Biến đổi Laplace ngược ĐH BK

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 NỘI DUNG PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC BÀI TẬP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) f (t) gọi biến đổi Laplace ngược F(s) ta viết f (t) = L−1 {F(s)} VÍ DỤ 1.1 Ta có L{e−3t } = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 nên L−1 = e−3t s+3 s+3 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tuyến tính ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu f1(t) f2(t) biến đổi Laplace ngược F1(s) F2(s), c1, c2 số L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t) (1) VÍ DỤ 2.1 Tính L−1 3s − + s − s + 16 s + Đáp số 4e2t − cos 4t + 5/2 · sin 2t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo s) ĐỊNH LÝ 2.2 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{F(s + a)} = e−at f (t) (2) L−1{F(s)} = e−at L−1{F(s − a)} (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo s) VÍ DỤ 2.2 Tính s2 − 2s + Đáp số et sin 2t 6s − L−1 s − 4s + 20 Đáp số e2t (6 cos 4t + sin 4t) L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo t) ĐỊNH LÝ 2.3 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{e−as F(s)} = f (t − a)u(t − a) (4) VÍ DỤ 2.3 π e−πs/3 π Đáp số sin(t − )u(t − ) Tìm L 3 s2 + −s −2s ) −1 2(e − e Tìm L Đáp số 2[e−(t−1) − (s + 1)(s + 2) −2(t−1) e ]u(t − 1) − 2[e−(t−2) − e−2(t−2) ]u(t − 2) −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất đổi thang đo ĐỊNH LÝ 2.4 Nếu L{f (t)} = F(s) a L−1{F(as)} = · f t , (a > 0) a (5) VÍ DỤ 2.4 2s 4s2 + 16 Đáp số cos 2t Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm ĐỊNH LÝ 2.5 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{F (n)(s)} = (−1)nt nL−1{F(s)} (6) hay −1 L {F(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) L−1{F (n)(s)} (7) (−1)n t n PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm VÍ DỤ 2.5 sinh t s+1 Đáp số t s−1 2[u(t) − cos t] ln + Đáp số s t L−1 ln L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 10 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1    ∞ F(x)dx   =  s f (t) t (8) hay −1 L {F(s)} = t L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ −1 F(x)dx (9) s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 11 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược tích phân VÍ DỤ 2.6 Tìm L−1 s Đáp số t sinh t (s2 − 1)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 12 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu F(0) = L{f (t)} = F(s) L−1{sF(s)} = f (t) = d −1 L {F(s)} dt (10) hay L−1{G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d −1 G(s) L dt s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (11) TP HCM — 2016 13 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu f (0) = f (0) = = f (n−1)(0) −1 n L {s F(s)} = f (n) dn −1 (t) = n L {F(s)} dt (12) hay dn −1 G(s) L {G(s)} = n L dt sn −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (13) TP HCM — 2016 14 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn VÍ DỤ 2.7 Tìm L−1 s Đáp số cos 2t s2 + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 15 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1 F(s) = s t f (x)dx (14) L−1{sG(s)}dx (15) hay t −1 L {G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 16 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn VÍ DỤ 2.8 Tìm L−1 Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − cos 2t Đáp số s(s2 + 4) t2 Đáp số + cos t − s3 (s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 17 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tích chập ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu L−1{F(s)} = f (t) L−1{G(s)} = g(t) t −1 f (x)g(t − x)dx L {F(s)G(s)} = (16) VÍ DỤ 2.9 Tìm L−1 Đáp số e2t − et (s − 1)(s − 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 18 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau 3s − 12 s2 + 2s − s2 − s5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) s (s + 1)5 3s + 4s2 + 12s + PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 19 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau e−2s s2 s+2 ln s+1 s(s + 1)3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (s − 1)5 (s + 2) (s + 1)(s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 20 / 21 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 21 / 21 [...]... biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược của tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L−1    ∞ F(x)dx   =  s f (t) t (8) hay −1 L {F(s)} = t L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ −1 F(x)dx (9) s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 11 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược của tích phân VÍ DỤ 2.6 Tìm L−1 1 s Đáp số t sinh t 2 (s2 − 1)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)... {F(s)} dt (12) hay dn −1 G(s) L {G(s)} = n L dt sn −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (13) TP HCM — 2016 14 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn VÍ DỤ 2.7 Tìm L−1 s Đáp số cos 2t s2 + 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 15 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L−1 F(s)... 0 hay t −1 L {G(s)} = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 16 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn VÍ DỤ 2.8 1 Tìm L−1 2 Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 − cos 2t 1 Đáp số 4 s(s2 + 4) t2 1 Đáp số + cos t − 1 2 s3 (s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 17 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Tích chập ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu... e2t − et (s − 1)(s − 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 18 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 3s − 12 s2 + 8 2s − 5 s2 − 9 1 s5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 4 5 s (s + 1)5 3s + 2 4s2 + 12s + 9 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 19 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 e−2s... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 12 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu F(0) = 0 và L{f (t)} = F(s) thì L−1{sF(s)} = f (t) = d −1 L {F(s)} dt (10) hay L−1{G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d −1 G(s) L dt s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (11) TP HCM — 2016 13 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu... #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 e−2s s2 s+2 ln s+1 1 s(s + 1)3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 4 5 1 (s − 1)5 (s + 2) 1 (s + 1)(s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 20 / 21 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 21 / 21 ... Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) f (t) gọi biến đổi Laplace ngược... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 nên L−1 = e−3t s+3 s+3 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tuyến tính ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu f1(t) f2(t) biến đổi Laplace ngược... + 16 Đáp số cos 2t Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm ĐỊNH LÝ 2.5 Nếu L{f (t)}