Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hám số

Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số I Tóm tắt lý thuyết hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Định nghĩa 1: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a,b) ∀ x1, x2 ∈ (a,b), x1< x2 f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) nếu∀ x1,x2∈ (a,b), x1< x2 f(x1) > f(x2) - Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) khoảng (a; b) gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Định nghĩa 2: - Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔ ∆y > khoảng (a, b) ∆x - Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) ⇔ ∆y < khoảng (a, b) ∆x Nhận xét: - Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇒ f'(x) = lim ∆x →0 ∆y ≥ khoảng (a; b) ∆x ∆y ≤ khoảng (a; b) ∆x → ∆x - Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) ⇒ f'(x) = lim Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f'(x) ≥ (hoặc f'(x) ≤ 0) dấu "=" xảy số hữu hạn điểm khoảng (a; b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng II Một số dạng toán thường gặp: Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=(m + 2)x3 - 3x2 - 3x + nghịch biến Giải: Ta có y’ =3(m + 2)x2 - 6x -3 Hàm số nghịch biến ⇔ y’≤ ∀x  m+2 ⇔ f(x)=2x2 - 4x + - m ≥ 0, ∀ x>3…(tương tự ví dụ 2) Đáp số: m ≤ Nhận xét: Từ ví dụ ví dụ 3, ta có tham số y' hệ số không chứa biến số Có thể đưa tham số vào hệ số chứa biến y' Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + mx2 + x + Tìm m để hàm số đồng biến (1; 2) Giải: Yêu cầu toán ⇔ y' = 3x2 + 2mx + ≥ 0; ∀x ∈ (1; 2) ⇔ 3x + ≥ -2m; x ⇔ g ( x) ≥ -2m x∈[1;2] Ta có g'(x) = 3- (1), với g(x) = 3x + 3x − = > ∀x ∈ [1; 2] x2 x2 Suy g ( x) = g(1) = x∈[1;2] ∀x ∈ (1; 2) Vậy (1) ⇔ ≥ - 2m ⇔ m ≥ -2 Đáp số: m ≥ -2 Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số 1 x Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số y= x3 - (2m + 1)x2 +(3m + 2)x - 5m +2 Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) HD: Ycbt ⇔ y' =x2 - (2m+1)x + 3m + ≤ 0, ∀x ∈(0; 1) ⇔ x2 - x + ≤ m(2x-3), ∀x ∈(0; 1) ⇔ x2 − x + ≥ m, ∀x ∈(0; 1), ( x ∈(0; 1), nên 2x-3 < 0) 2x − ⇔ g ( x) ≥m, với g(x)= x∈[ 0;1] x2 − x + 2x − Bằng cách kháo sát hàm g(x), ta tìm g ( x) =g(1) =-2 x∈[ 0;1] Vậy đáp số m ≤ -2 Nhận xét: Trong ví dụ trên, tất biểu thức y’ tham số đồng bậc (bậc nhất), ta sử dụng cách biến đổi độc lập tham số với biến số, sau sử dụng khảo sát hàm số độc lập với tham số khoảng xét suy giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu toán Tuy nhiên, số hàm số không thuộc dạng ta dùng cách Để minh họa, xét ví dụ sau đây: Ví dụ 6: Cho hàm số y= x − (3m + 1) x + 5m − x−m Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) Giải: Đkxđ x ≠ m m ≤ (1) m ≥1 HS xác định khoảng (0; 1) ⇔  Ta có y’= x − 2mx + 3m − 4m + Hàm số đồng biến khoảng (0; 1) ⇔ y’ ≥ ∀x ∈(0; 1) ( x − m) Hay f(x) = x − 2mx + 3m − 4m + ≥ ∀x ∈(0; 1) Vì f(x) tam thức bậc hai có  −4m + ≥ ⇔ ⇔ m≤ m − m + ≥   f (0) ≥ S =m ∉ (0; 1), nên f(x) ≥ ∀x ∈(0; 1) ⇔   f (1) ≥ (2) Từ (1) (2) suy giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu toán m ≤ Ví dụ 7: Cho hàm số y = (2m + 3) sin x + (2 - m)x Tìm m để hàm số đồng biến R Giải: TXĐ: R Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ta có y' = (2m + 3) cosx + (2 - m) Đặt cosx = t ∈ [-1; 1], suy y' = g(t) = (2m + 3)t + (2 - m) Hàm số đồng biến R y' ≥ ∀x ∈ R ⇔ g(t) ≥ ∀t ∈ [-1; 1] Điều kiện: g(-1) ≥ -3m - ≥ ⇔ g(1) ≥ m+5≥0 ⇔-5≤m≤- Đáp số - ≤ m ≤ - Nhận xét: Bằng phép tương tự, xét hàm số nghịch biến khoảng (a, b); hai khoảng Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + đồng biến khoảng (1; 2) Đáp số: m ≥ -1 Bài 2: Tìm m để hàm số y= x3 -(3m - 1)x2 + (m + 3)x + 4m -3 đồng biến (1; + ∞ ) Đáp số: m ≤ 1 Bài 3: Tìm m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1) x2 + 5mx + nghịch biến (-∞; 1) Bài 4: Tìm m để hàm số y = 2x2 + mx + nghịch biến (-3; -2) x-1 x2 + mx + 2m - Bài 5: Tìm m để hàm số y = nghịch biến khoảng (1;+∞) x - 2m Bài 6: Cho hàm số y= x + (1 − m) x + + m đồng biến khoảng (0; + ∞ ) x−m Đáp số: m ≤ − ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình x −1 − x −x = (x - 1)2 (1) Giải: Ta có: x2 - x - (x - 1) = (x -1)2 Nên (1) có dạng: x −1 + ( x − 1) = x −x + (x2 - x) (2) Đặt f(t) = 2t + t; f'(t) = 2tln2 + > nên phương trình (2) ∀ t∈R f(x - 1) = f(x2 - x) (x2 - x) = x -1 x = nghiệm phương trình Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Nhật xét: Ta khái quát hoá toán trên: Cứ cho phương trình f(x) = g(x) Khi đó: af(x) + f(x) = af(x) + g(x) (a > 0; a ≠ 1) Ta phương trình với cách giải tương tự Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: / e x − − e x −1 = 1 − 2x − x −1 / 2 / 2009sin x − 2009cos x = cos x 1− x x2 −2 1− x x2 = 1 − x / 2009cos x − 2008cos x = cos x x x 5* / 22 + 32 = x + 3x +1 + x + Ví dụ 2: Giải phương trình: log3 x2 + x + = x − 3x + x2 − x + Giải: Đặt u=x2 + x +1; v=2x2 - 3x + (u > 0, v > 0) Suy v - u=x2 -3x +2 u v Phương trình cho trở thành: log3 = v − u ⇔ log u − log3 v = v − u ⇔ log3 u + u = log3 v + v (1) Xét hàm số: f(t)= log3 t + t (0; +∞ ), ta có f’(t)= + > 0, ∀t > nên hàm số đồng biến t ln (0; +∞ )  x =1 x = Vậy từ (1) ta có f(u) = f(v), suy u = v, hay v - u = 0, tức x2 -3x +2 = ⇔  Nhận xét: u v  Đối với phương trình dạng log a = v − u , với u, v >0 a > 1, ta thường biến u v đổi dạng log a = v − u ⇔ log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v Vì hàm số f(t)= log a t + t đồng biến (0; +∞ ), nên ta có u = v  Với điệu kiện trên, ta có bất phương trình: log a u < v − u ⇔ f (u ) < f (v) ⇔ u < v v Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log5 (3 + x ) > log x Giải: Điều kiện x > Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Đặt t = log4x ⇔ x = 4t, bất phương trình trở thành t t log5(3 + 2t) > t ⇔ + 2t > 5t ⇔   +   > 5 5 t t Hàm số f(t) =   +   nghịch biến R f(1) = 5  5 Vậy bất phương trình trở thành f(t) > f(1) ⇔ t < Từ ta log4x < ⇔ < x < Chú ý:  Đối với BPT dạng logau < logbv, ta thường giải sau: Đặt t = logau (hoặc t = logbv), đưa BPT mũ; sử dụng tính đơn điệu hàm số để suy nghiệm  Với PT dạng logau = logbv, ta thường giải sau: u = a t ; sử dụng phương pháp để đưa PT mũ ẩn t t v = b Đặt t = logau = logbv ⇒  Tìm t (thông thường có nghiệm t nhất); suy x Bài tập vận dụng: Giải phương trỡnh: 2) log ( x + 3log x ) = log x 1) log ( x − x − 3) = log ( x − x − 4) 3) log5(3 + 3x + ) = log4(3x + 1) log 22 5) ( ) 4)3log + x + x > log x x − 3log x < log x − log 22 x Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình: 3 x + x − < 0(1)   x − x + > 0( 2) Giải: Nghiệm bất phương trình (1) là: - < x < Xét bất phương trình (2): đặt f(x) = x3 - 3x + 1, với x ∈ (-1; ) Ta có: f'(x) = 3x2 - = ⇔ x = ± BBT: x -∞ -1 Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số 1 +∞ Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số f'(x) f(x) + - + -∞ +∞ 1 Căn vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) nghịch biến (-1; ),nên ∀x∈ (-1; ) 3 1 f(x) >f(3 ) = 27 > Vậy f(x) > với ∀ x∈ (-1; ) Kết luận: Hệ có nghiệm -1 < x <  x − y = e x − e y (1) log x − log y + = 0(2) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  Giải: Điều kiện: x, y > Từ (1) ex - x = ey - y (3) Đặt f(t) = et - t xét (0;+∞) có f'(t) = et - > 0, ∀t > , nên f(t) đồng biến (0;+∞) Do (3) f(x) = f(y) x = y Thay vào (2): log 22 x − log x + = log2x = log2x = ta nghiệm hệ x = x = Nhận xét: Đối với loại hệ phương trình mà hệ có phương trình dạng f(x) = f(y), phương trình lại giúp ta giới hạn x, y để hàm số f đơn điệu Từ suy x=y  x3 − x = y − y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:   x + y = 1(2) Giải: Từ PT (2) ta có x8 ≤ 1, y4 ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ Xét hàm số: f(t) = t5 - 5t, t ∈ [ −1;1] , ta có f’(t) =3t2 -5 < 0, ∀ t ∈ [ −1;1] Do hàm số f(t) nghịch biến khoảng (-1; 1), nên từ PT (1) suy x=y Thay vào PT (2) ta được: x8 + x4 - = Đặt a= x4 ≥ 0, giải PT tương ứng ta a= Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số −1 + −1 + ⇒ x = y = ±4 2 Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số  x + x − x + = y −1 + Ví dụ 7: Giải hệ PT  x −1  y + y − y + = +  u + u + = 3b (1) Giải: Đặt u=x-1, v=y-1, ta hệ:  v + v + = 3u (2) Trừ tương ứng hai PT hệ ta u + u + + 3u = v + v + + 3v (3) Xét hàm số f(t) = t + t + + 3t , ta có f’(t) = t2 +1 + t + 3t ln t +1 Vì t + ≥ t ≥ -t ⇒ t + + t > => f’(t) > ∀t ∈ R , hàm số f(t) đồng biến R Từ PT (3) u=v Thay vào PT (1) ta u + u + = 3u (4) Theo ta có u + + u > 0, nên PT (4) ln(u + u + 1) − u ln =0 Xét hàm số g(u) = ln(u + u + 1) − u ln , có g’(u) = u2 +1 − ln < − ln < 0, ∀u ∈ R , nên hàm số g(u) nghịch biến R PT (4) có nghiệm u=0 Từ suy hệ PT ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1) Một số tập tương tự: Tìm x, y ∈ (0; π) thoả mãn hệ: cot x − cot y = x − y   x + y = 2π  x − y = (log y − log x)(1 + xy ) xy − y + =  Giải hệ:   x + 5x + <  x + x − x − 10 > Giải hệ bất phương trình:   log 22 x − log x <  Giải hệ bất phương trình:   x − x + x + > 2( x + x − y − 1) = x ( y + 1) Giải hệ:   y + x + + ln( y + x) = Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải toán giải phương trình bất phương trình chứa tham số: Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Tìm a phương trình x2 + 3ax + =0 (1) có nghiệm phân biệt Giải: Ta có (1) x3 + = - 3ax (2) a) Với x = không nghiệm phương trình (2) ∀a b) Với x ≠ 0: phương trình (2) x2 + x = -3a 1 2x3 - Đặt f(x) = x + ⇒ f'(x) = 2x - = x x x2 f'(x) = x = BBT: x -∞ f'(x) f(x) - +∞ - +∞ + +∞ +∞ -∞ Đặt g(x) = - 3a đường thẳng song song với trục Ox Căn vào bảng biến thiên ⇒ (1) có nghiệm phân biệt f(x) cắt g(x) điểm phân biệt g(x) > f( 3 a < - ) - 3a > 33 2 2 Đáp số: a < - 2 Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình - x3 + 3mx - < - x3 (1) nghiệm ∀ x ≥ Giải: Ta có (1) x3 + - x3 > 3mx (do x ≥ 1) x2 + > 3m x x3 xét [1; + ∞) x x3 Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Đặt f(x) = x2 + (2) Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số 2(x3 - 1) Ta có f'(x) = x2 + x4 > ∀x ≥ => f(x) đồng biến [1; + ∞) Vậy 3m < f ( x) = f(1) = m < x∈[1; +∞ ] Đáp số: m < Nhận xét: Cô lập tham số sang bên Sử dụng tính biến thiên hàm số hàm số Một số toán tương tự: Bài toán 1: Tìm m phương trình: x3 + 3ax + = a Có hai nghiệm phân biệt b Có nghiệm Bài toán 2: m = ? phương trình x3 + 3x + 2m - = có nghiệm Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình nghiệm x3 + 3ax + > ∀x > Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x - sin x > ∀x > (1) Giải: Thật vậy, đặt f(x) = x - sin x, xét (0; +∞) Ta có f’(x) = - cos x ≥ ∀x > => f(x) đồng biến (0; +∞) xác định x = nên x > f(x) > f(0) = nên (1) chứng minh Nhận xét: Sử dụng ví dụ chứng minh x2 Bài toán 1: CMR: cosx > - với x > x3 Bài toán 2: CMR: x < sin x với x > π Ví dụ 2: Chứng minh rằng: sin x + tan x - 2x > với ∀x ∈ (0; ) Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Giải: Đặt f(x) = sin x + tan x - 2x xét (0; Ta có f'(x) = cos x + π ) 1 - > cos2x + -2≥2-2=0 cos x cos2x => f(x) đồng biến khoảng (0; π ) mà f(x) xác định x = π nên f(x) > f(0) = ∀x ∈ (0; ) => đpcm Nhận xét: Sử dụng phương pháp toán ta chứng minh được: Bài toán 1: CMR: 2sin x + 2tan x > 2x + 3x ∀x ∈ (0; +1 Bài toán 2: CMR: 22sin x + 2tan x > 2 ∀x ∈ (0; sin x  Bài toán 3: CMR:   > cos x  x  π ) π ) π ∀x ∈ (0; ) Nhận xét:  Sử dụng kết toán 1, ta CM được: Với tam giác ABC nhọn ta có: 2sinA + 2sinB + 2sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2π  Sử dụng kết toán 2, ta CM được: Với tam giác ABC nhọn ta có: 4sinA + 4sinB + 4sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2π Ví dụ 3: CMR: ex > + x + x2 , với x > Giải: Ta có BĐT cần CM tương đương với x > ln(1 + x + Xét hàm số f(x) = x - ln(1 + x + x2 ) x2 x2 ), ta có f’(x) = >0, ∀x ∈ R x + 2x + Vậy hàm số đồng biến R Do với x > 0, ta có f(x) > f(0) = Hay x > ln(1 + x + x2 ) ∀x > (đpcm) Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Nhận xét: Với x>0 n ∈ N*, ta có BĐT tổng quát sau: ex > + x + x2 xn x2 xn + + , hay ln(1 + x + + + ) < x 2! n! 2! n! Cách CM BĐT tương tự Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số [...].. .Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số Giải: Đặt f(x) = sin x + tan x - 2x xét trên (0; Ta có f'(x) = cos x + π ) 2 1 1 - 2 > cos2x + -2≥2-2=0 2 cos x cos2x => f(x) đồng biến trên khoảng (0; π ) mà f(x) xác định tại x = 0 2 π nên f(x) > f(0) = 0 ∀x ∈ (0; 2 ) => đpcm Nhận xét: Sử dụng phương pháp của bài toán trên ta chứng minh được: Bài toán 1: CMR: 2sin x + 2tan... Giải: Ta có BĐT cần CM tương đương với x > ln(1 + x + Xét hàm số f(x) = x - ln(1 + x + x2 ) 2 x2 x2 ), ta có f’(x) = 2 >0, ∀x ∈ R 2 x + 2x + 2 Vậy hàm số đồng biến trên R Do đó với x > 0, ta có f(x) > f(0) = 0 Hay x > ln(1 + x + x2 ) ∀x > 0 (đpcm) 2 Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số 1 Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số Nhận xét: Với x>0 và n ∈ N*, ta có BĐT tổng quát sau: ex > 1... toán 1: CMR: 2sin x + 2tan x > 2x + 1 3x ∀x ∈ (0; +1 Bài toán 2: CMR: 22sin x + 2tan x > 2 2 ∀x ∈ (0; 3 sin x  Bài toán 3: CMR:   > cos x  x  π ) 2 π ) 2 π ∀x ∈ (0; 2 ) Nhận xét:  Sử dụng kết quả bài toán 1, ta có thể CM được: Với mọi tam giác ABC nhọn ta đều có: 2sinA + 2sinB + 2sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 6 3 2π  Sử dụng kết quả bài toán 2, ta có thể CM được: Với mọi tam giác ABC nhọn... của hàm số Nhận xét: Với x>0 và n ∈ N*, ta có BĐT tổng quát sau: ex > 1 + x + x2 xn x2 xn + + , hay ln(1 + x + + + ) < x 2! n! 2! n! Cách CM BĐT này tương tự như trên Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số 1 ... y + x) = Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải toán giải phương trình bất phương trình chứa tham số: Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Tìm a... tham số thỏa mãn yêu cầu toán m ≤ Ví dụ 7: Cho hàm số y = (2m + 3) sin x + (2 - m)x Tìm m để hàm số đồng biến R Giải: TXĐ: R Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số Một số toán liên quan đến tính đơn điệu. .. m ≥ -2 Đáp số: m ≥ -2 Nguyễn Bá Nam – THPT Yên Phong số 1 x Một số toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số y= x3 - (2m + 1)x2 +(3m + 2)x - 5m +2 Tìm m để hàm số nghịch biến