Nhữngconsố lạ lùng nhất trong lí thuyết dây (2) Sức tưởng tượng không có hồi kết Bất chấp nhữngứng dụng này, chúngta có thể tự hỏi không biết chínhxác thì j, k là gì nếu chúng ta địnhnghĩa căn bậc hai của -1 là i. Những căn bậc hai này của -1có thật sự tồn tại haykhông? Chúng ta cóthể tiếp tục phát minhra những căn bậc hai mớicủa -1 cho nhân vậtchínhtrong câu chuyệncủa chúng ta hay không? Những câu hỏi này được nêu ra bởi John Graves, một người bạn sinhviên của Hamilton, một người yêu thích đại số đã khiến Hamiltonnghĩ tới số phức và các bộ ba.Rất sớm saulần đi bộ định mệnhvào mùa thu năm 1843,Hamiltonđã gửi choGraves mộtbức thư mô tả sự đột phá của ông.Graves đã hồi âm 9 ngày sau đó, tándương sự táo bạo ý tưởngcủa Hamilton, nhưng bổ sungthêm:“Vẫn có cái gì đó trong hệ khiến tôi khónghĩ. Tôi không có quan điểm rõràng nào mở rộng cho cái chúngta đangtùy tiện tạora nhữngsố phức, và phú cho chúng nhữngtính chất siêu nhiên”. Và ôngnêu vấn đề:“Nếu vớithuật giả kim của anh,anh có thể chế tạo ra ba cân vàng, thì tại sao anh dừng lại ở đó chứ?” Giống như Cardanotrước đây, Graves dành thời gian quantâm đủ lâu để làm ảo thuật với phần vàngcủariêng ông.Ngày 26tháng 12, ông lại viếtthư cho Hamilton, mô tả một hệ số mới tám chiều mà ônggọi là octave (bộ tám), ngày nay gọi là octonion.Tuy nhiên, Graves khôngkhiến Hamilton quantâm đến ý tưởng của ông. Hamiltonhứa phát biểu về các octave của Graves trước Hội Hoàng gia Ireland,đó là cách công bố các kết quả mang tínhmột chiềucủa thời kìấy. Nhưng Hamilton tiếp tục gạt nósangbên, và vào năm 1845, nhà trí thức trẻ ArthurCayley đã tái khám phá racác octonion và qua mặt Graves công bố kết quả. Vì lí do này nên đôi khi các octonion còn được gọilà số Cayley. Tại sao Hamiltonkhông thích các octonion? Trướchết, ông đangliềulĩnh dấn thân vớinghiên cứu về khám phácủa riêng ông, các quaternion.Ông còn có một lí dothuần túy toán họcnữa: các octonionphá vỡ mộtsố địnhluật đángyêu của số học. Các quaternion có một chút kì lạ. Khi bạn nhân các số thực, thì thứ tự nhân là khôngthành vấn đề - chẳnghạn 2 nhân3 bằng 3nhân 2. Chúngta nói phépnhân đó có tính giaohoán. Quy tắctương tự cũng đúng đốivới số phức. Nhưngcác quaternionkhôngcó tính giao hoán. Thứ tự nhân là quantrọng. Thứ tự là quantrọng vìcác quaternionmô tả sự quaytrong không gianba chiều,và đối với những sự quay như vậy,thứ tự sẽ mang đến sự khác biệt ở kết quả. Bạn có thể tự kiểm tra điều này (xem hình: Bài toán quay). Lấy một quyển sách, lật nó từ trên xuống dưới (sao cho bây giờ bạn nhìn thấy bìa sau)và quay nó một phần tư vòng tròn theo chiều kim đồng hồ (khinhìn từ trênxuống).Giờ thì hãy làmhai thaotác này theo chiều ngược lại: trướctiên quaymột phần tư vòng, sau đó lật quyển sách. Vị trí cuối cùngđã thayđổi. Dokết quả cuối cùng phụ thuộc vào thứ tự, nên phép quaykhông có tính giaohoán. Các octonion còn lạ hơn nhiều. Không những chúngkhông giaohoán,chúng còn phá vỡ một quytắc quen thuộc của số học: đó là quy tắc kết hợp (xy)z = x(yz). Chúng tađều đã thấy một toán tử phikết hợp trong nghiêncứu toán học của mình: phép trừ. Thí dụ, (3 – 2) – 1thì khác với 3 – (2 – 1).Nhưng chúngta đã quenvới phép nhân kếthợp, cho nên đa số cácnhà toán họcvẫn thấy điều này “kì kì”, mặc dù họ đã quan với những toán tử phigiao hoán. Thí dụ, phép quay là có tínhkết hợp, mặc dù chúng khônggiao hoán. Nhưng cólẽ cái quan trọng nhất, cái không rõ là hồi thời Hamilton,các octonion sẽ thích hợp dùng cho cái gì.Chúng liên quanchặt chẽ với hình học không gian bảy và tám chiều, và chúng ta có thể mô tả phép quay trong những chiều đó bằngphép nhâncác octonion.Nhưng tronghơn một thế kỉ, đó là một bài tập thuần túy trí tuệ. Cần có sự phát triển củavật lí hạt hiện đại – và đặc biệtlà lí thuyết dây – người ta mới thấy được cácoctonioncó thể hữu íchnhư thế nào trong thế giới thực. Xem hình động tại: ScientifcAmerican.com/may2011/octonions Sự đối xứng và các dây Vào thập niên 1970và 1980,các nhà vậtlí lí thuyết đã phát triển mộtý tưởng đẹp lạ lùng gọi là siêu đối xứng.(Sau này, các nhà vậtlí mới biếtrằng lí thuyết dây đòi hỏi sự siêu đối xứng)Nó phát biểu rằng, ở những cấp độ cơ bản nhất,vũ trụ biểu hiện một sự đối xứnggiữa vậtchất và các lực của tự nhiên. Mỗi hạt vật chất (thídụ như electron) có một hạt đối tác mang lực. Và mỗi hạt lực (thí dụ như photon,hạt mangcủa lực điện từ) có một hạtvật chất songsinh. Siêuđối xứng còn bao hàm quanđiểm rằng các định luật vật lí là bấtbiến nếu chúngta hoán chuyển toàn bộ cáchạt vật chất và các hạt lực. Hãy tưởng tượng đang ngắm vũ trụ trong một cái gương kì lạ, nhưngthay vì hoán chuyển bên trái và bên phải, hãy trao đổi mỗihạt lực chomột hạt vật chất, và ngược lại. Nếu siêu đối xứnglà đúng, nếu nó thật sự mô tả vũ trụ của chúngta, thì vũ trụ tronggươngnày sẽ hoạt độnggiống hệtnhư vũ trụ của chúng ta.Mặc dùcác nhà vậtlí chưa tìmthấy bằngchứng thực nghiệm chắc chắn nào ủng hộ cho siêu đối xứng, nhưnglí thuyết trên thật sự quáđẹpvà dẫn tới nhiều cơ sở toán học đầy mê hoặc mà nhiều nhà vật lí hivọng và trông đợi nó là đúng. Tuy nhiên, có một thứ chúng ta biết là đúng, đó là cơ họclượng tử. Và theo cơ học lượngtử, các hạt còn có tính chấtsóng. Trongphiên bản ba chiều chuẩn của cơ học lượngtử mà cácnhà vậtlísử dụnghàngngày, một loại số (gọi là spinor)mô tả chuyển động sóng củacác hạt vật chất. Một loại số khác(gọi là vec-tơ) mô tả chuyển động sóngcủa các hạt lực. Nếu chúng ta muốn hiểu các tươngtác hạt,thì chúng ta phảikết hợp hai con số nàytheo kiểu phép nhân. Mặc dù hệ thốngchúng ta sử dụng hiện naycó thể hoạt động, nhưng nó không tao nhã cho lắm. Để thaythế, hãy tưởng tượng một vũ trụ kì lạ khôngcó thời gian,chỉ có khônggian thôi. Nếu vũ trụ này là một, hai,bốn hoặc támchiều, thì các hạt vật chất lẫn hạtlực đềusẽ là sóngđược môtả bởi một loại số - ấy là một con số trong một đại số chia, loạihệ số duynhất cho phép cộng, trừ, nhân và chia. Nói cách khác, trong những chiều này, cácvec-tơ và spinor trùng với nhau:chúng tương ứng là mỗicon số thực, số phức, quaternionhoặc octonion. Siêu đối xứng xuấthiện một cách tự nhiên, manglại một sự mô tả thốngnhất của vật chấtvà các lực. Phép nhân đơn giản mô tả các tương tác, và mọi hạt – cho dù thuộc loại nào – đều sử dụng một hệ thống số như nhau. Nhưng vũ trụ đồ chơi của chúngta khôngthể làthực, vì chúng ta cần xét cả thờigian nữa. Tronglí thuyết này, sự xem xét như thế này có một tác dụnghấp dẫn. Tại mọi thời điểm trong thời gian, mộtdây là một cái gì đó một chiều, như một đườngcong hoặc một đườngthẳng. Nhưng dây này vạch ra một mặt hai chiều khi thời gian trôi qua [xem hìnhminh họa].Sự diễn biến nàylàm thay đổi các chiều trong đó siêu đối xứng phátsinh, bởisự bổ sung thêm haichiều – một cho dây và một chothời gian.Thay vì siêu đối xứng trong một, hai,bốn hoặc tám chiều, chúng ta có siêu đối xứngtrong ba,bốn, sáuhoặc mườichiều. Trong lí thuyết dây, các dây một chiều vạch ra những mặt hai chiều theo thời gian.Trong lí thuyết M, các màng hai chiều vạch ra các khối ba chiều. Việc bổ sung thêm những chiều này cho tám chiều của octonion mang lại manh mối lí giải vì sao những lí thuyết này đòi hỏi 10 hoặc 11 chiều. Thật trùng hợp,trong nhiều năm qua,các nhà líthuyết dây cho biết chỉ những phiên bản 10 chiềucủa lí thuyết này mớicó tính nhất quán. Những phiên bản còn lại đều là dị thường,trong đó việc tínhtoán một yếu tố bằng haicách khác nhau chohai đáp số khác nhau.Ngoài phiênbản 10 chiều ra, những phiênbản lí thuyết dây khác bị sụp đổ. Nhưnglí thuyếtdây 10 chiều, như chúng ta vừathấy, là phiênbản của líthuyết sử dụngoctonion.Cho nên nếu lí thuyết dây làđúng,thì các octonion khôngphải là sự hiếu kì vô ích nữa: trái lại, chúng manglạimột lí do sâu sắc lí giải vì sao vũ trụ phải có 10 chiều: trong10 chiều, các hạt vật chất và hạt lực là hiện thân của cùngmộtloại số -các octonion. Nhưng câu chuyện chưa dừnglại ở đây. Thời gian gần đây, các nhà vật lí đã đi xa hơn các dây, chuyểnsang xét các màng.Thí dụ, một màng hai chiều, hay 2- brane, tại mỗi thời điểm trông giốngnhư một tấm, nhưngkhi thời gian trôi qua,nó vạchra một khối ba chiều trong không-thời gian. Trongkhi trong líthuyết dây, chúng ta phải bổ sung thêm hai chiều chotập hợp chuẩn củachúng ta gồm một, hai,bốn và támchiều, thì giờ chúng taphải cộng thêmba chiều. Như vậy, khi xử lí với các màng, chúng tamuốnsiêu đối xứng xuất hiện tự nhiên trong các chiều bốn, năm, bảy và 11.Và như trong lí thuyết dây, chúng ta có một chút bấtngờ: các nhà lí thuyếtcho chúngta biết rằnglí thuyết M (M thường là kíhiệu cho chữ “membrane” – màng)đòi hỏi 11chiều –ngụ ý rằng nó sẽ tự nhiên sử dụng các octonion. Chao ôi, chỉ tiếclà không có aihiểu líthuyết M đủ tốtđể viết ranhững phương trìnhcơ bản của nó(nên chữ M còn kí hiệu cho chữ “mysteroius” – bí ẩn).Khó mà nói chính xáclí thuyết Msẽ trông như thế nào trong tương lai. Ở đây, chúng ta nên nhấn mạnh rằng lí thuyết dâyvà lí thuyếtM chưa hề nêu ra đượcdự đoán thực nghiệm nào có thể kiểm tra được. Chúnglà những giấc mơ tuyệt vời – và cho đến nayvẫn chỉ là những giấc mơ. Vũ trụ màchúng ta sốngtrong đó không trông như có 10 hoặc 11 chiều, và chúng ta chưa hề thấy sự đối xứng nào giữacác hạt vật chất và các hạt lực. David Gross,một trong nhữngchuyên gia hàng đầu thế giớivề lí thuyết dây, hiệnđặtra tỉ lệ nhìn thấy một bằng chứng nào đó cho sự siêuđối xứng tại Máy Va chạm Hadron Lớn của CERN là50%. Những người hoài nghithì nói tỉ lệ đó nhỏ hơn nhiều. Chỉ có thời gian mới chocâu trả lời. Do sự không chắc chắn này,nên chúng ta còn lâumới biếtđược các octonion kì lạ đó cótầm quan trọng cơ sở trong việc tìm hiểu thế giới mà chúng ta thấyxung quanh mình haykhông, hay nó đơn thuần chỉ làmộtmảnh ghép toán học đẹp đẽ mà thôi. Tất nhiên, cái đẹp toán họctự thân nó là một đíchđếnđáng giá, nhưng sẽ còn tuyệt vời hơn nữa nếu như các octonion hóa ra có mặt trong công thứcxây dựng của tự nhiên. Như câu chuyệnsố phứcvà vô số những pháttriển toán học khác đã chứng minh,đây khôngphải làlần đầu tiên những phát minh toán học thuần túy sau này mang lại những công cụ chính xác màcác nhà vậtlí cần đến. . Nhữngconsố lạ lùng nhất trong lí thuyết dây (2) Sức tưởng tượng không có hồi kết Bất chấp những ng dụng này, chúngta có thể tự hỏi không biết. octonion mang lại manh mối lí giải vì sao những lí thuyết này đòi hỏi 10 hoặc 11 chiều. Thật trùng hợp ,trong nhiều năm qua,các nhà l thuyết dây cho biết chỉ những phiên bản 10 chiềucủa lí thuyết này. sáuhoặc mườichiều. Trong lí thuyết dây, các dây một chiều vạch ra những mặt hai chiều theo thời gian .Trong lí thuyết M, các màng hai chiều vạch ra các khối ba chiều. Việc bổ sung thêm những chiều này