Biến đổi Laplace ĐH BK

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 NỘI DUNG PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE BÀI TẬP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Phép biến đổi Laplace L quy luật liên kết với hàm f (t) hàm F(s) xác định ∞ F(s) = L{f (t)} = f (t)e−st dt 0− F(s) gọi biến đổi Laplace f (t), f (t) biến đổi Laplace ngược F(s) Kí hiệu f (t) F(s) Chú ý Biến đổi Laplace tồn tích phân suy rộng hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm thông dụng HÀM BẬC THANG ĐƠN VỊ Hàm bậc thang đơn vị định nghĩa sau u(t) = 0, t < 1, t > e−st −st L{u(t)} = 1.e dt = −s 0− ∞ ∞ = , s 0− s > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm thông dụng HÀM MŨ e−at Ta có ∞ L{e −at }= 0− e −at e −st e−(s+a)t dt = −(s + a) ∞ = 0− , s+a s > −a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm thông dụng HÀM LƯỢNG GIÁC cos at, sin at ∞ Ta có L{cos at} = e−st cos atdt = 0− e−st = (−s cos at + a sin at) s + a2 s > L{sin at} = −st ∞ = 0− s , s + a2 e−st sin atdt = 0− e (−s sin at − a cos at) s + a2 s > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ ∞ = 0− PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE a , s + a2 TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm thông dụng HÀM LŨY THỪA t n , VỚI n = 0, 1, 2, ∞ L{t n} = t n e−st = −s ∞ + 0− n s t n e−st dt = 0− ∞ 0− n t n−1 e−st dt = L{t n−1 }, s s > Quá trình tiếp tục ta n n−1 n−2 n! L{u(t)} = n+1 s > s s s s L{t n} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Tuyến tính ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu F1(s) F2(s) biến đổi Laplace f1(t) f2(t), c1, c2 số L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s) (1) VÍ DỤ 2.1 Tính L{4t − cos 2t + 5e−t } Đáp số 3s − + s3 s2 + s + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ (dời theo s) ĐỊNH LÝ 2.2 Nếu L{f (t)} = F(s) L{e−at f (t)} = F(s + a) (2) Các công thức quan trọng s+a , với s > −a (s + a)2 + b2 b L{e−at sin bt} = , với s > −a (s + a)2 + b2 n! L{e−at t n} = , với s > −a (s + a)n+1 L{e−at cos bt} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ (dời theo s) VÍ DỤ 2.2 Tính s+2 , với s > −2 (s + 2)2 + 42 L{e−t sin 4t} = , với s > −1 (s + 1)2 + 42 2! L{e3t t 2} = , với s > (s − 3)3 L{e−2t cos 4t} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 10 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Chia cho t ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu L{f (t)} = F(s) f (t) L = t ∞ (8) F(x)dx, s f (t) tồn t→0− t với điều kiện lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 16 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu f (t) hàm tuần hoàn với chu kỳ T > T L{f (t)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) e−st f (t)dt (9) − e−sT PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 17 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Định lý giá trị đầu ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu L{f (t)} = F(s) (10) lim f (t) = f (0+) = lim sF(s), t→0+ s→∞ với điều kiện giới hạn tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 18 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Định lý giá trị cuối ĐỊNH LÝ 2.11 Nếu L{f (t)} = F(s) (11) lim f (t) = f (∞) = lim sF(s), t→∞ s→0 với điều kiện giới hạn tồn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 19 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Ví dụ VÍ DỤ 2.5 ∞   cos x  Tính L dx   x t  t   sin x  Tính L dx   x ∞   e−x  Tính L dx  x  t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 20 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Đặt f (t) = ∞ cos x x t Ví dụ dx ⇒ f (t) = − cos t ⇒ tf (t) = − cos t t Lấy biến đổi Laplace vế ta L{tf (t)} = − ⇒ d s d L{f (t)} = − [sF(s) − f (0−)] = − ds ds s +1 d s [sF(s)] = ⇒ sF(s) = ln(s2 + 1) + C ds s +1 Dùng định lý giá trị cuối, ta lim sF(s) = lim f (t) = = + C ⇒ C = s→0 t→∞ ln(s2 + 1) Vậy sF(s) = ln(s + 1) ⇒ F(s) = L{f (t)} = 2s TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 21 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace t L sin x dx = x L Ví dụ sin t t s ∞ ∞ sin t = F(x)dx = dx = [arctan x]∞ L s = t x + s s π − arctan s = arctan s Vậy  t   sin x  arctan s L dx =   x s TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 22 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace t Đặt f (t) = Ví dụ sin t sin x dx ⇒ f (t) = ⇒ tf (t) = sin t Lấy x t biến đổi Laplace vế ta d d L{f (t)} = − [sF(s) − f (0−)] = ds ds s +1 d ⇒ [sF(s)] = − ⇒ sF(s) = − arctan s + C ds s +1 L{tf (t)} = − Dùng định lý giá trị đầu, ta π π lim sF(s) = lim f (t) = = − + C ⇒ C = s→∞ t→0 2 π Vậy sF(s) = − arctan s = arctan s 1 ⇒ F(s) = L{f (t)} = arctan s s TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 23 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Đặt f (t) = Ví dụ e−t dx ⇒ f (t) = − ⇒ tf (t) = −e−t Lấy x t ∞ e−x t biến đổi Laplace vế ta L{tf (t)} = − ⇒ d d L{f (t)} = − [sF(s) − f (0−)] = − ds ds s+1 d [sF(s)] = ⇒ sF(s) = ln(s + 1) + C ds s+1 Dùng định lý giá trị cuối, ta lim sF(s) = lim f (t) = = + C ⇒ C = s→0 t→∞ Vậy sF(s) = ln(s + 1) ⇒ F(s) = L{f (t)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ln(s + 1) s TP HCM — 2016 24 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Tính tích phân suy rộng ĐỊNH LÝ 2.12 Nếu L{f (t)} = F(s) ∞ f (t)dt = F(0), (12) 0− với điều kiện tích phân suy rộng hội tụ VÍ DỤ 2.6 Tính ∞ e−t − e−3t 0− t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dt PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 25 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace L{e−t − e−3t } = Do ∞ 0− Tính tích phân suy rộng 1 − s+1 s+3 e−t − e−3t dt = F(0), t ∞ e−t − e−3t F(s) = L = − dx = t x + x + s s+1 x+1 ∞ ln = − ln ⇒ F(0) = − ln = ln x+3 s s+3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 26 / 30 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace hàm sau giá trị s để biến đổi Laplace tồn 2t − e−t sin 2t − cos 2t 3 cosh 5t − sinh 5t (5e2t − 3)2 2t, t > f (t) = 1, t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 27 / 30 Bài tập BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace hàm sau 3t − 2t + 4e−3t − sin 5t + cos 2t t e−3t (t + 2)2 et e−4t cosh 2t e−t (3 sinh 2t − cosh 2t) e−t sin2 t (1 + te−t )3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 28 / 30 Bài tập BÀI TẬP 3.3 Tính tích phân ∞ t e−t sin tdt ∞ e−t sin t dt t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 29 / 30 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 30 / 30 [...]... Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L    t 0− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx   =  PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE F(s) s (6) TP HCM — 2016 14 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho t n ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu L{f (t)} = F(s) thì dn L{t f (t)} = (−1) n F(s) ds n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (7) TP HCM — 2016 15... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 26 / 30 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace của mỗi hàm sau và chỉ ra giá trị s để biến đổi Laplace tồn tại 1 2t 2 − e−t 2 6 sin 2t − 5 cos 2t 3 3 cosh 5t − 4 sinh 5t 4 5 (5e2t − 3)2 2t, t > 5 f (t) = 1, 0 t 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 27 / 30 Bài tập BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace của các... chất của phép biến đổi Laplace Chia cho t ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu L{f (t)} = F(s) thì f (t) L = t ∞ (8) F(x)dx, s f (t) tồn tại t→0− t với điều kiện lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 16 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu f (t) là 1 hàm tuần hoàn với chu kỳ T > 0 thì T L{f (t)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) e−st f (t)dt 0... kiện các giới hạn trên tồn tại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 19 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ VÍ DỤ 2.5 1 2 3 ∞   cos x  Tính L dx   x t  t   sin x  Tính L dx   x 0 ∞   e−x  Tính L dx  x  t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 20 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace 1 Đặt f (t) = ∞ cos x x t Ví dụ dx ⇒ f... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ln(s + 1) s TP HCM — 2016 24 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính tích phân suy rộng ĐỊNH LÝ 2.12 Nếu L{f (t)} = F(s) thì ∞ f (t)dt = F(0), (12) 0− với điều kiện tích phân suy rộng trên hội tụ VÍ DỤ 2.6 Tính ∞ e−t − e−3t 0− t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dt PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 25 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace L{e−t − e−3t... arctan s Cho L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 12 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của đạo hàm ĐỊNH LÝ 2.5 Nếu L{f (t)} = F(s) thì (5) L{f (t)} = sF(s) − f (0−) HỆ QUẢ 2.1 L{f (t)} = s2F(s) − sf (0−) − f (0−) L{f (n)(t)} = 1 2 sn F(s) − sn−1 f (0−) − sn−2 f (0−) − − f n−1 (0−) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 13 / 30... 2t − 5 cosh 2t) 6 e−t sin2 t 7 (1 + te−t )3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 28 / 30 Bài tập BÀI TẬP 3.3 Tính tích phân ∞ t 3 e−t sin tdt 1 0 ∞ 2 0 e−t sin t dt t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 29 / 30 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 30 / 30 ... TPHCM) e−st f (t)dt 0 (9) 1 − e−sT PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 17 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý giá trị đầu ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu L{f (t)} = F(s) thì (10) lim f (t) = f (0+) = lim sF(s), t→0+ s→∞ với điều kiện các giới hạn trên tồn tại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 18 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý giá trị cuối ĐỊNH LÝ 2.11 Nếu L{f... − + C ⇒ C = s→∞ t→0 2 2 π 1 Vậy sF(s) = − arctan s = arctan 2 s 1 1 ⇒ F(s) = L{f (t)} = arctan s s TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 23 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace 3 Đặt f (t) = Ví dụ e−t dx ⇒ f (t) = − ⇒ tf (t) = −e−t Lấy x t ∞ e−x t biến đổi Laplace 2 vế của ta được L{tf (t)} = − ⇒ d d 1 L{f (t)} = − [sF(s) − f (0−)] = − ds ds s+1 d 1 [sF(s)] = ⇒ sF(s) =...Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo t) ĐỊNH LÝ 2.3 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L{f (t − a)u(t − a)} = e−as F(s), trong đó u(t − a) = (3) 0, t < a 1, t > a VÍ DỤ 2.3 2π 0, t < 3 Tìm F(s) nếu f (t) = 2π 2π   cos(t − ), t > 3 3    TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 11 / 30 Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất đổi thang đo ĐỊNH ... F(s) gọi biến đổi Laplace f (t), f (t) biến đổi Laplace ngược F(s) Kí hiệu f (t) F(s) Chú ý Biến đổi Laplace tồn tích phân suy rộng hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM... Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 13 / 30 Tính chất phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) L    t 0− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)... ĐỔI LAPLACE TP HCM — 2016 / 30 Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace hàm thông dụng HÀM MŨ e−at Ta có ∞ L{e −at }= 0− e −at e −st e−(s+a)t dt = −(s + a) ∞ = 0− , s+a s > −a TS Lê Xuân Đại (BK