SỞ GD & ĐT LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để phương trình x − x = m + có nghiệm thực phân biệt Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos8 x + cos 2 x = b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( − i )(1 + i ) + z = − 2i Tính môđun z Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình: x + 2.6 x − 3.9 x ≤ x y + x + = x x y + ( x, y ∈ R ) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = π ∫ sin x dx + cos x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng d : x + y − = đường tròn (C ) : x + y + x − y − = Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) , đường thẳng d: x +1 y − z = = mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm tọa độ giao điểm d với −1 −2 (P) viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) Câu (0,5 điểm) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất để học sinh nữ đứng liền Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn − − 2 < x < −1 + 2 , y > 0, z > x + y + z = −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + ( x + y)2 ( x + z)2 − ( y + z)2 HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D = R 2) Sự biến thiên: a, Giới hạn : lim y = +∞ ; lim y = +∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ b, Bảng biến thiên: y’ = x − x , y’ = ⇔ x = 0, x = ±1 x -∞ -1 y' + 0 +∞ -3 +∞ + +∞ 0,25 y -4 -4 Hàm số đồng biến khoảng (- 1; 0) (1;+∞) , hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1) (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = - Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT = y( ± ) = - 3) Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox điểm ( ± ; 0) 0,25 y − 3− 1O x 0,25 −3 −4 Câu (1,0 điểm) b) (1,0 điểm) Ta có x − x = m + ⇔ x − x − = m (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) đường thẳng y = m Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt − < m < −3 Vậy phương trình cho có nghiệm thực phân biệt m ∈ (−4;−3) a) (0,5 điểm) cos x + cos 2 x = + cos x ⇔ cos x − + =0 ⇔ cos x + cos x = π kπ x = + cos x = ( 0.25) ⇔ ,k ∈ Z ( 0.25) ⇔ cos x = − π kπ x=± + ( 0.5) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (0,5 điểm) Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ), z = a − bi Theo ta có (2 − i )(1 + i ) + a − bi = − 2i ⇔ a + + (1 − b)i = − 2i a + = a = ⇔ ⇔ Do z = 1+ 3i , suy z = 12 + 32 = 10 − b = − b = Câu (0,5 điểm) 2x Câu (1,0 điểm) 0,25 x 2 2 x + 2.6 x − 3.9 x ≤ ⇔ ÷ + ÷ − ≤ 3 3 x 0,25 0,25 x 2 2 ⇔ −3 ≤ ÷ ≤ ⇔ ≤ ÷ ≤ ⇔ x ≥ 3 3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [ 0; + ∞ ) 0,25 Điều kiện: x y ≥ −2 Gọi hai phương trình (1) (2) (2) ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y )3 + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) 0,25 Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = Do hệ cho tương đương với x y + x = y = − x x y + = ⇔ x y = y − ⇔ x (2 − x ) + x = (4) x y = y − x > x > 2 (4) ⇔ x − 3x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = 0,25 0,25 1± x = − 1+ 1+ ⇔ Do x > nên x = x = 2 −1± x = 1+ 1− −1+ 1+ Với x = ⇒y= ⇒y= 2 2 1+ 1− −1 + + , ( x; y ) = ; ; Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = 2 2 Với x = Câu (1,0 điểm) π I =∫ sin x.(1- cos x)dx + cos x 0,25 0,25 Đặt t = + cos x ⇒ dt = − sin xdx, cos x = t − x = ⇒ t = Đổi cận π x = ⇒ t = 1 − ( t − 1) (− dt ) = (2t − t )dt = (2 − t )dt I =∫ ∫1 t ∫1 t t2 I = (2t − ) 12 = 2 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) S A D K H B AB = OA2 + OB = a + 4a = a AB a 15 = 2 1 = AC.BD = 2a.4a = 4a 2 C S ABCD 1 a 15 2a 15 Thể tích khối chóp S ABCD : V = SH S ABCD = ⋅ 4a = 3 Ta có BC // AD nên AD //(SBC) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) Do H trung điểm AB B = AH ∩ (SBC ) nên d ( A, ( SBC )) = 2d ( H , ( SBC )) Kẻ HE ⊥ BC , H ∈ BC , SH ⊥ BC nên BC ⊥ (SHE ) Kẻ HK ⊥ SE , K ∈ SE , ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H , ( SBC )) HE = 0,25 +) SH = O E Gọi O = AC ∩ BD , H trung điểm AB, suy SH ⊥ AB Do AB = ( SAB ) ∩ ABCD) ( SAB) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD) AC 2a = =a, +) Ta có OA = 2 BD 4a OB = = = 2a 2 0,25 0,25 S BCH S ABC S ABCD 4a 2a = = = = BC BC AB 2a 5 1 91 2a 15 2a 1365 = + = 2+ = ⇒ HK = = 2 2 HK HE SH 4a 15a 60a 91 91 4a 1365 91 Đường tròn (C) có tâm I (−2;1) , bán kính R = Do M ∈ d nên M (a;1 − a ) Do M nằm (C) nên IM > R ⇔ IM > ⇔ (a + 2) + ( −a) > ⇔ 2a + 4a − > (*) Ta có MA2 = MB = IM − IA2 = (a + 2) + (−a ) − = 2a + 4a − Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x − a ) + ( y + a − 1) = 2a + 4a − ⇔ x + y − 2ax + 2(a − 1) y − 6a + = (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x + y + x − y − = (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a + 2) x − ay + 3a − = (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng ∆ qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với ∆ nên (E) có bán kính R1 = d ( E , ∆) Chu vi (E) lớn ⇔ R1 lớn ⇔ d ( E , ∆) lớn 11 Nhận thấy đường thẳng ∆ qua điểm K ; 2 10 Gọi H hình chiếu vuông góc E lên ∆ ⇒ d ( E , ∆ ) = EH ≤ EK = Dấu “=” xảy H ≡ K ⇔ ∆ ⊥ EK 0,25 Vậy d ( AD, SC ) = HK = Câu (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) 3 Ta có EK = − ; , ∆ có vectơ phương u = (a; a + 2) 2 Do ∆ ⊥ EK ⇔ EK u = ⇔ − a + (a + 2) = ⇔ a = −3 (thỏa mãn (*)) 2 Vậy M ( − 3;4) điểm cần tìm x = −1 + 2t d có phương trình tham số y = − t z = −2t Gọi B = d ∩ (P) , B ∈ d nên B (−1 + 2t ;4 − t ;−2t ) Do B ∈ (P ) nên 2(−1 + 2t ) − 2(4 − t ) − 2t − = ⇔ t = ⇒ B (7;0;−8) Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I (−1 + 2a;4 − a;−2a) Theo (S) có bán kính R = IA = d ( I , ( P )) 2(−1 + 2a ) − 2( − a ) − 2a − ⇒ (2 − 2a ) + (a − 1) + (2 + 2a ) = 2 + 2 + 12 4a − 16 ⇔ 9a − 2a + = 35 13 +) Với a = ⇒ I = (1;3;−2), R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 16 35 116 83 87 70 ⇒ I = − ; ; ; R = +) Với a = − 13 13 13 13 13 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ 9(9a − 2a + 9) = (4a − 16) ⇔ 65a + 110a − 175 = ⇔ a = 1; a = − Câu (0,5 điểm) Câu 10 (1,0 điểm) 0,25 83 87 70 13456 ⇒ (S ) : x + + y − + z − = 13 13 13 169 Số cách xếp người theo hàng dọc là: 9! = 362880 Các cách xếp thoả đề bài: - Sắp xếp người nam người nữ cho người nữ đứng cạnh có: 3!.7! = 30240 30240 = Vậy xác suất cần tìm P = 362880 12 1 1 1 + + = + + 2 2 (−1 − z ) (−1 − y ) − (−1 − x) (1 + y ) (1 + z ) − (1 + x) 1 + ≥ Ta chứng minh 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz 1 + ≥ ⇔ (1 + yz )[(1 + z ) + (1 + y ) ] ≥ [(1 + z )(1 + y )]2 Thật vậy: 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz ⇔ (1 + yz )(2 + z + y + z + y ) ≥ (1 + zy + z + y ) 0,25 0,25 Ta có P = ⇔ 2( z + y )(1 + zy ) + 2(1 + yz ) + (1 + zy )( y − z ) + zy (1 + yz ) ≥ (1 + zy ) + 2( z + y )(1 + zy ) + ( z + y ) ⇔ (1 + zy )( y − z ) + + yz + y z − (1 + yz ) − ( y − z ) − yz ≥ ⇔ yz ( y − z ) + (1 − yz ) ≥ (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy y = z = 0,25 y+z y+z (−1 − x) (1 + x) ≥ yz ⇒ yz ≤ = = 4 1 1 + ≥ ≥ = 2 Do (1 + y ) (1 + x) (1 + z ) + yz + (1 + x) 1+ 4 ⇒P≥ + + (1 + x) − ( x + 1) Do − − 2 < x < −1 + 2 nên ( x + 1) ∈ [0;8) + Đặt t = (1 + x) ⇒ t ∈ [0;8) P ≥ 4+t 8−t + Xét f (t ) = với t ∈ [0;8) 4+t 8−t − 3t + 72t − 240 f ' (t ) = − + = (4 + t ) (8 − t ) (4 + t ) (8 − t ) f ' (t ) = ⇔ −3t + 72t − 240 = ⇔ t = 4; t = 20 (loại) Bảng biến thiên t f’(t) + +∞ f(t) (1 + x) = x = −3 3 ⇔ Do P ≥ f (t ) ≥ P = y = z = 4 x + y + z = −1 y = z = Ta lại có Vậy P = x = −3, y = z = HẾT 0,25 0,25 0,25 ... = R 2) Sự biến thi n: a, Giới hạn : lim y = +∞ ; lim y = +∞ x→−∞ 0,25 x→+∞ b, Bảng biến thi n: y’ = x − x , y’ = ⇔ x = 0, x = ±1 x -∞ -1 y' + 0 +∞ -3 +∞ + +∞ 0,25 y -4 -4 Hàm số đồng biến khoảng... Oy làm trục đối xứng, giao với Ox điểm ( ± ; 0) 0,25 y − 3− 1O x 0,25 −3 −4 Câu (1,0 điểm) b) (1,0 điểm) Ta có x − x = m + ⇔ x − x − = m (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) đường thẳng... = 13 13 13 169 Số cách xếp người theo hàng dọc là: 9! = 362880 Các cách xếp thoả đề bài: - Sắp xếp người nam người nữ cho người nữ đứng cạnh có: 3!.7! = 30240 30240 = Vậy xác suất