Cơ lý thuyết BK định lý tổng quát động lực học 2

IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (2) IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (1) Các định nghĩa kết thường dùng: z a Công lực: r K Fk α Xét lực Fk tác dụng điểm K, khoảng r r rk drk thời gian vô bé điểm K dịch chuyển vi phân drk Khi đó, công lực Fk dịch y x O chuyển đại lượng vô hướng: r r r dA( Fk ) = Fk drk = Fk dr cosα (công nguyên tố, đơn vị Joule, J) Các định nghĩa kết thường dùng (cont’d): c) Công suất: Là công lực moment sinh đơn vị thời gian, đơn vị công suất Watt (W) Công suất lực: r r r r dA( Fk ) Fk drk r r = = FkVk = Fkx x& + Fky y& + Fkz z& P( Fk ) = dt dt z Công suất moment: r rk b Công moment: Xét vật rắn chịu tác động moment M khoảng thời gian dt vật rắn quay góc dφ Khi đó, công nguyên tố moment M dịch chuyển là: dA( M ) = ± Mdϕ Dấu (+) M dφ chiều; dấu (-) M dφ ngược chiều P( M ) = r Fk Mdϕ dA( M ) =± = ± Mω dt dt α r drk O x Dấu (+) M ω chiều; dấu (-) M ω ngược chiều y 83 84 IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (3) IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (4) Các định nghĩa kết thường dùng (cont’d): z d) Công số lực/moment phổ biến: M0 r z0 g Công trọng lực: z1 A( P) = P( z0 − z1 ) Công lực đàn hồi: A( Flx ) = k ( x02 − x ) (Dịch chuyển từ x0 đến x, gốc O vị trí lò xo không bị biến dạng) Công lực ma sát trượt: A( Fms ) = −( f d N ) s Các định nghĩa kết thường dùng (cont’d): d) Công số lực/moment phổ biến: Lăn không trượt: P M1 A( Fms ) = P Ml P rdφ A( M l ) = − M l dϕ x0 Fms N e) Công nội lực vật rắn: Tổng công nội lực vật rắn dịch chuyển x k O N Fms x Nhớ lại xung ngoại lực định lý động lượng/moment động lượng! (*) s x P 85 86 IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (5) IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (6) Động f) Động vật rắn chuyển động tổng quát Động a) Động hệ chất điểm T= ∑ mkVk2 T= b) Động vật rắn chuyển động tịnh tiến c) Động vật rắn quay quanh trục cố định J ∆ω 2 dT = J ∆Pω 2 1 T = MVC2 + J ∆Cω 2 ∑ dA + ∑ dA i e k k Dạng hữu hạn: Biến thiên động hệ độ dời tổng công hữu hạn nội ngoại lực tác động vào hệ độ dời đó: e) Động vật rắn chuyển động song phẳng T= Δ trục quay tức thời qua khối tâm C (có đổi phương) Định lý động Dạng vi phân: Vi phân động hệ tổng công nguyên tố nội lực ngoại lực tác dụng vào hệ 1 T = MV = MVC2 2 T= 1 MVC2 + J ∆Cω , 2 Δ qua tâm vận tốc tức thời, Δ qua khối P C , tâm vuông góc mặt phẳng quỹ đạo ∆T = T1 − T0 = ∑A +∑A i e k k 87 IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (7) Định lý động (cont’d): Dạng đạo hàm: Đạo hàm động hệ tổng công suất ngoại nội lực đặt vào hệ: dT = dt ∑ dA + ∑ dA dt i e k k dt r r = ∑ P( Fki ) + ∑ P( Fke ) 88 IV ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (7) Định luật bảo toàn z Thế trọng trường vật có trọng lượng P: M0 r Gốc M0 g M1 Thế vật M1 P Π ( M ) = A( P ) = ∫ − Pdz = − Pz = P( z − z ) P Thế lực đàn hồi lò xo: Gốc O trục Ox vị trí lò xo không bị biến dạng Gốc M0 (li độ x0) Thế vật M (li độ x) M →M Định luật bảo toàn Thế năng: Thế hệ vị trí M tổng công lực đặt vào hệ độ dời từ vị trí M đến vị trí O chọn (tùy ý) làm mốc Thế phụ thuộc vào vị trí: Π = Π(M ) Định luật: Cơ hệ chuyển động trường lực có (tổng động năng) không đổi 89 z0 z0 z z Π ( M ) = A( Flx ) M → M = 0 k ( x − x02 ) » Nếu chọn gốc lò xo vị trí lò xo không bị biến dạng (tức x0 = 0), x độ biến dạng dài lò xo đàn hồi lò xo là: Π = kx lòxo 90 YÊU CẦU TỰ LUYỆN Ở NHÀ VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG (Các định lý tổng quát động lực học) Xem ví dụ (Giáo trình Cơ lý thuyết – Vũ Duy Cường) Định lý chuyển động khối tâm Ví dụ: 12.1, 12.2 Định lý biên thiên động lượng Ví dụ: 12.3, 12.4, 12.5 Định lý biên thiên moment động lượng Ví dụ: 12.6, 12.7, 12.8 Định lý động Ví dụ: 12.9, 12.10, 12.11, 12.12, 12.13, 12.14, 12.15, 12.16 91 VD1: Định lý động (chuyển động tịnh tiến + quay quanh trục cố định): Tính động năng, công ngoại lực, tìm gia tốc a) Động hệ b) Công ngoại lực R=2r vật A trượt lên đoạn s (so với mặt nghiêng) c) Gia tốc B d) Lực căng dây nhánh nối với B (Bỏ qua ma sát ổ trục O ma sát trượt A nêm; dây mềm, không giãn, khối lượng dây biết dây căng, R=2r) 92 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD1: VD1: Cơ hệ: vật nặng A, B (tịnh tiến) c Gia tốc B: R=2r , đĩa O (quay quanh trục cố định) NA Ta có quan hệ động học: VA = s& ; ω = VA s& = ; VB = ω R = 2VA = s& r r Ngoại lực: NA ,PA , PB , M PB a Động hệ: b Công ngoại lực: 1 T = TA + TB + TO = mAVA2 + mBVB2 J Oω 2 2 1 s&2 = 4m0 s&2 + m0 (2s&)2 + m0 (1.5r )2 2 r 2 41 = m0 s& R=2r Định lý động dạng đạo hàm A(N A ) = −m A g cos(α ) scos(π / 2) = A( PA ) = −m A g ( s sin α ) = −2 m0 gs A( PB ) = mB g (2 s ) = m0 gs A(M) = M ϕ = 5mo gr ( s/ r ) = 5m0 gs ∑A k ∑ dA = 5m0 gs 93 NA e k dt  41 &  d m0s   = d ( m gs ) ⇔  dt dt 41 &&& = m gs& m ss ⇔ 20 s= g ⇒ && 41 40 s= g ⇒ W B = && 41 PA e dT = dt PA PB d Gia tốc B: Áp dụng PTVPCĐ chất điểm mBWB = mB g − TB 40 ⇒ TB = mB ( g − g ) 41 ⇒ TB = m0 g 41 T B (+) PB 94 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD2: Trụ tròn lăn không trượt mặt nghiêng, thông số cho hình vẽ Ban đầu hệ đứng yên, bỏ qua ma sát lăn Xác định: a) Biểu thức động hệ b) Công ngoại lực trụ lăn đoạn s mặt nghiêng c) Gia tốc góc trụ d) Điều kiện để trụ lăn lên VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD2: Cơ hệ: trụ tròn O chuyển động song phẳng Ta có quan hệ động học: s = rϕ ;VO = s& = rϕ& = rω ; Ngoại lực: P , N , Fms , M a.Động hệ: b Công ngoại lực: 1 T = m VO2 + J Oω 2 11  = m( rω )2 +  mr  ω 2 22  = m0rω A( P ) = −mg ( s sin α ) = − m grϕ sin α A( N ) = A( Fms ) = A(M) = M ϕ ∑A e k = − m grϕ sin α + M ϕ 95 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD3 (VD 12.15 [1]): Một cấu máy nghiền có mô hình vẽ VD2: Hai bánh nghiền A dạng hình trụ có bán kính quán tính trục quay qua tâm ρ, khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trụ tròn cố định bán kính 4r Tay quay AA có khối lượng m0=m/4 chịu tác dụng ngẫu M, bỏ qua mát ổ trục, xác định chuyển động tay quay c Gia tốc góc trụ tròn: Định lý động dạng đạo hàm dT = dt ∑ dA 96 e k dt 3  d  mrω   = d ( − m grϕ sin α + M ϕ ) ⇔  dt dt ⇔ m r 2ωε = ( − m g r sin α + M )ω 2 M − m gr sin α ⇒ε = mr2 A M O A ω d.Điều kiện trụ lăn lên ε > ⇒ M > mgr sin α 97 [1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp HCM, 2005 98 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG ωA VD3: A Cơ hệ: hai bánh xe tâm A (cđ song phẳng) A VA = 5ω r = ) ∑ dA dT = dt + 4m0 ( 5rω ) e k = Mϕ O A Định lý động dạng đạo hàm     625  r + 100ρ  m0ω =   ω e k dt   625   d  r + 100 ρ  m 0ω O2     = d (M ϕ ) ⇔  dt dt 625   ⇔ r + 200 ρ  m 0ω ε = M ω   1 1  J Oω +  J AωA2 + mVA2  2   1 1 m0 (10r )2 ω +  4m0 ρ ( 5ω 12 2 ∑A Gia tốc góc tay quay AA: ω Động hệ: T = TAA + 2TA = M Công ngoại lực O Ta có quan hệ động học: VA = ( R + r )ω = 5rω ; ω A = A Ngoại lực: M M Tay quay AA ( quay quanh trục cố định) ωA VD3: ⇒ε = 3M m0 ( 625r + 600ρ ) 99 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 100 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD4: Cho cấu ròng rọc đai nằm mặt phẳng nằm ngang VD4: hình vẽ Các ròng rọc xem đĩa tròn đặc, đồng chất, khối lượng phân bố Ròng rọc có khối lượng tương ứng m1 m2 bán kính tương ứng r1 r2 Tay quay OA có khối lượng m, chiều dài l; xem mảnh đồng chất Cơ hệ dẫn động moment không đổi M - Ròng rọc O( cố định), Xác định gia tốc góc tay quay OA Bỏ qua khối lượng đai giả sử đai mềm, không giãn, tượng trượt đai A (2) ω2 -Tay quay OA ( quay quanh trục cố định) - Ròng rọc A (cđ song phẳng, quay quanh trục //) Ta có quan hệ động học: ω1r ω1 − ω r2 r −r = = ⇒ ω2 = ω ω2 r ω2 − ω r1 r2 Động hệ: ω M ω2 r A (2) O (1) 1 T = m2VA2 + J Aω22 + J Oω 2 2 M 11  r − r    = m2 (lω )2 +  m2r22   ω  +  ml  ω 2 22 r     1 6m2l + 3m2 ( r2 − r1 ) + 2ml ω = J heω = 12 O (1) ( 101 ) 102 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG VD5 [*]: Một hệ thống chuyền tải gồm trục trụ đặc tròn đồng chất có trọng lượng Q, bán kính R quay quanh trục quay riêng cố định O1 O2 băng tải đoạn dây khép kín không giãn, có khối lượng m gầu xúc có trọng lượng P1 P2 trục quay quay O1 chịu tác dụng ngẫu M=const Tìm vận tốc gầu xúc theo đoạn đường di chuyển biết ban đầu hệ đứng yên Xác định công suất cần thiết để hệ thống chuyển động với vận tốc v gia tốc a VD4: ω2 Ngoại lực: M Công ngoại lực ∑A e k = Mϕ Gia tốc góc tay quay OA: ω M Định lý động dạng đạo hàm dT = dt ∑ dA ω2 r A (2) e O k (1) dt 1  d  J heω 02   = d (M ϕ ) ⇔  dt dt ⇔ J h eωε = M ω ⇒ε = M 6M = J h e m l + 3m ( r2 − r1 ) + m l 103 Tbang = r P1 O1 M 10 VD4: O2 - trục quay (quay quanh trục cố định), * Động băng tải: Động hệ: A VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD5: r P2 S - Băng tải Ta có quan hệ động học: VA = VB = v = s& = ω R B r P2 [*] Đỗ Sanh , Cơ Học , NXB Giáo dục VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG -2 gầu xúc A B (tịnh tiến) O2 1 ∑ mkVk2 = ( ∑ mk ) v = mv 2 B A r P1 O2 Ngoại lực: M;P1;P2 Công ngoại lực ∑A e k = ( P2 − P1 ) s + M ϕ = ( P2 − P + M / R ) s Vận tốc gầu xúc: Dạng định lý động dạng hữa hạn O1 M r P2 B A r P1 O1 M ∆T = T1 − T0 = ∑ Ak + ∑ Ak i T = TO1 + TO2 + TA + TB + +Tbang e   Q + P1 + P2 ⇔  + m  v = ( P2 − P1 + M / R) s 2 g  Q 2 Q 2 P1 P2 2 = Rω + R ω + VA + VB + mv 2g 2g 2g 2g ⇒ v = 2g   Q + P1 + P2 =  + m  v2 g 2  105 ( P2 − P1 ) R + M s R(Q + P2 + P1 + mg ) 106 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD4: O2 Công suất cần thiết: Dạng định lý động dạng đạo hàm dT = dt ∑ dA e k dt r P2 B A r P1 r = ∑ P ( Fke )   Q + P1 + P2   d  + m  v2  g 2   d [ ( P2 − P1 + M / R ) s ] ⇔  = dt dt  Q + P1 + P2  + m  va = M ω + ( P2 − P1 ) v ⇔ g   O1 M VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG VD6 (VD 12.16 [1]): Tải A thả không vận tốc đầu từ độ cao h xuống dầm đàn hồi có độ cứng k Giả thiết va chạm mềm Xác định độ võng tối đa fd dầm, biết độ võng tĩnh dầm ft ft ft fd   Q + P1 + P2   ⇒ Mω =   + m  a − ( P2 − P1 )  v g    107 VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG VD7: Cho thẳng, mảnh đồng chất, khối lượng phân bố Thanh có khối lượng m, chiều dài 2l Ban đầu tựa mặt sàn nằm ngang nhẵn hợp với phương thẳng đứng góc φ0 Thả cho rơi xuống không vận tốc đầu Xác định biểu thức tính thời gian để nằm sàn (kể từ lúc ban đầu thả thanh) Chọn gốc vị trí dầm nằm ngang Cơ vị trí cao tải A E0 = T0 + Π = + mgh Cơ vị trí thấp tải A ft Áp dụng định luật bảo toàn E0 = E1 ⇔ ft fd mg f d − mgf d = mgh ft φ0 ⇒ f d2 − f d f t − f t h = ⇒ f d = ft + 108 VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG VD6 1  mg E1 = T1 + Π1 = +  kf d2 − mgf d  = f d − mgf d 2  ft [1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp HCM, 2005 A ft + ft h [1] Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ học lý thuyết, ĐHQG Tp HCM, 2005 109 110 VD – BẢO TOÀN CƠ NĂNG VD8: Cho hệ gồm vật có trọng lượng P1 đặt mặt phẳng nghiêng lăng trụ có trọng lượng P2 Góc nghiêng mặt lăng trụ với mặt ngang α Ban đầu vật hệ đứng yên Sau đó, vật P1 trượt xuống mặt nghiêng với vận tốc đầu Xác định: a) Vận tốc vật P1 so với vật P2; b) Vận tốc lăng trụ P2 vật P1 trượt đoạn d mặt lăng trụ m1 V α m2 F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013 111 ... O (1) 1 T = m2VA2 + J A 22 + J Oω 2 2 M 11  r − r    = m2 (lω )2 +  m2r 22   ω  +  ml  ω 2 2 2 r     1 6m2l + 3m2 ( r2 − r1 ) + 2ml ω = J heω = 12 O (1) ( 101 ) 1 02 VD – ĐỊNH LÝ... R) s 2 g  Q 2 Q 2 P1 P2 2 = Rω + R ω + VA + VB + mv 2g 2g 2g 2g ⇒ v = 2g   Q + P1 + P2 =  + m  v2 g 2  105 ( P2 − P1 ) R + M s R(Q + P2 + P1 + mg ) 106 VD – ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG VD4: O2 Công... = ω R = 2VA = s& r r Ngoại lực: NA ,PA , PB , M PB a Động hệ: b Công ngoại lực: 1 T = TA + TB + TO = mAVA2 + mBVB2 J Oω 2 2 1 s &2 = 4m0 s &2 + m0 (2s& )2 + m0 (1.5r )2 2 r 2 41 = m0 s& R=2r Định