Hệ phương trình bài tập + giải chi tiết

Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GIÁO VIÊN: NGUYỄN BÁ TUẤN Tài liệu học tập dành cho học sinh lớp 10 Tài liệu trình bày phương pháp giải hệ phương trình bao gồm: phương pháp biến đổi đại số, phép phương pháp đặt ẩn phụ Khi gặp hệ phƣơng trình ta có thứ tự ƣu tiên cho hƣớng giải sau: + Sử dụng phép biến đổi đại số làm xuất phương trình tích phép - - Phép : Hệ có phương trình bậc theo ẩn x y rút x theo y y theo x thay vào phương trình lại Ngoài tùy thuộc vào đề cụ thể mà ta cụm biểu thức hay số Nếu phương trình hệ có dạng hàm bậc x (y) giải PT bậc bình thường để tìm mối quan hệ x y Phƣơng pháp hệ số bất định (UCT): Với vài hệ đơn giản ta quan sát thấy phương trình hệ có form giống thử cộng (trừ) vế tương ứng phương trình hệ xuất nhân tử chung Đỉnh cao việc kết hợp phương trình để tìm mối liên hệ x, y phương pháp hệ số bất định (UCT) Phƣơng pháp liên hợp: biến đổi đưa phương trình hệ dạng nhân tử + Sử dụng PP đặt ẩn phụ: - Quan sát phương trình có chứa biệt thức: xy, x  y,( x  y) , x  y,( x  y) đặt tổng – tích 2 (P=x+y, S=xy) 2 k k - Sơ chế hệ phép nhân, chia x, y, xy, x , y , x , y để xuất dấu hiệu đặt ẩn phụ - Với có chứa thường đặt thức làm ẩn phụ - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập PHẦN 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ VÀ PHÉP THẾ CH N ĐỀ Sử dụng phép biến đổi đại số làm xuất phƣơng trình tích phép 1.1 Phép rút - 3 2   x  x y  y  y x  x y  x (1) Bài Giải hệ phƣơng trình:  3 (2)  x  y  x   Giải Dựa vào PT(2) => x=y nghiệm=> x  y Từ PT(1) nhận thấy hệ số tương ứng hạng tử bậc nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung: (1)   x  xy    x y  x y    x  y     x  y   x  x  xy  y   x y      x  y   x  x  y   9     x  x  y    (do x  y )  x  x  y   (3)  x  (2)  y  x3  7  y  x3  x x Thay vào (3) ta được:  7 x  x  x    x      3   x x  x x    x      x x     7   x  x x   x  x     x x  3  x3  x x  x  x  x     (4)  Xét hàm số: f ( x)  x3  x x6  x2  x x4    x  14 x  f '( x)  3x   x  x   3  x6  x2    9, x    x  70 x  49   0, x   2  x x4       Suy f ( x) đồng biến  0;   mà: f (1)  Suy ra: (4) có nghiệm x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x; y   1;2  - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập  x  y  xy  x  3  Bài Giải hệ phương trình:  2 2   x 1  xy   y 1  x  Giải Bình phương vế phương trình (1): x  y  x y 2 2  x  3 Hệ phương trình tương đương với:  xy  x  3   xy  x  3    2 2 2  x  y  x y  x  3   x y  x  3    2 2 2 2  x  y  x y  x  3  x  y  x y  x y  x   xy  x  3    x  0; y   2  y    x y  x  1     x  1  x  1; y     2 2   x  y  x y  x  3  x  y  x y  x  3   xy   y x   Bài Giải hệ phương trình:  2   y   x  1 x  x   x  x 1  2 Giải Nhận xét: từ phương trình (1) ta rút y theo biến x x2   x  x  x  x  x  x  ¡  x   x  x  ¡ Nên ta có (1)  y Thế y     x2   x   y  x 2x  x2   x x   x vào phương trình (2) ta có:  x   x   x  1 x  x   x  x   x x   x   x  1 x  x     x  1 1    x  1       x  1    x    (*)  Xét hàm số f ( x)  t  t  ta có: f '(t )   t   t2 t2   0, t  ¡  f (t ) đồng biến ¡ (*)  f  x  1  f   x   x    x  x    x   x    y  Vậy hệ cho có nghiệm  2  y   x3  y  y  16 x (1) Bài 4: Giải hệ phương trình:  2 1  y  1  x  (2) Giải - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập “Thế số” PT (2)  y  x  (3) 2 Thay vào (1) ta được: x  x3   y  x  y  y  16  x3  x y  16 x     x  xy  16  x   y2   y  x  16 x  xy  16   y  5x 2  x  16  2    x   124 x  132 x  256   x  x    x   y  3   x  1  y  2 x y  3xy  x  y   7 y   x  x Bài Giải hệ phương trình:  Giải Ta có từ (2) suy ra: y  2x  9x  (3) Thay (3) vào (1) ta được:  x2  x    x  x   7.4 x  x2  x   2x2   x        7 7         x  x   x  x    28 x  x  24 x3  31x  99 x  54   x    x  2 1    x    x    x  18 x  54      x  9  33 2     x  9  33  Với x  1  y   suy hệ phương trình có nghiệm Với x  2  y    1   ;  2  16 suy hệ phương trình có nghiệm 16    2;    Với x  9  33  y  suy hệ phương trình có nghiệm  9  33  ;3     Với x  9  33  y  suy hệ phương trình có nghiệm  9  33  ;3     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  là: - Trang | - Khai test đầu xuân 2016  1   ; , 2  16    2; ,   Tài liệu học tập  9  33   9  33  ;3  ,  ;3   4      x  3y  Bài Giải hệ phương trình:    y   x  3 y  48 y  48 x  155  Giải Ta có (1)  9 x y Thay vào (2) ta có:   x2  y   x  3 y  48    48 x  155     y   x  3 y  16 x  48 x  11    y  x  11 y  x  1   y  4 x  11 (3)   y  4 x  (4)   x2 y    Từ (3) (1) ta  2   x   4 x  11 (*)     x  x   (6) (*)  x  18 x  36 x  18  x  18  x  1    x  x   (7)   18  12 12  36  24 x  y 12 Ta có (6)     x   18  12  y  12  36  24  12  3  18  12 12  36  24 x  y 12 (7)     x  3  18  12  y  12  36  24  12   x2 y    Thay (4) (1) ta có:  2   x   4 x  (**)    - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập (**)  x  18 x  36 x  72    x  x  12  x  x     x  x   (do x  x  12  0, x)  x  3   y  1    x  3   y  1   x3  y  x  y Bài Giải hệ phương trình:  2  x   1  y  Giải x   1  y    x  y Xét  x   x  2, y  x  2, y  (cả hai thỏa mãn HPT) Xét y  suy x  x  2 (thỏa mãn HPT) Xét y  x  2 Ta có: 3 2   4 x  x    y  y   x   x    y  y  2 (*)    2 2 4  x  y 4  x  y       y  3xy  (1)   x  10  xy (2) Suy 3xy   y  Vậy  y2 y Nhân (1) với + (2) ta được: y  x  6 xy  y  x  xy      x x y y 1 đến bạn tự làm tiếp   1,  x x 2 2  2 y x  x  y  y   y Bài Giải hệ phương trình:   2 y  xy   y Giải Hệ phương trình cho tương đương:  y  2 y  y  1  x  y  y   y  2 y  y   y 2 x  y  y  y   2 y  xy   y 2 x  y  y  y   2 y  y  y  y  y  1   y 2 x  y  y  y    y  y  10 y  y   2 x  y  y  y   x    y 1  y  1  - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;1   x y    y  1  Bài Giải hệ phương trình:   x y  x y   13 y  x  12 Giải ĐK: y  1 Phương trình thứ hai hệ cho, tương đương: x  13  y  1  x y    (*) Ta thấy x  không nghiệm hệ => x  , phương trình thứ hệ cho tương đương: x   y 1 1  y 1 1  7  x y 1  x 1  Thế y 1  y 1  x 1 7x x 1 vào (*) ta được: 7x  x   x  x  1  13  1   7x 7x  x  x3  x  33x  36  x Với x  , ta Với x  , ta x    x  1 x  3  x  x  12     x  y 1   y   y 1   y    8 9 Vậy hệ choc có nghiệm  x; y   1;   , 3;0  3  16 x y  x   xy  y   xy  3 Bài 10 Giải hệ phương trình:  2 2  4 x y  xy  y  Giải Với y  không nghiệm hệ Với y  , ta chia phương trình thứ cho y , phương trình thứ hai cho y ta - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập    16 x    x  1  x   (1) y     4 x  x   (2)  y2 Thế (2) vào (1) ta được: 16 x3    x  1  x  x  x  1  x3   x     y  1 y2 Vậy nghiệm hệ là: 1;1 , 1; 1  x 6 y   x  y  y Bài 11 Giải hệ phương trình:  2 x  x  y  x  y   Giải  Phương trình (1): y  3x  y  y  3 y  3x  y  (3) 3x  y     y  3x  y  (4)  Thế phương trình (3) vào phương trình (2):   x    y   6 x  y  6 x  y      3 y  x  y  3 y  16  10 y   x     y    13  73   5  73 13  73  5  73    Thế phương trình (4) vào phương trình (2)  x     y  4  y  3x  y   y  3x  y      x    6 x  y  2 y   y    y    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y            1  1  1 1 13  73 ; 5  73  ;  13  73 ; 5  73  ;  4; 4  ;  ;  3 6  6  4 2 - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập 1.2 Biến đổi đại số  x  y  240 Bài Giải hệ phương trình:  3 2  x  y   x  y    x  y  Giải Nhân phương trình thứ hai với -8 cộng với phương trình thứ ta được: (tại lại có -8 bạn tham khảo thêm phương pháp hệ số bất đinh UTC bên dưới) x  x3  24 x  32 x  16  y  16 y  96 y  256 y  256   x  2   y  4  x   y   x    y  x  y   x   y 4 Thay vào phương trình đầu ta được: 1  y3  24 y  32 y  16  240  y  y  y  28    y    y  y  14    y  2  x  4    24 y  216 y  864 y  1296  240  y  y  36 y  44    y    y  y  22    y 2 x4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  x; y    4; 2  ,  4;2    x  y  (1) Bài Giải hệ phương trình:  2   x y  x  (2) Giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x4  x2 y   y  x    x2  x2  y    x  y    x  x  y  x  y    x  y     x  y   x  x  y   5  x  y  x  x  y   Nếu x = y, thay vào (1) ta được:  x  2  y  2 x  x    x3  x  3  x   x  1    x  1 y  - Trang | - Khai test đầu xuân 2016 Nếu x  x  y     y  Tài liệu học tập  x thay vào (1) ta được: x2  5 x      x6  x3  x  25  x  Từ (2) ta có: x   x y   x  6   432 Do đó: x  x         25  x  x3  x  25  25 5 5 Suy trường hợp hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất:  x; y    2; 2 , 1;1   x  x  y   (1) Bài Giải hệ phương trình:  2   y  x  y x  y x  (2) Giải x  x  y 1  ĐK:  (1)  x  x  y    x  x  y 1 x  y 1 1  y  x  y 1  y   x  y  1   y  2  4x  y22 x  (2)  y  x   xy  y  x  y x   y   x x   y   x  y   x x  (I )        y  x  y x  y  1  y   y  y   2 y  y   y  y    y  xy    3x (1)  Bài Giải hệ phương trình:  2   y  x y  x  (2) Giải  y  xy    x (1) Hệ phương trình cho tương đương với:   y  y  x   2 x (2) - Trang | 10 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Nhận xét: Hệ phương trình đặc biệt chỗ cần đặt nhiều ẩn phụ phương trình biểu thức phức tạp chung Trong trường hợp vậy, ta cách đặt thêm ẩn phụ để tìm mối liên hệ đơn giản ẩn thay sử dụng mối quan hệ tìm (1) thay vào (2) việc tìm nghiệm khó khăn   x 12  y  y (12  x )  12(1) Bài 4: Giải hệ phương trình sau:    x  x   y  2(2) ĐH khối A-2014 Hướng dẫn ĐKXĐ: 2  x  3;2  y  12 Đặt 12  y  t (t  0)  y  12  t (1) trở thành: xt  (12  x )(12  t )  12  144  12  x  t   x 2t  12  xt  xt  12  2 2 2 144  12  x  t   x t  144  24 xt  x t  xt  12  0 xt 2 12( x  t )    x  12  y  y  12  x2 vào (2) ta có: x3  x   10  x  ( x3  x)  (x  3)  2(1  10  x )   x( x  3)( x  3)  ( x  3)  x2   10  x 0  2x    ( x  3)  x  3x   0  10  x    x  3( x  0)  y  12  x  x =y =3(thỏa mãn ĐKXĐ) Nhận xét :việc đặt ẩn phụ làm cho phương trình (1) trở nên đối xứng dễ chịu Trong số hệ đặt ẩn phụ hoàn toàn (bài toán sử dụng phương pháp đánh giá) 2   x  y   x  2 x  y  x Bài 5:Giải hệ phương trình sau:    x   y  x  1(2) Hướng dẫn Đặt t  x  y (t  0)  y  t  x2 phương trình (1) trở thành: - Trang | 40 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập x   t  x   ( x  2)t  x  x  2t  xt  x  2t   x  4t  2t  xt   x  2t     x  2t  x  2t  t  1   x   x2  y  x  2t    x  2t  x  t  1      x   x2  y x  t 1   * x   x  y  y  0; x  thay vào (2) ta được: 1  x   (vô nghiệm) x   x      x  3  x   x2  y * thay vào(2)  x  1  2 x   y 2x 1 x2    2x   x2   x    y2 x  3x  x  y 1  x    y  Bài 6: Giải hệ phương trình sau:   y  3x  x  y  x    y  Hướng dẫn: ĐKXĐ: y  0;1  Đặt t   3x 0 y 3x t  0 y    x   t  x  y 2 x( x  2) t  x  xy  2  2  y t  y t  xt  x    y t  y  2x  x  2    y 2t  y 2t  x  xy   y 2t  x    y 2t  xy     yt  x  yt  x   y  yt  x     yt  x  yt  x  y   - Trang | 41 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập  x 2x x  1  y 0 y y  yt  x x        x  yt  y  x x  y   3x   x  y 1 y y   Giải (x,y)=(0;2);(4;4) Sử dụng kĩ nhóm, tách, thêm, bớt đặt ẩn phụ  x3 y  x  xy   Bài Giải hệ phương trình:  2  x  x y  x y 1 Hướng dẫn Phân tích: toán ta dễ dàng nhìn thấy xuất rõ ràng cách đặt ẩn phụ mà phần hệ có nhiều điểm chung Có Ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ mà thành phần hệ phương trình có điểm chung tổng tích phức tạp Nó giúp ta nhìn nhận vấn đề cách thoáng dễ dàng nhìn hương giải nhiều  x3 y  x( y  x)  1 Đưa hệ dạng:  Đặt u = x3y, v = x(y – x)   x  y  x    x y  u0  x  1 Giải hệ   v  1  y  u  3 (vô nghiệm)  v2  x  1  y0 Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x  y  Bài Giải hệ phương trình:  2 3 ( x  y )( x  y )  280 Hướng dẫn Phân tích: hướng giải , ta có cách làm khác tự nhiên thay x=4-y vào phương trình số Sau giải phương trình bậc Phương trình đơn giản ta dễ dàng nhẩm nghiệm Tuy nhiên hay cách làm ẩn phụ ta giải với số lẻ cánh dễ dàng nhiều  x  y   ( x  y )  xy  ( x  y)  3xy( x  y)   280  Hệ phương trình   x  y  S ( S  P)  x y  P Đặt  S  Ta có hệ:  ( S  P)( S  3PS )  280 Thế S = vào phương trình ta có: (8  P)(16  3P)  35  128  24P  16P  3P  35 - Trang | 42 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập P   3P  40 P  93     P  31  L   x  y   x  1; y    x y   x  3; y  Với P  3; S    Đáp số: ( x; y)  (1;3), (3;1) 2   x y (1  y )  x y (2  y )  xy  30  (I) 2 x y  x (1  y  y )  x  11    Bài Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn Cách  x3 y  x3 y  x y  x y  xy  30   (I )   2   x y  x  xy  xy  y  11   xy ( x  y )  x y ( x  y )  x y  30    xy ( x  y )  ( x  y )  xy  11  S  x  y Đặt   x2  y  S  2P P  xy   P( S  P)  P S  P  30  (1)  (I )   11  P  PS  S  P  11  (2)  S   P 1 Thế vào phương trình (1), ta có:  P  11P  41P  61P  30  P   S  P   S  3  ( P  1)( P  10 P  31P  30)    P   S   P   S  Thế trường hợp tương ứng S, P   21  21    21  21  ; ;  ,   , (1; 2), (2;1) 2 2     Ta nghiệm hệ là:   Cách 2 Đặt : a  x  y; b  xy (a  4b) ab(a  b)  30  ab  a  b  11 Đặt ab  t; a  b  k ( k  4t )   x  (1; 2)  k    a    y  (2;1)    tk  30  t   b    x    21 ;  21          t  k  11   k   x    t  5   y        y    21 ;  21   2     - Trang | 43 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập   21  21    21  21  ; ;  ;   2 2     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( x; y )  (1; 2); (2;1);   Nhận xét: toán việc đặt ẩn phụ thật giúp ích cho ta nhiều Hãy nhìn vào đáp số toán có xuất giá trị mà việc nhẩm nghiệm (x;y) hệ gần Như nói trên, với cách đặt ẩn cho xy x+y ta hoàn toàn thấy rõ hệ số tự không quan trọng, chí bạn thay biểu thức phức tạp theo tham số để tung hỏa mù Và toán thật sư khiến nhiều người phải chùn bước Bài Giải hệ phương trình:  x  y  2( x  y )    y ( y  x)  x  10 Hướng dẫn ( x  1)  ( y  1)   x  y  2( x  y )    2 y ( y  x )  x  10 ( y  x )  ( x  1)    Hệ Đặt a  x  1, b  y   b  a  y  x ta hệ a  b   2 (b  a )  a   a2  b2  (b  a)2  a  a  2ab  a  a  2b - Với a   b  3  x  1, y  x  1, y  4 - Với a  2b  5b   b   am  x  1  , y  1  x  1  Bài Giải hệ phương trình: 6 , y  1  5  x  y  xy    x   y   Hướng dẫn ĐK: x  1, y  1, xy  Hệ   x  y  xy   x  y  xy      x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  x  y  xy   14 Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b2 ta hệ pt a  b  a   b a   b        2   3b  26b  105  a  a  b   14 2 b  b   11  b b   x    (thỏa mãn đk) a   y  - Trang | 44 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập  2 8( x  y )  xy  ( x  y )  13  Bài Giải hệ phương trình:  I  2 x    x y  Hướng dẫn Phân tích: thật toán khồng dễ đặt vào hoàn cảnh mà bạn gặp toán chưa biết tới pp đặt ẩn phụ Mấu chốt toán nhìn Bài toán trở nên đơn giản sau ta xác định ẩn phụ Tuy nhiên muốn nói cách nghĩ chúng Việc xuất hiên khiến ta nghĩ tới việc tạo bình phương tổng Tuy nhiên hệ số hạng tử giúp phân tích thành tổng hiệu bình phương cách tự nhiên ĐK : x  y      3( x  y )  13 5 ( x  y )  2 ( x  y )    (I )    ( x  y )    x  y    x  y    ,a 2 a  x  y  x y  a   x  y    thay vào ta hệ Đặt :   x  y b  x  y   2  5  a    3b  13 a   , b   4 thay ngược lại ta tìm nghiệm  a  b     a  2, b  1   y  x  xy  y   Bài Giải hệ phương trình:  2   y x  8y  x y  x  (1) (2) Lời Giải : Lấy (2) trừ (1) ta có : xy( y  x  1)  (3 y  1) (3) (1)  y  x  xy  y   (4) u  y  x Đặt :  v  xy Thay vào (3) (4) ta có hệ: v(u  1)  (3 y  1)  u  v  y  v(6 y  v  2)  (3 y  1)  u  y   v v  2(3 y  1)v  (3 y  1)   u  y   v - Trang | 45 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập (v  y  1)2   u  y   v (3 y  y ) y  y  v  y   xy  y     u  y  y  x  3y  x  y  y 3 y 1  y  y  y   ( y  1)     2 x   x  y  y  x  y  y Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y)  (2;1) Nhận xét: * Bài thật thử thách khó khăn với người lúc làm theo phương pháp đặt ẩn phụ Điều đặc biệt VP (1) (2) Đây dấu hiệu phổ biến thường ta phải nhân (1) với số sau cộng trừ cho để tạo thành nhân tử Trong trường hợp may mắn cho ta hệ số tự cần nhân Do dó ta trừ cộng chúng lại trường hợp việc trừ giúp ta giải vấn đề * Điều đặc biệt thứ toán việc đặt ẩn không hoàn toàn Đó sau bước thay (3) vào (4) Lúc ta coi y tham số việc làm giúp ta xử lí đẹp toán Như nói việc đặt ẩn phụ giúp ta giải tốt toán với tham số, số kết không thật đẹp việc coi y tham số điều cần lưu ý giải toán  x6  y  15 y  14  3(2 y  x ) (1) Bài Giải hệ phương trình :  4 xy  11x  y  13  (2) Lời giải Từ phương trình (1) ta có: x  y  15 y  14  3(2 y  x )  x  3x  y  y  15 y  14 Đặt g  y   y  y  15 y  14  g '  y   y  12 y  15 2  g ''  y   y  12   y  2  g  y    y     y   a  x (a  0) Đặt :  y  b  Ta được: (1)  a  3a  b3  3b  (a  b)(a  ab  b )  3(a  b)   (a  b)(a  ab  b  3)   Ta có : b  3b2  a  ab  b    a      0, a, b 2  2 Do : (*)  a  b   a  b  y  x  2 Thay y  x  vào (2) ta : - Trang | 46 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập x( x  2)  11x  6( x  2)  15   x3  x  x    ( x  1)(4 x  x  1)   x  x   (VN )   x  1 Với x   y  1 thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( x; y)  (1; 1) 2  x  x  y  y  Bài Giải hệ phương trình:  2  x y  x  y  23 Lời giải Biến đổi hệ phương trình đưa dạng : 2  ( x  2)  ( y  2)  10  2  ( x  2) ( y  2)  4( x  2)  4( y  2)  19 u  x  Đặt :  v  y  (u  2) Ta có : u  v  10 (u  v)2  2uv  10 (1)    uv  4(u  v)  19 uv  4(u  v)  19 (2) Thay (2) vào (1) ta :  u  v   19  4(u  v)  10   u  v   8(u  v)  48  u  v  u  v  12   uv   uv  67 Xét tới điều kiện (u  v)  4uv ta : v   u u  v    uv  u  4u   v   u  u  1 (loai ) hoac u  (thoa) u   v  Với u  3; v  ta :  x2    x  1   y  y  1 Vậy hệ có nghiệm : ( x; y)  (1;3); (1;3)  x  y  2( x  y )  Bài 10 Giải hệ phương trình :   y ( y  x)  x  10 ( x  1)2  ( y  1)  HPT   2 ( y  x)  ( x  1)  - Trang | 47 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Đặt a  x  1, b  y   b  a  y  x ta hệ  a2  b2  (b  a)2  a  a  2ab  a  a  2b Với a   b  3  x  1, y  x  1, y  4 Với a  2b  5b2   b    x  1  am 5 6 x  1  , y  1  , y  1  5 5  x  y  xy  Bài 11 (A – 2006) Giải hệ phương trình:   x   y   ĐK: x  1, y  1, xy  Bình phương vế PT(2) ta  x  y  xy   x  y  xy    x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  x  y  xy   14 Hệ   Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b2   a   b a  b  a   b   ta hpt:    2 a  a  b   14 2 b  b   11  b 3b  26b  105    b   x  (thỏa mãn đk)   a   y   1  x   y  2 x y  Bài 12 Giải hệ phương trình :     1  x  y xy 1  2 ĐK: x, y, x  y   1 1  PT (1)   x      y     x y   x y 1  1   ( x  y)   x     y    6 PT (2)   xy x  y  1 Đặt a  x  , b  y  x y a  b  6 a  3   Ta có hệ trở thành:   2 b  3   a 2  b 2  3  Thay vào ta tìm x  y  2 Sử dụng phép chia làm xuất đại lƣợng đặt ẩn phụ  x   y ( y  x)  y   ( x  1)( y  x  2)  y (1) Bài Giải hệ phương trình:  (2) Lời giải - Trang | 48 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Ta thấy y = không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với  x2   yx4   y   x  ( y  x  2)   y Đặt u  x2  , y u  v   (u  1; v  1) uv  v  y  x  ta có hệ   x2   y ( x  1; y  2)  Ta có hệ  ( x  2; y  5) x  y  Hệ phương trình cho có nghiệm 4  2  x y  xy  y   2(3   x) y Bài Giải hệ phương trình:    x y x 3 Hướng dẫn Xét y  chia vế cho y ta phương trình sau : 2 2x  x2      2  x y y y       x     x   1   2 y  y    Đặt x   t Ta được: 2t  t    2  t  y Với t  Ta có: x  1   y2  y 3 x Thay vào phương trình ta x x3 3 x x   y    x    y   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y), (2;1), (4  2; 1  1);(4  2;   1)  x( x  y  1)    Bài (D – 2009 ) Giải hệ phương trình :  ( x  y)2     x  Hướng dẫn   x  y   x   ĐK: x  Khi HPT   ( x  y )          x  Đặt x  y  a,  b ta hệ : x - Trang | 49 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập a   3b  a  3b    2 2 a  5b   (3b  1)  5b    a  2, b  x  y     a  , b   x  2, y    2    x  y  x y  xy  xy   Bài (A – 2008) Giải hệ phương trình :   x  y  xy (1  x)    Hướng dẫn  2 ( x  y )  xy ( x  y  1)   HPT   ( x  y )  xy    x  y  a Đặt  ta :  xy  b 5    a  b ( a  1)   a  0, b   a  a  ab    4    a   , b   a  b   b    a    2  3  25     Vậy tập nghiệm hệ pt S = 1;   ;  ;     2  16       y( x  7)  x   Bài Giải hệ phương trình:  2 21y  x  ( xy  1) Hướng dẫn Nhận thấy x=0, y=0 không nghiệm nên ta chia PT1 cho y chia PT2 cho y2 ta x  x   y  y   y ( x  7)  x   x    a, x   b ta hệ  Đặt 2 2 y y 21y  x  ( xy  1) 21  x   x      y y   a  b    2 21  a  b Giải hệ PP ta nghiệm cần tìm  xy  x   y Bài (B – 2009 ) Giải hệ phương trình:  2  x y  xy   13 y Hướng dẫn Lần lượt chia PT(1), PT(2) cho y; y đặt ẩn phụ  x  y  xy   y Bài Giải hệ phương trình:  2  y( x  y)  x  y  Hướng dẫn Chia vế PT cho y đặt ẩn phụ - Trang | 50 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu Với cách đặt tổng – hiệu ta nên áp dụng cho hệ mà có phương trình chứa hạng tử bậc 1, 2, 3, 1/2 Những hạng tử bậc cao thấp trở nên công kềnh áp dụng phương pháp Và việc đặt ẩn phụ tổng hiệu không gò bó với cách đặt x  y  a, x  y  b mà theo toán cụ thể ta đặt biểu thức  f   x  y    a có dạng tổng dạng hiệu làm ẩn phụ  như:  g   x  y    b   x y a  x  y  a ,  x  y  b   x y b   2 3( x  y )  xy  ( x  y )   Bài Giải hệ phương trình :  2 x    x y Hướng dẫn Chú ý: Các biểu thức x  y , xy, x, y biểu diễn theo x+y, x-y nên toán túy 2 yếu tố nên chọn phương pháp “đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu” Viết lại hệ phương trình cho dạng:  2 ( x  y )  2( x  y )  ( x  y )    ( x  y )  ( x  y )    x y Ta đặt :  a 2b  2b  4b   a  2b    x  y  a    b    x  y  b a  b   a    b b   b Ta vào tìm nghiệm 6 x y  y  35  Bài Giải hệ phương trình :  2 5 x  y  xy  x  13 y  Hướng dẫn Nhận xét: Trong hệ phương trình mà đề chưa định hướng cho cách đặt ẩn phụ hệ này, ta có hướng giải: - Phân tích thành phương trình tích: pt (1) dễ thấy không thể, pt (2) ta đưa tam thức bậc ẩn y với x tham số ∆= 96 x2  48x  169 phân tích thành tích - Trở lưu ý cặp số biểu diễn dạng tổng hiệu nên: Ta đặt : 35  3 3  x  a  b a  b   8a  8b  35  HPT      2 6a  9a  4b  4b  y  a b  6a  9a  4b  4b   Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có: Lấy PT(1)-6PT(2) ta được: - Trang | 51 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập (2a  3)3  (2b  2)3   2a   2b   2a  2b   Đến bạn tự thay vào lại tìm a, b => x, y 2   x  y  y  28 Bài Giải hệ phương trình :    xy  x   x  y  x  y  Hướng dẫn Cách 1: cách tự nhiên ta đặt thành biến ta được: xy  x   a  xy  x   a x  y  b  x  y  b  x  b  y  x  xy  y  b  x  y  x   a  b  x  y  b  y   a  b  x  y  y  a  b  b   x  y  y  28 a  b  b   28     xy  x   x  y  x  y  a  b  b  Đến cần sử dụng phương pháp rút - giải toán, công đoạn tính toán tìm a, b công kềnh Cách 2: ta thử cách đặt tổng hiệu để xem toán có trở lên tính toán nhẹ nhàng ? Do phương trình hệ chứa Ta đặt : x - y nên ta đặt hiệu x- y  a  b2 x  a  x  y     b  x  y  b   y  a b  2a  2b   a  b   102 a  a  56  b  b    HPT     a  a  b4  b2  a  b a b  b2  b   2     b2  b    2     25  b  b  b  b   25  b  b   b  b   b  b 25  b  b  25   b  1 b      b  1 b2   b  1   b  2   b 1  25  b  b  25  b  Vậy ta có:  a  a  56 Đến bạn tự giải tiếp Như với cách đặt ẩn phụ tổng – hiệu ta đưa toán với hệ dễ giải nhiều ưu phương pháp bí cách làm cách đặt thông thường đưa hệ khó giải - Trang | 52 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập  2 x  y  xy   1   x  y  Bài 4: Giải hệ phương trình sau:   x    2  x y Hướng dẫn ĐKXĐ: x+y≠0 a  x  y ab    ab  Đặt    x x y b  x  y  x  y  (1) Được viết lại thành: 3 x  y    x  y    2  x  y 7    3 x  y    x  y   7 x y   3a  b  a  b  Hệ trở thành:  2 3a  b  Giải hệ ta được:a=0;b=3⇒x=y=1 Nhận xét: hệ đặt x+y=a; x-y=b giải biểu thức cồng kềnh Hơn có chứa phân thức nên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ có chứa phân thức Đặt a=x-y;b= k  x  y thay vào hệ cân hệ số để tìm k x y -HẾT -Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn - Trang | 53 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập lý nên học trực tuyến Hocmai.vn     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học lợi ích học trực tuyến      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm Tham khảo chƣơng trình học hữu ích cho Bạn 10 11 12 TOÁN VẬT LÍ HOÁ HỌC SINH HỌC NGỮ VĂN TIẾNG ANH Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Bạn tham khảo khóa học lớp 10, 11, 12 với đầy đủ môn Toán – Vật lí – Hoá học – Sinh học – Ngữ văn – Tiếng Anh Hocmai.vn - Trang | 54 - [...]... ta được y  1  y  1 (vì y  0 ) suy ra x  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là  2;1  x  y  x  y  2 y 1 Bài 10 Giải hệ phương trình   x  5 y  3  2 Giải - Trang | 24 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Điều kiện của phương trình x  y  0 Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc 2 y  x  0 x  y  x  y  2 y  2x+2 x 2  y 2  4 y  x 2  y 2  2 y  x   2 2 2... dụng phương trình bậc 2 kết hợp vi-et) 2 x 2  xy  1 (1)  2 Bài 4 Giải hệ phương trình:  9 x 3xy  2 1  x 4  1  2 1  x 2 (2)      Giải Xét phương trình bậc hai: 2t  yt  1  0 (3) 2 (1)  2 x2  yx  1  0 Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3) (2)  2 Cho thấy t  9x2 2 1  x  3x 2 1  x  2 4  y 3x 2 1  x  2 1  0 là một nghiệm của phương trình (3) Dễ thấy phương trình. .. tiên hướng này) vậy: Lời giải Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được: ( x  4)3   3  y   x  7  y(3) Thay (3) vào 3 phương trình (2) của hệ ta được: y  4  x  3 y 2  7 y  12  0   y  3 x  4 Vậy nghiệm của hệ là (3;4), (4;3)  x 4  y 4  240 (1) Bài 7: Giải hệ phương trình:  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y  (2) Giải: Nhân (2) với 8 rồi... bậc nhưng khi ta lũy thừa 3 PT(1) và lũy thừa 4 PT(2) ta sẽ đưa đc về hệ có dạng đồng bậc Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: t được phương trình: 3  1 3  t  1 Xét t f t   3  1 3 73 Đặt x  ty ta 94  3 Từ phương trình này suy ra t  1 9t 2  t 3  1  t  1  8  t  1  t 3... ; 2      Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( x; y )   - Trang | 19 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập 1.4 Hệ đồng bậc A  B có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau C  D Nếu thấy hệ  và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia để đưa về PT bậc 2, 3 Khi đó giải phương trình bậc 2, 3 ta sẽ... x  y  5(3) 3 3  y  2  x  3  y  3  x  2 Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0   Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3)  x3  y 3  91  Bài 6 Giải hệ phương trình:  2 2  4 x  3 y  16 x  9 y Giải Phần tích: Tương tự như bài trên  k  3  + Nếu dùng UCT ta được:  a  4 b  3  + Nếu phân tích hệ số tự do: ta có 91  64  27  43  33  x  3 3  x  4 3... là nghiệm hệ phương trình Vậy (3) 2  4 vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 ,  1; 1  x3  4 xy 2  8 y 3  1  4 4  2 x  8 y  2 x  y Bài 3: Giải hệ phương trình  Giải Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:  2 x  y   x3  4 xy 2  8 y 3   2 x 4  8 y 4  x3 y  8 x 2 y 2  12 xy 3  0(1) Với y  0  x  1 - Trang | 20 - Khai test đầu xuân 2016 Tài liệu học tập Với y...  11 2  ;   5 5   25 25  Giải ra ta được nghiệm của hệ là  ;  ,   x 2  2 xy  2 y 2  3x  0(1)  Bài 3 Giải hệ phương trình:  2   xy  y  3 y  1  0(2) Giải Sử dụng UCT ta được k  2 Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 2 lần phương trình (2) ta được:  x  2 y  1 ( x  2 y)2  3( x  2 y)  2  0    x  2 y  2  y  1  2  x  3  2 2 Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được:... dụng đồng nhất thức hệ số ta được  a  2 b  3  =>Lời giải Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)  (3  y)  x  y  5(3) 3 3  y  2  x  3  y  3  x  2 Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được: y 2  5 y  6  0   Vậy nghiệm của hệ là (3;-2), (2;-3) Hướng 2 dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự do là 35 ta sẽ phân tích 35 thành các số có dạng lập phương quen thuộc... 2 y 1 Do có x + y > 0, nên tâ được: x  2 y  1 Thay vào phương trình (2) ta được: (2 y  1) 2 y  y 2 y  2(2 y  1)  2 y  2 y ( y  1)  2( y  1)  ( y  1)( 2 y  2)  0  y  2 ( Do y  0) Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5 Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)  y 2  (5 x  4)(4  x)  Bài 3 Giải hệ phương trình:  2 2   y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0 (1) (2) Giải Biến đổi phương trình (2) về dạng: