Giao trinh bai tap gải chi tiết đề thi gt đề 1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2016 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Câu Cho hàm số f (x, y , z) = x 3y + 2xy + z điểm M0(1, −1, 1) a) Tính đạo hàm hàm f theo hướng véc-tơ → − = (1, 2, −2) M0 −−→ → − f→ − (M0 ) = grad f I = − Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Câu Cho S mặt phía mặt x + y + z = Tìm pháp vecto đơn vị điểm (1,1,1) Ta có mặt S có phương trình F (x, y , z) = x + y + z − = S mặt hướng vào trong,tại điểm (1,1,1) mặt hướng xuống so với Oz.(có thể cho x=1, vẽ mặt chiếu Oyz để nhìn thấy) Do pháp vecto đơn vị −(Fx , Fy , Fz ) (−1, −1, −1) − √ = n→ = SI 2 Fx + Fy + Fz Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Câu Tính x + y + z 2dxdydz, V giới hạn V x + y + z ≤ 2z; z ≤ x + y 2, y ≥ Chú ý hàm dấu tích phân,ở dùng tọa độ cầu Tọa độ cầu: x = rcosϕsinθ; y = rsinϕsinθ; z = rcosθ Thay vào hình cầu r ≤ 2rcosθ, mặt nón rcosθ ≤ rsinθ Điều kiện y = rsinϕsinθ ≥ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Trên TXĐ [0, π]: cosθ ≤ sinθ → π4 ≤ θ ≤ π2 , y = rsinϕsinθ ≥ → sinϕ ≥ 0 ≤ ϕ ≤ π; π4 ≤ θ ≤ π2 ; ≤ r ≤ 2cosθ π π 2cosθ √ I = dϕ dθ r 2.r 2sinθdr = Tính π tích phân nhờ đổi biến t = sinθ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Câu Tính I = (y 5e x − 5y )dx + (5y 4e x − 5)dy với C C :x = − y từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 C : x = − y bên phải đường tròn x2 + y2 = Qx = 5y 4e x ; Py = 5y 4e x − 5: thêm vào đường từ B đến A để đường kín áp dụng Green − = − (Qx − Py )dxdy − I = C +BA BA D BA I =− x +y ≤1;x≥0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (5y − 5)dy = 5dxdy − −1 ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH −5π TP HCM — 2016 +8 / 22 Câu Tìm diện tích mặt xung quanh giới hạn z = x + y mặt z = Vật thể có mặt: S1 :mặt z = x + y giới hạn mặt z=9, S2 : mặt z=9 giới hạn mặt z = x2 + y2 Tính S1: Mặt chính: z = x + y Dxy : khử z, x2 + y2 ≤ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 S1 = + (2x)2 + (2y )2dxdy dS = S 2π = Dxy dϕ 0 12 2π (1 √ + 4r 2rdr 4r 2) |30 √ π (37 + 37 − 1) = = Tính S2: Mặt chính:√ z = Dxy : x + y ≤ + 02 + 02dxdy S2 = dS = S Dxy = 9π S = S1 + S2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 / 22 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ (2n + 1)! ln(1 + ) 3n 3n (n!)2 n=1 an+1 D = lim n→∞ an ) (2n + 3)! 3n (n!)2 ln(1 + 3n+1 D = lim n+1 n→∞ ((n + 1)!)2 (2n + 1)! ln(1 + 31n ) (2n + 2)(2n + 3) 3n+1 D = lim = 4/9 < n→∞ 3(n + 1)2 3n Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi hội tụ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 10 / 22 Câu Khảo sát hội tụ chuỗi số n2 n ∞ n+1 3n + 2n + n=1 n + n2 n n+1 3n + an = n+3 2n + C = lim |an | n = e −2 23 < n→∞ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi hội tụ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 11 / 22 Câu Tìm bán kính hội tụ tính tổng với x = 21 ∞ (−1)n 2.5 (3n − 1) n+1 x 3n+1.(n + 1)! n=1 an+1 |= ρ = lim | n→∞ an 2.5 (3n − 1)(3n + 2) 3n+1.(n + 1)! lim = Bán n→∞ 3n+2.(n + 2)! 2.5 (3n − 1) kính R = 1/ρ = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 12 / 22 Để í số hạng tổng quát có n! mẫu, có tích vô hạng theo n tử Trong công thức Maclaurint bản, ý công thức α(α − 1) (α − n) n+1 x (1 + x)α = + αx + + (n + 1)! Với α = 13 , số hạng tổng quát α(α − 1) (α − n) n 13 ( 31 − 1) ( 13 − n) n+1 x = x = n! (n + 1)! (−1)n 2.5 (3n − 1) n+1 x số hạng 3n+1(n + 1)! tổng cho Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 13 / 22 Số hạng đầu (1 + x)α bậc 0, thiếu số ∞ (−1)n 2.5 (3n − 1) n+1 (1 + x) − − x = x n+1 (n + 1)! n=1 Thay x = 12 ta có kết Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 14 / 22 Câu ∞ (n − 1)! + n x n! n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ n n n S= x + x = x +( x n − 1) n=1 n n=1 n! n=1 n n=0 n! S = −ln|1 − x| + e x − Tính tổng S = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 15 / 22 Câu 10 Sử dụng tính tích phân I = ydx − zdy + xdz, C C giao tuyến mặt x2 + z2 + y = 2, z = x lấy theo chiều kim đồng hồ hướng lên so với trục Oz P = y , Q = −z, R = x I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + S (Qx − Py )dxdy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 16 / 22 I =− (0 + 1)dydz + (0 − 1)dzdx + (0 − 1)dxdy S Chọn S phần mặt z=x nằm elipsoid hướng lên so với Oz Dxy : y + x ≤ 2(sau khử z) P1 = 1, Q1 = −1, R1 = −1, zx = 1, zy = I = (+)(−) Dyz (−P1zx − Q1zy + R1)dxdy I = − Dxy (−1.1 − (−1).0 + (−1))dxdy = 4π Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 17 / 22 Câu 11 Tính I = (2x + 1)dydz − ydzdx + (z + 2)dxdy S với S mặt phía hình trụ x + y = 4, giới hạn z=1,z=2 Mặt trụ không chứa z, chiếu lên mặt Oxy thông thường Có thể vẽ mặt chiếu lên Oyz (x=0) → y = 2, y = −2, hướng vào Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 18 / 22 Để mặt kín thêm vào mặt S1 : z = 1, x + y ≤ hướng lên so với Oz S2 : z = 2, x + y ≤ hướng xuống so với Oz I = − − = I0 − I1 − I2 S+S1 +S2 I1 = S1 =+ S1 (z = 1) + 2dxdy = 3.4.π = 12π Dxy =− I2 = S2 S2 (z = 2) + 2dxdy = −16π Dxy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 19 / 22 I0 = − (Px + Qy + Rz )dxdydz = − V (2 − V 2π + 1)dxdydz = − dϕ 2rdz = −8π dr I = −8π − 12π − (−16π) = −4π Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 20 / 22 Câu 11 Tính I = ydzdx + 2dxdy với S mặt phía S mặt trụ z = − x 2, giới hạn mặt phẳng z = 0, y = 0, y + z = Mặt S : z = − x → zx = −2x, zy = Hình chiếu xuống Oxy: phương trình chứa (x,y): y=0, khử z( giao z mặt với mặt giới hạn): − x = 0, − x = − y Dxy : {y = 0, x = 2, x = −2, y = x 2} Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 21 / 22 I =− (−Pzx − Qzy + R)dxdy = − Dxy Dxy x2 I =− 2dy = − dx −2 2dxdy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) 32 ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2016 22 / 22 ... α(α − 1) (α − n) n +1 x (1 + x)α = + αx + + (n + 1) ! Với α = 13 , số hạng tổng quát α(α − 1) (α − n) n 13 ( 31 − 1) ( 13 − n) n +1 x = x = n! (n + 1) ! ( 1) n 2.5 (3n − 1) n +1 x số hạng 3n +1( n + 1) !... GIẢI TÍCH TP HCM — 2 016 11 / 22 Câu Tìm bán kính hội tụ tính tổng với x = 21 ∞ ( 1) n 2.5 (3n − 1) n +1 x 3n +1. (n + 1) ! n =1 an +1 |= ρ = lim | n→∞ an 2.5 (3n − 1) (3n + 2) 3n +1. (n + 1) ! lim = Bán n→∞... (2n + 1) ! ln (1 + ) 3n 3n (n!)2 n =1 an +1 D = lim n→∞ an ) (2n + 3)! 3n (n!)2 ln (1 + 3n +1 D = lim n +1 n→∞ ((n + 1) !)2 (2n + 1) ! ln (1 + 31n ) (2n + 2)(2n + 3) 3n +1 D = lim = 4/9 < n→∞ 3(n + 1) 2 3n