Cơ lý thuyết BK đặc trưng hình học momen quán tính

ĐỘNG LỰC HỌC Mục tiêu: Nghiên cứu qui luật chuyển động của: chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối tác dụng lực CƠ LÝ THUYẾT (Theoretical Mechanics) Nội dung: Phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ chất điểm Nguyên lý D’Alambert Các định lý tổng quát động lực học Nguyên lý di chuyển Phương trình tổng quát động lực học phương trình Lagrange loại II Phạm Bảo Toàn baotoanbk@hcmut.edu.vn Phòng 201B4 – PTN Cơ học Ứng dụng – BM Cơ Kỹ Thuật Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách Khoa Tp.HCM ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (1) Một số khái niệm Chất điểm: Là điểm hình học có khối lượng Khi kích thước vật rắn không đáng kể so với không gian chuyển động chuyển động đó, vật rắn xem chất điểm VD: • Bán kính trái đất: r ~ 6,400 km • Khoảng cách từ trái đất đến mặt trời: R ~ 150×106 km (1 AU, astronomical unit) • r/R ~ 4.27×10-5 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (2) Một số khái niệm Cơ hệ: Là tập hợp chất điểm mà chuyển động chúng phụ thuộc lẫn • Cơ hệ tự do: Các chất điểm hệ chịu tương tác với thông qua lực • Cơ hệ không tự do: Các chất điểm hệ không chịu tương tác với lực mà chịu số ràng buộc hình học, động học l1 m1 l2 m2 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (3) Một số khái niệm Vật rắn tuyệt đối: Là hệ đặc biệt, có khoảng cách hai chất điểm không đổi ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (4) Lực: Trong toán động lực học, lực thường đại lượng thay đổi theo thời gian, vị trí vận tốc Hệ quy chiếu quán tính: Là hệ quy chiếu mà tiên đề Newton nghiệm r r R = ∑ Fk Trong kỹ thuật, đất vật rắn chuyển động thẳng đất thường chọn làm hệ quy chiếu quán tính Mô hình vật thể tự b Dạng tọa độ Decartes: m&x& = Fx  m&y& = Fy m&z& = F z  r j r i ( 2) mWτ = m&s& = Fτ  V2 s&  = = = Fn mW m m  n ρ ρ  0 = Fb m r r (t ) Hay r k O r n (3) O - * Bài giảng Cơ lý thuyết - Nguyễn Duy Khương Phương trình vi phân chuyển động hệ chất điểm Xét hệ có n chất điểm, phương trình chuyển động hệ có dạng: y r τ + r b r r r mkWk = Fke + Fki (1) r r r mkWk = Fk + Rk ( 2) Trong đó, lực tác dụng lên chất điểm mk định nghĩa sau: r o Fke : Lực ngoài,r gọi lực hoạt động (kí hiệu Fk ) ri o Fk : Lực nội, r gọi phản lực liên kết (kí hiệu Rk ) x c Dạng tọa độ tự nhiên: Mô hình động học ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (6) Phương trình vi phân chuyển động chất điểm a Dạng vector: z (1) r ma r F2 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (5) r r m&r& = F r F1 M(s) BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (7) ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (8) Bài toán 1: Cho biết chuyển động chất điểm, yêu cầu xác định lực tác dụng lên chất điểm Bài toán 2: Cho biết lưc tác dụng lên chất điểm điều kiện đầu chuyển động, yêu cầu xác định chuyển động chất điểm v drr (t ) r⋅ V= =r dt r r dV (t ) d rr (t ) r W= = =r dt dt Wdr = VdV VD1: Xem xe chất điểm chuyển động qua cầu cong, bán kính cong cầu R Giả sử xe có khối lượng m vị trí xét hình vẽ, xe di chuyển với vận tốc V R α a) Xác định áp lực xe tác động lên cầu theo vị trí góc α, m, R, V b) Tốc độ tối đa xe để xe khộng bị bổng khỏi mặt cầu Nếu gia tốc số: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (9) VD2: Một người có khối lượng 45 kg đứng thang máy Thang di chuyển với gia tốc a Xác định phản lực sàn thang máy tác dụng lên chân người trường hợp sau: 10 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (10) VD3: Cho hệ hình vẽ, bỏ qua ma sát khối lượng lò xo Kéo vật khỏi vị trí cân tĩnh đoạn nhỏ +xm buông nhẹ không vận tốc đầu Viết phương trình chuyển động vật Phương trình vi phân chuyển động: a) a = m/s2 b) a = 1.19 m/s2, hướng lên c) a = 1.81 m/s2, hướng xuống mx&& = Fx = P − k (δ st + x ) ⇒ mx&& + kx = ⇒ x = A sin(ω t ) + B cos(ω t ), (a) (b) (c) P ω= k /m P mW = mx&& Sử dụng điều kiện đầu để xác định A, B 11 12 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (11) VD4: Cho hệ hình vẽ, bỏ qua ma sát khối lượng dây Biết dây căng có chiều dài không đổi l, giả sử kích thước nặng m nhỏ so với l, viết phương trình chuyển động nặng m Phương trình vi phân chuyển động: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (12) VD5: Cho hệ thông số hình vẽ Chọn gốc tọa độ x1, x2 vị trí hai lò xo không bị biến dạng Kéo hai chất điểm m1, m2 lệch khỏi vị trí cân đoạn tương ứng X1, X2 buông nhẹ không vận tốc đầu Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ chất điểm m1, m2 mWτ = Fτ ⇒ −mg sin θ = m(lθ&&) g ⇒ θ&& + sin θ = l Nếu biên độ dao động nhỏ, sinθ ~ θ g l ⇒ θ = A sin ωt + B cos ωt , ω = mWn θ&& + θ = mWτ g /l P 13 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (13) 14 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM (14) 3) Giải hệ phương trình vi phân 1) Mô tả chuyển động- HQC X 2) Áp dụng định luật Newton Tự hóa vật: PT đặc trưng Phương trình chuyển động 15 16 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN I Khối tâm hệ I Khối tâm hệ II Moment quán tính Moment quán tính vật rắn trục Moment quán tính tích Moment quán tính vật rắn điểm O Bán kính quán tính vật rắn trục z Trục quán tính Trục quán tính trung tâm z ρk Chất điểm Khối lượng Vị trí M1 m1 r1 M2 m2 r2 … … … MN mN rN mk r rk O y x z r j r i Vị trí khối tâm hệ: r rC = r mr k =1 k k ∑ N M Hay: xC ∑ = r k O , M = ∑k =1 mk khối lượng hệ N N k =1 mk x k M ; yC ∑ = N k =1 mk y k M ; zC ∑ = N k =1 mk z k M 18 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (2) Khối tâm C số đồng chất F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 y x 17 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (1) mk r rk Khối tâm C số đồng chất 19 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 20 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (3) I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (4) Khối tâm C số vật rắn đồng chất F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 21 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (5) 22 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (6) Khối tâm C số vật rắn đồng chất F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 Khối tâm C số vật rắn đồng chất 23 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 24 VÍ DỤ VÍ DỤ VD1: Thanh thẳng mảnh OA đồng chất khối lượng phân bố đều, chiều dài l, khối lượng m1 Đĩa O1 đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R khối lượng m2 Đường kéo dài OA qua O1 Xác định khối tâm hệ hệ trục Oxy hình vẽ VD2: Xác định khối tâm đĩa tròn đồng chất có khối lượng riêng ρ Đĩa bị khoét lỗ tròn hình vẽ Biết khối lượng phân bố kích thước hình vẽ y y x O α R R l, m1 r O1 O y A y x+ R r O1 O x = x O R O1 xC1 = OO1=R-r xC = ? m2 xC0 = 25 I KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (7) 26 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN Bài tập: Xác định khối tâm phẳng đồng chất sau: II Moment quán tính vật rắn trục (1) z o Moment quán tính vật rắn trục z đại lượng vô hướng xác định bởi: N Jz = ∑ k =1 mk ρ k2 Trong đó, ρk khoảng cách từ chất điểm Mk có khối lượng mk đến trục z o Trong hệ tọa độ Oxyz: Jz = ∑ N k =1 ρk mk ( xk2 + y k2 ); J x = ∑ N k =1 mk r rk O y x mk ( y k2 + zk2 ); J y = ∑ N k =1 mk ( zk2 + xk2 ) Trong (xk, yk,, zk) tọa độ chất điểm Mk F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 27 28 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (2) z o Moment quán tính tích: ∑ =∑ =∑ J xy = J yx = ρk N m x y ; k =1 k k k N J yz = J zy k =1 mk y k z k ; m z x ; k =1 k k k mk o Trục quán tính chính: Trục Oz gọi trục quán tính O thỏa mãn điều kiện: Jyz = Jzx = r rk O N J zx = J xz y x ∑ N m r2 = k =1 k k (J x + J y + J z ) o Trục quán tính trung tâm: Là trục quán tính qua khối tâm hệ o Bán kính quán tính vật rắn trục z: ρ z2 = Jz M Tại điểm vật rắn tồn trục quán tính vuông góc Nếu trục quán tính O trục thứ vuông góc với chúng trục quán tính o Moment quán tính vật rắn điểm O: JO = II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (3)  J : kg m  ρ : m 29 30 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (4) II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (5) Một số định lý: Định lý 1: Trục quán tính vật rắn điểm O, không qua khối tâm vật trục quán tính vật điểm O Định lý 2: Trục quán tính trung tâm vật trục quán tính điểm thuộc trục Định lý 3: Nếu vật rắn đồng chất có trục đối xứng trục trục quán tính trung tâm Định lý 4: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng trục quán tính giao điểm mặt phẳng đối xứng trục 31 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 32 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (5) F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 33 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (7) II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (6) 34 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (8) Định lý dời trục song song: (Δ) (ΔC) J ∆ = J ∆C + Md • Lưu ý: Trục ΔC phải qua khối tâm C Jz = ∑ N k =1 mk ρ k2 x dx z m L/2 J z = ∫ dmk ρ = ∫ x dx = mL2 L −L/ − / L 12 k z β Định lý xoay trục: J ∆ = J x cos2 α + J y cos2 β + J z cos2 γ dmk F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 (Δ) γ α x ρk = x L/2 d Nhận xét: Đối với trục phương, moment quán tính vật rắn trục qua khối tâm có gí trị nhỏ y m dx L dmk = C y x − J xy cos α cos β − J yz cos β cos γ − J xz cos γ cos α 35 36 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (9) Đối với vật rắn có dạng phẳng J AA ',mass = µ tJ AA ', area J A A ',m ass = µ tJ A A ', area µ: Khối lượng riêng (kg/m3) t: Bề dầy (kg/m3) J ∆ ,area = ∫ ρ dA : II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (10) Moment quán tính diện tích số hình phẳng J C C ',m ass = J A A ',m ass + J B B ',m ass Moment quán tính diện tích F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 37 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (11) F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 39 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 38 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (12) F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 40 VÍ DỤ VÍ DỤ VD1: Thanh OA đồng chất khối lượng phân bố đều, chiều dài l, khối lượng m1 Đĩa O1 đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R khối lượng m2 Xác định moment quán tính hệ trục quay khớp lề O VD2: Xác định moment quán tính vật rắn: (a&b) quanh trục qua O vuông góc với mp hình vẽ; (c) quanh trục Δ J O = J OA / O + J O1 / O O l, m1 (Δ) O a b J OA / O = J OA / C1 + m1 (OC1 ) A a A b α C b D J O1 / O = J O1 / O1 + m2 (OO1 ) R O1 O a B m2 (a) (b) (c) 41 42 VÍ DỤ VÍ DỤ (a) Nhận xét: C vị trí khối tâm phẳng mỏng hình chữ nhật (khối lượng m) Sử dụng định lý dời trục song song: (b) Nhận xét: C1, C2, C3 vị trí khối tâm OA, AB, BD (khối lượng khung hình chữ nhật m, phân bố đều) O a Theo định nghĩa: C1 J O = J C + m(CO ) • J C = m( a + b ) 12  a   b   • OC =   +    = a + b      1 ⇒ J O = m( a + b ) + m ( a + b ) 12 ⇒ J O = m( a + b ) ( O a J O = J OA / O + J AB / O + J BD / O + J OD / O Sử dụng định lý dời trục song song: b ) • J OA / O = J OA / C1 + mOA (OC1 ) C b C2 D C3 = A 1 a mOAa + mOA   ⇒ J OA / O = mOAa 12 2 B • J OD / O = mOD b 43 44 VÍ DỤ Sử dụng định lý dời trục song song (tt): • J AB / O = J AB / C2 + m AB (OC2 ) O a  1  b  = m AB b + m AB a +    = m AB  b + a  12       • J BD / O = J BD / C3 + mBD (OC3 ) 2 • J AB / O = J AB / C2 + m AB (OC2 ) C1 A VÍ DỤ Sử dụng định lý dời trục song song (tt): b C2  a    1 = mBD a + mBD   + b  = mBD  a + b  12  3    D C3 B C1 A  b  = m AB b + m AB a +    12       1  = m AB  b + a  ⇒ J AB / O = m AB  a + b    3  b C2 D C3 B “DỄ THẤY”:   1 1 ⇒ J O = mOAa + m AB  b + a  + mBD  a + b  + mOD b 3       J AB / O = m AB  a + b  = m AB b + m AB a = J AB / A + m AB (OA) ⇒ J AB / O = J AB / A + m AB (OA)   VẬY trục lấy moment quán tính bên vế phải công thức dời trục song song (trục ΔC) không cần phải qua khối tâm thanh??? Khối lượng phân bố ⇒ mOA = mBD = O a a b m; m AB = mOD = m ⇒ J O = 2( a + b ) 2( a + b ) 45 46 VÍ DỤ VÍ DỤ VD3: Tấm mỏng hình tam giác cạnh a hình vẽ có khối lượng m Xác định moment quán tính (khối lượng) trục: (a) AA’ BB’; (b) CC’ VD4: Một mỏng có khối lượng m hình nhẫn elipse hình vẽ, có khối lượng phân bố Xác định moment quán tính khối lượng trục: (a) BB’; (b) CC’ VD 5: Một chi tiết máy hình vẽ làm thép (ρ = 7850 kg/m3) Xác định moment quán tính khối lượng chi tiết trục: (a) x; (b) y; (c) z F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 47 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill,2013 48 [...]... DỤ VÍ DỤ VD1: Thanh OA đồng chất khối lượng phân bố đều, chiều dài l, khối lượng m1 Đĩa O1 đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R và khối lượng m2 Xác định moment quán tính của cơ hệ đối với trục quay tại khớp bản lề O VD2: Xác định moment quán tính của vật rắn: (a&b) quanh trục qua O và vuông góc với mp hình vẽ; (c) quanh trục Δ J O = J OA / O + J O1 / O O l, m1 (Δ) O a b 2 J OA / O = J OA /... = J AB / A + m AB (OA) 2 3  3  VẬY trục lấy moment quán tính bên vế phải trong công thức dời trục song song (trục ΔC) không cần phải đi qua khối tâm của thanh??? Khối lượng phân bố đều ⇒ mOA = mBD = O a 2 a b m; m AB = mOD = m ⇒ J O = 2( a + b ) 2( a + b ) 45 46 VÍ DỤ VÍ DỤ VD3: Tấm mỏng hình tam giác đều cạnh a như hình vẽ có khối lượng m Xác định moment quán tính (khối lượng) của nó đối với trục:... (a) AA’ và BB’; (b) CC’ VD4: Một tấm mỏng có khối lượng m hình nhẫn elipse như hình vẽ, tấm có khối lượng phân bố đều Xác định moment quán tính khối lượng của tấm đối với trục: (a) BB’; (b) CC’ VD 5: Một chi tiết máy như hình vẽ được làm bằng thép (ρ = 7850 kg/m3) Xác định moment quán tính khối lượng của chi tiết đối với trục: (a) x; (b) y; (c) z F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics ... vật: PT đặc trưng Phương trình chuyển động 15 16 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN I Khối tâm hệ I Khối tâm hệ II Moment quán tính Moment quán... KHỐI TÂM CỦA VẬT RẮN (7) 26 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN Bài tập: Xác định khối tâm phẳng đồng chất sau: II Moment quán tính vật rắn trục (1) z o Moment quán tính vật rắn trục z đại... trục quán tính o Moment quán tính vật rắn điểm O: JO = II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (3)  J : kg m  ρ : m 29 30 II MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC (4) II MOMENT QUÁN TÍNH