Tim kiem tai nang toan hoc quoc te

International Mathematical Talent Search (IMTS) Translated from English-progenitor by Hàn Ngọc Đức [KoreaGerman] Các chỗ có dấu (?) cha xác! Đề nghị bạn đọc kiểm tra góp ý với ngời dịch â Copyright 2004 by KoreaGerman & www diendantoanhoc.net â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Với số nguyên dơng n, lập số n/s(n), s(n) tổng chữ số n hệ thập phân Tính giá trị nhỏ n/s(n) trờng hợp sau: (i) 10 n 99 (ii) 100 n 999 (iii) 1000 n 9999 (iv) 10000 n 99999 Tìm tất cặp số nguyên (n, k), < k < n, cho số C kn1 , C kn , C kn+ tạo thành dãy số tăng Trên bảng cỡ x ngời ta đặt n quân cờ Đôminô, quân chiếm hai ô kề nhau, cho đặt thêm quân Đôminô vào ô lại Hỏi giá trị nhỏ n để trạng thái đúng? Chứng minh tam giác nhọn tuỳ ý bị cắt đoạn thẳng thành ba phần theo ba cách khác cho phần có trục đối xứng Chứng minh chia tứ diện tuỳ ý thành phần mặt phẳng phần mặt phẳng cho phần có mặt phẳng đối xứng -1- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Số nguyên nhỏ bội số 9997, khác 9997, chứa chữ số lẻ, bao nhiêu? Chứng minh tam giác chia thành hình ngũ giác lồi không suy biến Chứng minh x, y z số nguyên dơng đôi nguyên tố nhau, 1 + = x + y, x - z y - z số x y z phơng Cho a, b, c d diện tích mặt tam giác tứ diện ha, hb, hc, hd đờng cao tơng ứng tứ diện Kí hiệu V thể tích tứ diện, chứng minh (a + b + c + d)(ha + hb + hc + hd) 48V Chứng minh có vô số số nguyên dơng n cho hình hộp cỡ n ì n ì n đợc ghép khối lập phơng cỡ ì ì ì ì -2- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Chú ý tích hai phần tử khác tập {1, 16, 27} tăng thêm kết số phơng Hãy tìm số nguyên dơng n cho n + 9, 16n + 9, 27n + số phơng Chú ý 1990 "trở thành số phơng" (turned into a square) cách thêm chữ số vào bên phải số chữ số bên trái nó; chẳng hạn 419904 = 6482 Chứng minh 1991 trở thành số phơng cách trên; có nghĩa là, không tồn chữ số d, x, y, cho yx1991d số phơng Tìm k P, Q, R S điểm cạnh tứ giác ABCD cho AP BQ CR DS = = = =k, PB QC RD SA diện tích tứ giác PQRS 52% diện tích tứ giác ABCD D C R S A Q P B Cho n điểm với toạ độ nguyên mặt phẳng toạ độ xy Giá trị nhỏ n để chắn có điểm đỉnh tam giác với diện tích nguyên (chấp nhận 0), bao nhiêu? Hai ngời, A B chơi trò chơi với cỗ 32 A ngời bắt đầu, tiếp hai ngời chơi xen kẽ luân phiên Mỗi ngời lấy nguyên tố Cuối tất đợc chọn, ngời không lấy cuối ngời thua Ai thắng họ chơi theo chiến lợc tối u? -3- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Dùng chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hai lần để lập số nguyên tố khác mà tổng nhỏ tốt Tổng nhỏ phải bao nhiêu? (Chú ý: số nguyên tố nhỏ 2, 3, 5, 7, 11) Tìm số nguyên dơng n nhỏ mà biểu diễn thành tổng số nguyên dơng phân biệt a, b, c cho a + b, a + c b + c số phơng? Chứng minh số nguyên dơng biểu diễn dới 2 dạng 3x + y biểu diễn dới dạng u2 + uv + v2, x, y, u, v số nguyên dơng Cho ABC tuỳ ý, dựng P, Q R cho góc tạo thành 30 Chứng minh PQR tam giác C P Q A B R Số đo cạnh ABC 11, 20 21 đơn vị Ta gấp dọc theo PQ, QR RP, P, Q, R trung điểm cạnh tam giác, A, B, C trùng Hỏi thể tích tứ diện tạo thành bao nhiêu? -4- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Tập hợp S gồm số nguyên Nếu cặp phần tử phân biệt S đợc cộng với 10 tổng thu đợc 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989, 1991 Tìm phần tử S? Cho số nguyên n k 2, hình thành hiệu số (sai phân tiến - forward difference) phần tử dãy 1, n, n2, , nk - lấy hiệu số liên tiếp dòng để đợc dòng dới, nh bảng dới với (n, k) = (3, 5) Chứng minh kết (số dòng cuối cùng) khác với cặp (n, k) khác 18 12 16 27 54 81 36 24 Trong trận bóng chày "kiểu toán học" (mathematical version), trọng tài chọn số nguyên dơng m, m n, bạn phải đoán số nguyên dơng để biết đợc m Nếu số bạn đoán nhỏ số m trọng tài ông ta gọi "bóng" (ball); số lớn m trọng tài gọi "cú đánh" (strike) Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm đợc giá trị m sau cú đánh thứ lần đoán thứ 6, tuỳ theo trớc Giá trị lớn n để tồn chiến lợc cho phép bạn đánh (bat) đợc 1000 điểm, nghĩa tìm m ? Hãy nêu chi tiết chiến lợc Chứng minh f hàm thực khác hàm cho với x ta có f(x + 1) + f(x - 1) = f(x) f hàm tuần hoàn Tìm số dơng p nhỏ cho f(x + p) = f(x) với x? Trong ABC (hình vẽ), gọi r bán kính đờng tròn nội tiếp Gọi rA, rB, rC bán kính đờng tròn tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp với cạnh tam giác, tơng ứng với đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: r rA + rB + rC C rC r A rA rB B -5- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Chín đờng thẳng, song song với cạnh tam giác chia cạnh lại thành 10 đoạn chia diện tích thành 10 phần khác Tìm diện tích tam giác ban đầu, diện tích phần lớn 76 Có cách biểu diễn 1992 dới dạng tổng nhiều số nguyên liên tiếp? Chứng minh tồn lục giác có góc mặt phẳng mà độ dài cạnh 5, 8, 11, 14, 23 29 đơn vị, theo thứ tự Một công ty quốc tế có 250 nhân viên, ngời nói vài ngôn ngữ Trong cặp nhân viên (A, B), có ngôn ngữ đợc A nói mà B không có ngôn ngữ đợc B nói mà A không Có ngôn ngữ đợc nói công ty? Một bàn cờ vô hạn (infinite checker-board) đợc chia đờng kẻ nằm ngang thành nửa nửa dới nh hình vẽ Một số quân cờ đợc đặt vào bàn cờ bên dới đờng kẻ (trong ô) Một "bớc đi" (move) quân cờ nhảy dọc ngang qua quân cờ khác ăn quân cờ Giá trị nhỏ n để đặt quân cờ cuối vào dòng thứ phía đờng kẻ ngang sau n - bớc bao nhiêu? Hãy mô tả vị trí ban đầu quân cờ bớc -6- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Trong hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt E Diện tích ABE 72, diện tích CDE 50 Diện tích hình thang ABCD bao nhiêu? Chứng minh a, b c số nguyên dơng cho c2 2 = a + b , c2 + ab c2 - ab biểu diễn dới dạng tổng hai số phơng Với n số nguyên dơng, kí hiệu P(n) tích tất ớc số nguyên dơng n Tìm n nhỏ để P(P(P(n))) > 1012 Khi chép lại bảng dãy số nguyên dơng cấp số cộng, sinh viên viết số: 113, 137, 149, 155, 173, bỏ sót số Sau cậu ta nhận chép sai số chúng Bạn giúp cậu ta tìm lại dãy ban đầu Cho T = (a, b, c) tam giác với cạnh a, b, c diện tích Kí hiệu T' = (a', b', c') tam giác với cạnh đờng cao T (nghĩa a' = ha, b' = hb, c' = hc) kí hiệu diện tích ' Tơng tự kí hiệu T'' = (a'', b'', c'') tam giác tạo đờng cao T', kí hiệu diện tích '' Cho ' = 30 '' = 20 Hãy tìm -7- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Chứng minh tam giác có độ dài đờng cao 4, 10 đơn vị Nh hình vẽ, có số thực x, < x < 1, cho ta chia hình vuông đơn vị thành tam giác đồng dạng Khi x phải thoả mãn đa thức dạng chuẩn bậc Tìm đa thức (Đa thức dạng chuẩn đa thức có hệ số bậc cao x 1.) (i) Có thể xếp lại số 1, 2, , thành a(1), a(2), , a(9) x 1 cho số sau đôi khác hay không? Chứng minh khẳng định bạn: |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, , |a(9) - 9| (ii) Có thể xếp lại số 1, 2, , 10 thành a(1), a(2), , a(10) cho số sau đôi khác hay không? Chứng minh khẳng định bạn: |a(1) - 1|, |a(2) - 2|, , |a(10) - 10| Trong chạy 50 mét, Anita chấp Bob nhiều mét đuổi kịp cậu ta vạch đích Trong chạy 200 mét, Bob chấp Carol nhiều 15 mét đuổi kịp cô ta vạch đích Giả sử tất ngời chạy với vận tốc không đổi Hỏi Anita chấp Carol nhiều mét chạy đua 1000 mét mà đuổi kịp cô ta Cho số thực a, b, x y thoả mãn: a + b = 23, ax + by = 79, ax2 + by2 = 217, ax3 + by3 = 691, Hãy tính ax4 + by4 -8- handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Một lới m x n đợc đặt cho góc (0, 0) góc (m, n) Một bớc hợp lệ đợc định nghĩa bớc chuyển đơn vị theo hớng dơng y đơn vị theo hớng dơng x Điểm (i, j) lới, với i m j n, bị bỏ đờng qua bớc để đến điểm (m, n) Có đờng từ (0, 0) đến (m, n), bớc nh vậy? Cho điểm P hai đoạn thẳng mảnh giấy hình chữ nhật mà giao điểm Q đờng thẳng chứa chúng không nằm mảnh giấy Làm để dựng đờng thẳng PQ với thớc đợc phép vẽ phạm vi mảnh giấy? (*) Một đa giác lồi có 1993 đỉnh đợc tô màu cho hai đỉnh kề có màu khác Chứng minh ngời ta chia đa giác thành tam giác đờng chéo không giao mà hai đầu mút có màu khác Một tam giác đợc gọi Heronian số đo cạnh diện tích số nguyên Xác định tất tam giác Heronian có chu vi diện tích số nguyên Một gồm "Hình lập phơng kì ảo" (con xúc sắc - Trick Math Cubes) đợc cho dới dạng khai triển phẳng nh hình vẽ Một "Pháp s" (magician) yêu cầu bạn gieo chúng cộng số mặt lại Ông ta nhẩm viết kết vào tờ giấy trớc bạn cộng xong! Ông ta làm nào? Trình bày giải thích trò mẹo 179 278 377 872 971 773 741 147 543 840 642 345 780 483 186 285 384 681 -9- 564 762 366 861 168 960 756 855 558 459 954 657 handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Xác định cặp số thực (x, y) thoả mãn phơng trình (4x2 + 6x + 4)(4y2 - 12y + 25) = 28 Chứng minh có vô số ba thứ tự số nguyên dơng (a, b, c) cho ớc chung lớn a, b c 1; tổng a2b2 + b2c2 + c2a2 bình phơng số nguyên Chín thẻ đợc đánh số cách sử dụng số bánnguyên dơng (1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ) cho tổng số cặp thẻ đợc chọn ngẫu nhiên số nguyên từ đến 12 Và tổng xuất với tần số kiện xuất ta gieo hai xúc sắc lấy tổng số nốt chúng Các số chín thẻ số số xuất lần thẻ? Hình vuông PQRS nội tiếp tam giác vuông ABC, vuông C, với S P lần lợt cạnh BC CA, Q R nằm cạnh AB Chứng minh AB 3QR có dấu đẳng thức Cho tứ giác lồi ABCD K, L, M N lần lợt trung điểm cạnh PQRS tứ giác đợc tạo thành giao điểm AK, BL, CM DN Xác định diện tích tứ giác PQRS dt(ABCD) = 3000 (diện tích tứ giác ABCD); dt(AMQP) = 513; dt(CKSR) = 388 - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Xác định ba chữ số bên trái số: 11 + 22 + 33 + + 999999 + 10001000 Có vô số cặp thứ tự số nguyên dơng (m, n) tổng m + (m + 1) + (m + 2) + + (n - ) + n với tích mn Bốn cặp với giá trị nhỏ m (1, 1), (3, 6), (15, 35), (85, 204) Hãy tìm thêm ba cặp (m, n) Các số nguyên từ đến xếp vào bảng ì cho tổng số hàng, cột đờng chéo bội (a) Chứng minh số tâm bảng phải bội (b) Hãy ví dụ với số tâm bảng Chứng minh < x < /2 sec6 x + csc6 x + (sec6 x)(csc6 x) 80 Trên hình vẽ, O tâm đờng tròn, OK OA hai bán kính vuông góc nhau, M trung điểm OK, BN song song với OK, AMN = NMO Xác định số đo tính theo độ ABN - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Hãy số nguyên có 13 chữ số N bội nguyên 213 bao gồm chữ số Với số nguyên khác i, số mũ phép phân tích thừa số nguyên tố i đợc ký hiệu ord2(i ) Chẳng hạn, ord2(9) = số lẻ, ord2(28) = 28 = 22 ì Các số 3n - với n = 1, 2, 3, số chẵn, ord2(3n - 1) với n > Với số nguyên dơng n t hì a) ord2(3n - 1) = ? b) ord2(3n - 1) = ? c) ord2(3n - 1) = ? Chứng minh lời giải bạn Cho f đa thức bậc 98, cho f(k) = 1/k với k = 1, 2, , 99 Hãy xác định f(100) Tập A gồm 16 phần tử tập hợp {1, 2, 3, , 106}, cho hai phần tử A chênh (*) 6, 9, 12, 15, 18, 21 Chứng minh có hai phần tử A chênh Trong tam giác ABC, gọi D, E, F trung điểm cạnh tam giác, gọi P, Q, R lần lợt trung điểm trung tuyến tơng ứng AD, BE, CF (hình vẽ) Chứng minh giá trị AQ + AR + BP + BR + CP + CQ AB + BC + CA không phụ thuộc vào hình dạng tam giác ABC tìm giá trị - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Các chữ số số nguyên có ba chữ số a, b c chữ số chữ số khác không 1, 2, 3, , 9, chữ số xuất lần Cho tỉ số a : b : c : : 5, xác định a, b c Cho N = 111 222 2, có 1999 chữ số 1999 chữ số Hãy phân tích N thành tích bốn số nguyên lớn Tam giác ABC có số đo góc A 30o, góc B 60o góc C 90o Hãy trình bày bốn cách chia tam giác ABC thành bốn tam giác, tam giác đồng dạng với tam giác ABC có diện tích dt(ABC)/4 Chứng minh góc cạnh tam giác nhỏ xác (*) Có 8436 bi thép, viên có bán kính 1cm, đợc xếp chồng vào đống hình tứ diện Với viên đỉnh, viên lớp thứ hai, viên lớp thứ ba, 10 viên lớp thứ t, nh Hãy xác định chiều cao đống bi tính centimet Trong ngũ giác lồi ABCDE cạnh có độ dài 1, 2, 3, (không thiết theo thứ tự đó) Gọi F, G, H, I lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD DE Gọi X trung điểm đoạn FH, Y trung điểm đoạn GI Độ dài đoạn XY số nguyên Tìm tất giá trị độ dài cạnh AE - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Số N gồm 1999 chữ số cho cặp chữ số liền N đợc xem nh số có hai chữ số , số bội 17, bội 23 Tổng chữ số N 9599 Hãy xác định 10 chữ số bên phải N Cho C tập hợp số nguyên không âm mà biểu diễn dới dạng 1999s + 2000t, s t số nguyên không âm (a) Chứng minh 3994001 không thuộc tập hợp C (b) Chứng minh n 3994001 n số nguyên không thuộc C, 3994001 - n thuộc C Sơ đồ bên đồ Squareville, B ô thành phố có cỡ Hai ngời bạn, Alexandra Brianna, sống góc đánh dấu lần lợt A B Họ bắt đầu hớng nhà ngời khác, khởi hành đồng thời, với vận tốc, chọn cách độc lập đờng đến nhà ngời phân phối (*) cho tất đờng ngắn (tất đờng ngắn A đợc chọn nh nhau) Hỏi với xác suất họ gặp nhau? Tam giác PQR có PQ = 8, QR = 13 RP = 15 Chứng minh có điểm S nằm đoạn thẳng PR, không trùng với hai đầu mút, cho PS QS số nguyên C A M H B Cho tam giác ABC với AC > BC, CM trung tuyến CH đờng cao xuất phát từ C (hình vẽ) Hãy xác định số đo MCH, góc ACM BCH có số đo 17o - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Chúng ta gọi số nhắc lại (repetition number) số nguyên dơng n số chữ số khác n viết hệ thập phân Chứng minh số nguyên dơng có bội có số nhắc lại nhỏ Cho a số thực dơng, n số nguyên dơng, định nghĩa tháp luỹ thừa (power tower) a n cách đệ quy nh sau: a = a, a (i + 1) = aa i với i = 1, 2, Chẳng hạn, ta có = 4 = 4256, số có 155 chữ số Với số nguyên dơng k , gọi xk nghiệm thực dơng phơng trình x k = 10 (k + 1) Số lớn hơn, x42 hay x43? Giả sử 32 máy tính mạng máy tính đợc đánh số số nguyên 5-bit 00000, 00001, , 11111 (bit viết tắt chữ số nhị phân - binary digit) Giả sử có cách nối máy tính A với máy tính B A B chung bit với bit lại A B (Ví dụ, 10101 nhắn tin tới 11101 tới 10111.) Chúng ta nói máy tính có cấp k mạng có k bit nhãn (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) Giả sử tiếp biết 12 máy tính, ba cấp 1, 2, gặp cố, nhng ta Chúng ta chắn gửi tin nhắn từ máy 00000 tới máy 11111 đợc hay không? Chúng ta gọi tam giác mặt phẳng toạ độ nguyên ba đỉnh có toạ độ nguyên ba cạnh có độ dài nguyên (a) Tìm tam giác nguyên với chu vi 42 (b) Có tam giác nguyên với chu vi 43 không? Chúng ta nói tập hữu hạn điểm phân tán tốt (well scattered) mặt cầu bán cầu mở (Một nửa mặt cầu không tính đờng biên) chứa điểm Trong {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} không phân tán tốt mặt cầu đơn vị (mặt cầu có bán kính 1, tâm gốc toạ độ), nhng bạn thêm điểm P, trở thành phân tán tốt Tìm, với chứng minh, tất điểm P mà tạo thành tập phân tán tốt - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Xác định số nguyên có chữ số M có tính chất sau: (1) Tất chữ số phân biệt khác 0; (2) với số nguyên dơng m = 2, 3, 4, , 9, số nguyên tạo thành m chữ số bên trái M chia hết cho m Các số Fibonacci đợc định nghĩa bởi: F1 = F2 = Fn = Fn - + Fn - với n > Một điều quen thuộc tổng 10 số Fibonacci liên tiếp chia hết cho 11 Hãy tìm số nguyên dơng N nhỏ cho tổng N số Fibonacci liên tiếp chia hết cho 12 Tính giá trị S= 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 1999 2000 Chúng ta nói hình bát giác nguyên có góc nhau, đỉnh nút lới (nghĩa điểm với toạ độ nguyên), diện tích số nguyên Chẳng hạn, sơ đồ bên bát giác nguyên với diện tích 21 Xác định, có chứng minh, số nguyên dơng nhỏ K cho với số nguyên dơng k K có bát giác nguyên với diện tích k Cho P điểm nằm bên hình vuông ABCD cho PA = a, PB = b, PC = c, c2 = a2 + 2b2 Chỉ cho độ dài a, b, c dùng compa thớc kẻ thẳng, dựng hình vuông có kích thớc với hình vuông ABCD - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Tìm số nguyên N nhỏ có chữ số cho 2N số có chữ số tất 10 chữ số từ đến đợc dùng N 2N 24 Mới ngời ta chứng minh đợc 2 + số nguyên tố Tìm bốn chữ số bên phải số Xác định số nguyên a, b, c, d e (x +ax + b)(x + cx2 + dx + e) = x5 - 9x - 27 Một dãy số thực s0, s1, s2, có tính chất: sisj = si + j + si - j với số nguyên không âm i j với i j; si = si + 12 với số nguyên không âm i; s0 > s1 > s2 > Tìm ba số s0, s1, s2 Trong hình bát diện hình vẽ bên, mặt đáy mặt đỉnh tam giác với độ dài cạnh đơn vị, tất cạnh lại có độ dài đơn vị Hãy xác định chiều cao hình bát diện; tức khoảng cách mặt đáy mặt đỉnh - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Một cách để kiểm tra tính chia hết cho 19 số nh sau: Bỏ chữ số cuối số đó, cộng hai lần chữ số bỏ vào số lợc bỏ nó, lặp lại thủ tục thu đợc số nhỏ 20 Khi đó, số ban đầu chia hết cho 19 số cuối 19 Phơng pháp đợc minh hoạ sơ đồ Dễ dàng kiểm tra 67944 chia hết cho 19 44976 không Tìm chứng minh phép kiểm tra tơng tự cho tính chia hết cho 29 4 4 8 8 4 8 6 2 1492! Tính 1776 (mod 2000), tức phần d chia 17761492! cho 2000 (Dấu chấm than ký hiệu cho giai thừa.) Cho cấp số cộng số nguyên 308, 973, 1638, 2303, 2968, 3633, 4298 Xác định cấp số nhân số nguyên b1, b2, b3, b4, b5, b6, cho 308 < b1 < 973 < b2 < 1638 < b3 < 2303 < b4 < 2968 < b5 < 3633 < b6 < 4298 Chứng minh khối đa diện có hai đỉnh mà có số cạnh gặp Trong tam giác ABC, đoạn PQ, RS TU tơng ứng song song với cạnh AB, BC CA, giao điểm X, Y Z nh hình vẽ Xác định diện tích tam giác ABC đoạn PQ, RS TU chia đôi diện tích tam giác ABC diện tích tam giác XYZ đơn vị Đáp án bạn nên dới dạng a + b , a b số nguyên dơng (*) - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất có ớc số tận chữ số thập phân; nghĩa tận 0, 1, 2, , Giả sử phân số tối giản nằm 1, với mẫu số lớn 99, đợc liệt kê theo thứ tự tăng dần Tìm hai phân số kề với 17/76 dãy Cho p(x) = x5 + x2 + có nghiệm r1, r2, r3, r4, r5 Gọi q(x) = x2 Hãy tính tích sau q(r1)q(r2)q(r3)q(r4)q(r5) Giả sử phần tử dãy i i =1 dấu + dấu - Xác định dãy dấu + - thích hợp cho = 6 Và xác định dãy dấu cần thiết để thay số dấu số Liệt kê tất số nguyên vị trí số dãy dấu cần thiết với chúng (*) Ba tam giác vuông cân đợc dựng đứng từ cạnh lớn hình chữ nhật phía hình chữ nhật nh hình vẽ, M trung điểm cạnh Năm đờng tròn nội tiếp tiếp xúc với số cạnh với đờng khác nh hình vẽ Một đờng tròn tiếp xúc với đỉnh tam giác lớn Tìm tỉ số bán kính năm đờng tròn - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Tìm tất số nguyên dơng có tính chất chúng lớn tổng bình phơng chữ số viết hệ thập phân chúng đơn vị Chứng minh n số nguyên dơng lẻ N = 2269n + 1779n + 1730n - 1776n bội nguyên 2001 Hình bên đợc chia thành hai nửa thích hợp mà đợc liên quan với phản xạ trợt (a glide reflection), nh hình dới Một phản xạ trợt phản xạ hình qua đờng thẳng, đồng thời di chuyển hình phản xạ theo hớng song song với đờng thẳng Với hình lới ô vuông (square-grid figure), có đờng thẳng mà giữ hình phản chiếu (*) lới đờng nằm ngang, đờng thẳng đứng, đờng chéo 45o đờng chéo 135o Trong hai hình vẽ dới, chia hình thành hai nửa thích hợp liên quan với phản xạ trợt, hình chia đợc nh Cho A B điểm nằm đờng tròn mà không đối xứng qua tâm, gọi C trung điểm cung nhỏ AB Gọi D, E, F điểm đợc xác định giao điểm đờng tiếp tuyến với đờng tròn A, B, C Chứng minh diện tích tam giác DEF lớn nửa diện tích tam giác ABC Bát giác RSTUVW đợc dựng nh sau: bắt đầu với tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông p q, dựng hình vuông hớng phía cạnh tam giác này, sau nối đỉnh phía hình vuông lại, nh hình vẽ Cho p q số nguyên với p > q diện tích RSTUVW 1922 Tìm p q - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Tìm số nguyên dơng có hai chữ số m n xấp xỉ m/n = 0.2328767 xác đến bảy chữ số thập phân; nghĩa 0.2328767 m/n < 0.2328768 Ta biết có vô hạn ba số nguyên (a, b, c) có ớc chung lớn thoả mãn phơng trình a2 + b2 = c2 Chứng minh có vô hạn ba số nguyên (r, s, t) có ớc chung lớn thoả mãn phơng trình (rs)2 + (st)2 = (tr)2 Giả thiết cos x sin x = với góc x thuộc [0, /2] Tính cos x sin x với giá trị x Mặt phẳng chiếu bậc ba (The projective plane of order three) gồm có 13 điểm 13 đờng thẳng Những đờng thẳng không đờng thẳng Euclid, mà chúng tập hợp gồm bốn điểm có tính chất cặp đờng thẳng có điểm chung cặp điểm có đờng thẳng chứa hai điểm Giả sử điểm đợc đánh số từ đến 13 sáu số đờng thẳng A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 3, 5, 9}, C = {2, 3, 6, 10}, D = {4, 5, 10, 11}, E = {4, 6, 9, 12}, F = {5, 6, 8, 13} Đờng thẳng chứa 8? Trong tam giác PQR, QR < PR < PQ cho đờng phân giác góc qua P cắt tia QR điểm S, phân giác R cắt tia PQ điểm T, nh hình vẽ Cho PR = PS = RT, tính số đo góc PRQ - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Có số nguyên dơng có chữ số từ đến mà chữ số xuất lần hai chữ số xuất hai lần? Chẳng hạn, số 41174 số nh vậy, 75355 Xác định số nguyên dơng có bình phơng số 1+ 2001 ( 4i ) i =1 Phân tích thành nhân tử biểu thức 30(a + b2 + c2 + d2) + 68ab - 75ac - 156ad - 61bc - 100bd + 87cd Cho X = (x1, x2, , x9) véc-tơ chiều số nguyên Tìm X bảy véc-tơ sau thu đợc từ X cách xoá số thành phần Y1 = (0, 0, 0, 1, 0, 1), Y2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0), Y3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1), Y4 = (1, 0, 0, 0, 1, 1), Y5 = (1, 0, 1, 1, 1, 1), Y6 = (1, 1, 1, 1, 0, 1), Y7 = (1, 1, 0, 1, 1, 0) Cho R S tơng ứng điểm nằm cạnh BC AC tam giác ABC, gọi P giao điểm AR BS Tính diện tích tam giác ABC diện tích tam giác APS, APB, BPR tơng ứng 5, 6, - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Chúng ta nói xếp lại ký tự từ chữ cố định (fixed letters) đặt từ xếp lại dới từ không cột có chữ đợc lặp lại Để làm ví dụ chữ bên dới ESARET xếp lại chữ cố định từ TERESA, REASTE T E R E S A T E R E S A E S A R E T R E A S T E Có xếp lại khác chữ cố định từ TERESA? (Hai chữ E đợc xem nh giống hoàn toàn Tìm ba khác số nguyên dơng {k, m, n} cho k < m < n 1 19 + + = k m n 84 Giả sử p(x) = xn + an - 1xn - + + a1x + a0 đa thức với hệ số nguyên giả sử (p(x))2 đa thức có tất hệ số không âm Có thiết tất hệ số p(x) phải không âm hay không? Chứng minh câu trả lời bạn Trong tam giác ACF, B trung điểm AC, D E chia cạnh CF thành ba phần nhau, G, H, I chia cạnh FA thành bốn phần (hình vẽ) Mời bảy đoạn đợc vẽ để nối sáu điểm với với đỉnh đối diện tam giác Xác định điểm bên tam giác ACF có ba đoạn nhiều số đoạn thẳng qua Hai mặt phẳng vuông góc cắt mặt cầu theo hai đờng tròn Các đờng tròn cắt hai điểm cách 14 đơn vị, đo dọc theo đờng thẳng nối chúng (*) Nếu bán kính đờng tròn 18 25 đơn vị bán kính mặt cầu bao nhiêu? - - handuc@hello.to â Tìm kiếm Tài Toán học Quốc tế Trong ngôn ngữ kỳ lạ có hai chữ a b, đợc quy định chữ a từ Hơn nữa, tất từ thêm vào đợc hình thành dựa theo quy tắc sau đây: Cho từ đó, từ đợc hình thành từ cách thêm chữ b vào bên phải từ Nếu từ xuất dãy aaa từ đợc hình thành cách thay aaa chữ b Nếu từ xuất dãy bbb từ đợc hình thành cách bỏ bbb Cho từ đó, từ đợc hình thành cách viết dãy tạo thành viết từ hai lần Chẳng hạn, (4) aa từ, lại (4) nên aaaa từ Từ (2) ba từ, (1) nên bab từ Một lần (1) babb từ, (4) nên babbbabb từ Cuối cùng, (3) thấy baabb từ Chứng minh ngôn ngữ baabaabaa từ Cho f(x) = x.[x.[x.[x]]] với số thực dơng x, [y] ký hiệu số nguyên lớn không vợt y Tìm x để f(x) = 2001 Chứng minh phơng trình f(x) = 2002 nghiệm Cho f hàm số xác định tập số nguyên, giả sử thoả mãn tính chất sau: f(0) 0; f(1) = 3; f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y) với số nguyên x y Hãy tính f(7) Một công ty có hệ thống điện thoại không xác, đổi chỗ cặp chữ số kề quay số máy nhánh có ba chữ số Từ gọi x318 làm đổ chuông số máy x318 x138 x381, nhận điện số máy x044 gọi cho số x404 x044 Hơn thay hệ thống đó, công ty thêm vào máy tính để suy quay số máy nhánh bị lỗi trở lại số xác chúng Chúng phải loại bỏ vài máy nhánh cho việc Hỏi số lớn số máy nhánh có ba chữ số mà công ty ấn định với kế hoạch bao nhiêu? Tìm số nhỏ hình vuông mà ngời ta chia hình chữ nhật 11 ì 13 nhận đợc Các hình vuông không cần khác cỡ, cạnh chúng số nguyên chúng không đè lên - THE END - - handuc@hello.to [...]... bán kính 1cm, đợc xếp chồng vào một đống hình tứ diện Với 1 viên trên đỉnh, 3 viên ở lớp thứ hai, 6 viên ở lớp thứ ba, 10 viên ở lớp thứ t, và cứ nh thế Hãy xác định chiều cao của đống bi tính bằng centimet Trong một ngũ giác lồi ABCDE các cạnh có độ dài 1, 2, 3, 4 và 5 (không nhất thiết theo thứ tự đó) Gọi F, G, H, và I lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DE Gọi X là trung điểm của đoạn... ba cạnh của nó có độ dài nguyên (a) Tìm một tam giác nguyên với chu vi bằng 42 (b) Có tam giác nguyên nào với chu vi bằng 43 không? Chúng ta nói rằng một tập hữu hạn các điểm là phân tán tốt (well scattered) trên một mặt cầu nếu mỗi bán cầu mở (Một nửa mặt cầu không tính đờng biên) chứa ít nhất một điểm của nó Trong khi {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} không phân tán tốt trên mặt cầu đơn vị (mặt cầu