ĐẠI CƢƠNG VỀ PHƢƠNG TRÌNH I KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) f(x), g(x) biểu thức x Nếu có số thực x0 cho f(x0) = g(x0) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình Giải phương trình tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm) Nếu phương trình nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm (tập nghiệm ) Điều kiện phƣơng trình Điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghĩa Chú ý: Khi phép toán hai vế phương trình thực với x, ta không ghi điều kiện phương trình Tìm điều kiện phương trình, ta biết nghiệm phương trình biết phương trình vô nghiệm Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Số nghiệm phương trình f(x) = g(x) số giao điểm hai đồ thị nói Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình: a) x 1 x 2x b) x3 x 1 Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình suy tập nghiệm phương trình: a) x x x b) 3x x x Phƣơng trình nhiều ẩn 2x 4xy y x 2y phương trình hai ẩn (x y) x 3xy y xz phương trình ba ẩn (x, y z) Nếu phương trình hai ẩn x y trở thành mệnh đề x = x0 y = y0 (x0, y0 số) ta gọi cặp số (x0; y0) nghiệm phương trình Phƣơng trình chứa tham số Trong phương trình chữ đóng vai trò ẩn số có chữ khác, xem số gọi tham số Giải biện luận phương trình chứa tham số nghĩa xét xem với giá trị tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm tìm nghiệm II PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG - PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phƣơng trình tƣơng đƣơng Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm T1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm T2 Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Ta viết f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) (T1 = T2) Để giải phương trình ta thường dùng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình thành phương trình tương đương đơn giản Phép biến đổi tƣơng đƣơng Định lí Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D hàm số y = h(x) xác định D (h(x) số) Khi D, ta có: a f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) b f(x) = g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0, x D) Lưu ý Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng trừ hai vế với biểu thức Quy đồng bỏ mẫu thực phép nhân hai vế phương trình cho biểu thức Ví dụ 3: Mỗi khẳng định sau hay sai? a) 3x x x 3x x x b) x x x2 x x x c) d) 2x x 1 2x +1 x -1 2x x = 2x +1 = x - Các phép biến đổi tương đương thường gặp Nếu hai vế phương trình dấu bình phương hai vế ta phương trình tương đương Chú ý: f(x) = g(x) f (x) = g2 (x) (sai) Ghi nhớ f(x) (hoac g(x) 0) f(x) = g(x) f(x) = g(x) g(x) f(x) = g(x) f( x) = g (x ) Ví dụ 4: Giải phương trình x 1 x 3 Phƣơng trình hệ Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm T1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm T2 Nếu nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) (tức tập nghiệm T2 chứa T1) f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) (T1 T2 ) Chú ý Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho, tức là: f(x) = g(x) f2(x) = g2(x) Phương trình hệ có thêm nghiệm nghiệm phương trình ban đầu, ta gọi nghiệm ngoại lai Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm vừa tìm (thường gặp bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức,…) Ví dụ 5: Giải phương trình x - = 3x Ví dụ 6: Giải phương trình x2 + = x + x2 - Ví dụ 7: Giải phương trình (x 3x 2) x