Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân

LƯ SỸ PHÁP
 § § LSP GV-Trường THPT Tuy Phong LỜI NĨI ĐẦU Q đọc giả, q thầy em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải tốn trọng tâm lớp 12 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định NỘI DUNG Lí thuyết cần nắm học Bài tập có hướng dẫn giải tập tự luyện Trắc nghiệm Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hồn chỉnh Mọi góp ý xin gọi số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sỹ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC §1 NGUYÊN HÀM 01 - 19 §2 TÍCH PHÂN 20 – 45 §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 46 – 50 ƠN TẬP CHƯƠNG I 51 – 71 TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM 72 – 84 TÍCH PHÂN 85 – 97 ỨNG DỤNG 98 – 104 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 105 – 106 GV Lư Sỹ Pháp Tốn 12 CHƯƠNG III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG §1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F '( x ) = f ( x ) với x ∈ K b) Định lí
Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K
Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Họ tất nguyên hàm f ( x ) K kí hiệu: Vậy: ∫ f ( x )dx ∫ f ( x )dx = F( x ) + C Tính chất nguyên hàm a) ∫ f '( x )dx = f ( x ) + C b) ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (với k số khác 0) c) ∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp Bảng Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (với u = u( x ) ) ∫ 0dx = C ∫ 0du = C ∫ dx = x + C ∫ du = u + C α ∫ x dx = x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ uα du = uα +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C ax ∫ a dx = + C (a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ cos xdx = sin x + C au ∫ a du = + C (a ≠ 1, a > 0) ln a ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C x ∫ u du = ln u + C ∫ e du = e + C u x x ∫ cos 10 x BT Giải tích 12 u dx = tan x + C ∫ sin x u dx = − cot x + C 10 ∫ 1 ∫ cos u du = tan u + C du = − cot u + C sin u Chương III Nguyên hàm – Tích phân GV Lư Sỹ Pháp Toán 12 Bảng ∫ cos kxdx = ∫ e kx dx = sin kx +C k ∫ sin kxdx = − ekx +C k dx cos kx +C k ∫ ax + b = a ln ax + b + C Bảng Với a ≠ ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = + C (n ≠ −1) a n +1 1 ∫ dx = − +C a ax + b ax + b ( ) n +1 1 dx = ln ax + b + C ax + b a ∫ e ax + b dx = eax + b + C a n ∫ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a 1 ∫ dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a 1 ∫ dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp biến đổi
Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C u = u( x ) hàm số có đạo hàm liên tục ∫ f (u( x ))u '( x )dx = F (u( x )) + C Lưu ý: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u ( x)dx Khi đó: ∫ f (t)dt = F (t) + C , sau / thay ngược lại t = u ( x) ta kết cần tìm
Với u = ax + b(a ≠ 0) , ta có ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Phương pháp tính nguyên hàm phần
Nếu hai hàm số u = u( x ) v = v( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u( x )v '( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u '( x )v( x )dx
Đặt u = f ( x) ⇒ du = f / ∫ udv = uv − ∫ vdu ( x)dx dv = g ( x)dx ⇒ v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (chọn C = 0) Lưu ý: Với P( x ) đa thức N.Hàm P( x )e x dx ∫ Đặt u P(x) dv e x dx Hay ∫ P( x ) cos xdx hay ∫ P( x )sin xdx ∫ P( x ) ln xdx P(x) cos xdx hay sin xdx lnx P( x )dx Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định B BÀI TẬP Dạng Tìm ngun hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Phương pháp: Dùng thành thạo bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = x BT Giải tích 12 b) f ( x ) = x c) f ( x ) = cos x Chương III Nguyên hàm – Tích phân GV Lư Sỹ Pháp d) f ( x ) = x + x a) ∫ x dx = b) c) d) e) Toán 12 e) f ( x ) = x +C 1 ( x − 1)( x + 1) x2 + −1+ f) f ( x ) = x x x HD Giải +1 x2 x2 xdx = x dx = + C = +C = x +C ∫ ∫ 3 +1 2 x sin x x ∫ cos dx = + C = 2sin + C 1  x −  x 21 13 2 + dx = dx + dx = x dx + x dx = x + x +C = x +4 x +C   ∫ x  ∫ ∫ x ∫ ∫ 3    x +2    x2 1 ln − + dx = x + − + dx = + x − x − +C    ∫  x ∫ x x x2  x2   1  ( x − 1)( x + 1)   32 −     dx = ∫  x x + x − f) ∫  x  dx = ∫  x + x − x  dx   x x      = x + x − x + C = x x + x x − x + C 5 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = 3sin x + b) f ( x ) = x + c) f ( x ) = cos x − x −1 x x ( d) f ( x ) = ( x − 1) x + x ) e) f ( x ) = sin x f) f ( x ) = cos2 x HD Giải  2 a) ∫  3sin x +  dx = 3∫ sin xdx + ∫ dx = −3 cos x + ln x + C x x   −  3 3 b) ∫  x + dx = ∫ x dx + ∫ x dx = x + 3x + C = x + x + C   3 x   1 3x 3x −1 c) ∫ cos x − 3x −1 = 3∫ cos xdx − ∫ 3x dx = 3sin x − + C = 3sin x − +C 3 ln ln x6 x5 d) ∫ ( x − 1) x + x dx = ∫ x − x + x − 3x dx = − + x3 − x2 + C − cos x 1 1 e) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − sin x + C 2 2 + cos x 1 1 f) ∫ cos2 xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + sin x + C 2 2 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau:   e− x  e− x  x a) f ( x ) = e x  − b) f ( x ) = e + c) f ( x ) =    2 cos x  sin x  sin x.cos2 x   cos3 x − cos x d) f ( x ) = e) f ( x ) = f) f ( x ) = cos x + cos x 2x +1 ( ) ( BT Giải tích 12 ) ( ) Chương III Nguyên hàm – Tích phân GV Lư Sỹ Pháp Tốn 12 HD Giải    x e  x dx = e − a) ∫ e x  −    dx = 7e − tan x + C ∫ 2 cos x  cos x      e− x   b) ∫ e x  +  dx = ∫  2e x +  dx = 2e x − cot x + C sin x  sin x    −x sin x + cos2 x 1 dx = ∫ sin2 x.cos2 x ∫ sin2 x.cos2 x dx = ∫ cos2 x dx + ∫ sin2 x dx = tan x − cot x + C       cos3 x 1 d) ∫ dx = ∫  cos2 x − cos x + −  dx  dx = ∫  cos x − cos x + − cos x + cos x +  x    cos   2 x = x + sin x − sin x − tan + C 2   − cos x sin x e) ∫ dx = ∫ dx = ∫  −  dx = ( tan x − x ) + C 2 cos x cos x  cos x  c) dx = x + + C 2x + Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp: Nếu ∫ f (t )dt = F (t ) + C t = ϕ ( x ) có đạo hàm liên tục, f) ∫ ∫ f (ϕ ( x )) ϕ ( x )dx = F (ϕ ( x )) + C / Lưu ý:
t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ / ( x )dx
g(t ) = ϕ ( x ) ⇒ g / (t )dt = ϕ / ( x )dx
Sau tính ∫ f (t )dt theo t, ta phải thay lại t = ϕ ( x ) Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) ∫ esin x cos xdx b) ∫ e cos x sin xdx d) ∫ e cos x sin xdx c) ∫ esin x sin xdx e) ∫ sin x cos xdx a) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Vậy ∫ e sin x f) ∫ cos2 x sin xdx HD Giải cos xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C b) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Vậy ∫ e cos x sin xdx = − ∫ et dt = −et + C = −e cos x + C 2 c) Đặt t = sin x ⇒ dt = 2sin x cos xdx = sin xdx Vậy ∫ esin x sin xdx = ∫ et dt = et + C = esin x + C d) Đặt t = cos2 x ⇒ dt = −2sin x cos xdx = − sin xdx 2 Vậy ∫ e cos x sin xdx = − ∫ et dt = −et + C = −e cos x + C 1 e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Vậy ∫ sin x cos xdx = ∫ t dt = t + C = sin x + C 3 1 f) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Vậy ∫ cos2 x sin xdx = − ∫ t dt = − t + C = − cos3 x + C 3 Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: etan x a) ∫ tan xdx b) ∫ cot xdx c) ∫ dx cos2 x BT Giải tích 12 Chương III Nguyên hàm – Tích phân GV Lư Sỹ Pháp d) ∫ Toán 12 + tan x dx cos2 x e) ∫ sin ( ln x ) x dx f) dx ∫ x ln x ln ( ln x ) HD Giải sin x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx cos x dt Vậy ∫ tan xdx = − ∫ = − ln t + C = − ln cos x + C t cos x b) ∫ cot xdx = ∫ dx Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx sin x dt Vậy ∫ cot xdx = ∫ = ln t + C = ln sin x + C t etan x c) Đặt t = tan x ⇒ dt = dx Vậy dx = ∫ et dt = et + C = etan x + C ∫ 2 cos x cos x d) Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ 2tdt = dx cos2 a) ∫ tan xdx = ∫ + tan x 2 + tan x ) + C = (1 + tan x ) + tan x + C dx = ∫ t.2tdt = t + C = ( 3 cos x sin ( ln x ) e) Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Vậy ∫ dx = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos ( ln x ) + C x x Vậy ∫ f) Đặt t = ln ( ln x ) ( ln x ) ⇒ dt = ln x / dx = dx Vậy x ln x dx ∫ x ln x ln ( ln x ) = ∫ dt = ln t + C = ln ln ( ln x ) + C t Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) ∫ (1− x ) dx d) ∫e x dx + e− x + 2 b) ∫ x (1+ x ) e) ∫ xe − x2 c) ∫ cos3 x sin xdx dx dx f) ∫ cos x + sin x sin x − cos x dx HD Giải a) Đặt t = − x dt = − dx ⇒ dx = − dt 9 t10 (1 − x )10 Vậy ∫ (1 − x ) dx = − ∫ t dt = − + C Vậy ∫ (1 − x ) dx = − +C 10 10 dt b) Đặt t = + x dt = xdx ⇒ dx = 2x 3 5 Vậy ∫ x + x 2 dx = ∫ t dt = t + C Vậy ∫ x + x 2 dx = + x 2 + C 5 c) Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Khi ∫ cos3 x sin xdx = − cos4 x + C dx −1 d) Đặt t = e x + ⇒ dt = e x dx Khi ∫ x − x = +C e + e + + ex 2 e) Đặt t = x ⇒ dt = xdx Khi ∫ xe− x dx = − e− x + C cos x + sin x dx = sin x − cos x + C f) Đặt t = sin x − cos x ⇒ dt = ( cos x + sin x ) dx Khi ∫ sin x − cos x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: ( ) BT Giải tích 12 ( ) ( ) Chương III Nguyên hàm – Tích phân GV Lư Sỹ Pháp a) Tốn 12 ( ∫ ( x + 1) dx d) ∫ cos(7 x + 5)dx g) 9x2 ∫ 1− x dx ) 2x b) ∫ x x + dx c) ∫ e) ∫ esin x cos xdx f) ∫ xe i) ∫x ∫ h) ( ) x 1+ x dx x2 + 1+ x dx dx 1− x dx HD Giải a) Đặt t = x + ⇒ dt = dx Khi ∫ ( x + 1) dx = ( x + 1) + C 10 b) Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Khi ∫ x x + dx = x + + C 2x dx = x + + C c) Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Khi ∫ 2 x +4 ( ) ( ) ( ) d) Đặt t = x + ⇒ dt = 7dx Khi ∫ cos(7 x + 5)dx = sin(7 x + 5) + C sin x e) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Khi ∫ e cos xdx = esin x + C f) Đặt t = + x ⇒ dt = xdx Khi 1+ x ∫ xe dx = g) Đặt t = − x ⇒ dt = −3 x dx Khi h) Đặt t = + x ⇒ dt = x Khi ∫ 9x2 ∫ − x3 ( 1+ x e +C dx = −6 − x + C x 1+ x ) dx = − 1+ x i) Đặt t = − x ⇒ dt = −2 xdx Khi ∫ x − x dx = − − x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: ex e x − e− x a) ∫ x dx b) ∫ x − x dx e +1 e +e d) ∫x x + 3dx ∫x e) ( ) x + 7dx +C +C c) ∫x x − 5dx f) ∫x x + 1dx HD Giải e dt a) Đặt t = e x + ⇒ dt = e x dx Vậy ∫ x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + + C t e +1 x e − e− x dt b) Đặt t = e x + e − x ⇒ dt = e x − e − x dx Vậy ∫ x − x dx = ∫ = ln t + C = ln e x + e− x + C t e +e ( x ( ) ) ( ) c) Đặt t = x − ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = xdx ⇒ tdt = xdx Vậy: ∫ x x − 5dx = ∫ t dt = t + C = (x −5 ) (x +C = −5 ) x2 − +C d) Đặt t = x + ⇒ t = x − ⇒ 2tdt = x dx ⇒ tdt = x dx Vậy: e) ∫x ( ) x4 + x4 + 1 x + 3dx = ∫ t.tdt = ∫ t dt = t + C = +C 2 6 ∫x x + 7dx = ∫ x x + 7.xdx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt BT Giải tích 12 Chương III Nguyên hàm – Tích phân ... CHƯƠNG III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG §1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CẦN NẮM I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm a) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f (... x )dx ± ∫ g( x )dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp Bảng Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (với u = u( x )... ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K
Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Họ tất nguyên