Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn toánkhông những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệthống kiến thức căn bản, mà nó còn được coi như là một môn thể

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nói đến toán học là nói đến một ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng chocác ngành khoa học khác Trong chương trình giáo dục phổ thông môn toánkhông những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệthống kiến thức căn bản, mà nó còn được coi như là một môn thể thao của trí tuệgóp phần phát triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyệncác hoạt động trí tuệ cho học sinh

Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ thông, tuynhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi,sáng tạo Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường tính sáng tạo,

sự kiên trì, ham học hỏi, tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giảibài toán và phát triển tư duy cho các em Từ một bất đẳng thức đơn giản có thểtạo ra những bài toán khó và đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độcđáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp Bất đẳng thức xuất hiện trong nhiều

bộ phận khác của toán phổ thông, như trong việc giải quyết các bài toán vềphương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuấthiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công

cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản nhưphân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá

Là một sinh viên được đào tạo để trở thành một giáo viên giảng dạy mônToán, tôi muốn đóng góp công sức nhỏ bé của mình giúp bạn đọc nắm vữngnhững khái niệm, các cách chứng minh một vài dạng của bất đẳng thức Xuất

phát từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ".

1

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức” trong trường phổ thông Đưa ramột số phương pháp chứng minh BĐT trong việc giải toán Từ đó giúp học sinhhiểu và nắm được các phương pháp chứng minh BĐT thông thường cũng nhưnâng cao Bên cạnh đó rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy trong tính toántrong các bài toán chứng minh

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Phương pháp nghiên cứu khái quát hóa

• Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu

• Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo về bất đẳng thức

• Tham khảo từ Internet: violet.vn ; diendantoanhoc.net

• Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Trong đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ” tôi đã đưa

ra một số định nghĩa, tính chất cũng như các bài tập vận dụng cho nhữngphương pháp chứng minh BĐT bao gồm những chương sau :

1 Chương I : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phần A Cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức : tóm tắt một số kiến thức lý thuyết

cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng minh bất đẳngthức

Phần B Tổng hợp một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức : với mỗiphương pháp có các kiến thức lý thuyết cần nắm và các bài tập áp dụng để họcsinh tự mình hình thành tư duy, cảm nhận về phương pháp đó

2 Chương II : Bài tập vận dụng

Đưa ra những bài tập nhằm củng cố lại kiến thức, đồng thời đây là một hệ thốngnhững bài tập thông dụng để các em luyện tập thêm, giúp các em nhuần nhuyễnhơn trong việc giải bất đẳng thức

V CẤU TRÚC ĐỀ TÀI

Gồm 3 phần : phần mở đầu , phần nội dung và phần kết luận Phần I : Mở đầu bao gồm

I Lí do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Phương pháp nghiên cứu

IV Nội dung nghiên cứu

Định nghĩa 1: Cho hai số a và b gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng

thức Ta nói a lớn hơn b (kí hiệu a > b ) nếu hiệu a – b là một số dương; a nhỏhơn b (kí hiệu a < b ) nếu hiệu a – b là một số âm Ngược lại, nếu hiệu a – b > 0thì ta nói rằng a > b , nếu a – b < 0 thì a < b

Vậy: a > b ⇔ a − b > 0

; a < b ⇔ a − b < 0 .Các mệnh đề “ a > b ”; “ a < b ”; “ a ≥ b ”; “ a ≤ b ” được gọi là những bất đẳngthức Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng

Định nghĩa 2: Cho hai biểu thức A(x) và B(x) phụ thuộc vào biến số x

được xác định trên cùng miền D thì ta viết A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x) ) nếuhiệu A(x) – B(x) > 0 (hoặc A(x) – B(x) < 0), ứng với mọi trị số x trong miền D.Ngoài ra, nếu tồn tại ít nhất một giá trị xo thuộc D sao cho A(xo) = B(xo) thì taviết A(x) ≥ B(x) hoặc A(x) ≤ B(x)

II Các tính chất của bất đẳng thức

1 Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c

2 Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c, ∀c

3 Tính chất đơn điệu của phép nhân : Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c

cùng chiều với bất đẳng thức trừ: Nếu a > b và c > d thì a – c > b – d

6 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều BĐT nếu hai vế cùng dấu:

Bài 2: a CMR: a2 b 2  ab 0  với mọi a, b R  Khi nào đẳng thức xảy ra?

b CMR nếu a b  thì a3  b3  ab2  a2b với mọi a, b

 R

6 PHẦN B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức

1 Lý thuyết

Để chứng minh một BĐT A ≥ B nào đó là đúng, ta cần chỉ ra A – B ≥ 0 bằng cách biến đổi biểu thức (A – B) một cách thích hợp

Ngược lại, khi cần chứng minh A – B ≥ 0 ta có thể đưa về BĐT A ≥ B đểchứng minh

 b  2

 a −  = 0Dấu “ = “ xảy ra  2

1 (k 1) k 

1.3 Tổng quát: i= 1n ≥ , dấu “=” xảy ra a ⇔ a = = a = = a

Sau đây là một trong số những cách chứng minh bằng quy nạp kiểu Cauchy :

- Với n = 2, khi đó BĐT 1.3 đúng, thật vậy:

, dấu “=” xảy ra

⇔ a1 = a2 = a3 = = a k

≤c + 7 a 3+ 2 + 2Cộng hai vế của BĐT trên ta được:

S = a + b + c

b + c c +

a a + b

a +

b

Áp dụng BĐT CÔSICho 3 số dương a + b, b + c, c + a có:

a + b + b + c + c + a ≥ 33 (a + b)(b + c)(c + a) (1)

Cho 3 số dương

Bài 3: Cho a, b, c > 0 CMR: 3 ( a c)(b a)( c b) 1   3 abc

b c a

Ta có:

2

a n

17 ( BĐT Bunhiacopski)

1 Lý thuyết

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopski

Ta có :

Với 2 bộ n số (a1, a2,…, an) và (b1, b2,…, bn) ta luôn có:

≤ c

với

f (x), g (x) ≥ 0, f (x) + g ( x) ≤ A

b,

cm)

2Bài 3: CMR: x y z 0    thì x y

- Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để chứng minh.

- Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thứccon để được điều phải chứng minh

1 Chú ý các đẳng thức sau

(a + b ± c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab ± 2bc ± 2ca

(a + b + c + d )2 = a2 + b2 + c2 + d 2 + 2ab + 2bc + 2ca + 2cd + 2bd + 2ad

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)

Ta có: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ (a + b)(a2 − ab + b2 ) − ab(a + b) ≥ 0

⇔ (a + b)(a2 − 2ab + b2 ) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a − b)2 ≥ 0 (1)

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ≥ 0

⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca ≥ 0

⇔(a − b)2 +(b − c)2 +(c − a)2

Bài 6 : Cho a, b, c, d là bốn số dương và a c  CMR:

(1) ⇔ a(b + c) < b(a + c)

⇔ ab + ac < ab + bc ⇔ ac < bc ⇔ a < b (do c > 0 ) (2)

BĐT (2) đúng do giả thiết Vậy (1) đúng

b) Do a > b > 0 và c > 0 nên a c b b c >a + + (1) ⇔ a(b + c) > b(a + c)

⇔ ab + ac > ab +

bc ⇔ ac > bc ⇔

a > b

(do

2 + b 2 + c 2 ≥ ab

+ bc + ca

là bất đẳng thức đúng (đpcm)Hướng dẫn giải (2): Ta có:

1 + 1 ≥ 4 ⇔b + a ≥ 4

Do đó với a, b dương thì

1

+ 1 ≥

4

là bất đẳng thứcđúng

Bài 2: CMR với a, b, c dương

11

1

1  11  11  1 abbcca

a có:

1 1

ó :

y

>

0 v

à Su

y

ra

đpcm

x

+

y

≤ 1

2 +

a b

+

c d

vế

vớivếcủa2BĐT

trêntacó:

ngminh:2 2 2 2

+

b c

+

c d

+

d a

≥

2

⇒

đ p c

m(

+

1.1 Các bất đẳng thức trong tam giác:

Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì a, b, c > 0

a/ Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì do vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có thể giả thiết thêm rằng a ≥ b ≥ c Khi đó:

Bài 2: Cho ABC với Aˆ  Bˆ  Cˆ Chứng minh:

⇔ bc(b − a) − c 2 (b − a) − ab(b − a) + ca(b − a) ≥ 0

⇔ (b − a)(bc − c 2 − ab + ca) ≥ 0

⇔ (b − a)(b − c)(c − a) ≥ 0 (2)

Vì ∆ABC với Aˆ ≥ Bˆ ≥

Cˆ

nên a ≥ b ≥ c ⇒ (2) đúng Vậy (1) đúng

Bài 3: Cho a, b, c là số đo ba cạnh; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác CMR:

a (a − b)( A − B) ≥ 0 ; khi nào đẳng thức xảy ra?

b 60o ≤aA + bB + cC < 90o ; khi nào đẳng thức xảy ra?

a + b + c

37 Giải

a Áp dụng mối liên

hệ giữa cạnh và góc trong tam giác,

ta có: Nếu a ≥b thì

A ≥B;

Nếu a ≤b thì A ≤B;

Vì vậy, ta luôn có: (a − b)( A − B) ≥ 0 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b(A=B), tức là tam giác ABC cân tại C

b Theo câu (a) ta có:

(a − b)( A − B) + (b − c)(B − C) + (c − a) (C − A) ≥ 0

2

( a A + b B + c C )

<

( A + B + C ) ( a + b + c )

T

ừ đósu

y ra:

a

A +

b B

+

c C

<

9 0

40 CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG

*Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản

c) 2a 2b2 + 2b2 c 2 + 2c 2 a 2 − a 4 − b4 − c 4 > 0 .

3 abc

b 1 a 1

41 * Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI

1 Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc; a,b, c ≥ 0

2 Chứng minh: (a + b + c) (a 2 + b2 + c 2 )≥ 9abc; a,b, c ≥ 0

3 Chứng minh: (1 + a)(1 + b)(1 + c)≥(1 + )3 với a,b, c ≥ 0

4 Cho a,b > 0 Chứng minh: 1 +a

17 Chứng minh: ab + bc + ca ≤a + b + c với a,b, c > 0 .

 a

1 + +

ab  bc  ca 3

ab bc ca   3

6 Chứng minh: a 2 + b2 + c 2 + 3 ≥ 2.(a + b + c) với a,b, c ∈R

a 2  b 2

2

⇒ c − a + b > 0; c + a − b > 0; a + b − c > 0; a + b + c > 0

abc 2

2 ac ac

45 * Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI

6 Chứng minh: x + y ≥ 3x 2 y3 − 16

với4

x, y ≥ 0 (*)

(*) ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x3 y 3 ⇔(x 2 )3 +(y3 )3 + 43 ≥ 12x 2 y3

Áp dụng BĐT Cosi cho ba số không âm:

(x2 )3 +(y3 )3 + 4 3 ≥ 3x2 y3 4 = 12x2 y3

s ô



a a

2

b b

2

c a

a a

2

+

b

2 b b

≥

2

b a b

ng minh:



x 19

x 1

x 1

ab ab

3

.2

26 Cho

x

−

1

; x >1 Định x để y đạt GTNN

2

 y =3 x +2x −5 1 3+1

 Áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm: 2 x − 1 ,

5 :

0

+

1 2

(loai)

Vậykhi

x =

30 + 1 thì y đạt GTNN bằng2

30 + 1 .3

27 Cho

y = x +5 ;0 < x < 1 Định x để y đạt GTNN

1 − x x

oĐặt

1 − x x

x < 1)

1 − x x 

1 − x  4

oVậy GTNN của

N của

x

⇔ 

2



3

2

2

 Dấu “=” xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 − 2x ⇔ x =5

4

 Vậykhi x =54 thì y đạt GTLN bằng 6

2 5

.8

 2 + x

2x

⇔ 1 ≥ x ⇒ y ≤ 1 2

 Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 =

2 ⇒ x =

2 − x2

vì

⇔ a 2 d 2 + c2b 2 − 2abcd ≥ 0 ⇔(ad − cb)2

≥ 0

2 Chứng minh: sin x + cos x ≤

* Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 4 số; 1, sinx, 1, cosx

sin x + cos x = 1.sin x +1.cos x ≤

1 ≤ a + b ≤ ⇔ a 2 + b2 ≥1

3 7a − 5 ≤ 9+25 (7a 2 + 11b2 ) ⇔ 7a 2 + 11b2 2464

 a

1 + +

4 4

3 3

2 PHẦN III KẾT LUẬN

Trong quá trình thực hiện đề tài em đã cố gằng tìm tòi và hệ thống lại một

số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tiêu biểu Ở mỗi phương pháp chứngminh bất đẳng thức em đã đưa ra những kiến thức cơ bản ở phần lý thuyết vàmột số bài tập ở phần vận dụng để các em có thể tiếp cận, tư duy và sáng tạo trong việc chứng minh bất đẳng thức

Các bài toán đưa ra ở mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chỉmang tính tương đối Vì với mỗi bài toán sẽ có nhiều cách giải khác nhau khôngchỉ dựa vào cách giải chung cho mỗi dạng toán mà vẫn còn nhiều lời giải riêngphù hợp với nó Các em học sinh cũng như các bạn sinh viên nên cố gắng tìmtòi suy nghĩ để tìm ra những cách giải mới, hay, phù hợp với khả năng của mình

và chính điều đó là một trong những vẻ đẹp sáng tạo của toán học

Sau khi hoàn thành khóa luận này, em mong rằng nó sẽ trở thành mộttrong những tài liệu bổ ích giúp các em học sinh, cũng như các bạn cùng nghànhtrong việc tiếp cận, tra cứu và tìm hiểu về bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn

Do điều kiện về thời gian cũng như năng lực nghiên cứu của bản thân cònhạn chế nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Bản thân

em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đềtài của em được hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Bùi Khắc Sơn và các thầy

cô giáo trong khoa Khoa học Tự Nhiên đã có những ý kiến đóng góp giúp emhoàn thành đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn!

c a c

ba

c b c

ab

[1] Phạm Văn Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [2] Võ Giang Mai (2002), Chuyên đề bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Kỳ (2005), Đại số sơ cấp và thức hành giải toán, NXB Đại học Sư phạm [4] Trần Đức Huyên (2002), Phân loại và phương pháp giải tích 12, NXB Trẻ [5] Huỳnh Công Thái (2005), Phân loại và hướng dẫn giải toán giải tích - tổ hợp, NXB Hà Nội

[6] www.diendantoanhoc.net

[7] www.violet.vn

[8] www.tailieu.vn

2 LỜI CẢM ƠN

Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với những sự

hổ trợ, giúp đỡ dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của những người khác.Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến khi thựchiện khóa luận tốt nghiệp Ngoài sự cố gắng hết sức của bản thân ,em đã nhậnđược rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trường Đaihọc Quảng Bình , các thầy cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên đã truyền đạtkiến thức quý báu cho chúng em trong suốt quá trình học tập Đặc biệt, em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Bùi Khắc Sơn đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khóaluận tốt nghiệp

Xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tập thể lớp CĐSP Toán k54 đã động viên,khích lệ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Lời cảm ơn đặc biệt tôi xin dành cho gia đình, người thân đã luôn độngviên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được học tập và hoàn thành khóa luậntốt nghiệp này

Em xin trân trọng cảm ơn!

1Sinh viên

1 Trần Thị Điểm

90

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2

V.CẤU TRÚC ĐỀ TÀI 3PHẦN II : NỘI DUNG 4CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

VI Phương pháp 6: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác 27

1 Lý thuyết: 27

2 Bài tập vận dụng 27CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG 31HƯỚNG DẪN GIẢI 35PHẦN III KẾT LUẬN 48TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Số: 843/QĐ-ĐHTL Hà Nội, ngày 29 tháng 03 năm 2016

QUYẾT ĐỊNHBan hành quy định trình bày luận văn thạc sĩHIỆU TRƯỞNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

Căn cứ Quyết định số 1249/BNN-TCCB ngày 29/4/2009 của Bộ trưởng Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn quy định Quy chế tổ chức và hoạt động của Trường Đại học Thuỷ lợi;

Căn cứ Quy chế đào tạo trình độ thạc sĩ ban hành theo Thông tư số 15/2014/TT-BGDĐT ngày 15/05/2014 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo;

Xét đề nghị của ông Trưởng Phòng Đào tạo Đại học và Sau đại học,

QUYẾT ĐỊNH:

Điều 1 Ban hành kèm theo Quyết định này Quy định về trình bày luận văn thạc sĩ của Trường

Đại học Thủy lợi.

Điều 2 Quyết định này được áp dụng cho các đợt bảo vệ luận văn thạc sĩ của Trường Đại học

Thủy lợi từ tháng 6/2016.

Điều 3 Ông Trưởng Phòng Đào tạo Đại học và Sau đại học, các đơn vị và cá nhân có liên

quan chịu trách nhiệm thi hành quyết định này./.

Nơi nhận:

- Như điều 3;

- Lưu: VT, ĐH&SĐH.

KT HIỆU TRƯỞNG PHÓ HIỆU TRƯỞNG

(đã ký)

GS.TS Trịnh Minh Thụ

QUY ĐỊNH MẪU TRÌNH BÀY LUẬN VĂN THẠC SĨ

(Ban hành kèm theo Quyết định số 843/QĐ-DDHTL ngày 29 tháng 04 năm 2016

của Hiệu trưởng Trường Đại học Thủy lợi)