phương trình mặt phẳng

Vấn đề véc tơ pháp tuyến hệ Oxyz Trong hệ tọa độ Oxy n ( A;B;C ) n ( A;B ) Định lý:Trong hệ tọa độ Oxy,mi ng thng có phơng trình dạng: Ax +By + C = 0,A2+ B2 P Mặtsao phẳng đờngtrong thẳng không không Và ngợc lại phơng trìnhTại gian chọn thể chọn đợc đợc véc véc Ax +By +C = 0, với A2 +B2gian có tơ tơ pháp pháp tuyến? tuyến? ph trinh dng thẳng ng thng Ax + By + C =0 cú vect phỏp tuyn l n ( A;B ) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng phơng trình tổng quát mặt phẳng 1.Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n n ( A;B;C ) ( A;B;C ) véc tơ pháp tuyến mp (P) { n n (P) { A2 + B + C n (P) P kn Các véc tơ k n véc tơ pháp tuyến Bi toỏn: Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) v vect khụng cựng phng a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) cú giỏ song song hoc nm mt phng (P) Vect n = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1)gNghec gi l vect phỏp tuyn ca mp (P) Kớ hiu: n = a ^ b hoc = [ a , b ] hi t úm l tớch cú hng ca vect t t : H1: Trong khụng gian Oxyz cho A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hóy tớnh vect phỏp tuyn ca mp(ABC) Bài giải Vtpt n = [AB;AC] AB = ( 2; ; -2) AC = ( -12; ; 0) Vtpt n = [AB;AC] = (12 ; 24 ; 24) Hay n = (1; 2; 2) II Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng: Bi toỏn 1:Trong hệ tọa độ Oxyz (P) thỏa mãn { n ( A;B;C ) Qua M0 ( x0;y0 ;z0) Vtpt n ( A;B ;C) P CMR: M (x ;y;z) (P) A(x x0) +B(y y0)+ C (z-z0) = Gii M (x ;y;z) (P) n M0M M(x0 ;y0;z0) M (x ;y;z) Bi toỏn 2: M (x ;y;z) thỏa mãn pt Ax +B y + Cz + D = 20 (*) A +B2+C2 Chọn M0(x0 ; y0 ; z0) thỏa (*) Có: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = (**) Ax + By+ C z - Ax0 -B y0 - C z0 = => A(x x0) +B(y y0)+ C (z-z0) = Đặt D => n ( A;B;C ) M0M Ax + By+ C z + D = Vy n l vect phỏp tuyn ca (P) nh ngha: Phng trỡnh cú dng Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2+C2 0, c gi l phng trỡnh tng quỏt ca mt phng *) Nhn xột: a) Nu mp (P) cú phng trỡnh tng quỏt l Ax + By + Cz + D = thỡ nú cú vtpt l n = ( A; B ; C) b) Phng trỡnh mp i qua im M0(x0, y0, z0) nhn vect n = ( A; Bkhỏc ; C) vect khụng lm vect phỏp tuyn l A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = H2: Cho mp (P): 4x 2y 6z + = Tỡm vtpt ca (P)? Gii: n = ( 4; -2 ; -6) H3: Lp phng trỡnh tng quỏt ca mp(MNP) vi M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) Gii: Vtpt n = [MN;MP] MN = ( 3; ; 1) MP = ( 4; ; 0) Vtpt n = [MN;MP] = (-1 ; ; -5) Pt mp (MNP) qua M(1; 1; ) nhn n = (-1 ; ; -5) lm vtcp Pt.(ABC) : -1(x 1) + 4(y 1) 5(z 1) = hay - x + 4y - 5z + = Cỏc trng hp riờng: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): Ax + By + Cz +D= 0(1) a) Nu D = (P) i qua gc to O b) Nu h s A bng (P) // Ox hoc (P) cha trc Ox H4: Nờu trng hp nu B = hoc C = 0? ) A: B = (P) // Oy hoc cha trc Oy C = (P) // Oz hoc cha trc Oz c) Nu A = B = 0, C (P) // hoc trựng mp(Oxy H5: Nu A = C = 0, B (P) // hoc trựng mp(Oxz) Nu B = C = 0, A (P) // hoc trựng mp(Oyz) *) Nhn xột: Phng trỡnh mt phng i qua im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) l: z =1 x + y + a b c Vớ d : Viết phơng trình mặt phẳng Đi Điqua qua 33 điểm điểm A(-1;0;0) A(-1;0;0) ,, B(0;2;0),C B(0;2;0),C (0;0;-5) (0;0;-5) Bài giải z x + y + -1 -5 =1 Ph.trình mp (ABC) : 10 x -5y + 2z -10 = Đi qua A(2;-3;1) B ( ; ; -2) Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn : (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + = Kết luận sau đúng? a) Véc tơ u = ( ; ; -4) véc tơ pháp tuyến (P) b) Véc tơ v = ( -2 ; ; -3) véc tơ pháp tuyến (P) c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) véc tơ pháp tuyến (P) Trong hệ tọa độ Oxyz { Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxyz cho (P) thỏa mãn A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4) 1Vtpt n ( A;B ;C) 2 A +B +C Viết phơng trình mặt phẳng trung Phơng trình trực đoạn AB A(x x0) + B(y y0)+ C(z z0) = Bài giải Gọi (P) mặt phẳng trung trực AB Ng ợc lại Ngợc lại Qua I ?(2;-2;2) (P) thỏa mãn Từ pt: Ax + By+ C z + D = 1Vtpt AB n =? (6;-10;4) Với: A2+B2+C2 Phơng trình (P): Chọn đợc: M (x ; y ; z ) thỏa (*) Qua M0 ( x0;y0 ;z0) { 0 0 Và véc tơ pháp tuyến n ( A;B;C ) 3x-5y +2z 20 = Bài tập : Trong hệ tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (P) (Q)_ lần Qua M0 ( x0;y0 ;z0) lợt có phơng trình: (P) thỏa mãn 1Vtpt n ( A;B ;C) 3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = A2+B2+C2 Một điểm M0 ( 1;-4;0) Viết phơng trình mặt phẳng( ) qua M0 Phơng trình đồng thời vuông góc với hai mặt Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = phẳng (P) (Q) * Mặt phẳng (P) (Q) Bài giải: { n(P).n(Q)= *) (P) // (Q) chung vtpt Vì () (P) => () có vtcp u (3;2;-5) Vì () (Q) => () có vtcp v (1;-7;6) [u,v] = (- 23; -7 ; -23) Chọn vtpt () n (23; 7;23) () qua M0(1;-4 ; 0) => Ph.trình () 23x +7y +23z +5 = Hình thức thứ :Cho trực tiếp n ( A;B;C ) TH1: A(x1;y1;z1) B(x2;y2;z2) P n = AB (P) Hình thức thứ hai :cho gián tiếp Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH2: u v P u // nằm (P) v // nằm (P) u v không phơng n =[u ;v] n =[u ;v] Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH3: nQ = ( A,B,C) (Q) Q nP = ( A,B,C) (Q) P (P) // (Q) Ph.trình (Q) :Ax + By +Cz + D1 = => Ph.trình (P) : Ax +By +Cz +D2 = Chú ý: nQ = ( A,B,C) (Q) Q nQ = ( A,B,C) // (P) P IV Khong cỏch t mt im n mt mt phng nh lớ: Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) :Ax + By + Cz + D = v im M0(x0; y0; z0) Khong cỏch t M0 n mp (P), kớ hiu d(M0, (P)) d ( M , ( P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B +C 2 Vớ d: Tớnh khong cỏch t gc to O n mp(P): 2x + 2y z + = Gii: d ( M , ( P)) = d (O, ( P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A + B +C 2 2.0 + 2.0 + (1).0 + + + (1) 2 2 = =1 Vớ d 2:Tớnh khong cỏch gia hai mp song song (P): x + 2y + 2z + 11 = (Q): x + 2y + 2z + = Gii: Ly M(0; 0; -1) thuc (Q) + 2.0 + 2.(1) + 11 d (( P), (Q)) = d (M , ( P)) = = =3 2 +2 +2 H7: Tớnh khong cỏch gia mp (P): x = (Q): x = Gii: Ly M(2, 0, 0) thuc (P) d (( P ), (Q)) = d ( M , (Q)) = + 0.0 + 0.0 +0 +0 2 = =6 I.Lý thuyết : Nắm vững toán viết phơng trình mặt phẳng (Phải biết điểm mặt phẳng Vtpt mặt phẳng) Nắm vững cách xác định véc tơ phơng mặt phẳng Nắm vững cách xác định véc tơ pháp tuyến mặt phẳng IBài tập: Từ đến 10 trang 81 82 (Sgk) 10 [...]... 20 = 0 Bài tập : Trong hệ tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần Qua M0 ( x0;y0 ;z0) lợt có phơng trình: (P) thỏa mãn 1Vtpt n ( A;B ;C) 3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0 A2+B2+C2 0 Một điểm M0 ( 1;-4;0) Viết phơng trình mặt phẳng( ) qua M0 Phơng trình và đồng thời vuông góc với cả hai mặt Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = 0 phẳng (P) và (Q) * Mặt phẳng (P) (Q) Bài giải: { n(P).n(Q)= 0 *) (P)... ( M , (Q)) = 2 + 0.0 + 0.0 8 1 +0 +0 2 2 2 6 = =6 1 I.Lý thuyết : Nắm vững bài toán cơ bản về viết phơng trình mặt phẳng (Phải biết một điểm của mặt phẳng và một Vtpt của mặt phẳng) Nắm vững cách xác định một véc tơ chỉ phơng của mặt phẳng Nắm vững cách xác định một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng IBài tập: Từ 1 đến 10 trang 81 và 82 (Sgk) 10 ... C1) k(A2; B2; C2) Trong hệ tọa độ Oxyz Qua M0 ( x0;y0 ;z0) Viết phơng trình mặt phẳng (P) thỏa mãn 1Vtpt n ( A;B ;C) đi qua điểm M (3;0 ;-1) và song song 0 A2+B2+C2 0 với mặt phẳng (Q) có phơng trình: Phơng trình 4x -3y +7z +1 = 0 { Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = 0 n Bài giải Mặt phẳng () Qua M0( 3;0;-1) 1vtpt ( 4;-3;7) => Phơng trình (): 4x 3y +7z -5 = 0 P Q ( 4;-3; 7 ) 2 Diu kin hai mp vuụng gúc... mãn A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4) 1Vtpt n ( A;B ;C) 2 2 2 A +B +C 0 Viết phơng trình mặt phẳng trung Phơng trình trực của đoạn AB A(x x0) + B(y y0)+ C(z z0) = 0 Bài giải Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB Ng ợc lại Ngợc lại Qua I ?(2;-2;2) (P) thỏa mãn Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0 1Vtpt AB n =? (6;-10;4) Với: A2+B2+C2 0 Phơng trình (P): Chọn đợc: M (x ; y ; z ) thỏa (*) Qua M0 ( x0;y0 ;z0) { 0 0 0 0... pt mặt phẳng (P) thỏa mãn : (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 Bài giải Vì (P) (Q) v (P) qua A, B => hai vect khụng cựng phng cú giỏ song song hoc nm trờn (P) l AB ( -2;4; -3) n(Q)(3;5;-4) => Véc tơ n(P) = [ n(Q) ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P) (P) Qua A(2;-3;1) => Phơng trình (P) là 1(x 2) + 17(y+3) + 22(z-1) = 0 Hay x + 17y + 22 z + 27 = 0 Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) Cho mặt. .. 0) => Ph .trình () là 23x +7y +23z +5 = 0 Hình thức thứ nhất :Cho trực tiếp n ( A;B;C ) TH1: A(x1;y1;z1) B(x2;y2;z2) P n = AB (P) Hình thức thứ hai :cho gián tiếp Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH2: u v P u // hoặc nằm trên (P) v // hoặc nằm trên (P) u và v không cùng phơng n =[u ;v] n =[u ;v] Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH3: nQ = ( A,B,C) (Q) Q nP = ( A,B,C) (Q) P (P) // (Q) Ph .trình (Q)... (P) v // hoặc nằm trên (P) u và v không cùng phơng n =[u ;v] n =[u ;v] Hình thức thứ hai :cho gián tiếp TH3: nQ = ( A,B,C) (Q) Q nP = ( A,B,C) (Q) P (P) // (Q) Ph .trình (Q) :Ax + By +Cz + D1 = 0 => Ph .trình (P) : Ax +By +Cz +D2 = 0 Chú ý: nQ = ( A,B,C) (Q) Q nQ = ( A,B,C) // (P) P IV Khong cỏch t mt im n mt mt phng nh lớ: Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) :Ax + By + Cz + D = 0 v im M0(x0; y0; z0) Khong... [ n(Q) ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P) (P) Qua A(2;-3;1) => Phơng trình (P) là 1(x 2) + 17(y+3) + 22(z-1) = 0 Hay x + 17y + 22 z + 27 = 0 Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn : (Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 Kết luận nào sau đây đúng? a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P) b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P) c) Véc