-k P A P +

5

15 15 15 17

C +2C C

C 

e E =

2 3

6 15

3

1 1

C - C C

3 28 65

P A  f F= 5 A - A

P + P P

2/ Chứng minh :

a n n P = n-1

1

P + n-2

P b n+2 n+1 n

n+k n+k n+k A A k A

c P A A Ak 2n+1 2n+3 2n+5 n.k!A5n+5 d

k n-k n n C C

Phương trình liên quan đến cơng thức tổ hợp:

Giải PT BPT sau:

1 Cx16Cx26Cx2 9x114x P2x2-P3 x=8

2

x 2x

2A +50=A , x N

4 A3x Cx2 14Cxx



  5

1 x x x

7 C +C +C = x

2

3 2

x-1 x-1 x-2

C C = A

3 

7 1x 2x+1 1x+4

1

=

C  C 6C 8 n-2

n n

A +C =14n 2 3

n n n

A  C  A

10 2Cx213Ax230 11

2 10 x

x x x

A A C

x

  

12

! ( 1)!

( 1)!

x x

x  

 

13 Giải bất phươngtrình

4

2 15

n

n n n

P

P P P



  

14 Giải hệ: a)

2 90

5 80

y y x x y y x x A C A C        

 15

2

1

5 y y

x x y y x x C C C C         

 16 C23n 20Cn2

Các tốn tổng hợp:

1 Có thể lập số có chữ số từ số 1,2,3,4,5,6 có mặt hai lần, số cịn lại lần ?

2 Có số chẵn gồm chữ số khác chữ số số lẻ ?

3 Có số gồm chữ số khác có chữ số chẵn chữ số lẻ ?

4, Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác có mặt số khơng có mặt số 1?

6.Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n >1) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n

7.Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6, lặp số chẵn, số có chữ số khác có chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh ?

8 Từ số 0,1,2,3,4 lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên ?

9 Có số tự nhiên gồm chữ số cho: Chữ số có mặt hai lần, số có mặt lần, số cịn lại phân biệt ?

10 Có số tự nhiên có bốn chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần ?

11 Có số tự nhiên có chữ số cho: Số có mặt lần, số có mặt lần, số cịn lại không lần ?

12 Cho đa giác A1, A2, A2n nội tiếp đường tròn tâm O, biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm.Tìm n 13 Từ số 1,2, ,6 Lập số có chữ số khác chia hết cho ?

14 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác không bắt đầu 123 ?

Nhị thức Newton

I Áp dụng cơng thức khai triển:

1 Tìm hệ số số hạng thứ tư khai triển

10 x x       

2 Tìm hệ số số hạng thứ 31 khai triển

40 x x       

3 Tìm hạng tử chứa x2 khai triển:  

7 x x



4 Tìm hạng tử khơng chứa x khai triển sau:

a 12 3 x x     

  b

7 x x       

5 Tìm hệ số x12y13 khai triển (2x-3y)25

6 Tìm hạng tử đứng khai triển

10 x x        .

7 Trong khai triển

21 3 a b b a     

  Tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ ?

II Khai triển với giả thiết có điều kiện.

1/ Biết khai triển

2 n x x     

  Tổng hệ số số hạng thứ nhất, hai, ba 46 Tìm số hạng

khơng chứa x ?

2/ Cho biết tổng ba hệ số ba số hạng khai triển

2 n x x      

  là 97 Tìm hạng tử

3/ Cho khai triển

0 1

1 1

( 1)

3 3

n

n n n n

n n n n

x C x C x  C

 

    

 

  Biết hệ số số hạng thứ ba trong

khai triểnlà Tìm số hạng ?

4/ Cho khai triển

3

2

2

( )n ( )n n( )n

n n

x C x C

x x

   

Biết tổng ba hệ số đầu 33.Tìm hệ số x2.

5/ Tìm số hạng chứa x8 khai triển

5 n x x     

  Biết 41 7( 3)

n n

n n

C  C n

    

6/ Tìm hệ số x7 khai triển (2 - 3x)n n thoả mãn hệ thức sau:

1

2 1024

n

n n n

C C C 

      

7/ Giải phương trình sau: 22 24 22 22007

n

n n n

C C  C  

8/ Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển

7 n x x     

  biết n thoả mãn hệ thức

1 20

2 2 2

n

n n n n

C C C C 

         

9/ Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2+x)n biết :

0 1 2

3n 3n 3n ( 1)n n 2048

n n n n

C  C  C C

     

10/ Cho:Cnn Cnn1 Cnn 79

 

   .Trong khai triển nhị thức

28 15

n

x x x 

 



 

  , tìm số hạng không

phụ thuộc vào x ?

11/ Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức

7 n x x     

  , biết tổng

1 20

2 2

n

n n n

C  C   C   

12/.Tìm hệ số x4trong khai triển biểu thức  

2

1 n

A  x x

Trong n số nguyên dương

thỏa mãn:  

2 2 2

2

2 C C C  Cn 3An

13 Tổng hệ số khai triển nhị thức f(x) f(1)

Cho  

100 1 2

0 100

( )

f x  x a a x a x  a x

a)Tính a97

b)S a 0a1a2 a100

c)M =1.a12.a2 100. a100

III Chứng minh tính tổng biểu thức tổ hợp:

1/ Khai triển (3x -1)16 Từ chứng minh: 316C160  315C161  C1616 216 2/ Chứng minh:

a Cn0Cn1Cn2 Cnn 2n

b 12 23 22 20 22 22

n n

n n n n n n

C C C  C C C

3/ Chứng minh rằng:

0

3

1 1

3

3 3

n n n

n n n n n

C C C C

 

    

 

 

4/ Tính tổng:

a S= 20 22 22

n

n n n

C C  C

b S = 21 23 22

n

n n n

C C C 

  

5/ Chứng minh rằng:

a C20040 C20042  C20042004 21002

b

2004 2 4 2004 2004

2004 2004 2004 2004

3

2 2

2

C  C  C  C  

6/ Chứng minh rằng: 2001 20011 10002001 10012001 , k 2000

k k

C C  C C

     

7/ Chứng minh rằng:  

2

2 2 , 0,

n n n

n k n k n

C  C   C  k n

8/ Chứng minh rằng:

1 1

2 1

n n n C C n n        

9/ Chứng minh rằng: 2  1

n n

n n n

C  C    nC 

10/ Chứng minh : 4

k k k k k k

n n n n n n

C C  C  C  C  C



     , (4 k n  )

11/ CMR:  

0 2 2 2n 2n 2n n 2nn n n

C C C C 

     

12/ CMR:  

0 2 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 2

C  C  C   C  

13/ Chứng minh rằng: 1

k k k k

k k k m k m

C C C C 

   

    .Từ suy đẳng thức sau:

0 1

1

m m

k k k k m k m

C C C C  C 

    

    

IV Khai triển nhiều hạng tử:

1/ Tìm hệ số x6 khai triển [1+x2(1+x)]7.

2/ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1+ 2x + 3x2)10.

3/ Tìm hệ số chứa x10 khai triển: P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15. 4/ Tìm hệ số x5 khai triển : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

5/.Tìm số hạng khơng chứa x khai triển P(x) =

9 1 2x x        

6/.Tìm hệ số số hạng chứa

1

x khai triển P(x) =

7

2

1 1 x

x

 

 

 

 

V Sử dụng đạo hàm tích phân

1/ Chứng minh hệ thức sau :

a C1n 2Cn2 3Cn3 nCnn n2n



     b

1 1

2 1

n n

n n n n

C C C C

n n

 

    

 

2/ Tính tổng :

a S =C141  2C142 3C143  14 C1414 b S =

0 2008

2008 2008 2008 2009 2008

3/ Chứng minh

2

1

2 2

1 1

2 2

n n

n n n n

C C C C

n n

 

    



4/ Tìm n nguyên dương cho:

1 2 3 2

2 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2007

n n

n n n n n

C C C C n C 

           

5/ Tính tổng: S =

2

0 1 2

2

n

n

n n n n

C C C C

n 

  

   



6/ Chứng minh rằng:C20000 2C20001 3C20002  2001 C20002000 1001.22000

7/ Chứng minh rằng:

 

   

0

1 1

2 2

n n

n n n n

C C C C

n n



   

 

8/ Xác định số lớn số:C C Cn0, n1, n2, ,Cnk, ,Cnn 9/ CMR: 2n1C1n 2n 2Cn2 3.2n 3Cn3 4.2n nCnn n.3n

    

     

10/ CMR:    

1

1 1

.4n 4n n n 2n n

n n n n n n

n  C n  C  C  C C n  C

      

X C SU TÁ Ấ

T NH XÁC SU T B NG Í Ấ Ằ ĐỊNH NGH AĨ

1 Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm , có 30 sản phẩm xấu Lấy ngẩu nhiên sản phẩm từ lơ hàng

a Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt

b Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lơ hàng Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy có sản phẩm tốt

2 Một hộp chứa 30 bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất để bi lấy màu

3 Gieo đồng thời xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất cho :

a Tổng số chấm mặt hai xúc xắc

b Hiệu số chấm mặt hai xúc xắc có trị tuyệt đối

c Số chấm mặt hai xúc xắc

4 Một lơ hàng có n sản phẩm có k sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng k sản phẩm Tìm xác suất để k sản phẩm lấy có s sản phẩm xấu

5 Chia 12 tặng phẩm cho người Tìm xác suất để :

a Người thứ sản phẩm

b Mỗi người sản phẩm

6 12 hành khách lên ngẩu nhiên toa tàu Tìm xác suất để :

a Mỗi toa có hành khách

b Một toa có hành khách, toa có hành khách toa cịn lại có hành khách

7 Lấy ngẫu nhiên lần lược chữ số từ chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tìm xác suất để nhận số tự nhiên gồm chữ số

8 Một học sinh vào thi thuộc 18 câu 25 câu hỏi Tìm xác suất để học sinh trả lời câu hỏi mà học sinh rút

10 Trong hộp có bi đen bi trắng Lấy hú họa lần,mỗi lấn viên ko hồn lại Tìm XS để viên bi lấy thứ trắng

16 Chọn ngẫu nhiên tú – lơ – khơ :

a Tính xác suất cho qn có quân thuộc ( ví dụ : có 4)

17 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố “ tổng số chấm mặt hai xúc xắc “

a Liệt kê kết thuận lợi biến cố A b Tính xác suất biến cố A

18 Một vé số có chữ số Khi quay số vé bạn mua có số trúng hồn tồn với kết bạn trúng giải Nếu vé bạn trúng chữ số sau bạn trúng giải nhì

a Tính xác suất để bạn trúng giải b Tính xác suất để bạn trúng giải nhì

19 Xếp người ngồi vào bàn trịn Tính xác suất để A, B ngồi gần

5 Một lớp có 50 học sinh 20 em sinh vào ngày chẵn Chọn ngẩu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn có tổng số ngày sinh số chẵn

20 Kết (b,c) việc gieo hai xúc xắc cân đối hai lần, thay vào phương trình x2+ bx+ c =0 Tính xác suất để :

a Phương trình vơ nghiệm b Phương trình có nghịêm kép

c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt

21 Gieo xúc xắc lần Tính xác suất để : a Mặt chấm xuất lần b Mặt chấm xuất lần

22 Trong bình có cầu đen khác cầu đỏ khác Lấy cầu Tính xác suất để :

a Hai cầu lấy màu đen b Hai cầu lấy màu

23 Sắp xếp người ngồi vào ghế thẳng hàng Tính xác suất để : a A, B ngồi cạnh

b A,B ngồi cách ghế

24 Gieo đồng xu Tính xác suất để a Có đồng xu lật ngửa

b Khơng có đồng xu sấp

25 Gọi (x,y) kết việc gieo hai xúc xắc khác Tính xác suất để : a x lẻ , y chẳn

b x>y c x+y <4

d x chia hết cho y

26.Có bìa đỏ ghi 1,2,3,4 bìa xanh ghi 6,7,8 Rút ngẩu nhiên Tính xác suất để :

a Rút ghi số chẵn b Rút bìa đỏ

27: Một lớp có 28 sinh viên có SV giỏi,13 SV khá,10SV trung bình.Lấy ngẫu nhiên SV dự ĐH đồn trường.Tính XS để có SV giỏi đc lấy

28 Có 100 bìa hình vng đánh số từ đến 100.Ta lấy ngẫu nhiên bìa.Tìm xác suất để lấy được:

a/Một bìa có số khơng chứa chữ số Pa = 0,8 b/Một bìa có số chia hết cho hoặc Pb= 0,6

29 Một hộp có chứa a cầu trắng b cầu đen.Lấy từ hộp cầu(một cách ngẫu nhiên).Tìm xác suất để

a/Quả cầu thứ trắng b/ Quả cầu cuối trắng Đáp số : Pa = Pb = a/a+b

a/Hai mặt sấp xuất (P=0,25) b/Một mặt sấp,một mặt ngửa (P=0,5 ) c/Có mặt sấp (P=0,75 )

31 Gieo đồng thời xúc xắc đối xứng đồng chất.Tìm xác suất để được: a/Tổng số chấm xuất (P=1/6)

b/Tổng số chấm xuất nhỏ (P=7/12) c/ Có mặt chấm xuất (P=11/36)

32.Thang máy nhà tầng xuất phát từ tấng với khách.tìm xác suất để : a/Tất tầng (P=1/216)

b/Tất tầng (P=1/36) c/Mỗi người tầng khác (P=5/9)

33 Mỗi vé xổ số kí hiệu số có chữ số.Tìm xác suất để người mua vé được:' a/Vé có chữ số khác (P=0,3024)

b/Vé có chữ số chẵn (P=0,03125)

34 người A,B,C,D,E ngồi cách ngẫu nhiên vào ghế dài.Tìm xác suất để: a/Người C ngồi (P=0,2)

b/Hai người A,B ngồi đầu (P=0,1)

35 Trong hộp có n cầu đánh số từ đến n.Lấy ngẫu nhiên lúc cầu.Tính xác suất để người lấy có số hiệu lớn k có số hiệu nhỏ

k (đáp số :

2( 1)( ) ( 1)

k n k

P

n n

  

 )

36* Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy.Hỏi xác suất để người đến quầy số bao nhiêu?

HD: Mỗi khách có khả để dến quầy.Số biến cố đồng khả là: 310 Còn số

biến cố thuận lợi là: C103.27 suy

3 10

10

C P 

37 Có n người (trong có m người trùng tên) xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang.Xác suất để m người trùng tên đứng cạnh bao nhiêu?

Đáp số :

( 1)! ! !

n m m

P

n

  

SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Bài 1: Kiểm tra theo thứ tự lô hàn gồm n sản phẩm sản phẩm lấy thuộc hai loại tốt xấu Kí hiệu Ak (k= 1,2,3 …N) biến cố sản phẩm thứ k thuộc loại xấu Viết biến cố sau theo biến cố Ak

a Cả N sản phẩm xấu

b Có sản phẩm xấu

c M sản phẩm đầu tốt , sản phẩm lại xấu

d Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn xấu lẻ tốt

Bài2: Ba người bắn vào mục tiêu.Gọi Ak biến cố người thứ ba bắn trúng mục tiêu (k=1,2,3).Các biến cố sau viết kí hiệu sao?

Bài3: Khi kiểm tra theo thứ tự lô hàng có 10 sản phẩm(các sản phẩm thuộc loại tốt xấu).Gọi Ak biến cố "sản phẩm thứ k loại xấu".Viết kí hiệu biến cố sau: a/Cả 10 sản phẩm xấu

b/Có sản phẩm xấu

c/Sáu sản phẩm đầu tốt lại xấu

d/Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn tốt,thứ tự lẻ xấu

Bài4: Có hộp đựng bi:hộp đựng bi trắng,7 bi đỏ,15 bi xanh ; hộp đựng 10 bi trắng,6 bi đỏ,9 bi xanh.Ta lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi.Tìm xác suất để viên bi lấy màu (P= 207/625)

Bài5: Hai người bắn vào mục tiêu.Xác suất bắn trúng người 0,8 0,9.Tìm xác suất biến cố sau

a/Chỉ có người bắn trúng mục tiêu (P=0,26) b/Có người bắn trúng mục tiêu (P=0,98) c/Cả hai người bắn trượt (P=0,02)

Bài6: Bắn liên tiếp vào mục tiêu đến viên đạn trúng mục tiêu dừng.Tính xác suất cho phải bắn đến viên đạn thứ 6.Biết xác suất trúng mục tiêu viên đạn 0,2.Và lần bắn độc lập với (P=0,065536)

Bài7: Gieo xúc xắc đối xứng đồng chất.Gọi A biến cố tổng số chấm xuất số lẻ.B biến cố mặt chấm.Hãy tính

a/ P(A B ) (P=23/36) b/ P(AB) (P=1/6)

Bài8: Có bóng điện với xác suất hỏng 0,1 0,2 (Việc chúng hỏng độc lập với nhau).Tính xác suất để mạch khơng có điện bóng hỏng

a/Chúng mắc song song P=0,02 b/Chúng mắc nối tiếp P=0,28

Bài 9: Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng xu liên tiếp Ai giei mặt sấp trước thắng Tìm xác suất thắng cậu bé

Bài 10 : Xác suất để sản phẩm nhà máy A bị hỏng 0,05, kiểm tra lô hàng gồm sản phẩm nhà máy A, người ta lấy ngẫu nhiên n sản phẩm lô hàng, lô hàng bị loại có k phế phẩm n sản phẩm lấy Tính xác suất để lơ hàng bị loại với : a/ n = ;k = b/ n = 5; k =

Bài 13: Hai máy bay ném bom vào mục tiêu định Mỗi máy bay có mang theo ba bom lần lao xuống ném Xác suất trúng đích bom máy bay thứ 0,4 máy bay thứ hai 0,5 Mục tiêu bị phá hủy sau qủa bom rơi trúng mục tiêu Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy cho không sử dụng hết tất số bom hai máy

Bài 14: Một hộp có 10 viên bi có bi đỏ bi xanh

a Lấy bi khơng hồn lại lấy bi xanh thơi Tìm xác suất để lấy bi xanh không lần lấy bi

b Lấy bi khơng hồn lại lấy bi đỏ thơi Tìm xác suất để lấy bi đỏ lấy không bi

Bài 15: Hai cầu thủ bóng rổ, người ném bóng lần, xác suất ném trúng đích cầu thủ theo thứ tự 0,6 0,7 Tính xác suất :

a/ Số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ nhiều số lần ném trúng rổ cầu thủ thứ hai

Bài 16 : Một phịng điều trị có bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu vòng bệnh nhân tương ứng 0,7 ; 0,8 0,9 Tìm xác suất cho vịng :

a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu

b/ có bệnh nhân khơng cần cấp cứu

Bài 17 : Một công ty đầu tư dự án A B Xác suất thua lỗ dự án A 10% xác suất thua lỗ dự án B 20% Sự thua lỗ dự án phụ thuộc với biết xác suất để công ty thua lỗ dự án A B 5%

a/ Tìm xác suấ để dự án A B khơng bị thua lỗ b/ Tìm xác suất để có dự án bị thua lỗ

Bài 18: Một Công ty đấu thầu dự án A B, dự án A đấu thầu trước Khả thắng thầu dự án A 90% Nếu dự án A thắng thầu khả thắng thầu dự án B 80% Nếu dự án A không thắng thầu khả thắng thầu dự án B 50%

a Tìm xác suất Cơng ty thắng thầu dự án b Tìm xác suất Cơng ty thắng thầu dự án c Tìm xác suất Công ty thắng thầu dự án B

Bài 19 Một Công ty đấu thầu dự án A B, khả thắng thầu dự án A 90%; khả thắng thầu dự án B 77% khả thắng thầu đồng thời dự án 72%

a Tìm xác suất Cơng ty thắng thầu dự án

b Tìm xác suất Cơng ty có dự án khơng thắng thầu c Tìm xác suất Cơng ty không thắng thầu dự án

Bài 20 : Một sọt cam lớn phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 cam làm mẫu đại diện Nếu mẫu không chứa cam hỏng sọt cam xếp loại Nếu mẫu cho hai hỏng sọt cam xếp loại Trong trường hợp cịn lại (có từ hỏng trở lên) sọt cam xếp loại

Trên thực tế 3% số cam sọt bị hỏng Tìm xác suất để sọt cam xếp loại : a/ Loại ;

b/ Loại ; c/ Loại

Bài 21 : Một thi trắc nghiệm (multiple-choice test) gồm 12 câu hỏi, câu hỏi cho câu trả lời, có câu Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm

Một học sinh làm cách chọn hú họa câu trả lời Tìm xác suất để: a/ Anh ta 13 điểm ;

b/ Anh ta điểm âm

Bài 22 Một hộp có thành phẩm phế phẩm Lẫy ngẫu nhiên sản phẩm khơng hồn lại lấy hai thành phẩm dừng lại

a Tìm xác suất để lấy sản phẩm lần thứ tư dừng lại b Tìm xác suất để việc dừng lại không lấy sản phẩm

Bài 23 : Một máy bay xuất vị trí A với xác suất

vị trí B với xác

suất

Phương án : đặt A, đặt B Phương án : đặt A, đặt B Phương án : đặt A đặt B

Biết xác suất bắn trúng máy bay pháo 0,7 pháo hoạt động độc lập với nhau, chọn phương án tốt

Bài 24 Một thiết bị có phận hoạt động độc lập Khả có phận bị hỏng 0,38 Tìm xác suất để phận thứ bị hỏng, biết khả để phận thứ bị hỏng 0,8

Bài 25 : Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn 80% Trước xuất thị trường, bóng đèn qua kiểm tra chất lượng Vì kiểm tra khơng thể tuyệt đối hồn hảo nên bóng đèn tốt có xác suất 0,9 công nhận tốt bóng đèn hỏng có xác suất 0,95 bị loại bỏ Hãy tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau qua khâu kiểm tra chất lượng

Bài 26 : Có nhóm xạ thủ tập bắn Nhóm thứ có người, nhóm thứ hai có người, nhóm thứ ba có người nhóm thứ tư có người Xác suất bắn trúng đích người nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba nhóm thứ tư theo thứ tự 0,8 ; 0,7 ; 0,6 0,5 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn trượt Hãy xác định xem xạ thủ có khả nhóm

Bài 27 : Trong số bệnh nhân bệnh viện có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B 20% điều trị bệnh C Xác suất để chữa khỏi bệnh A, B C bệnh viện tương ứng 0,7 ; 0,8 0,9 Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân chữa khỏi bệnh A tổng số bệnh nhân chữa khỏi bệnh

Bài 28 : Một nhà máy có phân xưởng sản xuất loại sản phẩm (1 cách độc lập) Phân xưởng 1, 2, sản xuất 36%, 34%, 30% tổng sản phẩm nhà máy, tỉ lệ phế phẩm phân xưởng 1, 2, 0,12 ; 0,10 ; 0,08

a/ Tìm tỉ lệ phế phẩm nhà maùy

b/ Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy, giả sử sản phẩm thành phẩm, khả thành phẩm thuộc phân xưởng nhiều

Bài 29: Có lơ hàng, lơ có 10 thành phẩm, phế phẩm ; lơ II có 12 thành phẩm, phế phẩm Từ lơ lấy sản phẩm, từ lô II lấy sản phẩm Rồi từ số sản phẩm lấy lấy ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để :

a/ sản phẩm chọn lần cuối thành phẩm b/ có thành phẩm

Bài 30 : Có thùng hàng, thùng thứ I chứa 10 sản phẩm, thùng thứ II chứa sản phẩm thùng có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thùng hàng thứ I cho vào thùng hàng thứ II lại lấy ngẫu nhiên từ thùng hàng thứ II sản phẩm bỏ lại vào thùng hàng thứ I, cuối lấy sản phẩm từ thùng hàng thứ I Tính xác suất :

a/ sản phẩm lấy cuối phế phẩm

b/ sản phẩm lấy cuối thuộc thùng hàng thứ II lúc ban đầu

a/ Tính xác suất để có khách hàng vào cửa hàng mua hàng

b/ Giả sử có người khách mua hàng Tính xác suất để người khách ngoại quốc Bài 32 : Một hộp có bi đỏ, bi xanh lần thứ lấy bi quan sát, bi đỏ bỏ bi vào hộp với bi đỏ khác nhữa, bi xanh bỏ bi vào hộp bi xanh khác Lần thứ hai lấy bi quan sát

a/ Tính xác suất để bi lấy lần bi đỏ

b/ Giả sử bi lấy lần bi đỏ, tính xác suất để bi đỏ bi hộp lúc ban đầu (tức bi đỏ bỏ vào)

Bài 33 : Trong việc truyền tin điện tín ta thường dùng tín hiệu chấm (.) gạch

ngang () Do tiếng ồn ngẫu nhiên nên trung bình có

dấu chấm

dấu gạch ngang truyền bị sai (tín hiệu chuyển thành tín hiệu kia) Tỷ số tín hiệu chấm gạch ngang truyền 3/5 Tìm xác suất để tín hiệu sau truyền đến nơi nhận ban đầu :

a/ tín hiệu chấm b/ tín hiệu gạch ngang

Bài 34 : Có hai hộp, hộp I có thành phẩm, phế phẩm, hộp II có thành phẩm, phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy sản phẩm bỏ vào hộp kia, sau từ hộp lấy sản phẩm

a/ Tính xác suất để sản phẩm lấy bỏ vào hộp sản phẩm lấy từ hộp thành phẩm

b/ Tính xác suất để sản phẩm lấy lần sau thành phẩm

Bài 35 : Trong kì thi vào Đại học thí sinh phải thi mơn Khả để thí sinh A thi đạt môn thứ 0,8, thi đạt mơn thứ khả thi đạt mơn 0,8 nếâu thi không đạt môn thứ khả thi đạt mơn thứ 0,6, thi đạt mơn đầu khả thi đạt môn 0,8, thi không đạt hai mơn đầu khả thi đạt mơn 0,5 ; có mơn mơn thi trước đạt khả thi đạt mơn 0,7 Tính xác suất để thí sinh thi

a/ đạt mơn

b/ khơng đạt mơn c/ đạt có mơn

Bài 36 : Có xạ thủ loại tám xạ thủ loại 2, xác suất bắn trúng đích loại xạ thủ theo thứ tự 0,9 0,8

a/ Lấy ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất viên đạn trúng đích

b/ Nếu lấy hai xạ thủ người bắn viên, khả hai viên trúng đích ?

Bài 37 : Có lô sản phẩm

Lơ : Gồm tồn phẩm

Chọn ngẫu nhiên lô, lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm, thấy phẩm, hồn lại sản phẩm vào lô Hỏi lấy ngẫu nhiên (cũng từ lơ chọn) sản phẩm xác suất để sản phẩm phế phẩm ?

Bài 38 : Có lô hàng

Lô : Có thành phẩm phế phẩm Lô : Có thành phẩm phế phẩm

Từ lơ thứ lấy sản phẩm, từ lô thứ hai lấy sản phẩm số sản phẩm lấy lại lấy tiếp ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để hai sản phẩm có thành phẩm

Bài 39 : Xí nghiệp A sản xuất loại sản phẩm với xác suất hỏng sản phẩm p, phân xưởng, sản phẩm ba nhân viên kiểm tra chất lượng với xác suất Xác suất phát sản phẩm hỏng người thứ i pi (i = 1,3) Nếu sản phẩm không bị loại phân xưởng chuyển đến KCS nhà máy đó, sản phẩm hỏng phát với xác suất po, tìm xác suất để sản phẩm bị loại

Bài 40 : Một hộp có đựng 15 bóng bàn có bóng cịn Lần đầu ta lấy ba để thi đấu Sau lại trả ba vào hộp Lần thứ hai lại lấy ba Tìm xác suất để ba bóng lấy lần thứ hai bóng

Bài 41: Có hộp:Hộp có bi đỏ bi xanh Hộp có bi đỏ bi xanh

Hộp có bi đỏ bà bi xanh

Lấy bi từ hộp bỏ vào hộp sau lấy bi bỏ vào hộp từ hộp lấy bi a Tìm xác suất bi lấy từ hộp bi đỏ

b Biết bi lấy từ hộp bi đỏ Tìm xác suất để bi bi hộp lúc đầu Bài 42 Có hai hộp:

- Hộp có bi đỏ bi xanh - Hộp có bi đỏ bi xanh

Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy bi bỏ vào hộp Sau từ hộp lấy bi a Tìm xác suất bi lấy từ hộp bi đỏ

b Biết bi lấy từ hộp bi đỏ Tìm xác suất để có bi đỏ hộp bi hộp

Bài 43: Có hộp :

Hộp : có bi đỏ bi xanh Hộp : có bi đỏ bi xanh

Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp bỏ vào hộp trộn Sau từ hộp lấy bi a/ Tìm xác suất để bi lấy từ hộp bi đỏ

b/ Tìm xác suất để bi lấy từ hộp có bi hộp bỏ vào bi hộp lúc ban đầu Khi biết bi lấy từ hộp bi đỏ

Bài 44 Một hộp có bi đỏ bi xanh Lần lấy ngẫu nhiên từ hộp bi, bi đỏ bỏ bi đỏ trở lại hộp thêm vào bi đỏ nữa, bi xanh bỏ bi xanh trở lại hộp thêm vào bi xanh Lần lấy từ hộp bi

a Tìm xác suất bi lấy lần bi xanh

b Biết bi lấy lần bi xanh Tìm xác suất để bi xanh lấy bi xanh hộp lúc ban đầu

Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp bỏ vào hộp 2, sau từ hộp lấy bi a Tìm xác suất bi lấy từ hộp bi đỏ

b Biết bi lấy từ hộp bi đỏ Tìm xác suất để bi đỏ bi hộp bỏ vào c Biết bi lấy từ hộp bi đỏ khơng bỏ bi trở lại mà lấy tiếp thêm bi Tìm xác suất bi lấy tiếp bi đỏ

Bài 46 Có hộp: Hộp 1: Có bi đỏ bi xanh Hộp 2: Có bi đỏ bi xanh Hộp 3: Có bi đỏ bi xanh

Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi từ hộp bi đem bỏ vào hộp trộn Sau lấy từ hộp bi

a Tìm xác suất bi lấy từ hộp bi đỏ

b Biết bi lấy từ hộp bi đỏ Tìm xác suất để bi đỏ lấy

Bài 47 : Tỷ số xe vận tải ô tô qua đường phố có trạm bơm dầu

Xác suất xe tải qua phố nhận dầu 0,1 Còn xác suất để xe qua phố đến nhận dầu 0,2

Có xe tơ đến trạm để nhận dầu Tìm xác suất để xe xe tải

Bài 48: Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Trong trình kiểm nghiệm, xác suất để chấp nhận sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,95 xác suất để chấp nhận sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật 0,08

Tìm xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm chấp nhận Bài 49: Có tên lửa bắn vào mục tiêu cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu tên lửa thứ tên lửa thứ tương ứng 70% 80% Nếu có trúng mục tiêu mục tiêu bị diệt với xác suất 80% Nếu trúng mục tiêu mục tiêu bị diệt với xác suất 90%

a Tìm xác suất để mục tiêu bị diệt

b Biết mục tiêu bị tiêu diệt Tìm xác suất để tên lửa thứ trúng mục tiêu Bài 50: Một hộp có 10 sản phẩm có thành phế phẩm Trong trình vận chuyển bị sản phẩm không rõ chất lượng ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm cịn lại

a Tìm xác suất để sản phẩm ta lấy thành phẩm

b Tìm xác suất để có thành phẩm bị Biết sản phẩm ta lấy thành phẩm

Bài 51: Một người có ba chỗ ưa thích để câu cá Xác suất câu cá lần thả câu chỗ thứ nhất, thứ thứ tương ứng 0,6; 0,7; 0,8 Biết người chọn chỗ thả câu lần độc lập câu cá Tìm xác suất để người câu chỗ thứ

Bài 53: Tại bệnh viện tỷ lệ mắc bệnh A 10% Để chẩn đoán xác định người ta làm phản ứng miễn dịch, khơng bị bệnh phản ứng dương tính có 10% Mặt khác biết phản ứng dương tính xác suất bị bệnh 0,5

a/ Tìm xác suất phản ứng dương tính nhóm có bệnh b/ Tìm xác suất chẩn đoán

Bài 54 : Hai người thợ may loại áo với xác suất để may sản phẩm chất lượng cao tương ứng 0,8 0,9 Biết có người may áo có sản phẩm chất lượng cao Tìm xác suất để người may áo có áo chất lượng cao

Bài 55 : Giả sử có kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng kiện 20, 15, 10 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng (giả sử kiện có khả bị rút) từ lấy hú họa sản phẩm sản phẩm tốt Trả sản phẩm lại kiện hàng vừa lấy ra, sau lại lấy tiếp sản phẩm sản phẩm tốt

Tìm xác suất để sản phẩm lấy từ kiện hàng thứ 3, biết kiện hàng có 20 sản phẩm

Bài 56: Một hộp có thành phẩm phế phẩm Trong trình vận chuyển bị sản phẩm không rõ chất lượng Lấy ngẫu nhiên sản sản phẩm lại

a/ Tìm xác suất sản phẩm lấy thành phẩm

b/ Tìm xác suất để có thành phẩm bị , biết sản phẩm láy thành phẩm

c/ Biết sản phẩm lấy thành phẩm Tìm xác suất để lấy tiếp sản phẩm dược phế phẩm

Bài 57: Một thùng rượu có 20 chai, có chai rượu giả Trong q trình vận chuyển bị chai khơng rõ chất lượng Lấy ngẫu nhiên chai 19 chai cịn lại

a Tìm xác suất để chai lấy chai thật

b Biết chai lấy chai thật Tìm xác suất để lấy tiếp chai có chai thật chai giả

Bài1: Một chi tiết máy lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C).Hãy mô tả biến cố sau

a/ A B b/ A B c/( )A B C d/A C

Bài 58 : Ba người bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng đích người thứ 1, 2, 0,5 ; 0,6 ; 0,7 Gọi Ai kiện người thứ i bắn trúng mục tiêu i = 1, 2, Hãy biểu diễn kiện sau theo kiện Ai, Ai ; i = 1, 2, tính xác suất kiện

a/ A = kiện có người bắn trúng đích b/ A = kiện có nhiều người bắn trúng đích c/ C = kiện mục tiêu (đích) bị bắn trúng

Bài 59: Ta kiểm tra theo thứ tự lơ hàng có 10 sản phẩm Các sản phẩm thuộc hai loại : tốt xấy Ta ký hiệu Ak (k = 1,10) biến cố sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Viết ký hiệu biến cố sau :

a/ Có 10 sản phẩm xấu b/ Có sản phẩm xấu

d/ Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn tốt, sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ xấu

BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Bài60: Một hộp có cầu trắng cầu đen.Lấy ngẫu nhiên cầu lấy cầu trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất cầu lấy

Bài61: Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết 10 câu tập.Mỗi người vào thi lấy câu lý thuyết câu tập.Trả lời điểm,trả lời sai điểm (cho câu).Việc trả lời câu lý thuyết câu tập độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý thuyết làm câu tập

a/Tính xác suất để A đạt điểm (P= 4/25)

b/Gọi X số điểm A đạt được.CMR: X biến ngẫu nhiên rời rạc

- Lập bảng phân bố xác suất X

- Tính xác suất để A đạt từ điểm trở lên (P= 21/25)

c/Tính số điểm trung bình mà A đạt (Kỳ vọng E(X)=6)

Bài62: Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với nhau.Xác suất thời gian t phận bị hỏng tương ứng là: 0,4 ; 0,2 ; 0,3.Gọi X số phận bị hỏng thời gian t

a/Lập bảng phân bố xác suất X

b/Xác suất để thời gian t có khơng q phận bị hỏng bao nhiêu?

Bài63: Một người từ nhà đến quan phải qua ngã tư.Xác suất để người gặp đèn đỏ ngã tư tương ứng : 0,2 ; 0,4 ; 0,5.Mỗi gặp đèn đỏ người phải dừng lại phút.Hỏi thời gian trung bình mà người phải dừng lại đường bao nhiêu? (đáp số : khoảng 3,3 phút)

Bài64: Hai cầu thủ ném bóng vào rổ trúng với xác suất ném trượt người là: 0,7 0,6.Người thứ ném trước

a/Lập bảng phân bố xác suất số lần ném rổ cho người