BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN PHUONG PHÁP TÍNH GVHD: Lê Thái Thanh Năm học: 2013-2014 Lớp: DT09 Họ tên sinh viên: Nguyễn Hoàng Thân MSSV:41303798 Tham số M=4.31 TP Hồ Chí Minh, tháng 7/2014 Câu 1: Khảo sát tìm tất nghiệm phương trình sau (kể nghiệm phức): x - 3.5Mx2 + x + 2M=0 Giải Đặt f(x) = x3 - 3.5Mx2 + x + 2M f ‘(x)= 3x2 – 30.17x + Phương trình f ‘(x) = có nghiệm thực phân biệt ⌊ 𝑥1 = 10.0234 𝑥2 = 0.0333 f(x1)f(x2) = -4230.973 < Hàm số f(x) có cực đại cực tiểu nằm khác phía so với trục Ox nên phương trình f(x) = có nghiệm thực phân biệt 𝑥 = 14.9798 [ 𝑥 = 0.813 𝑥 = −0.7078 Câu : Cho hệ phương trình Ax=b với A= (𝑎𝑖𝑗 )𝑛𝑖,𝑗=1 , b = (b1, ,bn)T n = 10 cho 3.5𝑀 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑗 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = aij= 0.5 𝑛ế𝑢 |𝑖 − 𝑗| = {0 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐á𝑐 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑛ế𝑢 𝑖 𝑐ℎẵ𝑛 bi={ 𝑀 𝑛ế𝑢 𝑖 𝑙ẻ 𝑖 (a)Sử dụng phương pháp choleski, tìm ma trận B phân rã A=BBT Sau giải hệ (b)Sử dụng phương pháp Gauss-seidel với x(0) = (0,…,0)T tìm nghiệm gần x(5).So sánh kết với câu (a) Giải (a)Ma trận B cần tìm: B= Nghiệm phương trình: x= (b)Nghiệm gần x(5) x(5) = Nghiệm gần x(5) gần với nghiệm x Sai số nhỏ 10-5 nên làm tròn đến chữ số ta thấy kết hoàn toàn giống Câu 3: Cho bảng nội suy với số liệu sau: n=10 x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 y 2.11 2.46 2.77 M 1.5 1.6 3.45 3.84 2M 1.7 1.8 1.9 5.21 4.83 1.5M 2.0 3.12 (a) Xây dựng đa thức P(x) = a0 + a1x + … +a10x10 nội suy bảng số Tính hệ số , i = 0, 1, … , 10 vẽ đồ thị P(x) (b)Xây dựng hàm spline bậc ba tự nhiên g(x) bảng số cho Xác định hệ số Vẽ đồ thị g(x) (c)Vẽ đồ thị P(x) g(x) hệ trục toạ độ So sánh Giải (a) Các hệ số , i= 0, 1, … , 10 a0 = 75759047.8 a1 = -537591864.3902 a2 = 1706486974.4904 a3 = -3191029635.7599 a4 = 3892728832.2335 a5 = -3237090991.8692 a6 = 1858399453.7037 a7 = -727323592.0966 a8 = 185723106.8122 a9 = -27942391.4242 a10 = 1881062.6102 Đồ thị P(x): (b)Các hệ số cần tìm a b c d 2.11 4.9233 -142.3337 2.46 0.6533 -42.7001 671.6683 2.77 12.2634 158.8004 -1274.3395 4.31 5.7932 -223.5015 795.6898 3.45 -15.0364 15.2055 1741.5803 3.84 40.2522 537.6796 -4622.0109 8.62 9.1277 -848.9237 4166.4633 5.21 -35.6631 401,0153 -823.8423 4.83 19.8247 153.8626 -1886.0941 6.465 -5.9856 -411.9656 1373.2188 3.12 Đồ thị g(x): (c) Đồ thị P(x),g(x): ( g(x) đường màu đỏ,P(x) đường màu xanh ) Câu 4: Cho hàm số f(x) xác định lân cận điểm x0 bước h > (a) Với điểm nút x0 - 2h, x0 - h, x0, x0 + h, x0 + 2h xây dựng đa thức nội suy Lagrange xấp xỉ hàm f(x) Từ đưa công thức xấp xỉ đạo hàm cấp cấp hàm f(x) điểm x0 (b) Áp dụng hàm f(x) = ( x2 + Mx +1 )ex x0 = bước h = 0.1 So sánh với giá trị xác Giải L0 = L1 = L2 = L3 = L4 = (x-x0+h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h) 24ℎ4 −1 (x-x0+2h)(x-x0)(x-x0-h)(x-x0-2h) 6ℎ4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0-h)(x-x0-2h) 4ℎ4 −1 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-2h) 6ℎ4 24ℎ4 (x-x0+2h)(x-x0 + h)(x-x0)(x-x0-h) f(x)≃y0.L0(x)+y1.L1(x)+y2.L2(x)+y3.L3(x)+y4.L4(x) L0’(x0) = L1’(x0) = L2’(x0)= L3’(x0)= L4’(x0)= 24ℎ4 h(-h)(-2h) = 12ℎ −1 −2 6ℎ 3ℎ 2h(-h)(-2h) = 24ℎ4 −1 6ℎ4 [h(-h)(-2h)+2h(-h)(-2h)+2h.h(-2h)+2h.h(-h)] =0 2h.h(-2h) = 24ℎ4 2h.h(-h) = 3h −1 12h f’(x0)≃y0.L’0(x0)+y1.L’1(x0)+y2.L’2(x0)+y3.L’3(x0)+y4.L’4(x0) f’(x0) ≃ 𝟏 𝟏𝟐𝐡 L0”( x0)= L1”( x0)= L2”( x0)= L3”( x0)= (y0-8y1+8y3-y4) 24ℎ4 −1 6ℎ4 4ℎ4 −1 6ℎ4 (-2h2)= (-8h2)= 12ℎ2 3ℎ (-10h2)= (-8h2)= −1 −5 2ℎ2 3ℎ L4”( x0)= 24ℎ4 (-2h2)= −1 12ℎ2 f”( x0)≃y1.L”0(x0)+y1.L”1(x0)+y2.L”2(x0)+y3.L”3(x0)+y4.L”4(x0) f”( x0) ≃ 𝟏 𝟏𝟐𝒉𝟐 (-y0+16y1-30y2+16y3-y4) (b) f(x) = 4.9466x4 - 5.5674x3 + 15.4696x2 + 0.281x +2.0226 f’(x0) ≃ 34.3042 f’’(x0) = 56.8934 Câu 5: Xét tích phân I=∫0 1+𝑀𝑥 𝑥 +2𝑀𝑥+5 Sử dụng công thức Simpson mở rộng, xấp xỉ tích phân với sai số nhỏ 10-6 Giải I ≃ I* =0.3197 Câu 6: Cho hệ phương trình vi phân cấp 1: 𝑥 ′ (𝑡) = 2𝑀𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + { 𝑦 ′ (𝑡) = −𝑥 + 3𝑀𝑦(𝑡) − 𝑧(𝑡) + 𝑡 𝑧 ′ (𝑡) = −𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) + 4𝑀𝑧(𝑡) + 𝑡 thoả điều kiện ban đầu x(0)=0.2, y(0) = 0.5, z(0)=0.8 Sử dụng công thức Runge – Kutta cấp 4, xấp xỉ hàm x(t), y(t), z(t) [0, 1] với bước h = 0.1 Vẽ đồ thị chúng x y z 0.2 0.5 0.8 0.2264 1.434173 4.090595 -1.090745 3.497345 21.695437 -10.814384 4.175380 117.572594 -66.968989 -29.915747 644.885889 -371.851101 -354.297605 3561.383819 -2007.318486 -2643.980163 19745.696777 -10814.188872 -17145.886063 109737.157142 -58613.898738 -104298.648139 610753.192713 -320035.195522 -613175.821671 3402301.173238 -1758519.020314 -3534528.190170 18964026.804106 Đồ thị: Câu 7: Xét toán biên 𝑥 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑀𝑥𝑦 ′ (𝑥) − 12𝑦(𝑥) = (1 + 𝑥 )𝑒 −𝑥 ≤ x ≤2 { 𝑦(1) = 0, 𝑦(2) = 0.5𝑀 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, xấp xỉ hàm y(x) [1, 2] với bước h = 0.1 Vẽ đồ thị Giải y(x)= Đồ thị: ... -537591864.39 02 a2 = 1706486974.4904 a3 = -3191 029 635.7599 a4 = 38 927 288 32. 2335 a5 = - 323 7090991.86 92 a6 = 1858399453.7037 a7 = - 727 323 5 92. 0966 a8 = 185 723 106.8 122 a9 = -27 9 423 91. 424 2 a10 = 18810 62. 61 02. .. d 2. 11 4. 923 3 -1 42. 3337 2. 46 0.6533 - 42. 7001 671.6683 2. 77 12. 2634 158.8004 - 127 4.3395 4.31 5.79 32 -22 3.5015 795.6898 3.45 -15.0364 15 .20 55 1741.5803 3.84 40 .25 22 537.6796 -4 622 .0109 8. 62 9. 127 7... f(x)≃y0.L0(x)+y1.L1(x)+y2.L2(x)+y3.L3(x)+y4.L4(x) L0’(x0) = L1’(x0) = L2’(x0)= L3’(x0)= L4’(x0)= 24 ℎ4 h(-h)(-2h) = 12? ?? −1 ? ?2 6ℎ 3ℎ 2h(-h)(-2h) = 24 ℎ4 −1 6ℎ4 [h(-h)(-2h)+2h(-h)(-2h)+2h.h(-2h)+2h.h(-h)] =0 2h.h(-2h)