Bài giảng toán a1 chương 4 a1 2016

 Chương Tích phân đường – Tích phân mặt §1 Tích phân đường loại §2 Tích phân đường loại §3 Tích phân mặt loại §4 Tích phân mặt loại ……………………………………………………… §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1 Định nghĩa • Giả sử đường cong L mặt phẳng Oxy có phương trình tham số x x(t ), y y(t ) với t [a; b ] f (x , y ) hàm số xác định L Chia L thành n cung không dẫm lên điểm chia ứng với a t0 t1 tn b  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt • Gọi độ dài cung thứ i si Trên cung thứ i lấy điểm M i (x (ti ), y(ti )) tùy ý i L f (M i ) si • si • • n Tổng I n y O x t0 • • xt i Mi xt xt i x n gọi tổng tích phân đường loại hàm số f (x , y ) đường cong L n • Giới hạn lim max si i f (M i ) si tồn hữu hạn gọi tích phân đường loại f (x , y ) L  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt f (x , y )dl f (x , y )ds hay Ký hiệu L L • Tích phân đường loại hàm số f (x, y, z ) đường cong L không gian, ký hiệu f (x , y, z )ds , L định nghĩa tương tự Nhận xét  Tích phân đường loại có tất tính chất tích phân xác định  Tích phân đường loại khơng phụ thuộc vào chiều cung AB , nghĩa là: fds fds AB BA  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 1.2 Sự tồn tích phân đường loại a) Khái niệm đường cong trơn Đường cong L có phương trình x x(t ), y y(t ) gọi trơn đạo hàm x (t ), y (t ) tồn không đồng thời Nói cách khác, đường cong L gọi trơn điểm M L vẽ tiếp tuyến với L b) Định lý Nếu đường cong L trơn khúc (hay đoạn) hàm số f liên tục L tích phân fds tồn L  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số • Nếu đường cong L mặt phẳng có phương trình x x (t ), y y(t ), với a t b thì: b f (x , y )ds L f (x (t ), y(t )) xt a yt dt  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt • Nếu đường cong L khơng gian có phương trình x x (t ), y y(t ), z z(t ) với a t b thì: b f (x , y, z )ds L f xt yt zt a Trong đó, f f (x (t ), y(t ), z (t )) dt  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I xds L Trong đó, L cung trịn có phương trình tham số: x cos t , y sin t , t Giải Áp dụng trực tiếp cơng thức, ta có: I cos t [(cos t ) ]2 cos tdt [(sin t ) ]2 dt  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I (x y )dl Trong đó, L L đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) điểm B( 2; 3) Giải Ta có: AB ( 2; 5) Phương trình tham số đường thẳng AB là: x 2t , y 5t Xác định cận t : xA 2tA tA 0 t xB 2tB tB  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Vậy I [ 2t (2 5t )] [( 2t ) ]2 (3t 29 2)dt 29 [(2 5t ) ]2 dt  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I (1 2x )2ydl Trong đó, L L đoạn thẳng nối điểm A(1; 3) điểm B(1; 7) Giải Phương trình tham số đường thẳng AB là: x 1, y t Xác định cận t : yA yB tA tB 7 t 3 ( 4t ) 02 Vậy I 12 dt 80  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 4.3 Cơng thức Gauss – Ostrogradski (mối liên hệ tích phân mặt bội ba) Cho V khối bị chặn với biên S kín, trơn mảnh hướng phía ngồi Giả sử P, Q, R hàm có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa V Khi đó: Pdydz Qdzdx Rdxdy S Px V Qy Rz dxdydz  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Mikhail Ostrogradski (1801 - 1862)  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt x 3dydz VD Tính I y 3dzdx z 3dxdy , với S S mặt phía ngồi mặt cầu x y z 2 R Giải Áp dụng công thức Gauss – Ostrogradski, ta có: I (x y z )dxdydz V R d r dr sin d 12 R5  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 4.4 Công thức Stokes (mối liên hệ tích phân đường mặt loại 2) Cho S mặt định hướng, trơn mảnh có biên S Jordan trơn khúc Giả sử P, Q, R hàm số có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa S Khi đó: Pdx S Qdy Rdz Ry Qz dydz Pz Rx dzdx Qx Py dxdy S S S (Hướng S hướng dương phù hợp với hướng S )  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Sir George Gabriel Stokes (1819 - 1903)  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt ydx VD Tính tích phân zdy xdz Trong C C 2 2 y z R mặt đường tròn giao mặt cầu x phẳng x y z , hướng tích phân C hướng dương nhìn từ tia Oz Giải Gọi S hình trịn có biên C Ta có: Ry Qz Pz Rx Qx Py z R n O S x C y  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Mặt phẳng x y z có n Áp dụng công thức Stokes, ta được: ydx zdy xdz dydz C ; ; dzdx dxdy 1 S S 3 R2 3 dS  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 4.5 Các ví dụ trắc nghiệm tích phân mặt loại VD Tính tích phân I dxdy , với S mặt S mặt x A I ; B I y 1, z ; C I ; D I  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Giải Hình chiếu S Oxy hình elip y E : x2 Do S định hướng phía nên: I dxdy S (E ) E 1.3 A  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính I zdxdy , với S mặt mặt S z giới hạn x A I 1; B I ; y 1, x 0, y C I ; D I Giải Mặt S có định hướng phía có hình chiếu Oxy D : x y 1, x 0, y Vậy I zdxdy S dxdy D 2S (D ) 2 A  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính I 3xdxdy S mặt biên elipsoid 2 y z : x2 A I 144 ; B I 32 ; C I ; D I 36 2xdydz ydzdx , với S z O x y  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Giải Áp dụng công thức Gauss – Ostrogradski, ta có: I (0 1)dxdydz V ( ) 1.2.3 C Nhắc lại Thể tích khối elipsoid V( ) : x2 y2 z2 2 a b R abc c R2 là:  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính I xdydz 2zdzdx dxdy với S y2 2z S mặt mặt cầu x z2 A I ; B I ; C I ; D I 3 0, z  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Giải Gọi S mặt hình trịn giao mặt z mặt cầu x y z 2z Áp dụng Gauss – Ostrogradski với khối kín 2 :x y z 2z , z 1, có biên S S , ta được: xdydz 2zdzdx dxdy (1 0)dxdydz 13  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt I xdydz 2zdzdx dxdy S I 3 xdydz 2zdzdx dxdy S (0.x 0.2z 1)dS S dt (S ) 3 ……………………………………………………………………… D ... có: x y2 r y2 4y  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt r (4 sin )2 Vậy I [ (4 sin ) ]2 d sin (4 sin )2 sin d 16 32 (4 cos )2 d  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt 1 .4 Ứng dụng tích... trình giao tuyến: x t, y t , z t (0 t 1)  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Suy vi phân cung: ds t 2 4t dt t2 1 Vậy I 4x 4t t yds L 4t 4x dt dt  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt b)... Tính tích phân I dx 4xydy , với BA có BA x điểm A(1; 1), B (4; 2) phương trình y Giải Ta có: y x x 1 I [d (y ) y 4y dy ] (2y 4y )dy 18  Chương Tích phân đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân