Một số tài liệu về bài toán có nội dung thực tiễn _ www.bit.ly/taiho123

1 2.2.1 Chủ đề Bất đẳng thức Mặc dù làm quen, đề cập đến lớp dưới, Chủ đề Bất đẳng thức chủ đề khó học sinh lớp 10 THPT Tuy nhiên, Chủ đề lại có nhiều lợi việc lồng ghép toán có nội dung thực tiễn, chẳng hạn: mục "Số thực dương, số thực âm" Ta đề cập liên hệ: "Một người X suy cho cùng, tiền (X đồng tiền cả) có tiền (X có số tiền đó) nợ tiền Và ta gán số với trường hợp X tiền, số dương với trường hợp X có tiền số âm với trường hợp X nợ tiền Nếu có liên hệ gần gũi kiểu việc nắm vững kiến thức Mục kiến thức mục dễ dàng nhiều Chẳng hạn, kiến thức "Nếu x1 > 0, x2 > x1 + x2 > 0", "Phủ định mệnh đề "x > 0" mệnh đề "x  0"" việc liên hệ để hiểu, để nhớ kiến thức dễ dàng Sự liên hệ giúp học sinh nắm vững khái niệm, tính chất Bất đẳng thức, chẳng hạn: Tính chất "a > b b > c  a > c" ta liên hệ "Anh A có số tiền lớn anh B anh B có số tiền lớn anh C" thực tế, học sinh dễ dàng nói cách chắn anh A có số tiền lớn anh C Một Tính chất quan trọng mà Luận " văn muốn nhấn mạnh liên hệ ac  bc nÕu c  " " a  b   ac  bc nÕu c   Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ sau: a, b số người nhóm A B, a > b (số người nhóm A lớn số người nhóm B) Như vậy: Nếu nhân số người nhóm với số tiền số tiền nhóm A thu lớn số tiền nhóm B Nếu nhân số người nhóm với số tiền nợ số tiền nhóm A nợ nhiều số tiền nhóm B nợ Sau có liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc: Nếu nhân hai vế bất đẳng thức với số dương, ta bất đẳng thức chiều tương đương Nếu nhân hai vế bất đẳng thức với số âm, ta bất đẳng thức trái chiều tương đương Sự liên hệ giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ đặc biệt có liên tưởng, kiểm nghiệm tính đắn sử dụng Một nội dung quan trọng Chủ đề mà Luận văn xem có nhiều lợi cho việc lồng ghép toán thực tiễn Bất đẳng thức Côsi Bất đẳng thức Côsi có vai trò quan trọng dạy học Toán, điều thể khía cạnh sau: - Do có nhiều tiềm khai thác, nên hội để giáo viên lấy ví dụ tập, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập cho học sinh làm quen dần với tình thực tiễn - Dạng toán ứng dụng Bất đẳng thức Côsi giúp học sinh có ý thức khả tối ưu hóa suy nghĩ hành động, coi trọng tiết kiệm hiệu công việc - Góp phần rèn luyện kỹ chứng minh Bất đẳng thức cho học sinh Ví dụ: Sau trình bày nội dung Bất đẳng thức Côsi, lấy ví dụ thực tiễn sau đây: a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trước phải có dạng để chiều dài hàng rào nhất? b) Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trước phải có dạng để diện tích lớn nhất? Hoặc đưa Bài toán sau: Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy làm để rào khu đất theo hình chữ nhật x cho có diện tích lớn nhất? y Sau phát biểu Bất đẳng thức Côsi cho số không âm, số không âm, , ta cho học sinh giải số tập tập nâng cao, chẳng hạn: 1) Cần phải thiết kế thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng sản phẩm chế biến, có dung tích V(cm3) Hãy xác định kích thước để tiết kiệm vật liệu nhất? h 2R 2) Ta có miếng tôn phẳng hình vuông với kích thước a cm, ta muốn cắt góc hình vuông để uốn thành hình hộp chữ nhật nắp Phải cắt để hình hộp tích lớn nhất? x a - 2x Như vậy, việc lồng ghép, thay toán có nội dung thực tiễn vào Chủ đề Bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức ứng dụng kiến thức Toán học để giải toán có nội dung thực tiễn 2.2.2 Chủ đề Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Đây hội điển hình để rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào việc giải toán thực tiễn lớp 10 THPT Trong Chủ đề khai thác nhiều dạng toán gần gũi với đời sống thực tiễn như: Bài toán vận tải, Bài toán sản xuất đồng bộ, Bài toán thực đơn, Bài toán lập kế hoạch sản xuất điều kiện tài nguyên hạn chế, Bài toán vốn đầu tư nhỏ nhất, Bài toán pha trộn, Tuy nhiên, sách giáo khoa lớp 10 hành, trình bày nội dung này, đưa Ví dụ toán có nội dung thực tiễn; Ví dụ mục "Áp dụng vào toán kinh tế" Trong tình này, ta thay lồng ghép số Ví dụ, Bài tập túy Toán học toán có nội dung thực tiễn tương đương Làm ta đạt mục đích kép dạy học Chủ đề giàu tiềm Điều quan trọng không ảnh hưởng thời lượng lớp, nhà mà rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn Có thể thêm số tập cho học sinh giỏi để tạo hội, bồi dưỡng, phát triển lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn cho đối tượng Chẳng hạn, ta lấy thêm số ví dụ sau: Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? Thực chất toán phải tìm x  , y  thoả mãn hệ 2x  4y  200 cho L = 40000x + 30000y đạt giá trị lớn  30x  13y  1200 x  y   Một cách tương đương là, tìm x, y thoả mãn hệ  x  2y  100 2x  y  80 y cho 4x + 3y đạt giá trị lớn Trên Hình vẽ ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80), C F I giao điểm CE DF 50 40 Dễ thấy toạ độ I (20; 40), B miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OCID (kể biên) 80 I D O A 20 40 E x 100 Với L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) cho 4x + 3y = L, điểm M nằm đường thẳng AB với A(L/4; 0), B(0; L/3) Hệ số góc đường thẳng AB - 4/3 Cho L lớn dần lớn lên đường thẳng AB "tĩnh tiến dần lên" phía Nhìn vào Hình vẽ ta nhận thấy rằng: Trong đường thẳng có hệ số góc - 4/3, đường thẳng qua I đường thẳng vị trí "cao nhất" có điểm chung với tứ giác OCID Chưa đạt tới vị trí L chưa phải lớn Vượt "ngưỡng" toạ độ điểm đường thẳng không thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc Từ dễ dàng đến kết luận x = 20, y = 40 L đạt giá trị lớn Ví dụ 2: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 người 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 người 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? Trước hết ta đặt Bài toán thành hệ bất phương trình Gọi x, y (x, y  N) số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê y 14 Từ toán ta hệ bất phương trình 0  x  10 0  y    20x  10y  140 0,6x  1,5y  0  x  10 0  y    (*) x  y  14  2x  5y  30 B A I O C 10 x 15 Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất Bài toán tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) cho T(x, y) nhỏ Bước ta tìm miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm miền tứ giác lồi IABC Ta cần xác định toạ độ (x, y) điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể biên) cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu Xét họ đường thẳng cho T phương trình: 4x + 3y = T (T  R) hay y   x  , ta thấy đường 3 thẳng song song với đường thẳng y   x (T  0) Khi T tăng, đường thẳng tịnh tiến song song lên phía Khi T giảm, đường thẳng tịnh tiến song song xuống phía Giá trị nhỏ T đạt đỉnh I tứ giác IABC giao điểm hai đường thẳng 2x + 5y = 30 2x + y = 14 Toạ độ I (xI = 5; yI = 4) Như thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp Trong toán trên, việc vận dụng kiến thức Toán học để giải chúng không khó khăn - học sinh nắm tương đối vững kiến thức Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Tuy nhiên, khó khăn lời văn dài ảnh hưởng đến thời lượng lớp Để khắc phục khó khăn này, giáo viên in sẵn đề, dùng phát cho học sinh người đề (thậm chí cần phát cho bàn đề), dùng Bảng phụ chuẩn bị sẵn để học sinh tự ghi trình hướng dẫn giải chúng Đối với tập nhà ta làm tương tự, số lượng toán có nội dung thực tiễn tăng cường phù hợp 2.2.3 Chủ đề đạo hàm Đây công cụ hữu hiệu việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta cho học sinh giải toán thực tiễn hấp dẫn mang nhiều ý nghĩa: Ví dụ 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí đó? Lời giải toán sau: C 1,4 B 1,8 A O Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất, điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) AC AB  tgAOC  tgAOB OA OA = = AC.AB  tgAOC.tgAOB 1 OA Xét hàm số f(x) = 1,4 1,4x x = = 3,2.1,8 x  , 76 1 x2 1,4x x  5,76 Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn  1,4x  1,4.5,76 Ta có f'(x) = , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76) Ta có bảng biến thiên x f'(x) + f(x) 2,4 84 193 + _ Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Ví dụ 2: Từ khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành xà có tiết diện ngang hình vuông miếng phụ hình vẽ Hãy xác định kích thước miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất? Ta có lời giải toán sau: Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh d(2  ) d < x < ,0 Chi phí dự kiến chuyến du lịch chi phí ghi hợp đồng xy (Đồng) chi phí thực tế người tham gia đóng góp là: (x + 30000)(y - 2) Ta có phương trình xy = (x + 30000)(y - 2) (1), với điều kiện 700  xy  750000 (2) Từ (1) suy xy = xy - 2x + 30000y - 60000  x = 15000y - 30000 (3) Thay (3) vào (2) suy 700  y(15000y - 30000)  750000  15000y  30000y  700000   3y  6y  140    Ta hệ  15000y  30000y  750000    3y  6y  150  y  y      429  459 Do y  N suy y = từ ta suy  y  3 x =15000.8 -30000 = 90000 Đáp số: Số người lúc đầu dự định Du lịch người Mỗi người dự kiến đóng góp 90000 đồng Chi phí chuyến Du lịch Sinh thái 720000 đồng 23 Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm xong công việc Đổi 36 phút việc người thứ làm 18 Số công Số công việc người thứ hai làm x x 13 y   3x 3y  18 Khi ta có hệ:  y 1    x y 18 x  x  Giải hệ đối xứng loại I ta hai nghiệm   y  y  Do thời gian người làm riêng xong công việc 34 Người thứ giờ, người thứ hai giờ; hoặc: Người thứ giờ, người thứ hai 24 Gọi x (km/phút) vận tốc ôtô, y (km/phút) vận tốc xe đạp Theo ta nhận thấy chuyển động ôtô từ A đến chỗ gặp lần thứ hai trường hợp số thời gian chuyển động ôtô từ chỗ gặp lần thứ đến B hai trường hợp thời gian Ta tính thời gian trường hợp Sau gặp xe đạp lần thứ nhất, ôtô chạy thêm phút theo chiều đến B Trên đường ngược lại tới chỗ gặp lần thứ cần phút Trong thời gian xe đạp 6y km tính từ chỗ gặp lần thứ Ôtô để gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x - y) km/phút cần thời gian 6y phút xy Trên đường ngược lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp lần thứ bị 6y 6y 12y phút, nghĩa + + =6+ phút Lý luận xy xy xy 15 15 y y 60y 7  tương tự ta được: 1+1+ = 2+ phút Hai thời 15 15 x  15 y x y x y 7 gian ta phương trình: + 12y 60y =2 + xy 7x  15y Bái toán dẫn đến phương trình bậc hai: 7x - 16xy - 15y2 = Đặt t = x (tỉ số vận tốc ôtô xe đạp) Giải phương trình ta t = y thoả mãn Ôtô A (gặp lần 2) D  xe đạp  C (gặp lần 1)  B 35 * Các Bài 20, 21, 22, 23, 24 tập điển hình vận dụng kiến thức Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình bậc hai đặc biệt vận dụng phương pháp giải toán Hệ đối xứng loại I, Phương trình bậc hai Vì Bài 22 dùng dạy Sơ lược hệ bất phương trình bậc hai, Bài 21, 23 dùng dạy Hệ phương trình bậc hai, Bài 20, 24 dùng dạy Phương trình bậc hai Chương trình Đại số 10 THPT 25 Từ ngày tháng đến ngày tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có An đến ngày tháng là: 120 120 121.100 (2.100  (120  1)100)   726000 đồng 2 Vậy An có đủ tiền mua quà sinh nhật cho 26 Nếu người làm vườn có x Xoài người khách hàng thứ mua: x x1 x1 x1 quả; người thứ mua: (x    )  2 2 2 22 quả; người khách hàng thứ mua: x 1 x 1 x 1 (x   )   quả; 2 2 người khách hàng thứ mua: x 1 Ta có phương trình: 27 x 1 x 1 x 1 1     x  (x  1)(    )  x (1) 2 2 2 Tính tổng số hạng cấp số nhân ngoặc ta được: 1  1 1  127     128 2 2 36 Do phương trình (1)  (x  1) 127  x  x = 127 128 Vậy bác nông dân thu hoạch 127 Xoài đầu mùa * Hai toán điển hình việc vận dụng cấp số để giải toán thực tiễn phù hợp dạy học Cấp số cộng, Cấp số nhân Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT 12 12  2500   25  27 a) Gọi x tỷ lệ phải tìm, ta có phương trình: x      ,  2200   22  suy lg x  12(lg25  lg12) Áp dụng Bảng số tính lôgarit máy tính ta có x  4,6 Một bóng đèn có sáng gấp lần bóng đèn chân không Suy rằng, bóng đèn chân độ sáng 50 nến bóng chứa đầy có độ sáng 50x4,6 = 230 nến b) Gọi y phần trăm phải tăng nhiệt độ tuyệt đối Ta có phương trình 12 y  y lg  , dùng Bảng số máy tính ta ) 1     lg(1  100  100 12  tính y  6% c) Dùng lôgarit số 10 từ x = (1,01)12, suy lgx = 12lg(1,01), ta tính x  1,13 nghĩa độ sáng tăng 13% Tương tự với tăng nhiệt dây tóc 2%, ta tính mức tăng độ chiếu sáng 27%, tăng nhiệt độ lên 3% mức tăng độ chiếu sáng 43% Chính mà kỷ nghệ làm bóng đèn điện người ta nghiên cứu làm tăng nhiệt độ dây tóc * Bài toán thể vai trò quan trọng việc ứng dụng Lôgarit để tính toán thực tế, tính toán với số mũ lớn, có thức bậc lớn Bài dùng dạy học Hàm số lôgarit Chương trình Đại số Giải tích 11 THPT 37 28 Với toán ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tgBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = AC AB  OA OA = AC.AB 1 OA tgAOC  tgAOB =  tgAOC.tgAOB 1,4 1,4x x = = 3,2.1,8 x  5,76 1 x Xét hàm số f(x) = C 1,4 B 1,8 1,4x x  5,76 x A O Bài toán trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có  1,4x  1,4.5,76 f'(x) = , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76) x Ta có bảng biến thiên + f'(x) f(x) 2,4 _ 84 193 + 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m 29 Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = AC CD AE  CE CD   = = v1 v2 v1 v2 h A h    h cot g h tg sin    = = v1 v2 v1 v2 sin  D C  h E  B 38 Xét hàm số t()    h cot g h Ứng dụng Đạo hàm ta t()  v1 v2 sin  v2 v Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos   v1 v1 nhỏ cos   30 Gọi x, y chiều rộng, chiều dài miếng phụ Hình vẽ Gọi d đường kính khúc gỗ, ta có tiết diện ngang xà có cạnh d d d(2  ) < x < ,0