Trường tachyon trong lí thuyết dây

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC – người tận tình dạy, cung cấp cho kiến thức tảng người trực tiếp hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, giáo sư, tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn bạn học viên lớp cao học K15 – chuyên ngànhVLLT & VLT giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng để hoàn thành, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Mặt khác, đề tài: “Trường Tachyon lí thuyết Dây” đề tài mới, đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực vật lí lí thuyết nên kết luận văn đạt chưa triệt để Tôi mong nhận ý kiến bảo, ý kiến đóng góp thầy, cô giáo, bạn học viên người quan tâm đến đề tài Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Trọng Nghĩa, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành VLLT & VLT – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn với đề tài: “Trường tachyon lí thuyết Dây” trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Nếu có điều không trung thực luận văn tôi, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương DÂY BOSON 1.1 Phương trình chuyển động dây 1.2 Toạ độ dây dao động tử quỹ đạo 12 1.3 Đại số dây Virasoro 14 1.3.1 Lượng tử hóa dây boson, tensor xung – lượng 14 1.3.2 Đại số dây Virasoro 17 1.4 Phổ khối lượng trạng thái kích thích dây 21 Chương SIÊU DÂY 24 2.1 Siêu đối xứng dây 24 2.2 Siêu dao động tử quỹ đạo 26 2.2.1 Siêu dây mở 26 2.2.2 Siêu dây đóng 27 2.3 Siêu đại số dây 29 2.3.1 Lượng tử hóa Siêu dây 29 2.3.2 Siêu đại số Neveu – Schwarz Ramond 31 2.4 Phổ khối lượng trạng thái kích thích Siêu dây 36 Chương CƠ CHẾ KHỬ TACHYON 40 3.1 Khử tachyon Siêu dây 40 3.2 Đối xứng nội dây đại số dây với đối xứng nội dây 41 3.3 Khử tachyon dây boson 44 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết Dây đánh giá phương hướng nhiều triển vọng để xây dựng mô hình thống tương tác – mạnh, yếu, điện từ hấp dẫn.Lí thuyết Dây gắn kết cách tiếp cận tưởng chừng khác trước Lí thuyết tương tác hạt bản, dẫn đến ý tưởng mẻ, có tính cách mạng Vật lí lí thuyết vũ trụ học Tuy nhiên, để xây dựng Lí thuyết Dây hoàn chỉnh phải giải nhiều khó khăn, vấn đề bật tồn trường tachyon ứng với hạt có m2< có vận tốc chuyển động lớn c Để giải khó khăn này, chọn đề tài: “Trường tachyon lí thuyết Dây” đề tài luận văn Mục đích nghiên cứu Đề tài luận văn “Trường tachyon lí thuyết Dây” nhằm mục đích tìm hiểu nghiên cứu hạt tachyon Lí thuyết Dây, đặc biệt quan tâm đến chế khác nhằm loại trừ tachyon Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu hạt tachyon chế loại trừ tachyon lí thuyết Dây Đối tượng phạm vi nghiên cứu Có giả thuyết đề xuất nhằm loại trừ tachyon Lí thuyết Dây, đáng ý sử dụng toán tử chiếu GSO (Gliozzi – Scherk – Olive) Tuy nhiên, hạn chế toán tử chiếu GSO áp dụng cho Siêu dây NS (Neveu – Schwarz) nên luận văn tập trung nhiều đến chế khử tachyon Dây boson Những đóng góp đề tài Triển khai tính toán chi tiết số phép biến đổi lí thuyết Dây Đưa thực phương pháp nhằm loại trừ tachyon lí thuyết Dây, đặc biệt dây boson Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp: - Lí thuyết trường lượng tử hạt - Lí thuyết nhóm - Đại số Virasoro siêu đại số - Lí thuyết Gauge cho phiếm hàm trường dây NỘI DUNG Chương DÂY BOSON 1.1 Phương trình chuyển động dây Lí thuyết trường lượng tử tương ứng với quan niệm hạt đối tượng không “kích thước – điểm”theo nghĩa toán học Để giúp tìm hiểu sâu khái niệm hạt dây, ta nhắc sơ qua hạt điểm Khi chuyển động không – thời gian từ vị trí đến vị trí 2, hạt điểm vạch nên đường gọi đường (xem hình 1.1) đường xμ (τ) Hình 1.1 Vị trí dây mô tả hàm vector x ( ) phụ thuộc vào thông số dọc theo quỹ đạo, hiểu thời gian riêng hạt, số Lorentz khái quát không – thời gian D chiều, 0,1,2, ,D Chuyển động hạt điểm không – thời gian Minkowski với metric: diag(1, 1, , 1) mô tả tác dụng: S d e 1( ) x x (1.1) Trong e( ) hàm đó, đóng vai trò metric dọc theo quỹ đạo, d d 10 Tác dụng (1.1) bất biến phép biến đổi tổng quát: ' f( ) e( ) d ' e( ) d e'( ') Thật vậy, ta có: S d 'e 1' ( ') ' x 'x d ' d 'e ( ) d d x x d ' d 'e ( ) d d ' d e 1( ) x x x x S Tính bất biến sử dụng để đặt e( ) =1 Lúc ta nói dùng conformal gauge, viết (1.1) lại thành: S d x x (1.2) Phương trình Euler – Lagrange áp dụng x : L x L ( x ) dẫn tới phương trình: d2 x d có nghiệm tương ứng với đường thẳng không – thời gian Minkowski Khi xem hạt đối tượng có kích thước chiều – dây, cách tiếp cận tương tự.Khi chuyển động không – thời gian từ vị trí đến vị trí 2, hạt dây quét nên mặt gọi (xem hình 1.2) 11 Xμ (τ,σ) Hình 1.2 Vị trí dây không – thời gian xác định hàm X ( , ) phụ thuộc vào hai thông số , hiểu thời gian riêng dây, , hiểu độ dài xác định điểm dây, với giá trị chọn khoảng Kết hợp lại thành vector hai chiều thế, ta viết: ( , ), , Đưa vào metric tensor h h với tính chất: h h ,h h ,h h biến đổi theo quy luật: h ( ) h' ( ') h ( ) h' ( ') ' ' ' ' h ( ) h ( ) (1.3) tác dụng phép biến đổi tổng quát: ' f ( ) (1.4) Chuyển động hạt dây không – thời gian mô tả tác dụng: S d2 hh X X (1.5) đó: h det h h 00 h11 h 201, X X 12 Tác dụng (1.5) bất biến phép biến đổi tổng quát mà bất biến phép biến đổi Weyl định xứ metric: h ( ) ( ).h ( ) hh (1.6) Vì lúc này: ( )( h) ( )h hh Như vậy, có ba đối xứng định xứ: Đối xứng (1.4) với hai thông số đối xứng Weyl (1.6) Do ta chọn thành phần độc lập metric tensor h theo metric Minkowski h hai chiều: diag(1, 1) Ta nói dùng conformal gauge, lúc tác dụng (1.5) thành: S d2 X X d d ( X X X X ) (1.7) Áp dụng phương trình Euler – Lagrange: L X L ( X ) vào tác dụng (1.7) ta phương trình chuyển động: X 2 X (1.8) 1.2 Tọa độ dây dao động tử quỹ đạo Phương trình chuyển động dây (1.8) phương trình sóng chiều với nghiệm tổng quát viết dạng: X XR XL (1.9) Trong X R mô tả mode “chuyển động phải”, X L mô tả mode “chuyển động trái” dây 35 Siêu đại số (2.46) gọi siêu đại sô Neveu – Schwarz, siêu đại số (2.47) gọi siêu đại số Ramond 2.3.2.2 Siêu dây đóng Trong trường hợp Siêu dây đóng, thay (2.34) (2.42) ta xét toán tử: L(n ) Gs e e 2in T00( ) cos2n d iT01( ) sin 2n (2.48) 2is J 01e2is d J 02 e 2is (2.49) Cũng làm tương tự trường hợp Siêu dây mở, ta có toán tử: Ln L(R) L(L) n n Gs G(R) G(L) s s với biểu thức cụ thể sau: * Miền NS – NS: L(R) n L(L) n 2 : k ,n k : k : % k %,n k : k G(R) s k b 2 s : b sb ,n s : s s : b%sb%,n s : s ,s k k % k b%,s G(L) s (2.50) k k * Miền NS – R: L(R) n L(L) n 2 : k ,n k : k : % k %,n k : k 2 s : b sb ,n s : s k : d%k d%,n k : s 36 G(R) s k b ,s k k % k d%,n G(L) ns (2.51) k k * Miền R – NS: L(R) n L(L) n 2 : k ,n k : k : % k %,n k : k G(R) s k d 2 k : d kd ,n k : k k : d%k d%,n k : k ,n k k % k b%,s G(L) s (2.52) k k * Miền R – R: L(R) n L(L) n 2 : k ,n k : k : % k %,n k : k G(R) n k d 2 k : d kd ,n k : s k : d%k d%,n k : s ,n k k % k d%,n G(L) n (2.53) k k Các vi tử (R) vi tử (L) giao hoán phản giao hoán với nhau, riêng rẽ chúng tạo nên siêu đại số Neveu – Schwarz siêu đại số Ramond 2.4 Phổ khối lượng trạng thái kích thích Siêu dây Các vi tử Ln, Gs tác dụng không gian Fock trạng thái kích thích dạng: (n1 n p ,s1 sq ) ~ n1 p np bs11 bsqq n 0,s (2.54) 37 miền NS tương tự (thay d cho b) miền R Các trạng thái (2.54) thỏa mãn phương trình sau: - Siêu dây mở NS: L0 Ln 0, n Gs 0, s (2.55) - Siêu dây mở R: Gk 0, k Ln 0, n (2.56) Chú ý từ phương trình G0 L0 G20 suy phương trình L0 - Siêu dây đóng NS – NS: L0 L%0 Ln L%n 0, n Gs % G s 0, s L%0 L%n 0, n % G k 0, k 1 (2.57) - Siêu dây đóng NS – R: L0 Ln Gs 0, s (2.58) 38 - Siêu dây đóng R – NS: L%0 L0 0 Ln L%n 0, n Gk 0, k % G s 0, s L0 L%0 Ln L%n 0, n Gk 0, % G k 0, k 1 (2.59) - Siêu dây đóng R – R: (2.60) Các phương trình có L0 cho phép xác định phổ khối lượng trạng thái Ta có: sb s b s ,miÒn NS L0 p a s n (2.61) n n nd n d n ,miÒn R n a = trường hợp dây mở a = trường hợp dây đóng Thay (2.61) vào phương trình có L0 (2.55) – (2.60), ta có: p2 a n sb s b n s (2.62) s n cho Siêu dây NS, và: p2 a n n cho Siêu dây R nd n d n n n (2.63) 39 Dùng hệ thức giao hoán (2.29) – (2.30) dễ dàng chứng tỏ rằng: - Trạng thái kích thích Siêu dây mở NS (2.54) có: p p m 2 q ni (2.64) si i i - Trạng thái kích thích Siêu dây mở R tương tự (2.54) có: p m2 q ni (2.65) si i i - Trạng thái kích thích Siêu dây đóng NS – NS: (n1 n p ,s1 sq ,m1 n k ,r1 rl : n1 p np b s11 bsqq %m11 %mkk b%r11 b%rl l (2.66) Có: p m2 q ni k si i l mi i ri i (2.67) i - Trạng thái kích thích Siêu dây đóng NS – R tương tự (2.66) có: p m2 q ni k si i i l mi ri i (2.68) i - Trạng thái kích thích Siêu dây đóng R – NS tương tự (2.66) có: p m q ni i k si i l mi ri i (2.69) i - Trạng thái kích thích Siêu dây đóng R – R tương tự (2.66) có: p m q ni i k si i l mi i ri (2.70) i Các kết (2.64) – (2.70) chứng tỏ Siêu dây có miền R không chứa tachyon, Siêu dây mở NS Siêu dây đóng NS – NS chứa tachyon (trạng thái không kích thích) với m2 = - m2 = -4 40 Chương CƠ CHẾ KHỬ TACHYON 3.1 Khử tachyon Siêu dây Ta biết chương trước, theo (2.64) (2.67) cho thấy Siêu dây mở NS Siêu dây đóng NS – NS chứa tachyon (trạng thái không kích thích) với m2 = -1 m2 = -4 Gliozzi, Scherk Olive đề xuất chế khử tachyon sau: Đưa vào toán tử chẵn lẻ G định nghĩa bởi: G bs b s s (3.1) gọi toán tử chiếu GSO Dùng hệ thức giao hoán (2.29) dễ dàng chứng minh rằng: p s f(s)b s b s b r11 b rpp f(ri )b r11 b rpp r (3.2) i từ suy b s b s toán tử số dao động tử b Do ta có: s Gb r11 b rpp ( 1)p b r11 b rpp (3.3) Như vậy, với Siêu dây NS ta phân biệt hai loại trạng thái: trạng thái với số chẵn dao động tử b, có G = +1, trạng thái với số lẻ dao động tử b, có G = -1 Nếu đặt điều kiện G = -1 lên trạng thái vật lí loại trừ tachyon Thật vậy, lúc trạng thái vật lí có số lẻ dao động tử b, giá trị m2 thấp tương ứng với trường hợp p = 0, q = 1, s = (2.64) (2.67), m2 = công thức 41 3.2 Đối xứng nội dây đại số dây với đối xứng nội dây Lí thuyết động lực Dây xây dựng tảng đại số Dây tương ứng, số chiều không – thời gian D thể số hạng dị thường có vai trò quan trọng toàn cấu lí thuyết Mục giới thiệu mô hình Siêu dây với đối xứng nội Giả sử không – thời gian D chiều, Dây vận động không gian nội d chiều với nhóm đối xứng O (p,q), p + q = d Giả sử chuyển động Dây không gian nội đặc trưng tensor phản xứng ab ( , ),a,b 1,2, ,d với đối tác siêu đối xứng chúng Cũng giống X ( , ) ( , ), vô hướng ab ab ab (r, ) (r, ) spinor Majorana Chuyển động Siêu dây mô tả tác dụng: S S(X, S(X, ) ) S( , ) (3.4) mô tả chuyển động không – thời gian D chiều, xác định công thức (2.1) – (2.4) S (X, S( , ) ) d2 ( X X i ) (3.5) mô tả chuyển động không gian nội tại, có dạng tương tự: S( , ) d2 Phương trình chuyển động cho ab ab ab ( ab ab ab i ab ab ) (3.6) suy từ (3.6) có dạng: ( , ) ( , ) (3.7) Các phương trình (3.7) dẫn đến biểu thức khai triển mode ab tương tự X Chẳng hạn, với Siêu dây mở, ta có: ab 42 ab ( ab ) ab i n z ab ( , ) f ab ei ( ) ab ( , ) f ab ei ( ) 0n ab in n e cos n (3.8) ,miÒn NS Z,miÒn R Z đó: Các hệ thức giao hoán tắc đồng tương ứng với Lagrangian (3.6) là: ab ( , ), cd ( , ') ab ( , ), cd ( , ') i ab A ( , ), cd B ( , ') ac bd ad bc ac bd ad bc A,B = 1,2 số spinor thế, ab ' AB (3.9) ' (3.10) metric Minkowski không gian đối xứng nội Các hệ thức giao hoán (3.9) (3.10) tương ứng với hệ thức giao hoán sau mode dao động tử nội tại: ab , cd ab , cd i , cd m ab n no n ac ( n m,o bd ( ad ac bc bd ) ad bc ) (3.11) và: f ab ,f cd Lập vi tử: ,o ( ac bd ad bc ) (3.12) 43 Trong L(X, n Ln L(X, n G G(X, ) G(X, ) ) ) L(n , G( ) , ) (3.13) vi tử xây dựng từ dao động tử quỹ đạo theo công thức (2.36), (2.37) (2.44), (2.45) tạo nên siêu đại số Virasoro: ) L(X, ,L(X, n m ) ) L(X, ,G(X, n Dn(n ) (n m)L(X, n m n ) G(X, ) ,G(X, ) 2L(X, G(X, n ) ) n, m ) D(4 ) (3.14) , 1, miÒn NS 0, miÒn R L(n , ) G( , ) vi tử xây dựng từ dao động tử nội theo công thức: L(n , G( ) , ) : ab k ab,n k : f ab fab,n : k Z 2k ab k ab,k f (3.15) Z Từ hệ thức giao hoán (3.11) (3.12) chứng tỏ rằng: L(n , ) ,L(m, ) L(n , ) ,G( , ) G( , ) , ) ,G( (n m)L(n , m) n 2L( G(n , , ) d(d 1)n(n 16 ) n, m ) d(d 1)(4 16 ) , (3.16) 44 Từ (3.14) (3.16) ta thấy vi tử (3.13) tạo nên siêu đại số Virasoro với số hạng dị thường: A(L) (n) D d(d 1) n(n 2 ) A(G) ( ) D d(d 1) (4 ) (3.17) Như vậy, để có tương thích, đòi hỏi phải có hệ thức: D d(d 1) 10 (3.18) Phương trình (3.18) có ba nghiệm thích hợp: D = 9, d = (3.19) D = 7, d = (3.20) D=d=4 (3.21) đặc biệt là: Trong trường hợp mô hình không đòi hỏi chiều không gian ngoại phụ 3.3 Khử tachyon dây boson Trong mục đưa mô hình đại số dây boson không chứa tachyon đồng thời không đòi hỏi chiều không gian ngoại phụ Cùng với dao động tử vong Fadeev Popov, ta đưa thêm dao động tử vong c’n, b’n thỏa mãn hệ thức giao hoán: c'n ,b'm lập vi tử dạng: n, m c'n ,c'm b'n ,b'm c'n ,c'm cn ,b'm b n ,c'm b'n ,b'm (3.22) 45 (x) L qn q Ln (c') L pn p p,q Z (3.23) Trong L(x) ký hiệu vi tử Virasoro gắn với tọa độ X thông thường, tạo nên đại số Virasoro với số hạng dị thường: A(X) (n) D n n2 12 (3.24) L(c’) ký hiệu vi tử Virasoro gắn với vong bổ sung c’n, b’n L(c') n n k : c' k b'n k : (3.25) k Z tạo nên đại số Virasoro với số hạng dị thường: n 16 A(c') (n) 13n (3.26) Dễ dàng thấy vi tử (3.23) tạo thành đại số Virasoro với số hạng dị thường: n 12 A(n) qD 26p n D q p (3.27) Từ vi tử (3.23) lập toán tử dạng BRST (Becchi – Rouet – Stora – Tyutin): Q Lnc n n Z : L(c) n c n : 2n Z c0 (3.28) Theo kết tính toán hình thức luận BRST, ta có: Q2 12 n D q p 24 qD 26p 26 n nc n c n (3.29) Vậy Q2 = khi: D 26 (p 1) q p 13 12 q (3.30) p (3.31) 46 Có thể chọn giá trị p, q cho phổ khối lượng m2< Ta xuất phát từ phương trình BRST viết cho phiếm hàm trường dây Q X,c,c' X,c,c' (3.32) Thay vào biểu thức (3.28) Q, ta có phương trình cho thành phần X X,c,c' sau: (3.33) 0,n (3.34) L0 Ln X X từ đó: L(x) q L(x) qn X X (3.35) (3.36) 0,n Biểu diễn qua dao động tử tọa độ W M2 X n , phương trình (3.35) có dạng: (3.37) Trong đó: M2 q n n Từ phương trình (3.37) suy trường thành phần ứng với mode kích thích n1 n2 r nr biểu thức khai triển phiếm hàm X r ( i)r r! n1 n r r (x) n1 r nr X , có khối lượng: r m2 ni q (3.38) i Như vậy, tachyon không tồn thỏa mãn khi: , theo (3.31) điều kiện 47 q 13p (3.39) Với D = phương trình (3.30) kết hợp với (3.39) cho lời giải: p 2k 1,q 13k,k Z (3.40) tương ứng với giá trị: r m 2 ni i 13k 2k 3(2k 1) (3.41) dương với k Z Như vậy, mô hình mô hình đại số dây boson không chứa tachyon đồng thời không đòi hỏi chiều không gian ngoại phụ 48 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua luận văn “Trường Tachyon lí thuyết Dây” đã: - Nghiên cứu tìm hiểu dây boson, Siêu dây - Nêu xuất hạt tachyon dây boson Siêu dây, phương pháp dùng toán tử chiếu GSO để khử tachyon Siêu dây NS - Triển khai tính toán chi tiết số phép biến đổi lí thuyết Dây - Triển khai tính toán phương pháp khử tachyon dây boson Lí thuyết Dây đánh giá phương hướng nhiều triển vọng để xây dựng mô hình thống tương tác – mạnh, yếu, điện từ hấp dẫn Tuy nhiên, xây dựng Lí thuyết Dây phải giải nhiều khó khăn, khó khăn tồn trường tachyon Những kết thu ứng dụng bước đầu cho nghiên cứu lí thuyết Dây góp phầnxây dựng Lí thuyết Dây hoàn chỉnh Những kết sở ban đầu cho việc nghiên cứu hạt, hạt tachyon không, thời gian nhiều chiều 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức (2012), “Các giảng vật lí lí thuyết lớp cao học Đại học Sư phạm Hà Nội 2” [2] Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lí lí thuyết Siêu dây lượng tử, Nhàn xuất Khoa học tự nhiên công nghệ, Hà Nội [3] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, (2011), Lí thuyết hạt bản, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [4] Dao Vong Duc and Nguyen Thi Hong, (1990), Cohomology operators on string superforms, Journ of Physics A33 p [5] Dao Vong Duc, Nguyen Hong Ha and Nguyen Lan Oanh, (1992), A version of superstring with four space – time dimensions, ICTP perprint IC/92/220, Trieste, Italy [6] Dao Vong Duc, Phu Chi Hoa and Doan Thi Kieu Oanh, (2006), An algebraic model of closed suprestring without extra space – time dimensions, Comm In Physics, 10 [7] L Brink, M Henneaux, (1988), Principles of string theory, Plenum Press, New York [8] L Brink, D Friendann, A.M.Polyakov, (1990), Physics and Mathematics of strings, Word Scientific [9] M.B Green, J H Schawarz, E Written, (1987), Superstring theory, Cambridge University [10] M Kaku, (1989), Introduction to superstring theory, Word Scientific