Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nói đến tốn học nói đến ngành khoa học tạo tảng cho ngành khoa học khác Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn khơng giữ vai trò quan trọng nhằm trang bị cho người học hệ thống kiến thức bản, mà coi mơn thể thao trí tuệ góp phần phát triển lực tốn học với thao tác tư duy, rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh Bất đẳng thức nội dung khó mơn tốn trường phổ thơng, nhiên lĩnh vực hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường tính sáng tạo, kiên trì, ham học hỏi, tăng cường khả tính tốn, khả tìm tòi lời giải tốn phát triển tư cho em Từ bất đẳng thức đơn giản tạo tốn khó đẹp, có cách giải hay, độc đáo đơn giản cho tốn phức tạp Bất đẳng thức xuất nhiều phận khác tốn phổ thơng, việc giải tốn phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức, xuất tốn hình học, lượng giác… Do bất đẳng thức cơng cụ quan trọng hiệu việc rèn luyện hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hố Là sinh viên đào tạo để trở thành giáo viên giảng dạy mơn Tốn, tơi muốn đóng góp cơng sức nhỏ bé giúp bạn đọc nắm vững khái niệm, cách chứng minh vài dạng bất đẳng thức Xuất phát từ lý tơi định chọn đề tài: "Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức " II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu sâu vấn đề “bất đẳng thức” trường phổ thơng Đưa số phương pháp chứng minh BĐT việc giải tốn Từ giúp học sinh hiểu nắm phương pháp chứng minh BĐT thơng thường nâng cao Bên cạnh rèn luyện cho em kỹ tư tính tốn tốn chứng minh III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Phương pháp nghiên cứu khái qt hóa • Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu • Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo bất đẳng thức • Tham khảo từ Internet: violet.vn ; diendantoanhoc.net • Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Trong đề tài “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ” tơi đưa số định nghĩa, tính chất tập vận dụng cho phương pháp chứng minh BĐT bao gồm chương sau : Chương I : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phần A Cơ sở lý thuyết bất đẳng thức : tóm tắt số kiến thức lý thuyết mà học sinh cần nắm để sử dụng q trình chứng minh bất đẳng thức Phần B Tổng hợp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức : với phương pháp có kiến thức lý thuyết cần nắm tập áp dụng để học sinh tự hình thành tư duy, cảm nhận phương pháp Chương II : Bài tập vận dụng Đưa tập nhằm củng cố lại kiến thức, đồng thời hệ thống tập thơng dụng để em luyện tập thêm, giúp em nhuần nhuyễn việc giải bất đẳng thức V CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Gồm phần : phần mở đầu , phần nội dung phần kết luận Phần I : Mở đầu bao gồm I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Phương pháp nghiên cứu IV Nội dung nghiên cứu V Cấu trúc đề tài Phần II : Nội dung gồm có Chương I : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chương II : Bài tập vận dụng Phần III : Kết luận PHẦN II : NỘI DUNG CHƯƠNG I : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hai số a b gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Ta nói a lớn b (kí hiệu a > b ) hiệu a – b số dương; a nhỏ b (kí hiệu a < b ) hiệu a – b số âm Ngược lại, hiệu a – b > ta nói a > b , a – b < a < b Vậy: a > b ⇔ a − b > a < b ⇔ a − b < ; Các mệnh đề “ a > b ”; “ a < b ”; “ a ≥ b ”; “ a ≤ b ” gọi bất đẳng thức Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Định nghĩa 2: Cho hai biểu thức A(x) B(x) phụ thuộc vào biến số x xác định miền D ta viết A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x) ) hiệu A(x) – B(x) > (hoặc A(x) – B(x) < 0), ứng với trị số x miền D Ngồi ra, tồn giá trị xo thuộc D cho A(xo) = B(xo) ta viết A(x) ≥ B(x) A(x) ≤ B(x) II Các tính chất bất đẳng thức Tính chất bắc cầu: Nếu a > b b > c a > c Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b a + c > b + c, ∀c Tính chất đơn điệu phép nhân : Nếu a > b c > a.c > b.c Nếu a > b c < a.c < b.c Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: Nếu a > b c > d a +c > b + d Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức trừ: Nếu a > b c > d a – c > b – d Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều BĐT hai vế dấu: Nếu a > b > a < b So sánh hai lũy thừa số với số mũ ngun dương: Nếu a > a x1 > a x2 ⇔ x > x Nếu a = a x = a x ⇒ x1 = x2 x x Nếu < a < a > a ⇔ x < x 2 Nâng lên lũy thừa bậc ngun dương hai vế bất đẳng thức: Nếu a > b > a n > b n , n ∈ N Nếu a > b an > bn với n = 2k + (k ∈ Ν) PHẦN B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức Lý thuyết Để chứng minh BĐT A ≥ B đúng, ta cần A – B ≥ cách biến đổi biểu thức (A – B) cách thích hợp Ngược lại, cần chứng minh A – B ≥ ta đưa BĐT A ≥ B để chứng minh Lưu ý: A ≥ với A, dấu “=” xảy ⇔ A = Bài tập vận dụng 2 Bài 1: CMR: a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ∈ R 7Giải Xét hiệu: A = = = a)  2 (a + b + c ) − (ab + bc + ca)  1 2 2 2 (a − 2ab + b ) + (b − 2bc + c ) + (c − 2ca + a ) 2   1 2 (a − b) + (b − c) + (c − ≥ ∀a, b, c 2  2 Vì A ≥ nên a + b + c ≥ ab + bc + ca Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Bài 2: a CMR: a2  b2  ab  với a, b  R Khi đẳng thức xảy ra? b CMR a  b a3  b3  ab2   R a2b với a, b 8Giải  b + 3b2 ≥ 2 a + b − ab = a − a Ta có:    2  với a, b ∈ R  b 2   a −  =  Dấu “ = “ xảy ⇔a=b=0  ⇔ 3b  = b Ta có: a − b − ( ab − a b ) = a(a − b ) + b(a − b ) 3 2 2 2 2 = (a + b)(a − b ) = (a − b)(a + b) Do a ≥ nên (a − b)(a + b)2 ≥ (đpcm) b Bài : Cho a, b, c, d bốn số dương CMR: 1< a b c d a + b + c+ b + c + d + c + d + a + d + a + b < 9Giải Do a, b, c, d số dương nên: a > a+b+c +c+d a a+b b b + c + d> +c+d c > c+d+a +c+d b a+b c a+b d d + a + b> +c+d d a+b Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta suy ra: a b c d a + b + c+ b + c + d+ c + d + a+ d + a + b> (1) Mặt khác, ta lại có: a a < a + b + c a + c; c < c c+d+a a+c nên: a c + 0 n n Nếu – ≤ x ≤ |x| ≤ suy |x| ≤ hay |x | ≤ n n n Từ đó, ta có: - x ≤ (vì - x ≤ |x |) n Vì vậy: x +1 ≥ Bài 5: a CMR : với số ngun dương k ta có b Áp dụng câu a CMR:   1 (n 1)  n 23 24 11 Giải a Ta có: 1 =  = 1+ k = k1     k − −   = + k (k +1)k (k 1)  k   2    kk   (k 1)  k   k1   k  k +1      22 June 2009] Các dạng tài liệu khác Các báo đăng kỷ yếu hội nghị, hội thảo, diễn đàn (seminar, forum), tin, magazine, có xuất bản, ghi theo tứ tự sau: Tên tác giả, năm Tên báo, tên kỷ yếu/tên hội nghị/diễn đàn, số thứ tự trang báo kỷ yếu Địa điểm, thời gian tổ chức Cơ quan tổ chức Báo cáo hội nghị: UNDESA (United Nations Department of Economic and Social Affairs), 2005 6th Global forum on reinventing government: towards participatory and transparent governance Seoul, Republic of Korea 24-27 May 2005 New York: United Nations Bài đăng báo cáo hội nghị: Brown, J., 2005 Evaluating surveys of transparent governance In: UNDESA (United Nations Department of Economic and Social Affairs), 6th Global forum on reinventing government: towards participatory and transparent governance Seoul, Republic of Korea 24-27 May 2005 New York: United Nations Các báo, tham luận trình bày hội nghị, hội thảo, diễn đàn (seminar, forum) khơng có xuất bản, ghi theo thứ tự sau: tên tác giả, năm, tên báo, tên hội nghị/hội thảo/diễn đàn Cơ quan tổ chức, địa điểm thời gian tổ chức Sử Đình Thành, 2011 Phân tích mối quan hệ chi tiêu cơng tăng trưởng kinh tế Việt Nam Hội thảo khoa học: ổn định kinh tế vĩ mơ phát triển kinh tế, trang 17-33 Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 Chun đề tốt nghiệp đại học, luận văn Thạc sĩ, luận án Tiến sĩ Tên tác giả, năm Tên luận văn Bậc học Tên thức trường Nguyễn Cao Anh, 2011 Đánh giá hài lòng người lao động doanh nghiệp địa bàn tỉnh Bến Tre Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Trần Thanh Tồn, 2009 Phát triển doanh nghiệp nhỏ vừa tỉnh Bình Định q trình hội nhập kinh tế quốc tế Luận án Tiến sĩ Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Lansin, A.O., 1997 Micro-economic models for analyzing policy changes in Dutch arable farming PhD thesis Agricultural University Wageningen Các giáo trình, giảng, tài liệu học tập Các giáo trình tài liệu thức thẩm định sử dụng trường đại học Tài liệu nguồn thường trích dẫn Võ Văn Nhị, 2009 Bài tập ngun lý kế tốn Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Đồn Thị Hồng Vân, 2002 Giáo trình kỹ thuật ngoại thương Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Các giảng tài liệu tham khảo giảng viên khơng phải tài liệu phát hành phổ biến để sử dụng nội khơng đưa vào danh mục tài liệu tham khảo Nếu cần phải trích dẫn phải copy phần thơng tin tham khảo tài liệu đó, đưa vào phần phụ lục Trong phần nội dung bài, ghi thơng tin nguồn trích dẫn là: xem phụ lục số… (đánh số theo thứ tự phụ lục viết) Các tài liệu lưu hành nội (báo cáo tài chính, báo cáo tổng kết, …) Cung cấp thơng tin tài liệu: quan, năm, tên tài liệu,… Hội đồng chức danh nhà nước, 2011 Văn pháp quy tài liệu hướng dẫn việc xét cơng nhận đạt tiêu chuẩn chức danh giáo sư, phó giáo sư năm 2011 Hà Nội, tháng năm 2011 Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, Phòng quản lý giảng đường thời khóa biểu, 2011 Thời khóa biểu hệ sau đại học (học kỳ đầu-năm 2012) Tháng năm 2011 Anglia Ruskin University, 2007 Using the Cochrane Library [leaflet] August 2007 ed Cambridge: Anglia Ruskin University Các thơng tin khác đăng tải internet Các tài liệu internet có nhiều khác biệt chất lượng mức độ xác Nói chung khơng nên trích dẫn ý tưởng, nội dung, viết mà khơng rõ địa mạng, tác giả, tổ chức, quan đăng mạng Định dạng trình tự Ghi tên tác giả (nếu có), năm (nếu có) Tên tài liệu tham khảo Đường dẫn để tiếp cận tài liệu: Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, 2010 Báo cáo kết thực chương trình đào tạo bồi dưỡng 1000 giám đốc cho doanh nghiệp địa bàn thành phố Hồ Chí Minh (Khố 1- Khố 15) [Ngày truy cập: 19 tháng năm 2010] Võ Đình Phước (2011) Đề xuất cải tiến chương trình tiếng Anh theo hướng lấy người học làm tTrung tâm, Kỷ yếu hội thảo [Ngày truy cập: tháng 11 năm 2011] Anglia Ruskin University Harvard System of Referencing Guide [online] Available at: [Accessed 12 August 2011] Các tài liệu đăng hình thức truyền thơng khác: Ngồi định dạng tài liệu ấn phẩm (được in) dạng điện tử, có nhiều thơng tin trích dẫn nhiều hình thức truyền thơng khác như: phim ảnh, đĩa CD, băng video, phát thanh, truyền hình Các thơng tin trích dẫn từ định dạng cần ghi rõ định dạng: [Phim], [CD], [VIDEO], [CHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN HÌNH, CHƯƠNG TRÌNH PHÁT THANH] Ghi thơng tin tác giả, năm sản xuất, ngày phát thanh, phát hình… thơng tin khác nhằm tăng thêm độ tin cậy thơng tin trích dẫn Các tài liệu hạn chế tối đa việc sử dụng để trích dẫn Khi sử dụng tài liệu tác giả, tổ chức học thuật,… để tham khảo trích dẫn vào viết, phải hạn chế tối đa tài liệu thiếu thơng tin mức độ tin cậy sau đây: Khơng có tên tác giả, khơng có năm xuất (đây hai thơng tin trích dẫn theo hệ thống Harvard), khơng biết rõ nguồn gốc tài liệu, khơng có địa đường dẫn internet, trích dẫn thứ cấp (trích qua trích dẫn tác giả khác) Những thơng tin trích từ tài liệu có thiếu sót gọi ‘tài liệu tham khảo đen’ 6.3 Ví dụ danh mục tài liệu tham khảo Danh mục tài liệu tiếng Việt Đồn Thị Hồng Vân, 2002 Giáo trình kỹ thuật ngoại thương Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Hồng Trọng Chu Nguyễn Mộng Ngọc, 2008 Thống kê ứng dụng Hà Nội: Nhà xuất Thống kê Hội đồng chức danh nhà nước, 2011 Văn pháp quy tài liệu hướng dẫn việc xét cơng nhận đạt tiêu chuẩn chức danh giáo sư, phó giáo sư năm 2011 Hà Nội, tháng năm 2011 Huỳnh Thanh Điền, 2011 Ảnh hưởng vốn xã hội lãnh đạo doanh nghiệp đến việc tiếp cận quỹ đất phát triển dự án bất động sản Tạp chí Phát triển Kinh tế, số 251, trang 2936 Nguyễn Cao Anh, 2011 Đánh giá hài lòng người lao động doanh nghiệp địa bàn tỉnh Bến Tre Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Đơng Phong, 2011 Vững bước thực sứ mạng tầm nhìn Bản tin Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, số đặc biệt 116, tháng 8-9 10, trang 2-5 Nguyễn Thị Thu Hiền, 2011 Kế tốn cơng cụ tài chính: Tiếp cận quan điểm hệ thống Tạp chí Cơng nghệ Ngân hàng, số 66, trang 22-27 Sterner, T., 2002 Cơng cụ sách cho quản lý tài ngun mơi trường Dịch từ tiếng Anh Người dịch Đặng Minh Phương, 2008 Hồ Chí minh: Nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh Sử Đình Thành, 2011 Phân tích mối quan hệ chi tiêu cơng tăng trưởng kinh tế Việt Nam Hội thảo khoa học: ổn định kinh tế vĩ mơ phát triển kinh tế, trang 17-33 Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 18 Tổng cục Thống kê, 2010 Niên giám thống kê 2010 Hà Nội: Nhà xuất Thống kê Trần Thanh Tồn, 2009 Phát triển doanh nghiệp nhỏ vừa tỉnh Bình Định q trình hội nhập kinh tế quốc tế Luận án Tiến sĩ Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, Phòng quản lý giảng đường thời khóa biểu, 2011 Thời khóa biểu hệ sau đại học (học kỳ đầu-năm 2012) Tháng năm 2011 Võ Văn Nhị, 2009 Bài tập ngun lý kế tốn Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh Danh mục tài liệu tiếng Anh Anglia Ruskin University, 2007 Using the Cochrane Library.[leaflet] August 2007 ed Cambridge: Anglia Ruskin University Bank of England, 2008 Inflation Report [pdf] Available at: [Accessed 20 April 2009] Grace, B et al., 1988 A history of the world Princeton, NJ: Princeton University Press Kant, I., 1785 Fundamental principles of the metaphysic of morals Translated by T.K Abbott., 1988 New York: Prometheus Books Karshenas, M., 2001 Agriculture and economic development in Sub-Saharan Africa and Asia Cambridge Journal of Economics, 25:315 - 342 Kipper,D.,2008.Japan’snewdawn,PopularScienceandTe chnol ogy, [online]Availableat: [Accessed 22 June 2009] Lansin, A.O., 1997 Micro-economic models for analyzing policy changes in Dutch arable farming PhD thesis Agricultural University Wageningen Max Spoor, N Heerink and Q Futian, eds., 2007 Dragons with clay feet? Transition, sustainable land use, and rural environment in China and Vietnam Plymouth: Lexington Books, A Division of Rowman & Littlefield Publishers Redman, P., 2006 Good essay writing: a social sciences guide 3rd ed London: Open University in assoc with Sage Smith, J., 1975 A source of information In: W Jones, ed 2000 One hundred and one ways to find information about health Oxford: Oxford University Press Ch.2 UNDESA (United Nations Department of Economic and Social Affairs), 2005 6th Global forum on reinventing government:towards participatory and transparent governance Seoul, Republic of Korea 24-27 May 2005 New York: United Nations Phụ lục luận văn Phần bao gồm nội dung cần thiết nhằm minh họa bổ trợ cho nội dung luận văn số liệu, mẫu biểu, tranh ảnh… Nếu luận văn sử dụng câu trả lời cho bảng câu hỏi bảng câu hỏi mẫu phải đưa vào phụ lục dạng ngun dùng để điều tra, thăm dò ý kiến; khơng tóm tắt sửa đổi Các tính tốn mẫu trình bày tóm tắt bảng biểu cần nêu Phụ lục luận văn Phụ lục khơng dày phần luận văn Hình 4.2 ví dụ minh họa bố cục luận văn qua trang Mục lục Nên xếp cho mục lục luận văn gọn trang giấy MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ, đồ thò MỞ ĐẦU Chương – Tổng quan 1.1…… 1.2…… Chương - …… 2.1…… 2.1.1…… 2.1.2…… 2.2…… …… Chương – Kết Bàn luận Kết luận Kiến nghò Danh mục công trình tác giả Tài liệu tham khảo Hình 4.2 Ví dụ trang mục lục luận văn Mẫu trang bìa phụ bìa luận văn Mẫu bìa luận văn có in chữ nhũ (khổ 210x297 mm) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH Họ tên tác giả luận văn TÊN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KINH TẾ Tp Hồ Chí Minh - Năm Mẫu trang phụ bìa luận văn: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH Họ tên tác giả luận văn TÊN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 7Chuyên ngành: Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KINH TẾ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tp Hồ Chí Minh - Năm II Mã ngành: Học viên ghi chuyên ngành, mã ngành theo học sau: TT Tên chun ngành Mã số Quản trò kinh doanh Kinh 60340102 doanh thương mại Kế toán 60340121 Kinh tế phát triển 60340301 Chính sách công 60310105 Kinh tế học 60340402 Tài – Ngân hàng 60310101 - Ngân hàng 60340201 - Tài doanh nghiệp - Tài công Kinh tế trò Quản lý kinh tế 60310102 60340410 [...]... đã cho trong giả thiết nhằm áp dụng được điều kiện của giả thiết để chứng minh được bất đẳng thức đó là đúng - Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó - Chuyển vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để chứng minh - Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức con để được điều phải chứng minh 1 Chú ý các đẳng thức sau 2 2 2 2 (a + b ± c) = a + b + c + 2ab ± 2bc ± 2ca 2 2 2 2... ⇔ a = b = c =1 Đẳng thức xảy ra khi  3 a + b + c = 1  III Phương pháp 3: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 17 ( BĐT Bunhiacopski) 1 Lý thuyết Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopski Ta có : Với 2 bộ n số (a1, a2,…, an) và (b1, b2,…, bn) ta luôn có: (a b + a b 1 1 2 2 + + a b n 2 n 2 2 2 2 2 (1) ) 2≤ (a + a + + a )(b + b + + b ) 1 2 n 1 2 n Dấu đẳng thức xảy ra khi.. .Phương pháp 2: Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) II 1 Lý thuyết Bất đẳng thức Cauchy hay Côsi còn được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM – GM (Arithmetic means – Geometric means) - Cho n số không âm bất kì a1, a2, a3,…, an Khi đó, ta có các BĐT sau: a1 + a2 1.1 ≥ a1a2 , dấu “=” xảy ra ⇔ a = a 1 2 2 (Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc... a.x = b.y IV Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương 1 Lý thuyết Hai BĐT được gọi là tương tương nếu BĐT này đúng thì BĐT kia cũng đúng và ngược lại Phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một BĐT thành BĐT khác tương đương với nó Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh BĐT tức là ta biến đổi BĐT cần chứng minh với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh • Phương pháp: Khi biến... + c )( x + y + z ) a b c  Theo bất đẳng thức CÔSI ta có: x y z ⇔ 4(xa + yb + zc )ac + +  ≤ (a + c )2 (x + y + z )2   (a + c ) x y z ⇔ ( xa + yb + zc )ac a + b + c  ≤ (x + y + z )2 (đpcm) 2   4ac a b c  Bài 6: Cho 3 số a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng ab  bc  ca  1 3 16 Giải Ta có: ab + bc + ca = a(b + c) + bc ≤ a(b + c) + ( c ) b + ( Bất đẳng thức CÔSI) 2 2 =  a(1− a) +  1... x2  y2  1 thì x y  5 b Nếu 3x  4 y  1 thì x2  y2  1 25 Giải x+ c y ≤ m a Áp dụng (đp ) bất đẳng thức Bunhiacop xki cho hai cặp số (1; 2) và (x; y) ta có: ( x + 2 y )2 (1 2 )( x ) = 5( x ) +2 +y 2 +y 2 ≤ 2 2 2 Mx2 x≤ ặ+ t y2 +(đpcm) k= h1 y á⇒ c : 5 b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacop xki cho hai cặp số (3; 4) và (x; y) ta có: 2 Mặt y khác: = 3x + 4 1 y=1⇒ ⇒ ( 2 y 1 2 x + 5 2 )≥ 2 x + 5 Bài 2:... của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của hai số đó) a1 + a2 + a3 1.2 ≥ a1a2a3 , dấu “=” xảy ra ⇔ a = a = a 3 1 3 2 3 (Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của ba số đó) n ∑a i 1.3 Tổng quát: n a ≥ n 1 2 ,a dấu “=” xảy ra ⇔ a = i i1 n i=1 3 n = a = = a Sau đây là một trong số những cách chứng minh bằng quy nạp kiểu Cauchy : - Với n = 2, khi đó BĐT 1.3... ≥ ab(a + b) Đẳng thức xảy ra khi nào? 25 Giải Ta có: a3 + b3 ≥ ab(a + b) ⇔ (a + b)(a2 − ab + b2 ) − ab(a + b) ≥ 0 2 2 2 ⇔ (a + b)(a − 2ab + b ) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0 (1) 2 Vì (a − b) ≥ 0 nên: - Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì (1) đúng nên a3 + b3 ≥ ab(a + (đpcm) b) Đẳng thức xảy ra khi a + b = 0 hoặc a − b = 0 ⇔ a = b Bài 5 : 2 2 2 CMR: a + b + c ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c Đẳng thức xảy ra khi...  a2   an 11 a1a2 Bài 4 : Cho n số dương a1,a2,…,an CMR:  14 a  7b.3 4 Giải Áp dung BĐT CÔSI cho n số dương Ta có: a1 + a2 + + an ≥ nn a1a2 an > 0 1+ 1 + + 1≥ a a 1 n >0 n a 2 ⇒ 1 + 1 2 )≥n 1 + + an a1 a2 + a2 + )( ( + a an 1 (đpcm) ⇔+ 1 + 1≥ n + 2 1 a1 a2 a2 + + an an a1 + Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = … = an 0  a  b  c Bài 05:Cho x, y,z Chứng minh rằng:  xyz  c b   ax  by... = 1,2, , n 2 + + a n 2 2 2 a a2 bn (a1 + a2 + + an ) 1 + ≥ b + b + + b b1 b2 1 2 n HQ2: Với 2 dãy số (a1,a2,…,an) và (b1,b2,…,bn), bi ≥ 0, ∀i = 1,2, , n 24 f (x) ag(x) 2  b2 (a + a + + a 2 2 2 2 ) ≤ n(a + a + + a ) 1 2 n 1 2 n BĐT Bunhiacopski thường được áp dụng để chứng minh BĐT đúng với các số thực và thường có dạng sau: a, ≤ c f (x), g (x) ≥ 0, f (x) + g ( x) ≤ A với + b2 , (x) c v a f (x) ... để chứng minh bất đẳng thức - Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức - Chuyển vế thừa số dạng đẳng thức để chứng minh - Chia nhỏ vế để chứng minh sau cộng vế theo vế bất đẳng thức để điều phải chứng. .. a ≤ b ” gọi bất đẳng thức Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức Định nghĩa 2: Cho hai biểu thức A(x) B(x) phụ thuộc vào biến số x xác định... b.c Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: Nếu a > b c > d a +c > b + d Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức trừ: Nếu a