Bài tập về các đường Cô nic

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa dộ Đêcac vuông góc Oxy,cho elip (E) có phương trình .Xét điểm M chuyển động trên tia Ox v à điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E).Xác định tọa độ của M,N để đoạn MN có độ d i nhà ỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất. 2.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho elip: và hai đường thẳng với Gọi là các giao điểm của và . là các giao điểm của với . 1. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và b. 2. Tìm điều kiện đối với a,b để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất. 3.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết tiếp tuyến qua điểm M(6; 0). Tìm tọa độ tiếp điểm . 4.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E) : .Tìm tọa độ các điểm A,B thuộc (E),biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục ho nhà v tam giác ABC l tam giác à à đều 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P) : v à điểm . Viết phương trình đường tròn có tâm v tià ếp xúc với tiếp tuyến của tại 6. Cho Elip (E) a. Xác định tiêu cự, tâm sai, tiêu điểm, đường chuẩn của (E) b. Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến qua điểm M(4; 1) 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với (E) 8. Viết phương trình các tiếp tuyến của elip , biết rằng tiếp tuyến đi qua 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm và elip (E) : . Tìm tọa độ các điểm , biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác là tam giác đều. 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho Elip (E) có phương trình : . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. 11. Cho elip Xét các điểm . Tìm điều kiện để tiếp xúc với 12. Hãy lập phương trình chính tắc của biết nó có 2 tiêu điểm là và bán trục lớn 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy,cho elip 1. Tìm mối quan hệ giữa k và m để đường thẳng (d): tiếp xúc với elip (E). 2. Khi (d) là tiếp tuyến của (E), giao điểm của (d) với các đường thẳng và là M và N. Tính diện tích tam giác FMN theo k, trong đó F là tiêu điểm của (E) có hoành độ dương. 3. Xác định k để tam giác FMN có diện tích bé nhất. 14. Cho parabol và 2 điểm . Giả sử là một điểm di động trên cung nhỏ AB của . Hãy xác định sao cho có diện tích lớn nhất. 15. Cho parabol . Giả sử là hai điểm di động trên sao cho . Tìm quỹ tích trung điểm của . 16. Cho parabol . Giả sử là một điểm di động trên đường chuẩn Từ ta kẻ 2 tiếp tuyến là hai tiếp điểm) tới . Chứng minh rằng: luôn đi qua một điểm cố định. 17. Cho parabol Tìm quỹ tích những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho từ có thể kẻ hai tiếp tuyến vuông góc tới 18. Cho parabol Giả sử là một điểm di động trên . Qua kẻ tiếp tuyến của , tiếp tuyến này cắt tại , cắt tại . Tìm quỹ tích trung điểm của . 19. Cho parabol 1. Cho qua kẻ tiếp tuyến của . Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với . 2. Cho . Tìm tất cả những điểm sao cho đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của tại chính . 20. Cho parabol 1. Lập phương trình đường tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng . 2. Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ đến . 21. Cho elip và parabol . Lập phương trình các tiếp tuyến chung của và Cho hypebol . Cho là một số thực dương. Xét các đường thẳng: a. Hãy tìm sao cho và đều cắt b. Gọi và lần lượt là giao điểm của với ( nằm trong góc phần tư thứ nhất). Gọi và lần lượt là giao điểm của với ( nằm trong góc phần tư thứ hai).Hãy tìm sao cho hình thoi có diện tích nhỏ nhất 22. Cho họ đường cong 1. Với n o thì à l elip, hypebol?à 2. Cho điểm thuộc đường thẳng v không thuà ộc . Có bao nhiêu giá trị của để qua ? 23. Cho hypebol (H) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) đi qua M(2,-1) 2. Giả sử đường thẳng đó tiếp xúc (H) tại E. Chứng minh rằng EM là phân giác trong của góc 24. Cho hypebol Hãy tìm quỹ tích những điểm trên mặt phẳng sao cho từ ta kẻ được hai tiếp tuyến tới m 2 tià ếp tuyến đó vuông góc với nhau 25. Cho hypebol Giả sử là một điểm di động trên . Qua ta lần lượt kẻ các đường thẳng song song với 2 tiệm cận xiên của . Chứng minh rằng diện tích hình bình hành tạo bởi và 2 đường tiệm cận là một số không đổi. Hãy tính lượng không đổi đó chỉ theo . Cho hyperbol (H) : Giả sử là một điểm di động trên (H). Qua M kẻ tiếp tuyến Mt của (H). Giả sử tiếp tuyến đó lần lượt cắt 2 tiệm cận xiên của (H) tại A và B. a. Chứng minh rằng: M là trung điểm đoạn AB. b. Hãy tính diện tích theo a và b. 26.Cho Hyperbol (H) : . Hãy lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M(1,-2) đến (H). 27. Chứng minh rằng: Tích 2 khoảng cách từ 2 tiêu điểm của hypebol (H) đến một tiếp tuyến tùy ý của nó thì luôn luôn bằng bình phương của bán trục bé. 28. Cho elip . Xét các điểm a. Giả sử thay đổi nhưng đường thẳng luôn tiếp xúc với . Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng và ] b. Với giả thiết như câu a. Xác định tọa độ sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất c. Giả sử tiếp xúc với . Chứng minh rằng: đoạn thẳng được nhìn từ 2 tiêu điểm của dưới một góc vuông 29. Cho elip Tìm quỹ tích những điểm trên mặt phẳng sao cho từ ta kẻ được hai tiếp tuyến đến và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 30. Cho elip a. Hãy xác định các tiêu điểm của b. Giả sử M là một điểm di động trên (E). Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm của và đến đường thẳng là luôn luôn không đổi. Hãy tính lượng không đổi đó. 31. Cho (E) có phương trình: Đường thẳng d tiếp xúc với (E) và cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B. Hãy xác định đường thẳng d so cho tam giác OAB có diện tích lớn nhất. 32. Cho hai elip: và Hãy viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 elip trên 33. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm của một elip đến một tiếp tuyến tùy ý của nó thì luôn bằng bình phương của trục bé. 35. Cho Elip (E): . a) Tìm trên (E) điểm sao cho . ( là tiêu điểm trái, tiêu điểm phải của (E). ) b) Chứng minh: từ điểm kẻ được hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 36. Cho đường thẳng(d): và Elip (E): . Biết rằng (d) cắt (E) tại hai điểm phân biệt B,C. a)Tìm trên (E) điểm A sao cho tam giác ABC cân đỉnh A. b) Đường tròn đường kính BC cắt (E) tại hai điểm M,N (Khác B,C). Tìm tọa độ M, N. 37. Cho (H) có phương trình: là 2 tiêu điểm của (H).M là điểm chuyển động trên (H). Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp tam giác 38.Cho (H): .Tiêu điểm F(0:-c). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho MF ngắn nhất và dài nhất 39. Gọi (D) là tiếp tuyến của elip (E) : có hoành độ là -3 và 3. CMR : 40. Lập phương trình tiếp tuyến chung của : và . 41. Cho Hypebol (H): . 1. Lấy M(1;2) và gọi (d) là tiếp tuyến từ M tới (H). Gọi N là tiếp điểm. Cmr: (d) là phân giác của . 2. Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm O có 4 đỉnh thuộc (H) sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên. 3. Gọi (D) là một đường thẳng bất kỳ cắt hai tiệm cận tại P, Q; cắt (H) tại R, S. Chứng minh rằng: PR=QS. 4. Lấy điểm K thuộc (H). Từ K kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với hai tiệm cận. Chứng minh diện tích hình bình hành giới hạn bởi hai đường thẳng đó và hai tiệm cận có diện tích không đổi. 5. Giả sử hai đường thẳng qua tâm O và vuông góc với nhau cắt (H) tại 4 điểm tạo thành một hình thoi. Viết phương trình hai đường thẳng đó khi hình thoi có diện tích nhỏ nhất. 6. Cho A(-2,0). Tìm hai điểm B, C thuộc nhánh phải của (H) sao cho tam giác ABC là tam giác đều. 42. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 Elip : Chứng minh rằng : giao với tại 4 điểm A;B;C;D và ABCD là hình chữ nhật .Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ABCD. 43. Cho ( E ) có phương trình : + = 1 Viết phương trình tiếp tuyến của ( E ) biết tiếp tuyến song song với d : x + y = 0 và k : x - y = 0 . 44. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : Gọ d là đường thẳng qua O có hệ số góc k; d' là đường thẳng qua O và vuông góc với d. a) Tìm điều kiện của k để d và d' đều cắt (H). b) Tính theo k diện tích của hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của d;d' và (H). 45. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : và đường thẳng d : a) Chứng minh rằng d luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt A và B . Tính độ dài AB. b) Tìm điểm C thuộc (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất 46. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình : a) Tính khoảng cách từ điểm có hoành độ đến 2 tiêu điểm . b) Tìm b để phương trình đường thẳng : y=x+b có điểm chung với Hyperbol trên. 47. Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình : a) Tính khoảng cách từ điểm M thuộc (H) đến tiệm cận của nó. b) Từ điểm M kẻ các đường thẳng song song với 2 tiệm cận và cắt chúng tại P;Q . Tính diện tích tứ giác OPMQ 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;1) và Elip (E) : Lập phương trình đường thẳng d qua M , cắt Elip trên tại 2 điểm A và B sao cho MA=MB 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hyperbol (H) có phương trình : a) Tìm tọa độ đỉnh , tiêu điểm , tâm sai ,tiệm cận , đường chuẩn của (H). b) Lập phương đường tròn (C) , đường kính . Với là hai tiêu điểm 50. Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường cong (Hm) có phương trình : ( m là tham số ) a) Tùy theo m chỉ rõ bản chất của (Hm) và cho biết tâm , đỉnh , tiêu điểm , tiệm cận nếu có. b) Tìm điểm cố định mà họ (Hm) luôn đi qua. 51. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : Và Hyperbol (H) : Lập phương trình đường tròn đi qua giao điểm của Elip và Hyperbol 52. Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H) có phương trình : Tiêu điểm .Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài ngắn nhất , dài nhất 53. Cho phương trình hypecbol (H) =1 Từ điểm B ( 1; ) kẻ được 2 tiếp tuyến của (H) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau tính khoảng cách từ điếm B đến 2 tiếp điểm ? 54. cho elip =1 từ M ( 3;2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến (E) tiếp xúc với (E) tại p và Q Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm M,Q,P 55. Cho elip (E) có phương trình Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm 56. Cho hypebol (H) có phương trình : Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được hai tiếp tuyến với (H) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau 57. Lập phương trình các tiếp tuyến chung của elip và parabol 58. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy người ta cho một parabol và một đường thẳng có phương trình tương ứng Xác định điểm M trên parabol sao cho khoảng cách từ đó đến đường thẳng đã cho là ngắn nhất. Tính khoảng cách đó. 60. Cho parabol và điểm I(2; 4) nằm trên parabol . Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và hai cạnh của góc vuông cắt parabol tại hai điểm M và N ( khác với điểm I). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định . 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Ellip có phương trình : a. Viết phương trình tiếp tuyến của Ellip đi qua điểm M(4 ; 1). b. Tìm tập hợp các điểm N sao cho từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến Ellip và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho Ellip có phương trình : Viết phương trình tiếp tuyến của Ellip tại điểm 63. Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho parabol (P) có phương trình và đường thẳng có phương trình : . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng , tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất. 64. Cho elip và điểm A ( - 2; 0). Giả sử M là điểm di động trên elip. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên trục Oy. Giả sử AH cắt OM tại P. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên elip thì P luôn luôn chạy trên một đường cong (C) cố định . Vẽ đồ thị đường cong (C) . 65. Cho elip : 1. Xác định các tiêu điểm , tâm sai và vẽ elip. 2. M là một điểm bất kì trên elip. Chứng tỏ rằng tỷ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm phải và tới đường thẳng có giá trị không đổi. 3. Cho đường tròn (C) : Xét đường tròn (C') di động nhưng luôn luôn đi qua tiêu điểm phải và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) . Chứng tỏ rằng các tâm N của đường tròn (C') nằm trên một hyperbol cố định . Viết phương trình của hyperbol đó . 66. Cho họ đường cong có phương trình : trong đó m là tham số , và . 1. Tùy theo các giá trị của m, hãy xác định khi nào thì là elip, khi nào thì là hyperbol . 2. Giả sử A là một điểm tùy ý trên đường thẳng và A không thuộc trục hoành . Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn luôn có 4 đường cong của họ đi qua A. Hỏi trong số 4 đường cong đó có bao nhiêu elip và bao nhiêu hyperbol ? 67. Cho parabol : a) Chứng minh rằng từ điểm N tùy ý thuộc đường chuẩn của parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. b) Gọi lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu trên. Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi N chạy trên đường chuẩn của parabol . c) Cho M là một điểm thuộc parabol ( M khác đỉnh của parabol ). Tiếp tuyến tại M của parabol cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M chạy trên parabol đã cho . 68. Cho parabol . Một đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của parabol đã cho và cắt parabol đó tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của parabol là một đại lượng không đổi. 69. Cho (C) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) sao cho nó vuông góc với đường thẳng có phương trình : 70. Cho (C) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm M( - 1; 0) 71. Cho hypebol (H) có phương trình : M là điểm bất kỳ trên (H). là hai đường thẳng đi qua M và tương ứng song song với hai đường tiệm cận của (H). Chứng minh rằng, diện tích S của hình bình hành giới hạn bởi và hai đường tiệm cận là một số không đổi. 72. Cho elip (E) có phương trình Tìm tọa độ của điểm M nằm trên elip (E) sao cho , trong đó và là các tiêu điểm của elip (E). . 2.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho elip: và hai đường thẳng với Gọi là các giao điểm của và . là các giao điểm của với . 1. Tính diện. trình đường tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng . 2. Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ đến . 21. Cho elip và parabol . Lập phương trình các tiếp