Part 2 1 PHÉP BIẾN đổi LAPLACE

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 2: Phép biến đổi Laplace ► I Phép biến đổi Laplace II Ứng dụng phép biến đổi Laplace s Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace: Phép biến đổi Laplace thuận   Định nghĩa Các tính chất Phép biến đổi Laplace ngược   Định nghĩa Cách tìm biến đổi Laplace ngược Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace a Định nghĩa: Biến đổi Laplace hàm f(t) hàm F(s) xác định bởi:  F( s)   f (t )e  st dt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace Ví dụ 1.01: Tìm biến đổi Laplace hàm số sau: a f1(t) = c (c số) b f2(t) = t Đáp án:  a F1 ( s)   c.e dt  c  st e  st s   st te b F2 ( s)   t.e dt   s  st   c  s  st  2e s   s Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace Một số phép biến đổi Laplace thường dùng f(t) or u(t) cos at sin at tn F(s) s s s2  a a s2  a n! sn 1 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace b Các tính chất phép biến đổi Laplace i Tuyến tính c1f1(t) + c2f2(t)  c1F1(s) + c2F2(s) ii Dời tần số (dời theo s) e-atf(t)  F(s + a) iii Dời thời gian (dời theo t) f(t - a )u(t – a)  e-asF(s) iv Co – giãn theo thời gian f(at)  (1/a)F(s/a) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace Ví dụ 1.02: 3t4 – 2sin5t  4!5  s 72 10   s2  52 s5 s2  25  3!  ( s  3) ( s  3)4 u(t – 2)  e 2s s (t/2)2  2!  3 (2 s) 2s e-3tt3 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace b Cách tính chất phép biến đổi Laplace (tt) v Đạo hàm theo thời gian f’(t)  sF(s) – f(0 – ) f(n)(t)  snF(s) – sn–1f(0 –) – sn–2f’(0 –) –… – f(n –1)(0 –) vi Tích phân theo thời gian: t  f ( x)dx  0 F ( s) s vii Nhân với tn n t f (t )  dn n ( n) ( 1) F ( s )  (  1) F ( s) n ds n Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace Ví dụ 1.03: 1 s t t   te    e  te   s 0  2 ( s  1) ( s  1) ( s  1)2 t t 1 x te  t   xe dx  0 ( s  1)2 s( s  1)2 e t  s1   d  t e  t  ( 1)2    ds  s   ( s  1)3 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace b Cách tính chất phép biến đổi Laplace (tt) viii Chia cho t  f (t )   F( x)dx t s ix Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn với chu kỳ T T f (t )   st e  f (t)dt  e  sT Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace Ví dụ 1.04: a te  t   t te 1   dx    s ( x  1)2 t x1 s s1 ( s  1)2 b F( s)    st e  f (t)dt  e 2 s 2 s  st  st e dt  e   dt 1 e    e  st s  e  e 2 s  st s 1  es  s(1  e  s ) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace b Cách tính chất phép biến đổi Laplace (tt) x Định lý giá trị đầu lim f (t )  f (0 )  lim sF( s) t 0  s xi Định lý giá trị cuối lim f (t )  f ()  lim sF( s) t  s0 xii Tích phân  F(0)  f (t)dt L  0 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược a Định nghĩa Nếu F(s) biến đổi Laplace f(t), f(t) biến đổi Laplace ngược F(s): L   st  F ( s )  f ( t ) e dt {f(t)}  L {F(s)} = f(t) -1 Để tìm biến đổi Laplace ngược, ta thường dùng các biến đổi Laplace biết kết hợp với tính chất Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Các tính chất biến đổi Laplace ngược tương tự tính chất biến đổi Laplace thuận, ví dụ tính tuyến tính: L[c f (t) + c f (t)] = c F (s) + c F (s) L [c F (s) + c F (s)] = c f (t) + c f (t) 1 -1 1 Ví dụ 1.05: L 2 2 1 1 2 2 1 3s    t  cos 2t -1   s s  4 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Tìm biến đổi ngược dùng tính chất dời tần số (dời theo s) L {F(s - a)} = e f(t) -1 at Ví dụ 1.06: Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau s2 b ( s  2)2 c ( s  3)( s  2) s1 d 2 s ( s  9) a ( s  1)2 ( s2  4) f s  s  13 s7 g s  2s  e Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Đáp án Ví dụ 1.06 1 c f (t )   e 3t  e t 5 1 1 s1 1 1 d F( s)     f (t )   t  cos 3t  sin 3t s s s 9 9 27 1 1 2s  e F ( s)    2 25 s  ( s  1) 25 s  t t  f (t )  e  te  cos 2t  sin 2t 25 25 50 f f (t )  e 3t sin 2t a f (t )  e t b f (t )  te 2 t g f (t )  e  t cos 2t  3e  t sin 2t Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Khai triển Heaviside Xét hàm F(s) có dạng phân thức: bm sm  bm1sm1   b1s  b0 F( s)  ; mn n n 1 an s  an1s   a1s  a0 Khi F(s) phân tích thành phân thức đơn vị Trường hợp 1: F(s) có toàn cực đơn bm sm  bm1sm1   b1s  b0 F ( s)  ( s  1 )( s  2 ) ( s  n ) kn k1 k2     s  1 s  2 s  n with kr  ( s  r )F( s) s r Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Trường hợp 2: F(s) có cực bội: bm sm  bm1sm1   b1s  b0 F ( s)  ( s  1 )r ( s  2 ) ( s  i )  k1,r ( s  1 ) with ki ,r  j r  k1,r 1 ( s  1 )r 1 k1,1 ki k2      ( s  1 ) s  2 s  i dj r   ( s   ) F( s)  i j  j ! ds s i Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Ví dụ 1.07: Xác định biến đổi Laplace ngược hàm sau: 11s2  s  a F( s)  ( s  2)(2 s  1)( s  1) s2  2s  b F( s)  ( s  1)( s  1)2 s4  s3  63s2  55s  71 c F( s)  ( s  3)( s  2)2 ( s2  s  17) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Phép biến đổi Laplace ngược Đáp án Ví dụ 1.07: 2t a f (t )  e  5e  e  1 b f (t )  e  t  e t  t    2 t 2t c f (t )  e 3t  e 2 t (t  2)  e  t (cos 4t  sin 4t ) ... biến đổi Laplace ngược Ví dụ 1. 07: Xác định biến đổi Laplace ngược hàm sau: 11 s2  s  a F( s)  ( s  2) (2 s  1) ( s  1) s2  2s  b F( s)  ( s  1) ( s  1 )2 s4  s3  63s2  55s  71 c F( s)... đổi Laplace ngược Đáp án Ví dụ 1. 06 1 c f (t )   e 3t  e t 5 1 1 s? ?1 1 1 d F( s)     f (t )   t  cos 3t  sin 3t s s s 9 9 27 1 1 2s  e F ( s)    2 25 s  ( s  1) 25 s... bội: bm sm  bm1sm? ?1   b1s  b0 F ( s)  ( s  ? ?1 )r ( s  ? ?2 ) ( s  i )  k1,r ( s  ? ?1 ) with ki ,r  j r  k1,r ? ?1 ( s  ? ?1 )r ? ?1 k1 ,1 ki k2      ( s  ? ?1 ) s  ? ?2 s  i dj r 