1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

Bài tập toán a1 chương 1

29 758 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 29
Dung lượng 1,36 MB

Nội dung

Bài Tập Giới hạn Tính giới hạn sau a) lim x →0 + mx − x x →0 + 2x − c) lim d) lim x −2 sin 7x e) lim x →π tan 3x arcsin x g) lim x →0 4x x →8 ⎛ ⎞ h) lim ⎜ − cot x ⎟ x → ⎝ sin x ⎠ − cos x − tan2 x x →0 x sin x j) lim 3x ⎛ x + 3⎞ l) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − ⎠ 2x +1 n) lim ( cos x ) sin x x →0 x →0 sin x ⎛ + tan x ⎞ sin3 x o) lim ⎜ ⎟ x → ⎝ + sin x ⎠ ⎛ sin x ⎞ x − sin x p) lim ⎜ ⎟ x →0 ⎝ x ⎠ + mx − có dạng vô định x → vaø x ′ −1 1 + mx + mx − 1 + mx )′ ( ) ( m m = = → x → Do x′ 3 (1 + mx ) ÑS: a) ) lim x →0 b) + mx − m = x x +1 −1 x +1 −1 ′ x +1 −1 coù dạng vô định )= ′ x + − 1) x +1 −1 lim x →0 x +1 −1 + 2x − c) ( x2 − 2x x →0 m) lim ( cos x ) x2 ( ( + x + x2 − + 2x − x f) lim x cot πx − cos2 x x → x sin 2x ( x +1 −1 x →2 i) lim ⎛ x ⎞ k) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ + x ⎠ x +1 −1 b) lim x −2 + 2x − ( x −2 )′ −1 ( x + 1) −1 x +1 ) 3( = = x → vaø 3 x → Do + → x ( ) 2 có dạng vô định )′ = x → vaø −1 ( + 2x ) ( + 2x )′ = ( + 2x ) x −1 x −2 −1 →3 25 −1 −2 =3 = 12 x → Do lim x →8 + 2x − x −2 12 = + x + x2 − + 2x − x d) có dạng vô định x − 2x ⎛ + x + x2 − + 2x − x ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ′ x − 2x ( + 2x = 1+ x + x2 ( + x + x2 ) −1 x → vaø (1 + 2x ) − − 2x + 2x − x2 2x − → − ( + 2x − x2 ) ( − 2x ) −1 2x − ) − −2 = 7 = 7 = x → Do lim + x + x − + 2x − x2 x →2 x − 2x = sin 7x )′ ( cos7x sin 7x = → e) có dạng vô định x → π vaø tan 3x ( tan 3x )′ + tan 3x ( ) x → π Do sin 7x = lim x →π tan 3x x có dạng vô định x → tan πx x′ 1 x → Do = → π ′ π + tan πx π tan x ( ) f) x cot πx = ( lim x cot πx = x →0 ) π arcsin x )′ ( arcsin x g) = có dạng vô định x → vaø 4x ′ ( 4x ) x → Do arcsin x = lim x →0 4x 1 − cos x h) − cot x = có dạng vô định x → vaø sin x sin x (1 − cos x )′ = sin x → x → Do ( sin x )′ cos x ⎛ ⎞ − cot x ⎟ = lim ⎜ x → ⎝ sin x ⎠ − x2 → − cos2 x có dạng vô định x → vaø x sin 2x ′ − cos2 x −2 cos x ( cos x )′ sin 2x có dạng vô định = = sin 2x + 2x cos 2x sin 2x + 2x cos 2x ′ x sin 2x ( ) i) ( ) ( sin 2x )′ x → vaø ( sin 2x + 2x cos 2x )′ = cos 2x → = cos 2x + cos 2x − 4x sin 2x x → Do − cos2 x = x → x sin 2x lim Caùch khaùc : − cos2 x − cos x 11 = + cos x → = ( ) x sin 2x 22 2 sin2x2x x2 − cos x − tan2 x coù dạng vô định x → x sin x ′ − cos x − tan2 x sin x − tan x + tan2 x có dạng vô định = x → sin x + x cos x ′ x sin x ( ) j) ( ) ( ( sin x − tan x + tan2 x ) (sin x − tan x − tan x )′ sin x + x cos x vaø = ( ) ( sin x + x cos x )′ ) ( cos x − + tan x − tan2 x + tan x cos x + cos x − x sin x − cos x − tan2 x lim =− x →0 x sin x Caùch khaùc : ⎛ x ⎞ k) ⎜ ⎟ ⎝2+ x⎠ x → ∞ vaø − cos x − tan2 x − cos x sin x 1 = − → −1 = − x sin x 2 x sinx x x cos x 3x 3x ln =e x 2+ x ( ln 2+x x )′ = ( 3x1 )′ = et , với t = 3x ln +x x = x 2+ x ( 2+x x )′ − 3x2 ⎛ x ⎞ lim t = −6 vaø lim ⎜ ⎟ x →∞ x →∞ ⎝ + x ⎠ ⎛ x + 3⎞ l) ⎜ ⎟ ⎝ x − 2⎠ ) → −1 x → Do 2x +1 3x = x 2+ x − (2+ x) 3x2 =− ln +x x 3x có dạng vô định 6x → −6 x → ∞ Do 2+x = lim et = e−6 t →−6 ln xx +− 23 2x +1) ln x + ( t x+3 x −2 =e = e , với t = ( 2x + 1) ln x − = có dạng vô định 2x +1 ′ ( ln xx −+23 )′ = ( xx −+23 ) = ( 2x1+1 )′ − (2x +1) x → ∞ vaø −5 x+3 x−2 x+3 x−2 ( x − 2) − 3x2 = 15x → 15 ( x − 2)( x + 3) x → ∞ Do ⎛ x + 3⎞ lim t = 15 lim ⎜ ⎟ x →∞ x →∞ ⎝ x − ⎠ m) ( cos x ) =e x2 ( ln cos x )′ = ln cos x x2 cos x ( x )′ lim t = − x →0 2x +1 = lim et = e15 t →15 = et , với t = ( cos x )′ = 2x ln cos x x2 có dạng vô định x → − sin x → − x → Do 2x cos x 1 −1 vaø lim ( cos x ) x2 = lim et = e = x →0 t →− e n) ( cos x ) sin x ( ln cos x )′ = ( sin x )′ =e cos x ln cos x sin x = et , với t = ln cos x sin x có dạng vô định ( cos x )′ = − sin x → cos x x → x → Do cos2 x lim t = vaø lim ( cos x ) sin x = lim et = e0 = x →0 x →0 t →0 ⎛ + tan x ⎞ sin3 x =e o) ⎜ ⎟ ⎝ + sin x ⎠ x ( ln 11++tan sin x ) ′ ( vaø = = = sin x ) ′ = + tan x 1+ sin x ln + tan x 1+ sin x sin3 x ( + tan x + sin x = et , với t = ) ′ 3sin2 x cos x = − cos x x2 sin2 x x sin x coù dạng vô định x → 0 (1+ tan x )(1+ sin x ) −(1+ tan x ) cos x (1+ sin x ) 3sin x cos x 3sin2 x cos x 3sin2 x + sin x + tan x 1+ sin x 1+ sin x + tan2 x + sin x tan2 x − cos x − cos x tan x (1+ tan x )(1+ sin x ) − cos x ln 1+ tan x = + tan2 x + sin x tan2 x − cos x 3sin x cos x (1 + tan x )(1 + sin x ) (1 + sin x ) (1 + tan x )(1 + sin x ) 3sin2 x cos x (1 + tan x )(1 + sin x ) + (1 + tan x )(1 + sin x ) + tan x tan2 x x2 sin2 x x 1 → + = 3 cos x (1 + tan x ) x → Do ⎛ + tan x ⎞ sin3 x t = = = e2 lim e e lim t = vaø lim ⎜ ⎟ x →0 x → ⎝ + sin x ⎠ t→ 3 sin x sin x ⎛ sin x ⎞ x − sin x ln sin x p) ⎜ = e x −sin x x = et , với t = ⎟ ⎝ x ⎠ sin x x − sin x ln sinx x = ln sinx x x − sin x sin x có dạng vô định x → vaø 1 x cos x − sin x ( sinx x )′ ( ln sinx x )′ = x = (1− cos x ) sin x − ( x − sin x ) cos x (1− cos x ) sin x − ( x − sin x ) cos x − sin x ′ ( xsin x ) sin x sin x sin x x sin x x 2 = x cos x − sin x x sin x sin x − sin x cos x − x cos x + sin x cos x sin2 x = ( x cos x − sin x ) sin x = − sin x → −1 x x ( sin x − x cos x ) x → Do sin x ⎛ sin x ⎞ x − sin x lim t = −1 vaø lim ⎜ = lim et = e−1 = ⎟ x →0 x →0 ⎝ x ⎠ t →−1 e Dùng quy tắc L’Hospital, tính giới haïn sau a) (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − lim x x →0 x + 13 − x + c) lim x −9 x→3 − 5x x →0 ÑS: a) b) x + x5 x →0 d) lim x →∞ ⎛ ⎞ e) lim ⎜ x + x + x − x ⎟ x →+∞ ⎝ ⎠ tan x − sin x g) lim x →0 x3 i) lim (1 + x ) − (1 + 5x ) lim ( x +1 − 3x ) − cos 5x x → − cos 3x f) lim h) lim x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ x →+∞ x2 − x →1 x ln x j) lim − ex (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − x có dạng vô định x → vaø ((1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − 1)′ = (1 + 2x )(1 + 3x ) + (1 + x ) ⎡⎣(1 + 2x )(1 + 3x )⎤⎦′ ( x )′ = (1 + 2x )(1 + 3x ) + (1 + x ) ⎡⎣2 (1 + 3x ) + (1 + 2x ) ⎤⎦ → x → Do (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) − = lim x →0 x b) (1 + x ) − (1 + 5x ) x2 + x5 có dạng vô định x → vaø ⎛ + x − + 5x ⎞′ ) ( ) ⎟⎠ (1 + x )4 − ⎜( ⎝ = có dạng vô định x → vaø 2x + 5x ′ x +x ( ) ⎡ + x − ⎤′ ) ⎥⎦ 20 (1 + x )3 ⎢⎣ ( = → 10 x → Do 20x + ′ 2x + 5x ( ) (1 + x ) − (1 + 5x ) = 10 lim x + x5 x →0 x + 13 − x + c) ( x −9 x + 13 − x + (x lim x →∞ e) )′ x −9 x →3 −9 )′ = x + 13 − x + lim d) x +1 − 3x = ( x +1 − có dạng vô định x +13 x +1 − 2x =− ( x + 1) x) = x → vaø → − =− x → Do 16 16 3 + x +1 x + ( x) x+ x x+ x+ x − x = → x → ∞ Do 1+ = x+ x+ x + x 1+ x + x x3 → +1 x → +∞ Do ⎛ ⎞ lim ⎜ x + x + x − x ⎟ = x →+∞ ⎝ ⎠ − cos 5x )′ sin 5x ( − cos 5x = f) coù dạng vô định x → có − cos 3x ′ 3sin 3x − cos 3x ( ) sin 5x )′ 15 cos 5x ( 15 x → dạng vô định = → x → Do ñoù cos 3x ′ 3sin 3x ( ) − cos 5x 15 = x → − cos 3x lim g) tan x − sin x x x → vaø có dạng vô định ( tan x − sin x )′ = + tan2 x − cos x ( x )′ 3x có dạng vô định x → (1 + tan x − cos x )′ = tan x (1 + tan x ) + sin x → + = x → Do 6x 6 ( 3x )′ 2 lim tan x − sin x x3 x →0 = tan x − sin x Caùch khaùc : x h) x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ = ′ ( ln 1+xx )′ = ( 1+xx ) = − x ( 1x )′ 1+ x x sin x = x ln 1+x x x −1 x2 1+ x x − x2 = cos x x −1 = sin x 1 − cos x 1 → 1⋅1⋅ = x cos x 2 x có dạng vô định 1+ x x = x → +∞ vaø x → x → +∞ Do ñoù 1+ x lim x ⎡⎣ ln (1 + x ) − ln x ⎤⎦ = x →+∞ i) − 5x 1−e x = − ex ln 1−e x có dạng vô định (1 − e )′ = − ( ln 5) e −e (1 − e )′ x ln x x lim − 5x x →0 − ex x → vaø x ln → − ln x → Do = − ln ( ) ′ x2 − x2 − 2x x → có dạng vô định = → x → j) x ln x ln x + ′ ( x ln x ) Do x2 − = x →1 x ln x Chứng minh hàm số f xác định lim ⎧⎪ x sin f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 ( 1x ) x ≠ x = hàm có đạo hàm Đạo hàm có liên tục không ? ĐS: Tại x ≠ , ta coù ( )⎦⎤′ = ⎣⎡ x ⎦⎤′ sin ( ) + x ⎣⎡sin ( )⎦⎤′ = 2x sin ( ) + x = 2x sin ( ) + x cos ( ) ( − ) = 2x sin ( ) − cos ( ) f ′ ( x ) = ⎡ x2 sin ⎣ x x x x x x2 x x cos ( ) ⎣⎡ x ⎤′ x⎦ x Taïi x = , ta coù f ′ ( ) = lim f ( h ) − f ( 0) h h →0 Vì h sin = lim h2 sin h h→0 ( h1 ) = lim h sin h→0 ( h1 ) h sin ( h1 ) = ( h1 ) ≤ h → h → neân f ′ ( 0) = hlim →0 Tóm lại hàm f có đạo hàm điểm vaø ⎧⎪2x sin f ′ ( x) = ⎨ ⎪⎩0 ( 1x ) − cos ( 1x ) x ≠ x = Hiển nhiên f ′ liên tục x ≠ Tại x = Do 2x sin nhieân cos ( ) x ( ) ≤ 2x → x x → , ta suy lim 2x sin x →0 ( ) = Tuy x giới hạn x → Do lim f ′ ( x ) không tồn x →0 Vậy f ′ không liên tục x = Xét hàm số f cho ⎧⎪ x + − − x2 x f ( x) = ⎨ ⎪⎩1 x ≠ x = a) Tìm miền xác định f b) Tính giới hạn f x tiến 0; f có liên tục điểm không ? c) Tính f ′ ( x ) x ≠ tính giới hạn f ′ x tiến d) Chứng tỏ f có đạo hàm định nghóa tính giá trị f ′ ( 0) e) Hàm f ′ có liên tục không ? ĐS: a) Khi x ≠ 0, ta f ( x) = coù x + − − x2 x tồn − x2 ≥ ⇔ x2 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy miền xác định f D = ⎡⎣ −2, 2⎤⎦ b) lim f ( x ) = x →0 lim x + − x − x x →0 = lim 2x + x → x + + − x2 =1 = lim ( x + 2) ( − − x2 ) x → x ⎛⎜ x + + − x2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Vì lim f ( x ) = f (1) , ta suy f liên tục taïi x →0 2x2 + 4x ⎛ x → x ⎜ x + + − x2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ = lim c) Taïi x ≠ , ta coù f ′ ( x ) = ⎛⎜ x + − x − x ⎝ ⎛ x + − − x2 ⎞′ x − ⎛ x + − − x2 ⎞ x′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x2 ⎞′ = ⎟ ⎠ ( x − x2 + x2 − ( x + ) − x2 − − x2 = x2 − x2 lim f ′ ( x ) = lim x →0 2x2 − − x2 − x→0 x2 − x2 ⎛ ⎜ 1+ ⎝ = x − x2 ) = 2x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎟ x −⎜ x + 2− − x ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ x2 − − x2 − x2 − x2 = −∞ d) Do định nghóa, f ′ ( ) = lim f ( h ) − f ( 0) h h →0 = lim h + − − h2 h −1 h h→0 = lim − − h2 h2 h→0 ⎛ − − h2 ⎞′ h ⎜ ⎟ 1 ⎠ = lim − h2 = lim = lim ⎝ = h →0 h → 2h h→0 ′ − h2 h2 ( ) e) f ′ giới hạn x → nên f ′ không liên tục Chứng tỏ lim x →+∞ ax xr = +∞ a > vaø r > ĐS: Trước hết, ta chứng minh lim x →+∞ n = , ta coù ax x = ex ln a x ax x →+∞ x x → +∞ neân lim ax n x →+∞ x có dạng ax n +1 x →+∞ x = +∞ Xeùt lim ( e )′ (x ) = n +1 = ex ln a ⋅ ln a nxn xn = +∞ baèng quy nạp theo n ∈ ` Với x → +∞ vaø ( e )′ x ln a x′ = ex ln a ⋅ ln a → +∞ = +∞ Giả sử lim x ln a ∞ ∞ ax ax n xn Ta coù ax x n +1 = ex ln a x n +1 coù daïng ax n +1 x →+∞ x → +∞ x → +∞ Do đó, lim ∞ ∞ x → +∞ = +∞ Bây giờ, với r > , choïn n ∈ ` cho r ≤ n Do x r ≤ x n , ta suy ax n x →+∞ x lim ax r x →+∞ x = +∞ neân lim = +∞ Cho hàm số f ( x ) = + x xác định khoảng ( 0, +∞ ) a) Tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) vaø f ( 3) x ( ) b) Kiểm chứng đẳng thức ax xr ≥ ax xn 1+ x =1+ với lim ε ( x ) = x x2 x3 − + + x 3ε ( x ) , 16 x →0 ÑS: f ( x ) = + x = (1 + x ) a) ( ) f ′ ( x) = cho (1 + x ) −1 = (1 + x ) −1 ; ( − 12 ) (1 + x ) = − 14 (1 + x ) ; − −1 − ′ ( 3) f ( x ) = ( f ′′ ( x ) ) = − 14 ( − 23 ) (1 + x ) = 83 (1 + x ) ′ f ′′ ( x ) = f ′ ( x ) = −3 − −1 2 b) Áp dụng công thức Taylor-Young, f ( a + x ) = f ( a ) + xf ′ ( a ) + x2 2! f ′′ ( a ) + x3 3! f ( ) a + x 3ε x ( ) ( ) với a = ; f ( x ) = + x ; f ( 0) = ; f ′ ( ) = 12 ; f ′′ ( ) = − 14 ; f ′′′ ( ) = 83 , ta x x2 x3 1+ x =1+ + + + x 3ε ( x ) 16 Dùng công thức Taylor-Young, chứng tỏ n n +1 x x2 x3 a) ln (1 + x ) = x − + + + ( −1) + xnε ( x ) , n b) sin x = x − n x x5 x2n +1 + + + ( −1) + x 2n +1ε ( x ) , 3! 5! 2n ! + ( ) 2n n x x2 x4 c) cos x = − + + + ( −1) + x2n ε ( x ) , 2! ! ( 2n ) ! với lim ε ( x ) = x →0 ĐS: a) Áp dụng công thức Taylor-Young với a = , f ( x ) = f ( ) + xf ′ ( ) + x2 2! f ′′ ( ) + x3 3! f ( 3) + + ( ) xn n! f (n ) + xnε x ( ) ( ) f ( x ) = ln (1 + x ) cho f ( ) = ; f ′ ( x ) = 1+ x −3 = (1 + x ) −1 cho f ′ ( ) = ; ( 3) x = + x ( ) ( ) cho f (3) ( 0) = ; Toång n +1 −n n +1 (n) quaùt f ( x ) = ( −1) ( n − 1) ! (1 + x ) cho f (n) ( 0) = ( −1) ( n − 1) ! Ta suy f ′′ ( x ) = − (1 + x ) ln (1 + x ) = x − −2 cho f ′′ ( ) = −1 ; f n n +1 x x2 x3 + + + ( −1) + xnε ( x ) n b) AÙp dụng công thức Taylor-Young với a = , f ( x ) = f ( 0) + xf ′ ( ) + x2 2! f ′′ ( ) + x3 3! f ( 3) + + ( ) 10 x2n +1 f ( 2n +1) ( 2n +1) ! ( 0) + x2n +1ε ( x ) ∫x sin 2xdx = − 12 x cos 2x + x sin 2x + 14 cos 2x + C ⎧du = dx ⎧ u = ln x ⎪ x c) Với ⎨ , ta ⎨ ⎩dv = xdx ⎪⎩ v = x2 ∫ x ln xdx = x2 x x2 x2 dx = ln x − + C 2 ln x − ∫ ⎧du = dx ⎧u = arctan x ⎪ 1+ x , ta ⎨ d) Với ⎨ ⎩ dv = xdx ⎪⎩ v = x2 x2 ∫ x arctan xdx = x2 x2 dx ∫ + x2 arctan x − ⎛ dx ⎞ Maø ∫ + x2 dx = ∫ ⎜⎝ − + x2 ⎟⎠ dx = ∫ dx − ∫ + x2 neân ∫ x arctan xdx = = x − arctan x + C x2 arctan x − ( x − arctan x ) + C 2 Dùng công thức đổi biến, tính tích phân sau a) xdx ∫0 (x +1 b) L ( a ) = c) a ∫0 xe ∫1 ( ln x ) ∫ Suy (x ∫0 xdx +1 ) +1 ∫ xe − x2 = +1 ) 2 ⎞ du ⎛⎜ −1 ⎞⎟ 1⎛1 = ∫ = = − − ⎜ ⎟= u ⎜ 3u ⎟ 6⎝8 48 ⎠ ⎝ ⎠ −2 u −3 1 u du = =− +C=− ∫ 2 −3 6u x2 + ( ) b) Caùch : L ( a ) = Caùch : a →+∞ (x xdx (x dx (với u = x ) Tìm lim L ( a ) dx (với u = ln x ) xdx ∫0 − x2 ĐS: a) Cách : Cách : ) (với u = x2 + ) =− a ∫0 dx = ( x2 +1 ) xe− x dx = ) +C ⎞ 1⎛1 = − ⎜ − 1⎟ = 6⎝8 ⎠ 48 ( ) a2 − t ⎛ −t a ⎞ − a2 e dt e e = − = − ⎜ ⎟ ∫ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎠ ( ) −t 1 e dt = − e− t = − e− t + C = − e− x + C ∫ 2 2 15 a Suy L ( a ) = ∫0 xe − x2 a2 dx = − e− x = ( 1 − e− a ) ) ( 1 − e− a = a →+∞ 2 Vaäy lim L ( a ) = lim a →+∞ ∫1 ( ln x ) c) Cách : Với t = ln x ⇔ x = et , ta dx = etdt ∫ ( ln x ) Cách : Với t = ln x ⇔ x = et , ta dx = etdt ⎧⎪ u = t ⎧⎪du = 2tdt Với ⎨ ⎨ t t ⎪⎩ v = e ⎪⎩dv = e dt t ⎧⎪ u = t ⎧⎪du = dt Mà với ⎨ ⎨ t t ⎪⎩dv = e dt ⎪⎩ v = e Suy t t ∫ t e dt = t e Caùch : ∫1 ( ln x ) ( t ∫ t e dt = t e t dx = ln 2 t t e dt ∫ dx = ∫ t 2et dt − 2∫ tet dt t t ∫ te dt = te − ∫ e dt = te ) 2 ( t − et + C ) − tet − et + C = t − 2t + et + C dx = ln 2 t t e dt ∫ ( ) = t − 2t + et ( ln ) = ln2 − ln + eln − = ln2 − ln + Caùch : ∫ ( ln x ) ( ) ( ) dx = ∫ t 2et dt = t − 2t + et + C = ln2 x − ln x + eln x + C ( ) = x ln2 x − ln x + + C Suy ∫1 ( ln x ) ( dx = x ln2 x − ln x + ) ( ) = ln2 − ln + − = ln2 − ln + Dùng công thức tích phân phần, tính tích phân sau a) I ( a ) = b) I = a ∫0 xe π −x ∫0 e c) K = ∫1 −x dx , vaø J ( a ) = a −x ∫0 x e dx sin xdx ln x dx (cũng đổi biến u = ln x ) x ⎪⎧ u = x ⎪⎧ du = dx ĐS: a) Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I (a) = a ∫0 xe− xdx = − xe− x a a a 0 + ∫ e− xdx = − xe− x ⎧⎪ u = x2 ⎧⎪du = 2xdx Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩ v = −e ⎪⎩dv = e dx 16 ( + − e− x ) a ( ) = −ae− a + − e− a J (a) = a ∫0 x2e− xdx = − x2e− x −a = −a e ( + −ae −a a a + 2∫ xe− xdx = −a 2e− a + 2I ( a ) +1−e ) = ( −a −a ) − 2a − e− a + ⎧⎪ u = sin x ⎧⎪du = cos xdx b) Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I= π −x ∫0 e π π 0 sin xdx = −e− x sin x + ∫ e− x cos xdx = π −x ∫0 e cos xdx ⎪⎧ u = cos x ⎪⎧du = − sin xdx Với ⎨ ⎨ −x −x ⎪⎩dv = e dx ⎪⎩ v = −e I= π −x e ∫ π π 0 cos xdx = −e− x cos x − ∫ e− x sin xdx = + e−π − I Suy 2I = + e−π I = + e− π ⎧⎪ du = dx ⎧⎪u = ln x x ⎨ c) Với ⎨ dx dv = ⎪⎩ x ⎩⎪ v = ln x K= ∫1 2 ln x 2 ln x dx = ( ln x ) − ∫ dx = ( ln ) − K x x Suy K = ln2 Cách khác : Đổi biến t = ln x , dt = K= ∫1 ln x dx = x ln ∫0 tdt = ln t2 = dx x , ta ln2 Xác định a b cho a b = + x ( x + 1) x x + Tính I = dx ∫1 x ( x + 1) ĐS: Đẳng thức ( a + b) x + a với x a b = + ⇔ = x ( x + 1) x x + x ( x + 1) x ( x + 1) ⎧a + b = ⎧ a =1 ⇔⎨ ⎨ = ⎩a ⎩ b = −1 Vaäy 1 = − Suy x ( x + 1) x x + 17 I= ∫1 dx = x ( x + 1) dx ∫1 x −∫ 3⎞ dx ⎛ = ln x − ⎜ ln ( x + 1) ⎟ = ln − ( ln − ln 2) 1⎠ x +1 ⎝ = ln − ln + ln = ln 46 = ln 23 Tính tích phân sau ∫1 a) c) e1/ x x2 dx dx e4 ∫e x ln x dx ∫1 e1/ x x2 ∫0 xe− x dx 1/ ∫0 d) sin −1 x 1−x dx , dt = − dx2 , ta x ĐS: a) Với t = b) x dx = − ∫ et dt = 1 t 1 2 ∫ e dt = et = e2 − e = e − e b) Với t = x2 , dt = 2xdx , ta ∫0 xe− x dx = ( 1 −t ⎛ −t ⎞ −1 = e dt ⎜ −e ⎟ = − e ∫0 2⎝ ⎠ c) Với t = ln x , dt = e4 ∫e dx x ln x = dx x , ta ln e4 − ∫ln e ) t dt = 2t =2 ( ) −1 = Xét hàm số f từ \ vào \ cho ⎧x x ∈ ⎡⎣ 0,1⎤⎦ ⎪⎪ f ( x ) = ⎨2 − x x ∈ (1, 2⎤⎦ ⎪ x ∉ ⎡⎣ 0, 2⎤⎦ ⎪⎩0 Vẽ đồ thị hàm f Kiểm chứng ∫−∞ f ( x ) dx = (f gọi hàm phân phối xác suất) +∞ Tính E = ∫0 xf ( x ) dx (E gọi kỳ vọng hay trung bình hàm phân phối xác suất f) 18 ĐS: Đồ thị ∫−∞ f ( x ) dx = ∫−∞ f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx + ∫1 f ( x ) dx + ∫2 f ( x ) dx +∞ E= = = ∫0 = ⎡ + 4− ⎢⎣ xf ( x ) dx = ∫0 ⎡ + 4− ⎣ ( ( − x ) dx = x2 + ( 2x − x2 ) 1 xdx + ∫ ( ∫0 +∞ 22 2 2 ) − ( − )⎤⎥⎦ = 1 2 x 2dx + ∫ x ( − x ) dx = 1 x3 ( + 2x − x3 ) ) − ( − )⎤⎦ = Tính tích phân suy rộng a) I = ∞ ∫ xe x2 dx ∞ ∫ b) I = c) I = ∞ dx ∫ −∞ e) I = d) I = x + 4x + ∞ ∫ x ln3 x f) I = e g) I = ∫e −2x h) I = cos xdx k) I = j) I = − x2 e dx ∫ x2 + 2x + ∞ ∫ dx x + 6x + 11 e dx ∫x ln x dx ∫ ∞ −∞ i) I = x x2 − −1 dx +∞ dx dx ∫ x2 + x4 dx ∫ x ln3 x l) I = 2/ ∫ 1/ dx x 9x − ĐS: a) Với t = x , dt = 2xdx , ta coù Suy t x ∫ xe dx = 1 ex t = ( x ∫ xe dx = ) t2 e − e vaø 19 t t x2 = + = e dt e C e + C 2∫ 2 I= ∞ t x2 ∫ xe dx = lim t →+∞ ) ( t2 e − e = +∞ t →+∞ 2 x ∫ xe dx = lim 1 − cos2 t sin t , , dx = − x − = − = = tan2 t , ta coù 2 cos t cos t cos t cos t sin tdt − dx = ∫ ∫ costant t = ∫ −dt = −t + C = − arccos 1x + C x x −1 cos t b) Với x = Suy t dx ∫ I= ∞ ∫ 2 x x −1 dx x x −1 t = − arccos 1x = lim t →+∞ t ∫ 2 dx x x −1 ⎡ c) x + 4x + = ( x + ) + = ⎢ ⎣ Với t = x+2 , dt = dx ∫ x2 + 4x + = t dx = arccos = lim ( π t →+∞ ( ) x+2 2 − arccos 1t = ) − arccos 1t = ⎤ + 1⎥ cho ⎦ π π dx t ∫ −∞ ( dx x + 4x + t dx = lim t →+∞ ∫ x + 4x + t →+∞ = lim s →−∞ s s →−∞ ⎡ d) x + 2x + = ( x + 1) + = ⎢ ⎣ Với t = x +1 dx , dt = dx dt = +1 ( ) x +1 2 ⎤ + 1⎥ cho ⎦ ) ) ( π arctan t + − arctan s + = 5 5 dx ∫ x2 + 2x + = ∫ 1 ∫ x2 + 2x + = arctan x2+1 = arctan t +21 − arctan −1 −1 Vaäy I = x+2 dx ( ) x +1 2 +1 1 arctan t + C = arctan x2+1 + C vaø 2 t dx ∞ ( ) , ta suy ∫ x2 + 2x + = ∫ + t2 t dx dt 5 arctan t + C = arctan x + + C vaø = ∫ 5 1+ t 5 5 ∫ x2 + 4x + = arctan x +52 = arctan t +52 − arctan s +52 s s Vaäy I = ∫ x2 + 4x + = ∫ , ta suy dx ∞ − arccos 1t vaø ( t dx dx ) π = lim arctan t +21 = ∫ x2 + 2x + = tlim →+∞ ∫ x + 2x + t →+∞ −1 e) Với t = ln x , dt = −1 dx x , ta coù dx dt ∫ x ln3 x ∫ t3 = 20 = t −3+1 1 +C= − +C= − + C vaø −3 + 2t ln2 x t dx ∫ x ln3 x =− e Suy I = t ln2 x e ∞ = dx ∫ x ln3 x ln2 e − ln2 t t dx dx ∫ x2 + 6x + 11 = t dx dt = − ln2 t e ⎡ f) x + 6x + 11 = ( x + 3) + = ⎢ ⎣ x+3 , 2 = lim ( 12 − ∫ ln t →+∞ x ln x t →+∞ = lim e Với t = = ( ) x+3 2 ⎤ + 1⎥ cho ⎦ t ) = 12 dx t ∫ dx −∞ x + 6x + 11 ⎪⎧u = e−2x ⇒ g) Với ⎨ ⎪⎩dv = cos xdx ∫e −2x −2x +1 ( t dx = lim t →+∞ ∫ x + 6x + 11 t →+∞ = lim s →−∞ s s →−∞ ) ) ( π arctan t + − arctan s + = 2 2 ⎪⎧du = −2e−2xdx , ta coù ⎨ ⎪⎩ v = sin x cos xdx = e−2x sin x + 2∫ e−2x sin xdx ⎧⎪u = e−2x Với ⎨ ⇒ ⎩⎪dv = sin xdx ∫e ( ) x+3 2 dt 1 = arctan t + C = arctan x + + C vaø ∫ 2 1+ t 2 2 ∫ x2 + 6x + 11 = arctan x +23 = arctan t +23 − arctan s +23 s s Vaäy I = dx , ta suy dx ∞ ∫ x2 + 6x + 11 = ∫ ⎧⎪du = −2e−2xdx , ta coù ⎨ ⎩⎪ v = − cos x sin xdx = −e−2x cos x − 2∫ e−2x cos xdx Suy ∫e −2x cos xdx = e−2x sin x + ⎡ −e−2x cos x − 2∫ e−2x cos xdx ⎤ neân ⎣ ⎦ 5∫ e−2x cos xdx = e−2x sin x − 2e−2x cos x + C , nghóa ∫e −2x Vaäy cos xdx = t ∫e I= +∞ ∫ −2x ( ) −2x e sin x − 2e−2x cos x + C ( −2x cos xdx = e sin x − 2e−2x cos x ) t = ( ) −2t e sin t − 2e−2t cos t + vaø 5 t ⎡1 2⎤ e−2x cos xdx = lim ∫ e−2x cos xdx = lim ⎢ e−2t sin t − 2e−2t cos t + ⎥ t →+∞ t →+∞ ⎣ 5⎦ ( ( ) ) Vì e−2t sin t − 2e−2t cos t ≤ e−2t sin t + cos t ≤ 3e−2t → t → +∞ , ta suy 21 ( ) lim e−2t sin t − 2e−2t cos t = vaø ñoù t →+∞ I= +∞ ∫e −2x cos xdx = dx x h) Với t = ln x , dt = ∫x dx ln x = dt ∫ t1/ Với t > , ta coù −1 = t2 +1 −1 +1 e ∫x Suy I = ∫x ln x t ∫ dx ∫ i) Ta coù dx − x2 ln x t ↓1 1− x x +x dx t dx ∫ = = lim ∫ t ↑1 ( x2 + x2 dx dx ) = 1−x x − ∫ x2 + x4 = lim ∫ t↓0 t t ↑1 1 + x2 Suy ra, với < t < e , I= π = − 2π , ta suy ( π ) − ⎛⎜⎝ − 1t − arctan t ⎞⎟⎠ = 1t + arctan t − − π vaø dx dx x , ta coù e dx ∫ x ln3 x = ∫ dx ∫ x ln3 x = − ln2 x dx ⎛ e t t −3+1 1 = +C= − +C= − + C −3 + t 2t ln2 x dt 1⎛ 1 ⎞ 1 vaø =− ⎜ − ⎟= − ⎝ ln e ln t ⎠ ln2 t 1⎞ = lim ⎜ − ⎟ = +∞ ∫ x ln3 x = lim t ↓1 ∫ x ln x t ↓1 ⎝ ln t 2⎠ ) = arccos1 − − arctan x + C Do đó, với < t < , x t e π π ⎛1 π⎞ = + − − = +∞ lim arctan t ⎜ 4⎟ t↓0 ⎝ t x2 + x4 ⎠ k) Với t = ln x , dt = dx ( = lim arccos t − ∫ x2 + x4 = − x − arctan x = −1 − t t e ) ( t ↓1 dx =− dx dx ) ln e − ln t = − ln t = arccos x + C Với < t < , ta coù ∫ x2 + x4 = ∫ x2 − ∫ + x2 ) ( ( I= =2 = lim − ln t = x ln x t t = arccos x = arccos t − arccos = arccos t − Suy I = dx = lim ∫ e t 1− x j) Do = ln x e dx + C = t + C = ln x + C dx t e , ta có t 22 l) Với x = ∫ cos t dx x 9x − 2/ ∫ t I= = dx ∫ sin tdt cos2 t tan t cos t − = tan2 t , dx = sin tdt cos2 t , ta suy = ∫ dt = t + C = arccos 3x + C vaø với , ta Vaäy lim u n = u = n →∞ Tìm tổng riêng tổng (nếu có ) chuỗi số: a ∑ n =1 n ( n + ) ∞ ∞ n =1 n ÑS: a) Do n ∑ b ( n + 1) ∞ 3n + 2n n =1 6n ∑ d n 3n n =1 2n + c ∑ + ( −1) ∞ 1 = − , ta n ( n + 1) n n + 1 1 ∑ k ( k + 1) = ⋅ + ⋅ + + n ( n + 1) = (1 − 12 ) + ( 12 − 13 ) + + ( n1 − n1+1 ) k =1 =1− n +1 n = →1 n + 1 + n1 = ∞ ∑ n ( n + 1) = n → ∞ , ta suy n =1 ∞ b) ∑ + ( −1) n = 3n n =1 n ∑ n ( n + 1) k =1 k ( k + 1) + n =1 2n + = n ( n + 1) ⋅2 ( n + 1) ∑ n =1 n ∞ 3n 22 = − + n =1 n 32 ( n + 1) + n =1 = ∞ n =1 n2 1+ = n ( n + 1) 2n n ( n + 1) ) + + ⎛⎜⎝ ∞ ( 1+ − n n ) 2 ⎞ ⎟ ( n + 1) ⎠ →1 = ∑ 6n ∑ 6n ∑ ( ) n =1 ∞ ( ) ∑ (− ) n , ta n2 + 2n ∞ ∑ n =1 = n =1 + + 2 ⋅3 )+( 22 + n → ∞ , ta suy − 2 =1− 3n + 2n ∞ = 2∑ 3n n =1 ( ∞ n ( ) = 1− d) ( −1) 15 + = + = 4 − 13 − − = ∞ ∑ 3n ∑ =2 c) Do ∞ n 28 + ∞ ∑ ( 13 ) n =1 n = 1 + = 2+ = 1 2 1− 1− Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 + n =1 3n ∞ 2n + ∑ a) b) d) n =1 n +1 ∞ ∑ n3 + e) ∑ (1 + n1 ) n n =1 ∑ n2 + c) ∞ f) n =1 n3 ∞ ∑ + 2n n =1 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ ( n + 1) a n +1 = an ĐS: a) Dùng tiêu chuẩn d’Alembert, +1 ( n + 1) + 1 = → < n +1 n +1 n2 +1 3n Chuỗi hội tụ ( b) lim + n →∞ n ) n = e ≠ neân ∞ ∑ (1 + n1 ) n phân kỳ n =1 c) Dùng tiêu chuẩn so sánh Do n → ∞ nên hai chuỗi 2n + ∑ n2 + vaø 2n + n2 + 1 ∑n = 2+ n1+ n n2 , ta suy 2n +1 n2 +1 n → chất chuỗi phân kỳ d) Dùng tiêu chuẩn D'Alembert lim a n +1 an n →∞ neân ∞ ∑ n =0 ( n + 1) = n +1 lim 1+ 23 n →∞ n + 2n n3 + 2n = lim n →∞ (1 + ) = lim (1 + ) ( + 1) = < +2 (1 + ) ( n + 1) n3 n n n +1 n →∞ 2n 2n hội tụ 1 1+ n , ta suy e) Dùng tiêu chuẩn so saùnh Do = n + n2 + n13 n +1 n → ∞ nên hai chuỗi f) Do n3 + 2n2 + 2n3 n+1 ∑ n3 + ∑ n2 → chất chuỗi hội tụ → ≠ kh n → ∞ , ta suy 29 n +1 n3 +1 n2 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ chuỗi phân kyø ... + ( n1 − n1 +1 ) k =1 =1? ?? n +1 n = ? ?1 n + 1 + n1 = ∞ ∑ n ( n + 1) = n → ∞ , ta suy n =1 ∞ b) ∑ + ( ? ?1) n = 3n n =1 n ∑ n ( n + 1) k =1 k ( k + 1) + n =1 2n + = n ( n + 1) ⋅2 ( n + 1) ∑ n =1 n... =1 n ( n + ) ∞ ∞ n =1 n ÑS: a) Do n ∑ b ( n + 1) ∞ 3n + 2n n =1 6n ∑ d n 3n n =1 2n + c ∑ + ( ? ?1) ∞ 1 = − , ta n ( n + 1) n n + 1 1 ∑ k ( k + 1) = ⋅ + ⋅ + + n ( n + 1) = (1 − 12 ) + ( 12 − 13 ... =1 n +1 ∞ ∑ n3 + e) ∑ (1 + n1 ) n n =1 ∑ n2 + c) ∞ f) n =1 n3 ∞ ∑ + 2n n =1 ∞ n3 + 2n2 n =1 + 2n ∑ ( n + 1) a n +1 = an ĐS: a) Dùng tiêu chuẩn d’Alembert, +1 ( n + 1) + 1 = → < n +1 n +1 n2 +1

Ngày đăng: 23/12/2016, 23:35

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w