Các bài toán liên quan đến tính toán và chứng minh trong đa giác

Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ.Chứng minh rằn

LỜI NÓI ĐẦU

Trong nền kinh tế thị trường hiện nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của cácngành nghề, ngành giáo dục hơn bao giờ hết cần phải có sự đổi mới, vận động và pháttriển để khẳng định vai trò của mình Có như vậy chúng ta mới đáp ứng được yêu cầu xãhội, tạo ra cho xã hội những sản phẩm là những con người có tri thức, vững chắc luônnăng động, sáng tạo, thích hợp với cuộc sống hiện đại

Là một sinh viên, em thấy được vai trò và tầm quan trọng của việc học toán hiệnnay Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: Các bài toán liên quan đếntính toán và chứng minh trong đa giác

Trong quá trình thực hiện đề tài em đã được sự hướng dẫn tận tình của các thầy côđặc biệt là sự quan tâm giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Bùi Trọng Kim Em xin chânthành các thầy cô đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này

Mặc dù em đã cố gắng nhiều song do thời gian và năng lực có hạn nên trong đề tàinày sẽ còn nhiều thiếu sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến để đề tài của em được hoànthiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Thơm

I LÝ THUYẾT 2

1 Đa giác 2

2 Đa giác đơn 3

3 Đa giác lồi 3

4 Đường chéo của đa giác 3

5 Đa giác đều 3

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 3

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC .4

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 5

1 Tính số cạnh của một đa giác 5

2 Tính số đo góc trong đa giác 9

3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác 13

4 Diện tích đa giác 17

4.1 Hàm diện tích: 18

4.2 Diện tích đa giác đơn 18

4.3 Diện tích của các hình phẳng 18

a Hình đơn giản: 18

b Hình khả diện 18

c Các tính chất của diện tích đa giác 18

4.4 Các công thức tính diện tích 18

5 Các khoảng cách trong đa giác 23

6 Một số bài toán cơ bản khác 26

IV KẾT LUẬN CHUNG 28

1.Kết luận: 28

2 Lời cảm ơn 28

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

I LÝ THUYẾT

1 Đa giác.

Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n 3) A1A2…An+1 sao cho đỉnh đầu Aa và đỉnhcuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1A2 và cạnh cuối AnAn+1 ( cũng coi là hai cạnh liên tiếp)không nằm trên một đường thẳng

Đa giác như thế kí hiệu là A1A2…An Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác Các điểm Ai gọi

là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng AiAi+1 gọi là các cạnh của đa giác Góc Ai-1AiAi+1

gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai

2 Đa giác đơn

ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểmchung

3 Đa giác lồi

ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một

cạnh nào của đa giác đó

4 Đường chéo của đa giác

ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường chéo của đa

giác đó

ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch thành 2 đa giác

có số cạnh bé hơn n

5 Đa giác đều.

ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau.

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC

VD1: Cho hình n_ giác lồi

a Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800

b Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác

Giải:

a Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó

Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác

Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng

(n - 2).1800.

b Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 1800.Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.1800.Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).1800

Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.1800 – (n - 2).1800 = 3600 = 4v

Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đagiác

VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả A đường chéo

Giải:

Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từđỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnhcủa đa giác)

Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo

Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả ( 3)

2

n n 

đường

chéo

Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn thẳng nối đỉnh

đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác

+ Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN

TRONG ĐA GIÁC

1 Tính số cạnh của một đa giác

2 Tính số đo góc trong một đa giác

3 Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác

4 Diện tích đa giác

5 Các khoảng cách trong đa giác.

6 Một số bài toán cơ bản

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN

1 Tính số cạnh của một đa giác.

Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 5700.Tính số cạnh của đa giác đó và A

b Số đường chéo gấp đôi số cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700

Giải:

a Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).1800

+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600

Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600  n = 4

Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4

b Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có:

n(n-3)

2 = 2n  n2 – 3n = 4n  n = 7

Vậy đa giác đó có 7 cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên:

Vậy đa giác đó có 15 cạnh.

Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là 2

3 Tính số cạnh của mỗi đa giác đó.Giải:

Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n  Z, m,n > 2)

Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4

Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh Mộttrong hai mảnh lại được cắt làm 2 Ta làm như vậy nhiều lần Hỏi số lần cắt ít nhất là baonhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh

Giải:

+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh

Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh.

Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh

+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1  Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1.+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99  Tổng sốđỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh

Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúngcho trường hợp n đường thẳng

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn, thoả mãn điều kiện bài toán

Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn- 1 nên n -1 đường thẳng đó

Mỗi Δi đều nằm trong một và chỉ một D j nào đó và chia D j thành 2 phần bởi vậy số phần

mà n đường thẳng phân chia là:

Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n  4) và ta chứng minh

b, đúng cho trường hợp n đường thẳng

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không có 3 đườngthẳng nào đồng quy) Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d1, d2, …dn -1 nên trong

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của cáccạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.

Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 22250 Hỏi đagiác đó có bao nhiêu cạnh?

Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ.Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cânđược đánh dấu cùng một màu

2 Tính số đo góc trong đa giác.

Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE

a Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP Chứng minh rằng IK 1

4CD

b Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc khôngvượt quá 360

Giải:

A B

CD

Bài 3: Cho hình vuông ABCD Lấy một điểm E thuộc miền trong của hình vuông sao cho

EAB = EBA = 150 Chứng minh rằng ΔCDE đều

 FCB = 150  FCE = 150, FCB = 1500  EFC = 1500  CEF = 150

 ΔCBF cân tại C  CE = CB = CD Vậy ΔCDEđều

Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn

Giải:

Giả sử đa giác lồi có K  4 góc nhọn Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là gócnhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù Vì vậy nếu đa giác có K  4 góc nhọnthì sẽ có K  4 góc ngoài là góc tù  tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vìtrong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600).

Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn

Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và ABC = 2DBE   Hãy tính

Bài 6: Lục giác ABCDEF có số đo các góc (tính theo độ) là một số nguyên và  A -  B = B 

- C  =  C - D  = D  -  E =  E - F  Giá trị lớn nhất của  A có thể bằng bao nhiêu?

Giải:

+ Tổng các góc trong của lục giác bằng : (6 - 2).1800 = 7200

+ Đặt α =  A -  B =  B - C  =  D -  E = E  -  F

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của CD và DE Gọi I

là giao điểm của AM và BN

a Tính AIB

b OID (Với O là tâm của lục giác đều)

Bài 2: Lục giác lồi ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau, ngoài ra A+C+E    =  B+D+F   Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của lục giác này là song song

Bài 3: Cho  cân ABC (AB = AC) và  A = 1000 M là một điểm trong tam giác sao cho



MBC = 100 và  MCB = 200 Tính AMB 

Bài 4: Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh bằng nhau và các góc trong đều bé hơn

1200 Chứng minh rằng các góc trong của ngũ giác lồi đó đều là góc tù

Bài 5: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và EF, CD và AEvừa song song vừa bằng nhau Lục giác ABCDEF có nhất thiếy là lục giác đều haykhông?

Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc trong bằng nhau Chứng minh rằng hiệu giữa cáccạnh đối diện thì bằng nhau

Bài 7: Cho ABC với AB = BC và  ABC = 800 Lấy trong tam giác đó điểm I sao cho



IAC = 100 và  ICA = 300 Tính  AIB

Bài 8: Cho ΔABC,kẻ các đường phân giác trong BD và CE Hãy xác định các góc A, B, C biết BDE = 240 và CED = 180

Bài 9: Cho hình vuông ABCD Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB và BC tương ứngsao cho BP = BQ Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B xuống cạnh PC.Chứng minh rằng DHQ = 1v

Bài 10: Cho hình thang cân ABCD( BCAD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm củacác cạnh AB, BC, CD, DA.

a Chứng minh MP là tia phân giác của góc QMN

b Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đường chéo để MNQ

AH, K là trung điểm của CD Tính BMK

Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD, biết B+C  200  , B D    180 , C D    120 

a Tính các góc của tứ giác

b Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I CM:   

2

C D AIB Bài 15: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhấtmột góc là góc tù

Bài 16: Cho tứ giác ABCD có BAC 25 ,  CAD  75 ,  ABD 40 ,  CBD  85  Tính số đo của

Chằng hạn:

+ Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là

10(10 3)

35 2





+ Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu?

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu?

Giải pt ( 3)

2

n n 

= 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm, nghĩa là

không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36

Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéo của một đagiác

+ Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo không?

Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác

+ Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như có tồn tại haykhông đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay là tìm số cạnh của một đa giácbiết số đường chéo nằm trong một khoảng xác đinh

Bài 1: Tính số đường chéo củ hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều

Giải: + Số đường chéo của hình 5 cạnh đều là: 5(5 3) 5

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AB + BC + CD + DE + EA < (AA’ + A’B) + (BB’ + B’C) + (CC’ + C’D) + (DD’ + D’E)+ (EE’ + E’A)

Chứng minh:

+ Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho

Gọi H là giao điểm của AD và CF

2 SABCDEF  SEDCB= S EDI+ S DIKC+ S BKC.+ H’ = BE  KI  SBKH' = S EIH'  BI // KE

Ta có KE // IB; KC // IF, CE // BF (theo chứng minh trên)

F

c B

I

K H

  EKC đồng dạng  BIF  BI

EK = IF

KC = FD

AC+ Mà BI // BE  BI

KE = H'I

H'KVậy H'I

Vậy AD, BE, CF đồng quy

Bài 4: Các đường chéo của hình thang ngoại tiếp ABCD (AD//BC) cặt nhau tại O Bánkính đường tròn nội tiếp các ΔAOD, ΔAOB, ΔBOC,ΔCODlần lượt là r1, r2, r3, r4 Chứng

1

r Giải:

Giả sử ΔAOD,ΔAOB,ΔBOC,ΔCODcó diện tích và nửa chu vi lần lượt là S1, P1, S2, P2, S3,

1

r = 2

1

r + 4

1 r

P

P S1=

2

1 3 2 3

P S P

P

S =

1 3 2

3 1 3 2 3

P P

S P S P

A

D

B

C O

Vậy (4) đúng 

1

1

r + 3

1

r = 2

1

r + 4

1

r  đpcm

Bài 5: Tìm các cạnh của một tứ giác bất kì, về phía ngoài của nó, dựng các hình vuông.Chứng minh rằng tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một tứ giác có các đường chéobằng nhau và vuông góc với nhau

Giải: Gọi M là trung điểm của AC

+ Dễ thấy ΔO AB 1 ,ΔO BC 2 ,ΔO CD 3 ,

Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3) Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là ba đường chéo của

D

a Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O của hai đường chéo cắt cáccạnh bên ở E và F Chứng minh: OE = OF.

b Đường thẳng n song song với đáy và cắt 2 đường chéo ở H và K, cắt hai cạnh bên ởM,N Chứng minh rằng NH = KN

Bài 5: Chứng minh rằng có vô số hình bình hành MNPQ nội tiếp một hình bình hànhABCD cho trước (mỗi đỉnh của hình bình hành MNPQ nằm trên mỗi cạnh của hình bìnhhành ABCD) và các hình bình hành này có chung tâm đối xứng

4 Diện tích đa giác.

4.1 Hàm diện tích:

là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng ánh xạ S:  R+ (R+ là tập hợp tất

cả các số thực dương) gọi là hàm diện tích nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây

+ Nếu 2 đa giác H1 và H2 bằng nhau thì S(H1) = S(H2)

+ Nếu đa giác H được phân hoạch thành các đa giác H1, H2,…,Hn thì

4.2 Diện tích đa giác đơn.

Định lí: Nếu hàm diện tích tồn tại thì nó là duy nhất

Diện tích S(X) của hình X là giá trị S(X) = S(X) = S(X)

c Các tính chất của diện tích đa giác.

+ Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

+ Nếu một trong hai đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trongchung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác đó.

+ Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích bằng một đơn vị vuông

4.4 Các công thức tính diện tích

a Diện tích hình chữ nhật: S = ab

b Diện tích hình vuông: S = a2

c Diện tích tam giác:

+ Tam giác vuông: S = 1

f Diện tích hình thoi: S = a.h = m.n (m.n là 2 đường chéo)

* Diện tích của hình có 5 cạnh trở lên dựa vào việc phân chia thành các tam giác và các

tứ giác đặc biệt để tính

Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, qua giao điểm O của 2 đường chéo ta kẻ 2 đường thẳngvuông góc MON và POQ cắt các cạnh AD,BC,CD,AB theo thứ tự tại M,N,P,Q Chứngminh rằng 2 đường thẳng này chia hình vuông thành 4 tứ giác có diện tích bằng nhau.Giải:

+ Vì AC,BD là các đường chéo của hình vuông ABCD

nên A  1= B 1= C  1 = D  1 = 450

Mà ACBD, MN  PQ nên O  1 O = O = O  2  4  3

OA = OB = OC = OD

 ΔOAM=ΔOBQ=ΔONC=ΔODP

 SOAM = SOBQ = SONC = SODP

+ Chứng minh tương tự ta có: SOAQ = SONB = SOPC = SOMD

o

N C

+ Các tứ giác AMOQ, BNOQ,CNOP,DPOM trong đó mỗi tứ giác được chia thành 2 tamgiác không có điểm trong chung nên diện tích của mỗi tứ giác sẽ bằng tổng diện tích 2tam giác đó.

Vậy SAMOQ = SBNOQ = SCNOP = SDPOM  đpcm

Bài 2: Trong lục giác lồi A1A2A3A4A5A6 có từng cặp cạnh đối song song với nhau

Chứng minh rằng: S A A A 1 3 5 = S A A A 2 4 6

Giải:

Ta có S A A A 1 3 5 = S A A A 2 4 6 = 1

2(S + S1)

S: Là diện tích lục giác đã cho

S1: diện tích tam giác T có các cạnh

bằng hiệu giữa các cạnh đối của lục giác và song song với chúng

Để chứng minh ta đưa lục giác đã cho thành 3 hình hành và tam giác T như hình vẽ.Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng tồn tại một hình bình hành có diện tíchbằng diện tích tứ giác này

Giải: Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh DC, CB,BA,AD

Gọi I là điểm đối xứng với F qua E, K là điểm đối xứng với G qua H

A G