Hệ phương trình bài tập + giải chi tiết

Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau: + Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế - Phép thế : Hệ có phương t

Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứ tự ưu tiên cho các hướng giải sau:

+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế

- Phép thế : Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay vào phương

trình còn lại Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số

- Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như bình thường để tìm mối quan hệ giữa x và y

- Phương pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có

form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử chung Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định (UCT)

- Phương pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử

+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:

, , ( ) , , ( )

xy x  y x  y x  y x  y thì đặt tổng – tích (P=x+y, S=xy)

, , , , , k, k

x y xy x y x y để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ

- Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

GIÁO VIÊN: NGUYỄN BÁ TUẤN

Tài liệu học tập dành cho học sinh lớp 10 Tài liệu trình bày 3 phương pháp giải hệ phương trình bao gồm: phương pháp biến đổi đại số, phép thế và phương pháp đặt ẩn phụ

PHẦN 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ VÀ PHÉP THẾ

Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x  y

Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử chung:

79

Suy ra f x đồng biến trên( )  0;   mà: f(1)0

Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x  1 y 2

Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm:     x y ;  1; 2

Bài 2 Giải hệ phương trình:  

1 2 1

x y

2 2

2 2

Thay (3) vào (1) ta được:

2

4

9 3 33 4

;34

suy ra hệ phương trình có nghiệm 9 3 33

;34

3

x y

939

3

x y

939

3

x y

Xét 4  x2    0 x 2, y  0 hoặcx 2,y0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)

Xét y0 suy ra x  2 hoặc x   2 (thỏa mãn HPT)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là     x y ;  2;1

Bài 9 Giải hệ phương trình:  

Ta thấy x  7 không là nghiệm của hệ

=> x  7, phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:

7

x y

Với y0 không là nghiệm hệ

Với y0, ta chia phương trình thứ nhất cho 3

y , phương trình thứ hai cho 2

y ta được

    

Vậy nghiệm của hệ là:    1;1 , 1; 1  

Bài 11 Giải hệ phương trình:

2

4 4

1 2

x y

1.2 Biến đổi đại số

Bài 1 Giải hệ phương trình:

Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:

(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)

Bài 2 Giải hệ phương trình:

Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:    x y ;    2; 2 , 1;1   

Bài 3 Giải hệ phương trình:

Suy ra:

3 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   x y ; duy nhất là  2; 2  

Bài 5 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1), 1 1

  2

2 2

Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y3    8 y 2

Với y2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x  2 và x  1

Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)

+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:

 vào (**), ta được: 10 y4 25 y2 16  0 (vô nghiệm)

Bài 9 Giải hệ phương trình:



 

 Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất     x y ;  5;3

Bài 11 Giải hệ phương trình:

a   x y b  y  a a b   b  đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa a và b

đó là a3b0,a b 0 Vậy ta có lời giải sau:

1.3 Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2

Bài 1 Giải hệ phương trình:

Nếu y2x, thay vào (2) ta được:

x x







Suy ra f(x) đồng biến trên  0;   và g(x) nghịch biến trên  0;  

Ta thấy x  3 là nghiệm của (4)

Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x  3   y 2 3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   x y ;   3; 2 3 

Bài 2 Giải hệ phương trình

Do có x + y > 0, nên tâ được: x2y1

Thay vào phương trình (2) ta được:

4 4

5 5

x y x

Bài 4 Giải hệ phương trình:

+ Với x   9 y3 thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm

+Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số:

x





 là một nghiệm của phương trình (3)

Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà

 2

3

2 1

x x

x x

 có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau

và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia

để đưa về PT bậc 2, 3 Khi đó giải phương trình bậc 2, 3 ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y

Bài 1 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ đã cho có nghiệm là    1;1 ,   1; 1 

Bài 3: Giải hệ phương trình

y x

Bài 5 Giải hệ phương trình:

Với x=y thay vào (1), ta có: x y 1

Với x=3y thay vào (1), ta có:

Nhân chéo 2 vế ta được x3 7 xy2 3 x y2  3 y3  0 (3)

* Với y = 0 hệ đã cho vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (9;1)

Bài 8 Giải hệ phương trình

5 5

3 3

3 31 7

2 5

5 2

2

t  ta có y 2x thế vào (1) ta có 3x2  3 x2   1 x 1 tương ứng ym 2

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là  1; 2 ,     1; 2 , 2; 1 ,       2;1 

Bài 9 Giải hệ phương trình

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn

Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc:  

t t

x y thế vào (1) ta được y4    1 y 1 (vì y0) suy ra x  2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là   2;1

Điều kiện của phương trình x y 0

Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc

Với y0 thay vào (2) ta suy ra x  9 (loại)

CH N ĐỀ Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp này sẽ xử lý đẹp hầu hết các hệ phương trình hữu tỉ

- Coi nó là 1 PT bậc 2 với ẩn là x hoặc y (biến còn lại là tham số), thực hiện hiện thao tác tính 

+ Nếu  là số chính phương thì ta dùng công thức nghiệm của PT bậc 2 để tìm mối liên hệ giữa x và y

+ Nếu  không là số chính phương thì sẽ không đưa về dạng tích được phải chuyển sang hướng khác

- Dùng các kĩ năng về phân tích nhân tử bằng casio để kiểm nghiệm

Như vậy trong trường hợp mà cả 2 phương trình (1) và (2) không đưa về dạng tích thì khi đó ta sẽ xử lý hệ như thế nào?? Một ý tưởng được đưa ra là ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình lại với nhau theo 1 hằng số k

 

PT(1)kPT(2)0 * để tạo ra  là số chính phương Xong việc khó khăn tiếp theo ở đây là tìm k như thế nào

để cho PT (*) có  là số chính phương Có 1 phương pháp chọn k được đề cập trong nhiều tài liệu như sau:

Bài 1 Giải hệ phương trình:

Như vậy sử dụng PP UCT ta được k=1

Vậy ta có lời giải

2 2 2 2

11

1

x y

1

x y

5

17 3

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm

Bài 4 Giải hệ phương trình sau:

123

2 2

2

x x y xy y

x y xy y

* Với y x1 thay vào (1) ta được: - 3= 0 (Vô nghiệm)

* Với y = 2x thay vào (1) ta được:

22

222

22

y x

y x

;2

22

;2

22

k a b

Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3   (3 y )3   x y 5(3)

Hướng 2 dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự do là 35 ta sẽ phân tích 35 thành các số có dạng lập phương quen thuộc

Nếu là dạng ( x  2)3 ( y  3)3=> hệ số của x là: 2  6=> khi đó ta phải nhân  3vào pt(2)

Nếu là dạng ( x  3)3  ( y  2)3=> hệ số của x là: 2  9=> khi đó ta phải nhân 9

2

 vào pt(2) (thằng này nhân số khá

lẻ => khả năng là không được) nên thử:

Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta được: ( x  2)3   (3 y )3   x y 5(3)

Bài 6 Giải hệ phương trình:

Tương tự như bài trên

+ Nếu dùng UCT ta được:

3 4 3

k a b

Bài 7: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ đã cho có nghiệm   x y ;    2; 4 , 2; 4   

2 Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau:

Bài 8 Giải hệ phương trình sau:

Bài 9 Giải hệ phương trình:

Như vậy nếu ta nhân 3.PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+5/2)

Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được:

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm

Bài 10 Giải hệ phương trình:

Lấy PT   1  2 PT   2 ta sẽ được nhân tử chung là (x - 2)

Bài 11 Giải hệ phương trình:

Lấy PT   1  3 PT   2 ta sẽ được nhân tử chung là (x + 1)

Nhận xét: Như vậy với những hệ mà ta đoán được nghiệm (a; b) và khi thay x=a (hoặc y=b) vào hệ thì được PT(1) và

PT(2) có dạng tương đương ta đã xử lý được Vậy nếu khi thay vào hệ mà PT(1) và PT(2) không có dạng tương

đương ta sẽ xử lý sao?

+ khi ta dùng các kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính giữa x và y

+ từ đó thế ngược lại vào hệ như các bài trên để tìm ra hệ số k hoặc biểu thức (chứa x,y,xy ) làm cho tổ hợp của PT(1) và PT(2) xuất hiện nhân tử chung

Bài 12 Giải hệ phương trình:

Như vậy nếu ta nhân (1-y).PT(2)+PT(1) thì sẽ được nhân tử chung là (x+y-1)

Bài 13 Giải hệ phương trình:

Với y = 0 => x = 0 là một nghiệm của hệ

Với y0, nhân vào 2 vế của (1) với –y sau đó cộng theo vế phương trình (2) ta được:

2 x  2 y  4 x y  4 xy    0 x y (3)

Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2

2 y  2 y     y 1 x 1

Vậy nghiệm của hệ là (0;0), (1;1)

Bài 14: Giải hệ phương trình:

Nhân vế (2) với -2 rồi cộng cho (1) vế theo vế ta được:

CH N ĐỀ Phương pháp sử dụng liên hợp

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2 1

 Do đó f x ( )  g x ( ),   x   2; 4 hay phương trình (4) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3; 5)

   

 

2 2

Bài 4 Giải hệ phương trình:  

Suy ra     x y ;  1;1 là một nghiệm của hệ

Với x  1, phương trình thứ nhất tương đương:

PHẦN : PHƯƠNG PHÁP Đ T N PH Phương pháp đặt ẩn phụ là 1 trong những phương pháp khá mạnh để giải hệ phương trình Từ 1 hệ khá phức tạp

nhưng chỉ sau 1 vài bước đặt ẩn phụ sẽ đưa về các dạng hệ cơ bản mà ta có thể dễ dàng giải Thông thường khi thấy

cả 2 phương trình của hệ có những cụm hạng tử phức tạp giống nhau thì ta đặt nó làm ẩn phụ Xong với xu hướng câu

hệ phương trình hiện nay trong các đề thi thì HPT thường là câu lấy 8 - 9 điểm nên người ra đề cố tình ẩn đi các dấu đặt ẩn phụ để làm bài toán trở nên khó khăn hơn Bởi vậy khi đặt ẩn phụ thì việc quan trọng đó là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y) trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và

13

y x y

x

y x y x

0 )

1 1 )(

( 2 1

2 1

v u

uv v

u

v u

v u

Suy ra u = 1,v = 1 nên nghiệm của hệ là: (x; y) = (1;

phương trình thứ nhất nên ta nghĩ đến việc chọn ẩn phụ là 2 căn thức ấy để tìm được mối liên hệ giữa 2 ẩn thế vào phương trình thứ 2 và tìm ra nghiệm

Suy ra :

2 5

Nhận xét: Hệ phương trình này đặc biệt ở chỗ cần đặt nhiều hơn 2 ẩn phụ vì 2 phương trình không có biểu

thức phức tạp chung Trong các trường hợp như vậy, ta có thể cách đặt thêm 1 ẩn phụ nữa để tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa 2 ẩn thay vì chỉ sử dụng mối quan hệ được tìm ra ở (1) thay vào (2) vì việc tìm nghiệm hơi khó khăn

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

2 3

2

2 2

Nhận xét :việc đặt ẩn phụ như trên làm cho phương trình (1) trở nên đối xứng và dễ chịu hơn Trong một số

hệ chúng ta có thể không phải đặt ẩn phụ hoàn toàn (bài toán này cũng có thể sử dụng phương pháp đánh giá)

3 2

của hệ có quá nhiều điểm chung Có

Ta sẽ dùng phương pháp đặt ẩn phụ khi mà các thành phần của hệ phương trình có những điểm chung là những tổng hoặc tích phức tạp Nó giúp ta nhìn nhận vấn đề một cách thoáng hơn và dễ dàng nhìn ra hương giải quyết hơn nhiều

2 Sau đó giải phương trình bậc 4 Phương trình này cũng khá đơn giản và ta cũng có thể dễ dàng nhẩm ra

nghiệm Tuy nhiên cái hay của cách làm ẩn phụ như trên đó là ta có thể giải quyết được với cả số lẻ một cánh dễ dàng hơn rất nhiều

Ta được nghiệm của hệ là: 5 21 5; 21 , 5 21 5; 21 , (1; 2), (2;1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : 5 21 5 21 5 21 5 21

sẽ khiến nhiều người phải chùn bước.

Bài 4 Giải hệ phương trình:

Bài 6 Giải hệ phương trình:  

biết tới pp đặt ẩn phụ Mấu chốt của bài toán này là nhìn ra

Bài toán trở nên khá đơn giản sau khi ta đã có thể xác định được ẩn phụ Tuy nhiên tôi muốn nói về cách nghĩ ra

chúng Việc xuất hiên đã khiến ta nghĩ tới việc tạo ra bình phương tổng Tuy nhiên hệ số 5 của hạng

tử giúp các phân tích thành tổng và hiệu bình phương một cách tự nhiên

Bài 7 Giải hệ phương trình:

Nhận xét:

* Bài này thật sự là 1 thử thách khó khăn với bất kì người nào lúc mới làm theo phương pháp đặt ẩn phụ Điều đặc biệt của bài này đó là VP của cả (1) và (2) đều bằng 0 Đây là một dấu hiệu khá phổ biến và thường ta sẽ phải nhân (1) với 1 hằng số nào đó sau đó cộng hoặc trừ cho 2 để tạo thành nhân tử Trong trường hợp này thì rất may mắn cho

ta là hệ số tự do cần nhân đó là 1 Do dó ta sẽ trừ hoặc cộng chúng lại trong trường hợp này thì việc trừ giúp ta giải quyết vấn đề

* Điều đặc biệt thứ 2 trong bài toán này đó là việc đặt ẩn không hoàn toàn Đó là sau bước thay (3) vào (4) Lúc này

ta đã coi y như là tham số việc làm như thế giúp ta xử lí đẹp bài toán hơn Như đã nói ở trên việc đặt ẩn phụ giúp ta giải quyết tốt những bài toán với tham số, số bất kì dù cho kết quả không thật sự đẹp việc coi y như là tham số cũng

là 1 điều cần lưu ý khi giải toán

Bài 8 Giải hệ phương trình :

Thay y  x2  2 vào (2) ta được :

2 2 3 2

2 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : ( ; )x y (1; 1)

Bài 9 Giải hệ phương trình:

4

3 1

y y

 

    

     

Vậy hệ có nghiệm : ( ; )x y (1;3); ( 1;3)

Bài 10 Giải hệ phương trình :

PT (1)

2 2

3 Sử dụng phép chia làm xuất hiện đại lƣợng đặt ẩn phụ

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2 2

Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với

x

y x y

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm trên

Bài 2 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là ( ; ), (2;1), (4x y  2; 2 1);(4  2; 2 1)

Bài 3 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình : 2

Giải hệ trên bằng PP thế ta được nghiệm cần tìm

Bài 6 (B – 2009 ) Giải hệ phương trình:

Lần lượt chia PT(1), PT(2) cho y y ; 2và đặt ẩn phụ

Bài 7 Giải hệ phương trình:

4 Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu

Với cách đặt tổng – hiệu ta chỉ nên áp dụng cho các hệ mà có 2 phương trình chứa các hạng tử bậc 1, 2, 3, 1/2

Những hạng tử bậc quá cao hoặc quá thấp sẽ trở nên công kềnh hơn nếu áp dụng phương pháp này Và việc đặt ẩn phụ tổng hiệu không chỉ gò bó với cách đặt x y a x,  y b mà theo từng bài toán cụ thể ta sẽ đặt các biểu thức

những yếu tố như vậy nên chọn phương pháp “đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu”

Viết lại hệ phương trình đã cho dưới dạng:

3 3

(2 a  3)  (2 b  2)  0  2 a   3 2 b   2 2 a  2 b  5  0

Đến đây các bạn tự thay vào lại sẽ tìm được a, b => x, y

Bài 3 Giải hệ phương trình :

Cách 2: ta sẽ thử cách đặt tổng hiệu để xem bài toán có trở lên tính toán nhẹ nhàng hơn ? Do phương trình 2

của hệ chứa x - y nên ta sẽ đặt hiệu ở đây là x - y

2

a b x

Như vậy với cách đặt ẩn phụ tổng – hiệu ta đưa được về bài toán với hệ mới dễ giải hơn rất nhiều đây cũng là 1

ưu thế của phương pháp này khi bí cách làm hoặc cách đặt thông thường đưa về hệ khó giải

Bài 4: Giải hệ phương trình sau:    

2 2

Nhận xét: hệ này nếu chỉ đặt x+y=a; x-y=b thì cũng giải ra nhưng biểu thức sẽ cồng kềnh hơn Hơn nữa có

chứa phân thức nên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ có chứa phân thức đó