Dực,
o=datechengvn, Trường Đại Học Bách Khoa —- ĐHQG TP HCM
ww
Va nh »s=œeman, email=lvduc544 PGS TS Lé Van Duc
@vnn.vn, c=VN
DUC triọ 12:47:43 +07'00' Chuong 6: Thé hru
Trong chương này, lưu chất được nghiên cứu là lưu chất lý tưởng (không tồn tại tính nhớt),
khơng nén được (khối lượng riêng, p=const), chuyên động không quay: (@ = 0) Chuyên động của lưu chất thoả mãn những điều kiện đã nêu được gọi là chuyển động thế Chuyên động thế có thể là chuyên động trong không gian 3 chiềụ Tuy nhiên, chương này chủ yếu tập trung vào chuyển động thế hai chiều, hay còn được gọi là chuyên động thế phăng
Trong thực tế lưu chất luôn luôn tổn tại tính nhớt Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động của lưu chất lý tưởng cũng đóng một vai trị quan trọng vì một số lý do sau đây:
1 Khi lưu chất chuyên động với số Rạ > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tỒn tại trong một lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng của tính nhớt đến
sự chuyển động của các phần tử lưu chất là khá bé, khi đó, ta có thể xem dòng lưu chất như là lưu chất lý tưởng
2 Lưu chất lý tưởng có thể áp dụng cho lưu chất ít nhớt, hay lưu-chất-chuyên động với số Re rất lớn, khi đó tính nhớt ít ảnh hưởng đến dòng chảỵ Tron§ thỳc tế có một số lưu chất đặc
biệt có độ nhớt hầu như bằng không khi nhiệt độ nhố-hơn nhiệt độ tới hạn, chăng hạn Helium, khi nhiệt độ nhỏ hơn 2,17°K thì độ nhớt đột đgột giảm xuống 0 Các loại lưu chất mang đặc tính này, được gọi là siêu lưu chất
3 Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyên động của lưu chất
sẽ đơn giản hơn, trong một SỐ trường hợp và điềữ kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải
giải tích khá dễ dàng Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực
nghiệm số trên các mơ hình tốn hoặc hiệu khinh mơ hình vật lý
4 Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực như khí động, chuyển động sóng‹<`
6.1 Chuyển động thế (chuyền độnế khồng-đuay)
Trước khi đi vào nội dung chính, ta:cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyên
động thê
e_ Trường lực có thể
Trường lực #` được gọi là có thế, khi cơng do nó thực hiện đi dọc
theo một đường coág nỗi hai điểm, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và ` điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm nàỵ
Ta có thê viết:
W= [Fas = [Fas A m
AmB AnB
Ví dụ trọng lực là trường lực có thế Hình 6.1
e_ Trường vectơ có thể
Một trường vectơ (4) được gọi là có thế, nếu tích phân đường doc theo một đường cong nối hai điểm, chỉ phụ thuộc điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc đường cong nối hai điểm đó
[Aas = | Aas = [ Ads A
AmB AnB
e Truong dong chảy có thể:
Về mặt tốn học, một trường vận tốc # được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế vận tôc o sao cho thỏa điêu kiện sau:
www.datechensvn.com
Trang 2BS B
|, #45= | dp =s—oA (6.1)
Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy co thế Phương ( trình (6.1) có thê viết lại như SaU:
Jo, dx +u, dy +u, a) = [E Pav Pay +2 dz) (6.2)
Từ đây ta suy ra:
".: ¬- _ (6.3a)
Ox Oy Oz
hay, dưới dạng vectơ, ta co thê viết:
i = Vo=Brđ © (6.3b)
Đối với chuyển động phăng trong mặt xoy, phương trình (6.3a) trở thành:
Ux = op 5 Uy = op (6.3c)
Ox Oy
Công thức (6.3a) được viết trong hệ tọa độ trụ (r, 9, z) như sau;
Or r 00 Oz
Đôi với chuyên động phăng trong mặt Xoy, phương trình (6.4a) trở thành
„=P ;ụy=L 9 (6.4b)
Or r 08
Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của ọ như sau:
+ Trong hệ toa độ Descar†es!
dọ = SP đu S2 qy Ox Oy do = ux.dx + uỵdy (6.3d)
+ Trong hé toa đô cực:
do = 22 r+ 2? a0 ar 80
dọ = u;.dr + r.uạđÔ (6.4c)
6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyền động thế
Đối với lưu chất không nén được (p=const), lý tưởng (khơng có ma sát nhớt), chịu tác dụng của trường lực khối F, phuong trinh Euler cho ta:
www.datechengvn.com
Trang 3>
F-+ grãăp)=“ Pp dt (6.5)
Trong trường hợp # có thế, ta có:
Ƒ'=- grảd(r) (6.6)
với 7 là hàm số thế
Nếu Ƒ là trường trọng lực, chọn hệ trục tọa độ (oxyz) có mặt xoy nằm ngang, trục oz thắng đứng hướng lên, và giả thiết z=0 khi z =0, ta có thể tìm thấy a = gz, thế vào (6.6), ta được:
F = - grđ(gz) (6.7)
Thay (6.7) vào (6.5), ta được:
lr_ đụ
-—|sräd(p+#z)Ì= — Ø dt (6.8)
e_ Chiếu phương trình (6.8) xuống trục ox, ta được
1 ô đu
-——|P 2x1)” ~y +z)= — (6.9) 6.9
A_ đM, ,
Khai trién , taco:
lộ 0
duty Os ÔN MÔ (6.10)
dt Ot ox oy az Thế (6.10) vào (6.9), ta có: ơ 1 © (p43) = Oe uy + 28 a Note Uz (6.11) p Ox Ot ox oy Oz
Trong trường hợp chuyển động không quay, ta có @ = 0, nghĩa là :
i og Wk lị %1/é/\e@ 91x o = —rotu = —|— — — = 0; tasuyra: 2 28x Oy Oz My SQM, U, Ou Ou
Ou, = by, Ou, _ ou, và Ou, _ My (6.12)
3 Ox “Ov Ox Oy
Thế (6.12) vào 2 số hạng cuối về phải của phương trình (6.11), ta được:
1ơ Cu, Ơu Ou Ou
-——(pt+ yz) =——+—~*.u;+——.uy+—~*.u; 6.13
pox (p 7) Ct ox Ox” x (6.19)
2 Ou oủ 2
Ma OM: y= be My Ly Owe 1 Oe (6.14)
ox 2 8x Ox ~ 2 ox Ox 2 Ox
Thê (6.14) vào (6.13) và sắp xêp lại, ta được:
ô Olu +u> +u2
18 (54 )= Us 1 Oe +uj +u2) (6.15)
pox Oot 2 Ox
Alủ +u2 +u2 2
Ma 1 Ø2 +; +2) oyu (6.16)
2 Ox t 2
www.datechensvn.com
Trang 4Thế (6.16) vào (6.15), sắp xếp lại, ta có: 1Ô l1; Ou -—— 2à [> e+ +⁄z+— pu = 2 * (6.17) 6.17 Vì là chuyến động thé, nên ta có: ¬ Ou oO _ , OM
u = grad(~) a ope (p)= grad( AỶ
ô
Suy ra; Ox = E3 _ xi (6.18)
Ot Ot \ Ox Ox
Thế (6.18) vào (6.17), chuyển số hạng về phải sang trái và sắp xếp lại, tađược:
1 ô 1 ; op
-——| “| Ye + pu p++ — +——|=0 3 (6.19a) 6.19a
e Tương tự, khi xét trên các trục oy va oz, ta được:
1ơ l1,
-——| rep p+ pu P†+⁄z+—/øuˆ +——| =0 2) ( 6.19b )
1 0 1 , op
-——| sứ e+ pu p+⁄z+— +——|=0 2 (6.19c) 6.19
Từ 3 phương trình (6 19a), (6.19b) và (6.19c),€hứng tớ răng:
1 , oO
+⁄z+— +— =Fit 6.20
p†?7z+>/M + =F (6.20)
Đôi với chuyên động ôn định, ta có:
= =0; và F(ƒ=E= cst
Cuối cùng chúng ta đạt đừợc phương trình Bernoulli áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển
động chỊu tác dụng củạtróf@ lực (lực khơi có thê), chuyên động ôn định, có thê (khơng quay) đơi
với lưu chât lý tưởïấc (không ma sát) và không nén được như sau:
pt ets pu = E=const (6.21) 6.1.2 Hàm thế vận tốc 6.1.2.1 Định nghĩa dịng chảy có thế và hàm thế vận tốc
Dịng chảy có thế là trường dòng chảy sao cho tồn tại một hàm số thế vận tốc (x,y,z,t) [hay 0(x,y,z) đôi với chuyên động ơn định] thỏa phương trình (6.3a) trong hé toa dé Descartes (oxyz) hay thỏa phương trình (6.4a) trong toạ độ trụ (r, 9, z), hoặc thoả phương trình (6.3b) dưới dạng
vectơ
6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế
Lẫy rỏt hai về của phương trình vectơ (6.3b), ta được:
rö1(#) = rưt(gräd(0))
www.datechensvn.com
Trang 5Theo cơng thức toán học ta co: röt(grad(ø)) = 0 Suyra: rot(u)= 0 Ma o = —rotu = 0 |—
Vậy: dịng chảy có thế là dịng chảy khơng quaỵ s* Ghi chú:
Xét hệ toạ độ cực (r, 0)
e Toan tu Grad(@) trong toạ độ cực:
Grad(@) = op + 1 9 in véi ¢(r, 9) (6.21a)
or r 98
e Toán tử rot(u) trong toa d6 cue:
O(rug) Ou, k or 00 rot(u) = ‘| r (6.21b) =>
VỚI ⁄(M,,„), & là vectơ đơn vị của trục bz trực giao với mặt phăng của trường chuyên
động
e Toán tử Div () trong toa độ cực:
Div(ø)= 1| r| Or 2) „ 24a 08 vi ii(u, Uy) (6.21c)
6.1.2.3 Tính chất của dịng chảŸÈó thế
Dịng lưu chất khơng nén được, chuyển động ôn định, phương trình liên tục cho ta:
Div(u ) = 0,
Trong toa đ Descartes, ta co: Ou
S5 LÊ sọ Ox Oy (6.22)
Thế (6.3a) vào phương trình (6.22), ta được:
2 2 2
: $58 oe =0 Ox" Oy O72 (6.23a)
Hay,| V”ø =0 (6.23b)
Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.23a) trở thành:
2 2
OP oP _9 Ox” Oy (6.23c)
www.datechengvn.com
Trang 6Phương trình (6.23a), (6.23b) hay (6.23c) được gọi là phương trình Laplace, phương trình vị phân
tuyến tính đạo hàm riêng phần Có vơ số lời giải thoả phương trình Laplace, do đó lời giải cụ thé cần tìm kiếm sẽ phải thỏa mãn một điều kiện biên nhất định nảo đó
6.1.2.4 Đường đẳng thế
Đường đẳng thế là đường cong trong không gian sao cho giá trị hàm số thế ọ bằng hằng số Vì vậy ta có:
dọ=0 > acs y+ dze=0 hay,
Ox Oy 8 Z
Ux.dx + uỵdy + u;.dz = 0 (6.24)
Phương trình (6.24) là phương trình vi phân của đường đăng thé Tích phân phương trình vi phân này, ta sẽ được phương trình đường đăng thê
6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý của đường đẳng thế
B B B
|2o = [(u,.de+u, dy +u,.dz)=|iids =FAB }
A A A
I (625)
Vậy hiệu của hai đường dang thé di qua hai diém A va B\bang-luu so van toc doc theo mot duong cong bat ky noi hai diém dọ
6.1.3 Hàm dòng trong chuyển động thé phang
Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiêu, hàm dòng và hàm thể là một cặp rât hữu ích được sử dụng đê nghiên cứụchuyên động thê phăng Hàm dòng \Ứ được định nghĩa sao cho thỏa điêu kiện sau:
oy Ox
Với định nghĩa này, phương trình liên tục đối với chuyển động hai chiều lưu chất không nén được
tự động thỏa mãn, vì: Ou + Ou, KOW OV _ x (6.27) ox oy `%@xơy _Ơx -
Đối với hệ tọa độ cực, các công thức (6.26) trở thành:
at oF y= (6.28)
r 0O or
Đối với chuyển động phẳng, lưu chất khơng nén được, ta có thể kết luận như sau:
© Ta ln ln tìm được hàm dịng, khơng phụ thuộc vào điễu kiện dòng chảy quay hay không quaỵ
e Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tôn tại của hàm dòng e Truong vận tốc ẩược truy ra từ hàm dòng V tự động thỏa phương trình liên tục Ta có thê tìm được vi phân toàn phần của \ như sau:
+ Trong hệ tọa độ Descartes
www.datechensvn.com
Trang 7aya OE tx & ay Ox oy
d‘¥ = - uỵdx + ux.dy (6.26a)
+ Trong hé toa d6 cuc dW= oF dr + oF d9
or a8
d‘Y = - ug.dr +r u,.d0 (6.28a)
6.1.3.1 Phuong trinh Laplace cia ham dong Trong trường hợp dòng thế phẳng, ta có: Ou ¥ +) k = 0 > oy Ou y Os _¢ (6.29) Ox Oy Thế (6.26) vào (6.29), ta được: ay oy ——+4+-— = bx? By > Aw=0 ự (6.30) 6.30
Nhu vay trong dong thé phang, ham dong théa phuong trinh Laplacẹ 6.1.3.2 Quan hé giira duéng V = const-va duong dong
Phuong trinh cé ‘¥ = const , suy ra d‘¥ =0, suy ra:
dự =o ax + OF dy= 0 Ox oy dy = -uỵdx + u,.dy = 0 (6.31) Ay C, dy H„ C a a“) 6.32 u dx ỳ u, (6.32)
Phương trình (6.32) là phương trình của đường dịng
Vậy các đường cong cỗ W = const chính là các đường B dòng
6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý của đường dòng
Xét dòng chảy giữa hai đường dòng C¡ và Ca, gọi oO x
và B là hai điêm lân lượt trên C› và C¡ Gọi M là một Hình 6.2 điểm trên đường cong bất kỳ nối hai điểm A và B vận
tốc tại M là ø Lưu lượng đi giữa hai đường đòng C¡ và C; có thê được tính như sau:
q = jz nds
AMB
Voi ds la doan vi phân nằm trên tiếp tuyến với đường cong qua A và B, tai M Va 7 1a vecto don
vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, tại M Ta có thể viết:
www.datechensvn.com
Trang 8ds = (dx, dy) Va n ds = (+dy, -dx) Vi ds 1 n.ds Suy ra: g= J#Z.4= 1@ dy —u,.dx)= Jay= WB- Wa (6.33) AMB
Vậy, hiệu giá trị hàm dòng giita hai điểm bằng lưu lượng qua Ống dòng giới hạn bởi hai đường dong di qua hai diém dọ
6.1.3.4 Sự trực giao giữa họ đường dòng và đường dang thé Tại giao điểm của đường dòng và đường đẳng thế, ta có:
Cp OV OY Og Ux === ; Wy = - Ox Oy Ox oy => a Ye OH Ox Ox Oy oy => 0p OF dp OF
——.-—+—.—- Ox Ox ôy ôy => oY as Hinh 6.3 ì
Vậy, hai họ đường dòng và đường đẳng thế trực giắo nhaụ
6.1.3.5 Hàm thế phức
Vì cả hai hàm thế ọ(%.y), ham dong w(x,y) déu thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết của hàm biến phức, ta có thế xây dựng riột hàm-Điến phức như sau:
WŒ) = 0(Œ,y) + ỊựŒ.y) (6.34)
Với Z=xt ịy; với ¡ là số ảo (1= 4—1), z là biến ảọ
Hoặc z=r.e°= = r(cosO 1sin9)
W(z) duge gor ta thệ phức của dịng chảỵ
Do đó người ta cớ thể nghiên cứu trực tiếp dòng thế qua việc nghiên cứu hàm thế phức nàỵ Khi cho trước hàm thế phức w(?), ta có thể dùng các phép biến đơi tốn học để đưa về dạng (6.34) Từ đó ta rút ra được: hàm thê là phân thực và hàm dòng là phan ảọ
6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng thế phẳng thơng qua hàm dịng, hàm thế và thế phức
Khi giải các bài tốn có liên quan đến dòng thế phẳng, chúng ta gặp hai loại bài tốn chính như sau: %% Cho trước hàm thế 0(x,y), hoặc hàm dòng (x,y) hoặc hàm thể phức w(z), xác định trường
vận tốc của dòng chảỵ Đây là loại bài tốn tìm đạo hàm:
e Nhờ vào phương trình (6.34), ta có thể tìm thấy hàm thế (x,y) hodc ham dong w(x,y) e Nhờ vào các công thức (6.3c), (6.4b), (6.26) và (6.28) ta có thé tim được các thành phần
vận tốc trong hệ toạ độ Descartes hay trong tọa độ cực tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động
www.datechensvn.com
Trang 9e ĐỂ tim áp suất tại một điểm bất ky trong truong chuyén dong, ta dung phuong trinh Bernoulli (6.21) ap dụng đối với điểm cân tìm và một điểm cho trước (pạ„ uạ), thường là điểm ở xa vô cùng
e Dùng phương pháp vi tích phân, ta có thể tìm được lực do dòng chảy tác dụng lên một đoạn mặt cong nào đó dựa trên áp suất đã tìm được ở bước (rê» Cần chú ý tính chất của áp suất thủy động là tác dụng vng góc với mặt chịu lực đối với dòng lưu chất lý tưởng (khơng có ma sát nhớt)
® Tìm lưu lượng đi qua một đoan cong (thực tẾ là diện tích cong tạo bởi một đoạn thắng (đường sinh) vng sóc với mặt phẳng xoy, có chiều dày là 1 m, trot doc theo doan cong) nối hai điểm A và B, ta áp dụng công thức (6.33)
s* Cho trước trường vận tốc ủ, yêu cấu tìm hàm thế 0(x,y) hoặc hàm dòng w(x,y) Déy la loại bài tốn tìm tích phân, là giải phương trình vi phân Laplace (6.23c) hoặc (6.30) Trong q trình lấy tích phân xuất hiện hai hằng số tích phân Hai hằng số,tích phân này sẽ được xác
định cụ thể đựa vào hai điều kiện ở xa vô cùng và điều kiện biên
e Điều kiện ở xa vô cùng:
Điểu kiện ở xa vô cùng là các giá trị của vận tốc và áp sbát dúơi mà dịng chảy khơng
chịu ảnh hưởng của các điểm đặc biệt, hay của vật vein e Điều kiện biên:
Khi trường dòng chảy bị giới hạn bởi thành rắrí dọè.thè đường cong > Điệu kiện biên có thể có đạng sau:
1) w=const, hay
ii) = =0_ (với 7 là phương pHáp tuyến của biên >)
n
“* Phuong phap chong chap nhiéu ehuyéndong thé:
Vi ham thé (x,y) hoặc hàm dòng w(x,y) đều được mô tả bang cac phuong trinh vi phan dao ham riéng loai tuyén tinh, phuong trinh Laplace, nén ta co thé chong chap nhiéu chuyén động thế đơn giản thànhˆmột chuyên động thê phức hợp (tông hợp nhiều dòng thế phẳng); hoặc phân tích chuyên động thế phức tạp thành nhiều chuyên động thế đơn giản hơn
Gọi ọ¡ và œ¿ là hai chuyên động thế Cả hai thỏa phương trình Laplace:
2 2
CA oP Ox Ory và (6.35a)
2 2
2 Pr OP _ 9 (6.35b)
Ox Ory
Rồi thì ta đạt được chuyên động tổng hợp của hai chuyển động thế này là: @¡ + 2 Chuyên động tông hợp này cũng thỏa phương trình Laplace:
67 (Ø, : Ø;) 4 67 (it D2) — 0, (6.36)
Ox Ory
Bởi vì phương trình (6.36) thì tương đương với hai phương trình (6.35a) và (6.35b) cộng với nhaụ
6.2 Các chuyền động thế phẳng cơ bản 6.2.1 Chuyển động thẳng đều:
Dịng chảy đêu có vận tôc là U hợp với trục ox một góc là a, ta cd
www.datechensvn.com
Trang 10h> P2 ƒ¡ ux = Ụcos(a), va uy = Ụsin(a) Ye VW) se Xác định hàm dòng: ——> V2 Xx
Cong thire (6.26a) cho: —>
—>—
dW = - uỵdx + u;.dy, suy ra:
d'¥ = - Ụsin(a).dx + Ụcos(a).dy Hình 6.4 Ham dong va thé chuyên động đêu
do đó, (x,y) = U[cos(a).y - sin(ơ).x] + C = u„y - uỵx + C,
Chọn W=0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đó ta được hàm dòng:
(x,y) = U[cos(a).y - sin(a).x] = ux.y - uỵX (6.37)
P(r, 0) = ux.r.sin(8) — uỵr.cos(@) (6.37a)
e Xác định hàm thế: Công thức (6.3d), cho:
dọ = u;.dx + uỵdy = Ụcos(a).dx + Ụsin(a).dy p(x, y) = Ụ[cos(a).x + sin(a).y] + C
Chon o =0 khi qua gic tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đỏ'ta được hàm thế:
ọ(x, y) = Ụ[cos(a).x + sin(a).y] = ux.x + uy (6.38)
ọ (r, 9) = ux.r.cos(8) + uỵr.sin(8) (6.38a)
e Xác định hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy hàm thế phức clo chuyên động thắng đều như sau:
W(z) = ạZ (6.39)
Trong d6, a= Ụcos(q) - 1.Ụsin(a) (6.39a)
6.2.2 Nguồn và giếng:
e Điểm nguồn là một điểm trong trường dịng chảy mà tại đó có một nguồn lưu chất với lưu lượng hang SỐ đô ra đều Về mọi phíạ
ø Điểm giếng (điểm hút), ngược lại với điểm nguồn, là một điểm trong trường dịng chảy mà tại đó, lưu chất được lấy ra với một lưu lượng hằng số
e Cường độ điểm nguồn (hay giếng) là lưu lượng thể tích của nguồn hay giếng trên một đơn vị chiều dàỵ Cường độ điểm nguồn có giá tri duong, trong khi đó cường độ điểm hút có giá trị âm e Vận tốc dòng chảy xuyên qua tâm điểm nguồn hoặc giếng Thành phân vận tốc pháp tuyến với
đường thắng nối tâm băng không
e Xác định hàm dòng: |
Xét một nguôn đặt tại gôc tọa độ O(0, 0) Dùng hệ trục tọa độ cực, ta có:
uy =——; uạ=0 (6.40)
27Z.r
Áp dụng công thức (6.28a), ta có:
đdV = - uạ.dr + r u;.đÔ
G]ải ra, ta được:
www.datechensvn.com
Trang 11=-T0+C 20
Chon y = 0 khi 0 = 0, suy ra:
ự=-T0 (6.41)
2Z
Trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
WV =-T arctg(“ ) (6.42)
20 x
e Xác định hàm thể
Áp dụng công thức (6.4c), ta có:
dọ = u;.dr + r.uạđÔ Giai ra, ta được:
Đường đẳng thế, ọ = C Hình 6:5 Điểm nguồn o = In(r) (6.43) 27r
Trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
ọ= -T.In@&ˆ2 + ỷ 47r (6.44)
e Diểm nguôn (giếng) đặt tại điểm M(%u, yạ): Ta có thể tìm thấy các công thức sau:
ọ=#+„T.InW(6x=x,)° +(y=y) 27z (6.45) v= +2 arcte(2 2) (6.46) 20 X—X, e Xác định hàm thể phúc:
Ta có thê tìm thấy;“hàm thế phức cho điểm nguồn (giếng) đặt tại Ä⁄x„ y„) như sau:
WŒ) =+- InỚ-z,) 27 Nhân xét: (6.47)
se Trong các công thức (6.45) đến (6.47), dấu + áp dụng cho điểm nguồn và dấu — áp dụng cho điểm giêng
e Đường dòng là các đường thăng đi xuyên qua điểm nguồn (giếng)
e Đường đắng thê là các vịng trịn đơng tâm, có tâm tại điêm nguôn (giênp), trực g1ao với các đường dòng
www.datechengvn.com
Trang 126.2.3 Xoáy tự do: e Khái niệm:
" Dịng xốy tự do có tâm xốy là O là một dòng chảy sao cho lưu số dọc theo một đường cong
kín bất kỳ bao xung quanh tâm O một lần không đổị
Tlyc = pịdi = = const (6.48)
C
L`> Ú: ngược chiều kim đồng hồ ; ['< 0: thuận chiều kim đồng hồ
= Van tốc dòng chảy theo phương xuyên tâm xoáy sẽ băng không, và chỉ tồn tại thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến với đường thắng xuyên tâm
"m Xét vòng tròn tâm O(0, 0), bán kính r Trong hệ toạ độ cực, ta có cơng thức tính vận tốc như
sau: Us = — 27r.r : u; = 0 (6.49)
e Hàm dòng, hàm thế của dịng xốy tự do có tâm O: Đườn dòng,
Áp dụng công thức (6.28a) và (6.4c), ta có thể tìm được: N / ,
T T Đường thê, @=C ⁄
w =-— In(r) = -— In(x’* + y*) | (6.50)
20 4a
L L
ọ =—9= ~—arctg(—) 27 27 x (6.54)
e Ham dong, ham thế của dong xoay tu daCOtG4MWM (xo, Vo):
Áp dụng công thức chuyên trục toạ độ về M(o, yọ) đối với công thức (6.50) và (6.51), ta được: Hình 6.6: Xoáy tự do v= '= In[&-xeÝ@Ềyj} | (6.52) 7 = -Ủ qrdg(2 72) (6.53) 20 X>X, e Xác định hàm thế phúc:
Ta có thê tìm thấy hàm thế phức cho dịng xóay tự do có tâm đặt tại Ä⁄(x„, y„) như sau:
W(z) = = In(z -Z0) (6.54)
VỚI : Z¿ = Xo † 1.Vo ; với L' thuận theo qui ước dâu như nêu trên, nghĩa là ['> 0 nêu ngược chiêu kim
đơng hơ; Í< 0 nêu thuận chiêu kim đông hơ
Nhận xét:
= Duong dịng là các vòng tròn đồng tâm, có tâm là tâm xoáỵ
" Đường đăng thế là các đường thắng xuyên qua tâm xoáy, và trực giao với các đường dòng
www.datechensvn.com
Trang 136.2.4 Lưỡng cực: e Khải niệm:
Xét một dòng chuyển động tổng hợp, tạo bởi một điểm nguồn và một điểm giếng đặt trên trục ox,
đối xứng qua trục oy, cách nhau một đoạn là e, có cường độ là q Áp dụng nguyên tắc chồng chập, ta có:
V= Wot vn= 0, - ~—0y = -ˆ—(0, - Ô) 27r 27z 27r (6.55)
© = On + On = -— Inứ,) - -—In() = -®—-(nứ,) — InŒ)) (6.56)
20 20 24 Trong đó : 0, =aretg |_ 7 ; Ơn=arctg|_ 7 (6.57) xi x¬< 2 2 2 2 Tn= [++] +”; n= J[z~5] +ỷ (6.58)
Chuyên động của lưỡng cực là chuyên động đượế tạo bởi một cặp điểm nguồn và giếng đặt cách
nhau một đoạn e, có cường độ q, sao cho ẹq ->ứnạ khi e — 0 mạ được gọi là cường độ hay
moment của lưỡng cực ® Lưỡng cực:
e Hàm dòng, hàm thể của lưỡng cực: = Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.56), và biến đổi, ta có:
OME)? +97 o = —L(n(r,)-In(,)) =n — 27r An (x—£)? + ỷ 2 = In q+—— 2#“ —) IT (x _ S2 4 vỉ 2 2ex @—= lim (e —> 0; ẹq > m0) in (1+————_ ) Cảng 2
Ap dụng công thức Taylor , khi Ax vô cùng bé —>
2
In(1+Ax) = +Ax - + Bỏ qua sô hạng bậc cao —>
ex p= lim «+0; ẹq > mo) _Ạ 1
2# ( x2 tựi
www.datechensvn.com
Trang 14qe x
= lim (e —> 0; ẹq —> mo) 2z oe,
7 (x-—)’ +” 2 mM, x - 2z x”+y” 6-32) Trong toạ độ cực, ta có: ọ= — (6.59a) " Hàm dịng:
Chứng minh tương tự, ta có thê đạt được: — _FH, 3 v= - on vtỷ (6.60) Trong toạ độ cực, ta có: sin Ự=- 2" (6.60a) 27r = Ham thế phức: Ệ
Ta có thê tìm thây: Đường đẳng thế, ọ =C
m W(z) = —.- (6,61) 27 Z Nhận xét: Hình 6.7: Lưỡng cực e Đường dòng là các vòng tfòn đi quá gốc tọa độ
O, có tâm năm trên trục Ôỵ
e Dường đăng thê là các vòng tròn đi qua gơc O, có tâm nắm trên trục Ox, và trực g1ao với các đường dòng
6.3 Chồng nhập nhiều chuyền động thế phẳng cơ bản:
Áp dụng nguyên tác chồng chap duge néu 6 muc 6.1.3.6, ta có thể chồng chập nhiều chuyên động thê đơn giản thành một chuyên động thê phức hợp
6.3.1 Dòng chảy đều quanh 1 nguồn: chuyền động quanh 1⁄2 cố thể:
e Chuyên động bao gồm: một chuyên động đều có phương song song trục ox, chiều từ trái qua phải,
với vận tôc là U; một nguôn đặt tại O, có cường độ là q e Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.38), (6.44), ta có:
(6.62)
0(x, y) = Ụx + 4 ing? + y’) 47r
www.datechensvn.com
Trang 15Trong hệ tọa độ cực, ta có:
@(r, 8) = Ụr.cos(8) + —— - Inf) (6.62a)
e Hàm dịng:
Áp dụng cơng thức (6.37), (6.42), ta có:
w(x, y)= Ụy + arctg(—) (6.63)
Trong hệ tọa độ cực, ta có: w(r, 8) = Ụr.sin() +48 (6.63a) 27r e Ham the phức:
Ta có thê tìm thây = thê phức của chun động tơng hợp có dạng sau:
W(z) = Ụz a I2) (6.64) Nhận xét: 7 Điểm dừng: Ap dụng công thức (6.28), ta có: 1 OV
Ur; =——— 3; Up =-——, suy ra:
r 00 Or
= Ụcos(0) + —— (6.65)
27m
Ug = -Ụsin(0) (6.66)
Điểm dimg xuat hién & noi cé,van toc bang 0 Do do:
uạ = 0 và u; = 0® sin(8) = 0 < 8=<0 höặc 0 =z và U,cos(9)* ms, = Nếu 0 = 0 3 r <0 3 khơng phù hợp vì r>0, do đó 9= Nếu0=x >3 r=—T; 2aU `
vậy toạ độ điểm dừng là Cort m)|, nghia la diém dimg nam trén truc ox, bén trai diém gốc
_q_
tọa độ O, cách O một đoạn , khoảng cách này tỉ lệ thuận với cường độ điểm nguồn (q) và tỷ lệ nghịch với vận tốc dòng đều (U)
= Đường dòng đi qua điểm dừng:
Đường dòng đi qua điểm dừng có thê được tìm thấy bằng cách thế tọa độ điểm dừng vào phương trình (6.63a), ta được:
www.datechensvn.com
Trang 16
-_1
Vv 2 |
vậy phương (rình của đường dong qua diém
đừng là: q/2nU fy
46 _4 Uo
Ụr.sin(9) _ 2 (6.67) Se —
" Hình 6.8 chỉ ra đường dòng đi qua điểm dừng, nó chạy từ bên trái đi qua điểm dừng, rẻ nhánh và tiến vô hạn về bên phải, chia trường đòng
chảy ra làm hai khu vực không trao đổi lưu
chất lẫn nhau, và thành lập nên đường biên của một nửa có thể Điểm đừng
Hình 6.8 Dịng chảy quanh nửa có thê n
y giế
6.3.2 Chuyển động quanh cố thể dạng Rankine e Chuyên động tổng hợp bao gồm:
v Chuyển động đều song song trục ox, chiều từ trái sang phải với vận tôc là U
` Điêm nguôn đặt tại (-a,0), với cường độ là +q
v Điểm giêng đặt tại (a, 0), với cường độ là -q Hình 6.9 Chuyển động quanh có thê Rankine e Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.38), (6.45), ta đước:
o=Ux+ “© In(x+a)? + y2)- -— In((x-a} + y2) (6.68)
4n 47
2 2
Hay: | @=Ụx+ -TIn Ka (6.68a)
4n |(x-a) +y e Ham dong: Áp dụng công thức (6.37), (6.46), ta được:
ự=Ụy+ 4 arctg ly) - arctg (=) (6.69)
20 x+a) 2Z xe
Hay| ự=Ụy - -Ý— aretg( 22 27r x2 4 ỷ _ g2 —_ (6.69a)
e Hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau:
W(z) = Ụz+ © An(zta) - & In(z-a) (6.70)
27r 27r
www.datechensvn.com
Trang 17
Hay | WŒ) =Ụz + 2 in| * | (6.70a)
e Nhan xét:
= Duong dong khi V = 0:
Cho W = 0 vào phương trình (6.69a), ta được:
Y Duong y=0
¥ Duong cong (C) có phương trình như sau:
Ụy- -— arctg( 27 x?+ỷ-a7 2 — Ì=0 (6.71)
Hay tan] E21 = 2 q x?+ỷ_-ả (6.71a)
Đây là một đường cong khép kín, cắt trục ox tại A và B; cắt trục oy tai C va D
= Diém đừng và vận tốc tại các đêm đặc biệt:
Áp dụng công thức (6.3c) và công thức (6.68), ta có thể tính được vận tốc như sau:
Op qa x?—ỷ—a7 x=——=U-— 1 6.72 Ox 1 (x + a) +ỷ |—ø)? + y^| (6.72) Op 2qaxy I =——=- T ¬ 6.72
k ơy 7 (x+a} +»?|&x-) + y| (6.1722)
Điểm dừng là điểm ở đó hai thành phằn-vận tốc u„ và uy bằng0
Từ phương trình (6.72a) véia, =0, ta suy ra duge y = 0 Như vậy điêm dừng có thê xảy ra trên trục ox Cho y = 0 và u„ =0 vào phứơng trình (6.72) và giải ra ta được:
U= _“
ăx? _q?)
giải ra, ta tìm được hồnh độ của điêm dừng:
x= + ]a24+2 (6.73) aU
Vay, ta co hai diém dimg la A va B nằm trên trục ox, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O và có hồnh độ cho bởi phương trình (6.73)
Phương trình (6.72a) cho chúng ta vận tốc theo phương y (uy ) bằng 0 dọc trên trục oỵ Do đó:
" Cố thé Rankine:
Đường cong kín (C) phân chia trường dòng chảy ra làm hai phân riêng biệt: phân bên trong và phân bên ngoàị Hai phân này khơng có sự trao đôi lưu chât qua lại đường cong (C) Dòng chảy
www.datechensvn.com
Trang 18giống như là chuyển động quanh một cố thê răn được bao bởi đường (C) Cô thể này được gọi là
cô thê Rankinẹ
6.3.3 Chuyển động đều quanh hình trụ:
6.3.3.1 Hình trụ đứng yên:
e Khái niệm: cọ
Dịng chảy quanh hình trụ tròn là dòng chảy quanh cô thê Rankine khi ta cho a tiên tới 0 Khi đó cơ thê Rankine thành hình trụ trịn Dịng chảy này cũng có thê xem như là một chuyên động tơng
hợp của một dịng đêu và một lưỡng cực
e Hàm thế:
Áp dụng phương trình (6.38a) và phương trình (6.59a), ta được:
@=Ur.cos(0)+ “1 sos(@) 2z r (6.74)
Đặt thừa số chung, ta được,
= Ụr.cos(8)(1+ mo +) (6.74a) eos 2zU r’? Dat R2 = (6.75) 2zU Ta được: R? @ = Ụr.cos(0)(1+— ) (6.74b) r e Ham dong:
Áp dụng phương trình (6.37a) và phương trình (6.60a), ta được:
11L} ini) (6.76)
2x r Đặt thừa số chung, ta được,
ww = Ụr.sin(6) -
m 1
eo 6.76a
2aU c2) ( )
Đưa giá trị R vào, ta được:
\ự = Ụr.sin(Ø)(1- 2 \/ = Uzsin(9)(1-—~) (6.76b) e Hàm thế phức:
Ta có thể tìm thấy, hàm thế phức như sau:
www.datechensvn.com
Trang 192 W(z) — Ụz tế) (6.77) Nguồn se Nhận xét: " Đường dòng khi W=0: BX Sử dụng phương trình (6.76b), cho =0 WE vo
¥ Sin(6) = 0, suy ra 0=0 hoặc 0=n, đó là
các điểm nằm trên trục Ox
r=R, đường dòng là (C), là vịng trịn Hình 6.10 Dòng chảy quanh trụ trịn khơng quay tâm O bán kính băng R Đường cong
kín (C) này chia trường chuyển động ra làm 2 vùng: bên trong và bên ngoài (C) Hai vùng
nảy khơng có trao đổi lưu chất xuyên qua đường cong (C) Dòng chảy đều như bao quanh
một cơ thê hình trụ trịn có bán kính R = Sự phân bố vận tốc trên (C): Dùng công thức (6.40): u=P ;ụy=LÊ or r 0@
ap dung đối với phương trình (6.74b), ta được:
2
u;= Ụcos(8)(1- x ); (6.78a)
r r=R, suyra u,=0 R?2 va Ug = -Ụsin(9)(1+— ) (6.78b) r r=R, do do: Ug = -2Ụsin(8) (6.78c) uạ = 0, suy-rạ.9=0 và Ð=r, vi vay:
+ Hai diém A va\B/a hai diém dimg
+ Hai diém C va D co van toc cực đại là uc = up = 2Ụ
= Su phan bé ap suat trén (C):
Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ ( trên (C) ) và một điểm ở xa vô
cùng, ta có: P*o +p = =p*+ pe p* +2p.U”sin7(0) (6.79) Ủ Ap* = p* - p*„ = p > (1 — 4 sin?(6)) (6.80) Voi: p*=pt yz www.datechengvn.com
Trang 206.3.3.2 Hinh tru quay: e Khai niém:
Chuyển động đều quanh trụ tròn quay có thê được quan niệm bằng hai cách: - Chuyến động tổng hợp gồm: chuyển động đều + lưỡng cực + xoáy tự đọ
- Chuyển động tổng hợp gồm: chuyển động quanh hình trụ đứng yên + xoáy tự dọ
Ở đây, ứa giả thiết xoáy tự do thuận chiều kim đồng hồ, nên theo quy ước, lưu số có giá trị là - L (với Í> 0)
e Hàm thế:
Áp dụng công thức (6.38a), (6.59a) và (6.51), ta có:
@=Ựcos(6) + ”“ Ì cos(@)- -—ø (6.81)
27 r 27
Hay áp dụng công thức (6.74b) và (6.51), ta được:
Rẹ T
@ = Ụr.cos(9)(1+ = - one (6.81a)
Voi | R?= —
2U
e Ham dong:
Áp dụng công thức (6.37a), (6.60a) và.(6:50Š, ta có:
y= Ursin) ““ sin(@y/~- 3— nớ) (6.82)
2z r 27
Hay áp dụng công thức (6./6b) và (6:50), ta được:
2
vy = Ụr.sin(6)(1- BS) + F ing) (6.82a)
r 20 e Vận tốc trén mat try: Ap dụng công thức (6.4b): Op 1 0p r=—— ;Ueẹ=——— ,SUyfa Tay ee gy Rˆ u, = Ụcos()(1 -——) (6.83) r 2 ug = -Ụsin(6) (1+ =) - —— r 27r (6.84)
Cho r = R vào phương trình (6.83) và (6.84), ta được:
v Thành phần vận tốc |u;= 0
www.datechensvn.com
Trang 21w Thành phần vận tốc | uạ= -2Ụsin(0) - I 27rR e Điểm dừng trên mặt trụ: L
Cho ug =0, sin(6)=- 8 (0) 4nRU , SUY T8: y
- Néu IT<4zRU, lời giải có hai nghiệm Điểm dừng ở A và B:
O = Arcsin(- 1nU) (6.85a)
- Néu I =4nRU, lời giải có một nghiệm Điểm đừng ở C
- Nêu I > 4rRU, lời giải vơ nghiệm Khơng có điêm dừng trên‹mặt trụ Tuy nhiên, sẽ có điêm dừng ở ngoài mặt trụ Băng cách dựa vào tính chât đơi xứng.và điêm dừng năm trên
> ar r X3 LA oe ~ AY t aa a `
trục oy, khi đó ta có u; = 0, và ở bên dưới trục ox, nghĩa là Ð >- 2” Thê giá trị này vào
phương trình (6.84), giải ra ta sẽ tìm được r:
@ TEAS AR LỌ BREST Wh A
P<4ạRU L=4z.RU L>4z.RU
A,B:2 điểm dừng C: 1 điểm dừng D: điểm dừng nằm ngồi Hình 6†1 Điểm dừng trên mặt trụ của chuyên động đều quanh trụ tròn quay
_ T+T?_—16z?R°Ủ 47U TD (6.85b) ° Áp suất trên mặt trụ:
Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ (C) và một điểm ở xa vơ cùng, ta có:
2 1 2 *„ +0.—— =p* +ọ—— 6.86 p* TP.—— =p* +p.> (6.86) 2 Ap* = p* - p”„ = P-T— [1 — Øsm(9)+ 2RDU X1 (6.87) Voi: p*=pt yz www.datechengvn.com
Trang 22se Lực nâng:
Lưu chất tác dụng lên mặt trụ hình thành lực tong hop F’ (Fp, FL) Fp là thành phần lực tổng hợp
tác dụng lên mặt trụ theo phương ox; EL là thành phân lực tông hợp tác dụng lên mặt trụ theo phương oy, còn được gọi là lực nâng Ta có thê tính hai thành phân lực này như sau:
Fp= - J ap * R.cos(9).d0
2a U7
Ep= - |ø—-— (A-4sin (9) a) R.cos(6).đ9 =0 (6.88)
0 Fị=- | Ap*.R.sin(0).40 0 27 Ủ 2T.sin(Ø)
Rị= [ø.— (A-4.sin?(6)- — R.sin(6).d9 =p.ỤT 2 zRU (6.89)
Tˆ
với A =l-——— 4z?R”Ủ
Lưu ý rằng [ "sin"(Ø).cos(Ø)4Ø =0, [ "sin?”"(Ø)šiØ Ố với n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0; và [ “sin?(Ø).4Ø= m
e Định lý Joucopxki về lực nâng:
Khi dòng lưu chất lý tưởng vận tốc Ứ chảy bão quanh có thế với lưu số T sẽ tác dụng lên cố thể đó một lực có phương vng gói với phướng , chiều được xác định bằng cách quay Ú một góc 90°, ngược chiều lưu số về có gid trị bằng p.ỤT
e Nhận xét:
VY Cuong dé luc nang tỉ lệ thuận với khối lượng riêng lưu chất, vận tốc dong déu U va cường độ
xoáy tự do T”
v_ Lực nâng chí tồn tại khi tồn tại đồng thời cả chuyển động đều (U > 0) và xoáy tự do (T > 0) Chỉ cần thiếu mộttfong hai yếu tố này thì lực nâng sẽ không tổn tại (Fu=0)
vx Hiện tượng lực nâng này được quan sát trong thực nghiệm có tên là hiện tượng Magnus ¥ Dinh ly J oucopxki không những đúng đối với cố thể hình trịn mà cũng đúng cho có thể có
hình dạng bất kỳ Hiện tượng này được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật và đời sống, là nguyên lý cơ bản của thiết bị bay, và nhiều thiết bị làm việc có sự tương tác giữa máy và lưu chất e Hàm thế phức:
Ta có thé tim thay, ham thé phức như sau:
W(z) = U(z +) = In(z) (6.90)
Ở đây số hạng thứ hai của về phải mang dau 4m (-) vì ta giả thiết ngay từ đầu, xoáy tự đo thuận chiều kim đồng hồ (ở mục 6.3.3.2, phần khái niệm) Ngược lại, nếu xoáy tự do ngược chiều kim đồng hò, thì ta phải đơi lại dâu đương (+)
www.datechensvn.com
Trang 236.4 Vi du: W,;=40 W=20 W„=0 W,=-20 W,,=-40
A A
Ví dụ 1: A A Zr
Dòng chảy thế ¡ là dịng đều có vận tốc u„ = 10 y=30 NK ⁄ re “i
m/s; dòng chảy thế `; là dịng đều có vận tốc uy
= 20 m/s Xác định hàm dòng của hai chuyển C PMs =0
động này và tìm hàm địng của chuyên động tổng RSP? PY, =-10
hop ? Hãy minh họa bằng hình ảnh ? py, =-20
Giải w-l0/£ˆ w- lo wW 30 Se =-30
Ap dụng công thức (6.37), ta có: »>Yi„s=—
Vị =u;.y = 10.y
#2 =- uUỵX = - 20.X Hình 6.12 ví đụ 1, tổng hợp chuyển động thế
Ap dụng nguyên tắc chông chập, chuyên động tong hop W là:
Y=", +P, = 10y — 20x
Nếu áp dụng trực tiếp công thức (6.37) cho chuyển động tổng hợp có hai thành phần vận tốc u„ và
uỵ ta cũng được kết quả như trên
- Đường dòng của chuyển động thứ nhất là các đường thang song song truc Ox bang cach cho ¥; =C, suy ra 10.y = C, hay y = C/10 = const ( C là hằñg số)
- Đường dòng của chuyền động thứ hai là các đường:thắng song song trục Oy bằng cách cho YP =
C, suy ra -20.x =C, hay x =-C/20 = const ( Ca hang s6)
- Đường dòng của chuyền động tổng hợp được tìm thấy băng cách cho W=10y — 20x = C; hoặc có thê tìm thấy bằng tông hợp các đường dòng.của chuyên động thứ nhất và thứ hai như chỉ ra trong Hình 6.12
Vi du 2:
Xác định tính chất của các chuyên động sau đây:
l1) ux=y; uy = -3x/2
2) uy„=xỷ Uy = x’y Gidi:
1) Kiém tra diéu kién lién tuc va xdc dinh vecto van toc quay:
Ou ‘ (
Div(u ) = + By = 0+ 0=0, chuyén dong théa phương trình liên tục lưu chât không x
nén duoc
ot(i) oy
rot(u) = — ox
Kết luận: Đây là chuyển động ổn định, hai chiều, và là chuyển động quay của lưu chất
không nén được
2) Kiểm tra điều kiện liên tục và xác định vectơ vận tốc quay:
Div(ä)= Ê% ¿2% Ox Oy chất không nén được
Kết luận: Nếu đây là lưu chất không nén được, thì chun động khơng tơn tạị $ k =(-3/2—1).k=-5/2k # 0, chuyên động quaỵ
=yˆ +x”# 0, do đó chuyên động không thỏa phương trình liên tục lưu
www.datechensvn.com
Trang 24Vi du 3:
Dòng chảy gồm một dòng chảy đều theo phương x với vận tốc 0,5 m/s, và một nguồn đặt tại O(0, 0)
co cường độ là 2 m”/s/m Xác định vận tôc và áp suât dư tại điểm r= 1m va 0 = 1207, biết ở xa
nguồn, áp suất bằng áp suất khí trời và bỏ qua độ chênh cao độ z Lấy p = 1.000 kg/mẺ Giải:
Goi A là điểm có tọa độ cho Ă1, 1200)
Phương trình hàm thê cho chuyên động tông hợp [áp dụng công thức (6.38a) và công thức (6.43)]:
= Ụr.cos(8) + ot In(r) 27
với U =0,5 m/s, va g = 2 m’/s Ap dụng công thức (6.4b) đê tính vận tơc:
y™ Hinh 6.13: Vi du 3 u,-22 ug <1 28 Suy ra Or r 0@
u, = Ụcos(6) + —— ; uạ=- Ụsin(0), do đó
27
u; = 0,5 cos(120°) + i 0,068m/s 7
và ug=-0,5.sin(120°) = - 0,433 m/s
Ua = Aj„; +1; = 0,438 m/s
Góc hợp bởi vectơ # và trục ox, được tính bởi công thức sau:
— 0,483 ) = 120° — 81°04’ = 38°56’ 0,068
B = 0 + arctg (“#) = 120” + arctg (
u,
Ap suất tại điểm A:
Ap dụng phương trình Bernowufli(6.2 l); ta có:
1 1
Pao + Ye + Pun =P,+%, + AM
1 1
pădu) = pế~ P„ = D„— P, =0, —2) = su" —u’,) = 29,08 Pạ
Vi du 4:
Mot nguồn có cudng d6 10m’/s dat tai diém (1, 0) va mot giếng có cùng cường độ, đặt tại (-1, 0) năm trong dòng chảy đều, vận tốc 25m/s theo hướng ngược chiêu trục ox Xác định kích thước của cố thể Rankine hình thành bởi dịng chảy vả độ chênh áp suất giữa một điểm ở xa vô cực và điểm
(1, 1) Lay p = 1,2 kg/m’
Gidi:
Phuong trinh cua ham dong tổng hợp được tìm thấy bằng cách áp dụng phương trình (6.69a), với: a = -1m (vì điểm nguồn nằm bên phải, điểm giếng nằm bên trái, ngược chiều với trường hợp thành lập công thức); U = -25m/s (chuyển động ngược chiều trục ox) và q = 10m’/s
w=U,y- + arctg 24 =-25.V- 10 arctg 2y =
2Z x”+yˆ-á 27r x7 +y’?-1
www.datechengvn.com
Trang 25\ự =-25.y + 10 arctg| + Z7 (VD4.1) 27 x?+y7—I e Tính vận tốc u„ và Uy! Ay U_
Áp dụng công thức (6.72) và (6.72a) > p dung cong (6.72) ‘ » TON C = =
u=U- #4„ x“=y -d _ A B_ =
a (x+a)+ỷ|(x-a)? +ỷ| D <=
T2, 10 x? ¬ -] Giéng Nguồn
1 ‘\(x-1) $ỷ fort)? +ỷ| Hình 6.14: Ví dụ 4
_— 2gqxy l 20xy 1
uy = - T
1 (x+a} +ỷ|&—a)? mm 1 l¿-ÿ #y^œ+} +ỷ|
Gọi M(1, 1), thế vào, ta được: Ux (M) = -25,636 m/s
uy (M) = +1,273 m/s
u(M)= +/(- 25,636)’ +1.273? = 25,667 m/s
e Tính áp suất tại điểm M(1, 1):
Áp dụng phương trình Bernoulli (6.21) giữa 2'\điểm ở M và điểm ở xa vô cùng, với giả thiết bỏ
qua chênh lệch cao trình Ta có:
Pu +5 pu, = Px +s pu, suy ra: Py — Po = plu -u2,) = =1.2(25? ~ 25,6677) Ap = -20,27 Pạ e Tinh x, va Xp: Ap dung céng thirc (6.73)°> x= +ả 4% ¥ [1440 = 41,062 m aU 257 Nghia la x4 = -1,062m; va xg = 1,062m e Tính ya va yp: 25.ỵ 2 2 2
Từ (VD4.1), suy ra xỈ as 3 = | , hay te(5Z.V„„„.)= ar , TIÊN:
max — max —
2
may —Ì
Ymax — Be — 18 (50 Ve )
Giải phương trình này, ta tìm được ymax = 0,1776 m ®
Chiéu dai co the Rankine la : 2x1,062m = 2,124 m Chiêu cao cô thé Rankine 1a: 2x0,1776 = 0,3552m
www.datechengvn.com
Trang 26Vidu 5:
Dịng chảy có thế bao quanh bán trụ trong nửa mặt phẳng ngang Ở thật xa trước bán trụ dòng chảy
có vận tốc 0,5 m/s và có áp suất 10” Pạ Cho p=800 kg/m’, R = 3m va không tính đến trọng lực
1) Tính vận tốc tại điểm A trên bán trụ A (r=3m, 0=60°)
2) Luc tac dung lên mặt trụ Giải:
Dòng chảy có thê xem như dịng đều (U = 0,5 m/s) bao quanh hình trụ đứng yên, áp suất ở điểm xa
vô cùng là p„ = 10° Pa, p = 800 kg/mỶ
1) Áp dụng công thức (6.78a) và (6.78c), ta được: u;y=0; va Ug = -2Ụsin(8) = -2x0,5xsin(60°) = -0,866 m/s u = |ue| = 0,866 m/s 2) Áp dụng công thức (6.80), ta được 2 ph= px†p.——(=4 sin (9)) Hình 6.15 Ví dụ 5 G1ả sử bỏ qua chênh lệch cao độ z, suy ra
2
U 5
D= Pot p0 — 4 sin“(8))
Xét vi phân diện tích dS = R.d6, áp lực tac dụng lên dS là;
dP =-p.dS.7 ,suy ra dP, = -p.dS.cos(0) =*0.R:cos(0).d0 dPy = -p.dS.sin(9) = -p.R.sin(6).d0
2
P,= - [ p„+ 2 (1 —4sin” (4)|&-cềx94 0=0
2
Py=-f" ( p.+ 2> (Ĩásin” ø)Ì& sin(0).d0 =
2 2 = -4| p.+ ps ÏƑsm(0).40+2RøỦ [ˆsin"(6).49= -2R{ p.+ oS +R? 0,57 2 Py=-2x3(10° *800x—”—) tệ 3x800x(0,5 = -5,99 x 10`N Vi du 6:
Tìm phương trình đường dòng và đường đẳng thế của lưỡng cực với cường độ của lưỡng cực là mẹ = 4mm/s; với giá trị hàm dòng vả hàm thế là = ọ =2m/s
Giải:
a) Đường dòng:
Đường dòng là đường sao cho có w = const Hàm dòng của lưỡng cực cho bởi công thức sau:
www.datechengvn.com 99
Trang 27y= _mo-Sin 6 > r=-— sin(Ø) 27m 27 Đặt f= 9 (6.91) Any »> r = -2r,.sin(@)
Do đó: x =r.cos(6) = -2rọ sin(Ø).cos(9) = -rọsin(28)
x = -r„sin(26)
Và, y =r.sin(0) = -2.rẹsin7(0)
Xét điểm M, (0, ro) nằm trên trục y, ta cd:
(x-Xo)” + (y-Yo)” = r?.sin?(2.0) + r? (1 —2 sin’(6)) = 7? [sin?(2.9)+ cos’ (2.0)] = r?
Nghia 1a diém M(x,y) sẽ chạy trên vịng trịn (C) có tâm là Mạ; năm trên trục tung (oy) có tọa độ
tam 1a M, (0, ro) voi ban kính là rạ
b) Đường đẳng thế o= const: Hàm sô thê: = m,.COSO _ pa Ihe cos(Ø)
27m 27r0 Đặt f= 47r0 (6.92) > f = 2rẹcos() Do đó: X = r.cos(0) = 2rạ cðs(0) Và, y =r.sin(9) =2.rọsin(9).cos(8) Yy =Tạsin(29)
Xét điểm M¡ (ro,0) nằm trên trục x, ta có:
(x-x¿}” + (y-Yo)’ = rÈ.[2cos?(Ø)—I]ˆ + rỷ (sin(29))ˆ = rˆ.[cos?(2.0) + sin?(2.Ø)] = r2
Nghĩa là điểm M(x,„y) sẽ chạy trên vòng trịn (C”) có tâm là Mạ, nằm trên trục hoành (ox) có tọa độ tâm là M, (ro,0) với bán kính là rọ
Trong trường hợp bài toán cho: mạ = 4zm”/s và ự =2m /s Thế vào phương trình (6.91), ta được:
Tọ= me _ 47 _95 m
Any 47.2
Vậy đường dòng là vòng trịn có tâm (0; 0,5m) nằm trên trục oy, co ban kính là rạ = 0,5m
www.datechensvn.com
Trang 28Tương tự ta cũng có đường đắng thế là vòng tròn tâm (0,5m; 0) nằm trên trục ox, có bán kính là rạ = 0,5m
www.datechensvn.com