hàm số và đồ thị (SKKN)

Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị.. Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằn

Mục Lục

I Mục Đích Và Yêu Cầu

I.1 Đối với giáo viên

I.2 Đối với học sinh

II Nội Dung

II.1 Đặt vấn đề

II.2 Bài toán xuất xứ

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản

II.3.1 Định nghĩa ánh xạ

II.3.2 Định nghĩa hàm số

II.3.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối

II.3.4.Sự biến thiên của hàm số

II.3.5 Đồ thị của hàm số

II.3.5.1 Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ

II.3.5.2 Các phép biến đổi đồ thị

II.3.6 Chơng trình đại số bậc THCS cần quan tâm

II.3.6.1 Hàm số bậc nhất y=ax+b

II.3.6.2 Hàm số bậc hai y=ax 2

II.3.6.3 Vị trí tơng đối giữa y=ax và y=mx +n

II.4 Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục

II.4.1 Những sai lầm

II.4.2 Cách khắc phục

II.5 ứng dụng của hàm số và đồ thị

II.6 Các dang bài tập

II.7 Một số ví dụ

II.8 Bài dạy minh họa

II.8.1 Mục tiêu bài dạy

II.8.2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

II.8.3 Tổ chức day học

III Kết luận

I Mục đích và yêu cầu

I.1 Đối với giáo viên

Ngời giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến thức có liên quan Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị Biết phân loại các dạng≠ bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vị kiến thức

đó

Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh hoặc đa bài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm, hoặc có thể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến thức đó.Tùy từng đối tợng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví dụ cho phù hợp

I.2 Đối với học sinh.

+ Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không?

Nắm đợc: tìm đợc chỉ ra đợc đâu là tập xác định của hàm số Các tính chất cơ bản của các hàm số đợc học trong trờng THCS Cách cho một hàm số: lấy ví dụ về một hàm số Xác định đợc một hàm số

Hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm sốvề

hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ trên hệ tọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm số

đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a ≠ 0) và y=ax2 ( a ≠ 0) một cách chính xác,

đẹp

+ Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập có liên quan

2

II Nội dung.

II.1 Đặt vấn đề.

Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong trơng trình đại số của bậc THCS Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đợc bắt đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo

Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thờng gặp nhiều khó khăn đặc biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số hay không? Cách xác

định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng của hàm số Vì vậy phải đòi hỏi ngời giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng với phơng pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và t duy tốt tiếp nhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực

II.2 Bài toán xuất xứ.

Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán, , mối…liên hệ giữa hai đại lợng, nhiều đại lợng Đại lợng là một khái niệm tổng quát hóa một

số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lơng, , thời gian, Mỗi khái… …niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng đợc biểu hiện bằng giá trị số Độ dài có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau Từ đó toán học đã đa

đến khái niệm “Đại lợng biến thiên” Chẳng hạn quan niệm độ dài là một đại lợng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S = a2 của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tơng quan )giữa hai đại lợng biến thiên ấy Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tơng quan giữa hai

đại lợng biến thiên x; y đợc viết dới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức cho phép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định đợc một giá trị tơng ứng của y Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn, lý luận toán học càng sâu sắc hơn, thì ngời ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm hàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản.

* Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trớc hết ta hãy cho học sinh làm quen với khái niệm ánh xạ.

2 Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1

và -5 thuộc Q cho ta tơng ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai số trong Q

3 Các phép đối xứng qua trục, qua tâm, cũng là những ánh xạ.…

4 Các phép chiếu vuông góc các điểm của đờng thẳng (d) xuống đờng thẳng (a)

là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đờng thẳng (d) đến các điểm thuộc (a)

5 Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tập hợp ấy bởi các vòng tròn, sự tơng ứng biểu thị bởi các mũi tên Xét các quy tắc cho tơng ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại sao?

Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ

Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tơng ứng với một và chỉ một phần tử y ∈ Y Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ

4

A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì

ánh xạ đợc gọi là hàm số Nh vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quy tắc cho mỗi giá trị x ∈ X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y∈Y

Gọi hàm số này là f, ta viết:

F: X→Y

x y =f(x)

x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x

X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số

Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị

* Các quy tắc khôg phải là hàm số

1) f : R R2) f : R R3)

x

y - 3 3 1 2 1 2 - 1 - 2 - 2 - 1

2

-2-11

2

01

x y

x y

An

N

Bảo Cường

B109

14

142

3

Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá trị nào: do

đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định đợc giá trị tơng ứng của y

Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:

tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) ≠ 0

tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) ≥ 0

Ví dụ:

1) Với hàm số Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x ≠ 2

Hoặc tập xác định: ∀ x ≠ 2

2) Với hàm số TXĐ: Tập tất cả các số x≥ 0

Hay TXĐ: ∀ x≥ 0

3) Với hàm số y =  x - 3TXĐ: ∀ x ≥ 3

* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x ∈ X; giá trị y=f(x) tơng ứng của hàm số phải là một phần tử của Y Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn

Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R Vì thế ngời ta nói hàm số f: X R

x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:

- TXĐ của hàm số

- Quy tắc xác định hàm số

Còn tập rất quan trọng ít đợc sử dụng trong chơng trình tính toán THCS đó là tập giá trị của hàm số

Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp X

Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x)

x

y = 2

1 1

2

1

x x

y y

1 1

x x

y y

Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f(x)); x∈XƯ của tập tích đề các X.Y trong đó: x∈X; f(x)z ∈Y.

Để phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS, thay cho việc xét khái niệm tích đề các tổng quát ta chỉ xét các cặp số (x, y)

x x a x x

ax ax x x

y y

x x

b ax b ax x x

y y

=

−

−

1 2

1 2 1

2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1

2

2 1 2 2 1 2

1

x x

x x x x a x x

ax ax x x

y y

-1 -1 1

1 -2

Để vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) trớc hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,

Ox là trục hoanh, Oy là trục tung Khi đó mỗi điểm M của mặt phẳng đợc xác định bằng hai tọa độ: hoành độ (x), tung độ (y) và ngợc lại mỗi cặp tọa độ (x, y) xác

II.3.5.1 Đồ thị của hàm số chẵn, lẽ.

* Đồ thị của hàm số chẵn:

* Ta đã biết độ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung vì vậy ta chỉ vẽ với

x≥ 0 sau đó lấy đối xứng qua trục tung

* Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x2

TXĐ: (-∞;+∞)

* Đồ thị hàm số lẻ

• Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc

tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x ≥ 0,

sau đó lấy đối xứng qua O

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x.

10-11

1 -1 -2

-2

2 3

2 3 4

x

y

0

y = x

II.3.5.2 Các phép biến đổi đồ thị

a phép tịnh tiến.

+ Tịnh tiến thep trục hoành

Ví dụ: đồ thị hàm số y = f(x-a) suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phơng pháp tịnh tiến theo trục hoành

Với a > 0 tịnh tiến theo chiều dơng của Ox

Với a < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Ox

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra đồ

thị hàm số y = x + 1 bằng cách tịnh tiến theo

chiều âm của Ox đi 1 đơn vị

+ Đồ thị hàm số y = x – 2 bằng

cách tịnh tiến theo chiều dơng

của trục hoành đi 2 đơn vị

+ Tịnh tiến theo trục tung

Đồ thị hàm số y = f(x) + b đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách:

Nếu b > 0 tịnh tiến theo chiều dơng của Oy

-2 -1

-2 -1

2 1

2 1 0 3 y

x

y = x

y = x + 1

y = x - 2

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1 3 4 5 y

0 1 2 3

3 2 1 4 y

x

y=x 2 -2x-3 y=x 2 +2x-3

Nếu b < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Oy

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x2 suy ra đồ thị hàm số y1 = x2 +1 bằng cách tịnh tiến theo chiều dơng của Oy một đơn vị dài

Y2= x2 – 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Oy hai đơn vị dài

b) Phép đối xứng.

+ Đối xứng qua trục hoành

Y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

Ví dụ: y = 2x và y = -2x

+ Đối xứng của trục tung

y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

Ví dụ: y1= x2 + 2x - 3

và y2= x2 - 2x - 3

12

-1 -2 -2 -1 0 1 1 2

2

y

x

y = 2x

II.3.6 Trong chơng trình đại số bậc THCS cần quan tâm đến hai hàm số

Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số y

= ax (a ≠ 0) là tập hợp các điểm nằm trên đờng thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và

điểm A(1; a) Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã đợc chứng minh

là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a) Suy ra đồ thị hàm số y =ax +

b bằng cách tịnh tiến theo trục tung, đồ thị hàm số y = ax; đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Ta biết rằng qua 2 điểm phân biệt ta hoàn toàn xác định đợc một và chỉ một

đờng thẳng Vì vậy để vẽ đợc đồ thị của hàm số y = ax + b tức là xác định đợc đờng thẳng (D) có phơng trình y =ax + b, ta thờng xác định hai điểm sau:

+ Giao điểm của (D) với các trục tọa độTrục hoành: A(-b/a; 0)

Trục tung: B(0; b) + a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng (D)

+ b gọi là tung độ góc của (D)

Trong hệ tọa độ vuông góc thì hệ số góc a của (D) là tang của góc x tạo bởi

đờng thẳng (D) với chiều dơng của trục hoành

- Nếu a > 0: góc tạo bởi đờng thẳng (D) với chiều dơng Ox là góc nhọn a càng lớn độ lớn của góc càng lớn nhng đều nhỏ hơn 900

- Nếu a < 0: góc tạo bởi đờng thẳng (D) với chiều dơng Ox là góc tù a càng lớn thì góc x càng lớn nhng đều nhỏ hơn 1800 và lớn hơn 900.

c/ Để xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b theo các điều kiện đã cho:

- Đờng thẳng y = ax + b đi qua A(x1; y1)

(D’): y = a’x + b’trên cùng một hệ tọa độ vuông góc có các vị trí sau:

(D)// (D’) ⇔ a = a’ ; b ≠ b’ (D) cắt (D’) ⇔ a ≠ a’

(D) ⊥ (D’) ⇔ aa’ = -1

(D)≡ (D’) ⇔ a = a’ ; b = b’

14

f) Các ví dụ:

1 Viết phơng trình đờng thẳng :

* Song song với đờng thẳng y = x + 2 và đi qua điểm M(1; 2)

* Vuông góc với đờng thẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ

là 2

Giải: Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b

* Do đờng thẳng này song song với đờng thẳng y = x + 2 nên a = 1 và b ≠ 2

Do đờng thằng này đi qua điểm M(1, 2) nên với x = 1, y = 2 thay vào ta có:

-2 -1

2 1

2 1 3 4 y

x 0

y = x+ 2

y = x+ 1

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = - x+ 2

y = x - 3

-3

3

y = 2mx + m – 2 (d2) Tìm giá trị của m để hai đờng thẳng (d1) và (d2) song song với nhau

a Tính chất:

+ TXĐ: R+ Chiều biến thiên: a > 0: hàm số đồng biến trong R+

16

1 -2

3

-4

-7 y

y = - 2x 2

-3 -2 -1 0 1

( nằm phía trên trục hoành)+ a < 0: Parabol quay bề lõm xuống phía dới, nhận gốc tọa độ làm điểm cực

đại (cao nhất)

(nằm phía dới trục hoành)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đờng cong (ít nhất là 3 điểm) với x > 0 Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành

II.3.6.3 Vị trí tơng đối giữa Parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n.

Tọa độ giao điểm cùa Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phơng trình:

-1 -1 1

1 -2

Đờng thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với Parabol nhng

ta không gọi là tiếp xúc với Parabol

a Các ví dụ:

1/ Xác định vị trí của Parabol y = x2 với các đờng thẳng sau:

+ y = x + 1+ y = 0+ y = -x -2+ y = 2x -1Giải:

+ Xét phơng trình x2 – x –1 = 0 ta có:

∆ = 1 + 4 = 5 > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Đờng thẳng y=x+1 cắt Parabol y =x2 tại hai điểm

18

1

1 -2

y =

0 y

+Xét phơng trình x2 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 0.Đờng thẳng y = 0 tiếp xúc với Parabol y = x2 tại gốc tọa độ (trục hoành)

Đờng y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1

2/ Cho Parabol và đờng thẳng

a)Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với Parabol

b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm

c)Xác định tọa độ giao điểm của đờng thẳng với Parabol nếu n = 1

Vẽ đồ thị của Parabol với đờng thẳng trong trờng hợp ấy

x

y= − +

2

1 2

2

8

1 2

1

−

n x x

2

+ Việc tìm mối liên hệ giữa đờng bậc hai (phơng trình bậc hai ) và đờng bậc nhất ( y =

ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phơng trình còn khó khăn

II.4.2.Cách khắc phục.

+ Cho học sinh nhìn nhận dới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị

+ Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ).+ Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hớng dẫn thật kỹ cách biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho học sinh quan sát một số cách biểu diễn sai để học sinh nhận xét và rút kinh nghiệm cho bản thân

+ Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đờng bậc hai (y = ax2) và đờng bậc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiện nghiệm của phơng trình bậc hai:

ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx – n = 0

+Học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số dạng của đồ thị

II.5 ứng dụng của hàm số và đồ thị

20

2 x2

y = 2x - 2 1

2 3

+ Giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

+ Họ đờng thẳng, Parabol đi qua một điểm cố định

Cho Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n

Xác định các hệ số a, m, n biết rằng Parabol đi qua A(-2;2); Đờng thẳng đi qua B(1;0) và tiếp xúc với Parabol

y =

0 2

1 x 2 − mx + m =

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = -x- 3 y = 2x- 3

3

2 4 6

II KiÓm tra bµi cò :

Gäi hai HS lªn b¶ng cïng mét lóc :

HS1: a/ §iÒn vµo « trèng c¸c gi¸ trÞ t¬ng

øng cña y trong b¶ng sau:

b/ H·y nªu tÝnh chÊt cña hµm sè y = ax2 (a

≠ 0)

HS2 :

a/ H·y ®iÒn vµo nh÷ng « trèng c¸c gi¸ trÞ

t¬ng øng cña y trong b¶ng sau

b/ Nêu nhận xét rút ra sau khi học hàm số

y = ax2 (a ≠ 0)

Cả lớp cùng làm sau đó nhận xét, ổ sung bài của hai bạn

III Bài mới :

lấy một giá trị của x làm

hoành độ thì tung độ là giá

Ví dụ 1:

Đồ thị hàm số

y = 2x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x 2 18 8 2 0 2 8 18

Tiết này ta xét xem đồ thị

- Yêu cầu HS quan sát khi

GV vẽ đờng cong qua các

- Lên bảng xác định các điểm A, A’, B, B’,