BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ HAY NHẤT

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - §Ỉt t = log ( x ) , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi t − 13t + 36 < ⇔ < t < -   1 −3 < log x < −2 −3 < t < −2 log x − ) 3) 32x − 8.3x + x+4 x+4 − 9.9 > PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải bất phương trình: ( ) log + x > log x Lời giải: - ðiều kiện x > - §Ỉt t = log x ⇔ x = t , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh log ( + 2t ) > t t 2 ⇔ 3+ > ⇔ t +  >1 5 t t t - (1) 2 Hµm sè f ( t ) = t +   nghÞch biÕn trªn ℝ vµ f (1) = 5 BÊt ph−¬ng tr×nh trë f ( t ) > f (1) ⇔ t < , ta ®−ỵc log x < ⇔ < x < Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ: < x < Ví dụ Giải bất phương trình: log x2 + x +1 > x − 3x + 2x − 2x + Lời giải: - §Ỉt u = x + x + 1; v = 2x − 2x + ( u > 0, v > ) Suy v − u = x − 3x + - BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi u log = v − u ⇔ log u − log v = v − u ⇔ log 3u + u > log v + v (1) v - XÐt hµm sè f ( t ) = log t + t, ta co: f ' ( t ) = + > 0, ∀t > nªn hàm số đång biÕn t ln t > Tõ (1) ta cã f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v ⇔ x + x + > 2x − 2x + ⇔ x − 3x + < ⇔ < x < - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ: < x < Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a u < log b v , ta th−êng gi¶i nh− sau: §Ỉt t = log a u (hc t = log b v ) ®−a vỊ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sư dơng chiỊu biÕn thiªn cđa hµm sè u < v − u ⇔ log a u + u < log a v + v Ta xÐt hµm sè v f ( t ) = log a t + t ®ång biÕn t > , suy f ( u ) < f ( v ) ⇔ u < v Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log a BÀI TẬP Giải bất phương trình sau: 1) log ( ) x + x x ≥ log 64 x 2) 2.2 + 3.3 > − 3) 16x − 3x < 4x + x x x x PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐỒ THỊ 5+ x 5− x < x − 3x + log Ví dụ Giải bất phương trình: Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hƯ 5+ x 5+ x   >0 - Gi¶i hƯ (I) 5+ x 5+ x 2x + log >0 ⇔ >1 ⇔ >0 ⇔ 0 Do ®ã hƯ (II) cã nghiƯm −5 < x < VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm (−5, 0) ∪ (1,3) BÀI TẬP 21− x − 2x + ≤0 2x − Giải bất phương trình sau: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC Ví dụ Giải bất phương trình: Lời giải: - §iỊu kiƯn x ≥ - Ta cã nhËn xÐt sau: + x − + ≥ ⇔ log ( log ( )   x − + ≤ log  + 8  x −1  ) x − + ≥ ⇔ VT ≥ ≤1 x −1   ⇔ + ≤ ⇔ log  +  ≤ ⇔ VP ≤ x −1  x −1  VT =  x − = - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm vµ chØ  ⇔ ⇔ x =  VP =  x = - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = Ví dụ Giải bất phương trình: log x log 3x −  < Lời giải: - §Ĩ log 3x − cã nghÜa, ta cÇn cã 3x > ⇔ 3x > 32 ⇔ x > + x ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ ( ( - - ) ) Víi ®iỊu kiƯn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi  x>2  3x − >   log ( 3x − ) > ⇔  x x 3 − < log ( 3x − ) < x   t > 10 §Ỉt 3x = t, ( t > ) , ta cã hƯ  ⇔ t > ⇔ 3x > 10 ⇔ x > log 10 t − t + >  Ví dụ Giải bất phương trình: 5x + 6x − x − x log x > ( x − x ) log x + + + x − x Lời giải: - x>0  ðiều kiện:  ⇔ 0 ( *) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 00 (1) (2) Tõ (1) ta cã x ≤ ⇒ x.2x ≤ 2.2 < 2.2 = Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi  − ≤ x ≤ ⇔ 2 − x2 > − x (3)   x − + 2 − x > - (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hƯ sau 2 − x ≥ + ( I) :  ⇔ 1< x ≤ − x <   x ≤1 1− x ≥ x ≤1    + ( II ) :  ⇔  ⇔  ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 5x − 2x − < − x > − x − < x < ( )    - VËy tËp nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈  −1;    1 > Ví dụ Giải bất phương trình: log ( x + 1) log ( − 2x ) Lời giải:   −1 < x ≠   < x +1 ≠   −1 < x < - ðiều kiện:  ⇔  ⇔  0 < − 2x ≠ 1≠ x <  x ≠ 0;1   - ( ● - log ( x + 1) > ⇔ x + > ⇔ x > ● log ( − 2x ) > ⇔ − 2x > ⇔ x < Ta cã b¶ng xÐt dÊu x log2(x+1) log2(3-2x) - ) -1 - + + + + - Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hỵp sau + TH1: Víi −1 < x < th× VT < 0, VP > suy bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiƯm + TH2: Víi < x < th× VT > 0, VP > Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi log ( x + 1) < log ( − 2x ) ⇔ − 2x > x + ⇔ < x < Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 3 th× VT > 0, VP < 0, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi < x < 2 3  - VËy tËp nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh lµ  < x <  \ {1} 2  1 Lưu ý: Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng , ta th−êng gi¶i nh− sau: > log a u log b v + LËp b¶ng xÐt dÊu cđa log a u vµ log b v tËp x¸c ®Þnh cđa bÊt ph−¬ng tr×nh + Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu log a u vµ log b v cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi log a u < log b v + TH3: Víi < x < Ví dụ ( x; y ) cđa bÊt nghiƯm cã tỉng ( 2x + y ) lín nhÊt Trong c¸c nghiƯm ph−¬ng tr×nh log x + y2 ( 2x + y ) ≥ , chØ c¸c Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hƯ sau  < x + 2y < ( I ) : 2x + y ≤ x + 2y2   2x + y > - vµ  x + 2y > II : ( )  2  2x + y ≥ x + 2y Râ rµng nÕu ( x; y ) lµ nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh th× tỉng ( 2x + y ) lín nhÊt chØ x¶y nã lµ nghiƯm cđa hƯ ( II ) -  x + 2y >  ( II ) ⇔    x − + 2y − )  (  ≤ 2     Ta cã 2x + y = ( x − 1) +  2y − + 2 2     Áp dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè  x − 1; 2y −  vµ  2;  , ta ®−ỵc 2 2   2        9 81   ( x − 1) +  2y −   ≤ ( x − 1) +  2y −    +  ≤ = 16 2 2    2         9 ≤ ( x − 1) + 2y − ≤ ⇔ < 2x + y ≤   2 2  2x + y =   x =   Dấu '' = '' xảy 2x + y = ⇔  ⇔  2y − x − 2   y = =   Víi x = 2, y = tho¨ m·n bÊt ph−¬ng tr×nh x + 2y > ⇔ − - - Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH  1 VËy c¸c nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh th× nghiƯm  2;  lµ nghiƯm cã tỉng ( 2x + y ) 2  lín nhÊt b»ng BÀI TẬP Giải bất phương trình sau: - ( ( x 1) log x log − 72 2) 3) ( ) >3 log a 35 − x log a ( − x ) log 2x − 3x + )) ≤ với < a ≠ > log ( x + 1) 3 4) Trong c¸c nghiƯm ( x; y ) cđa bÊt ph−¬ng tr×nh log x + y2 ( x + y ) ≥ T×m nghiƯm cã tỉng (x + 2y ) lín nhÊt BÀI TẬP LUYỆN TẬP Giải bất phương trình sau: 1) 2) ( 10 − ) x +1 x +3 < ( 10 + log 2x − 3x + > ) x −3 x −1 (Học viện GTVT năm 1998) log ( x + 1) 3 ( ) ( 3) + log 2x + 3x + > log 2x + 3x + 4) log x + log x < + log x.log x 5) 6) (ðH Quốc gia TPHCM 1999)  2x −  log   3 (ðH Y DƯỢC TPHCM) 13) + 21+ x − 4x + 21+ x > 14) 15.2x +1 + ≥ 2x − + x +1 +1 16)  x  x   +   > 12 3 3 x 2.14 + 3.49x − 4x ≥ 17) ( 15) 18) 19) 5+2 ) x −1 ≥ ( 5−2 ) x −1 x +1 ( 5x + 24 ) − 5x − ≥ 5x + x −3 x −1 x +1 x +3 ( ) ( ) ( + ) + ( + )( − ) > 4.( + ) ( + 11 ) + ( − 11) ≤ 10 + < 10 − x 20) 21) x 2x −1 2x −1 22) + 5x − 2x + 3x > 3x.5− x + 5x − 2x + 9x 5− x 23) 24) −3x − 5x + + 2x > 3x.2x −3x − 5x + + 4x 3x log log x − < ( ( )) 25) log x log 3x − ≤ 26) log 4x + 144 − log < + log 2x − + ( (3 x ) ) ( + + 2.log 3x + 2 − > 27) log 28) log 2x 64 + log x 16 ≥ 29) 30) 1 log x +3 ( x − ) < + log 2 12 64 1 > log ( x + 1) log 2x − 3x + 31) 32) ( ) log ( −3x −5) − log ( −6x −2 ) 16 ≥ ( lg x − 3x + lg x + lg ) >2 log ( x + 1) − log ( x + 1) 33) 34) 35) 36) ) x − 3x − ) (2 + >0 2  x − 7x + 12  − 1 ≤ x  log x − 9x +