ĐÊ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 6

Câu 1: Tìm x biết: x + x +1 + x + + x + = 480 a − x = −13 − 5.(−8) b Câu 2: a Cho n số tự nhiên Tìm ƯCLN BCNN n n + ? b Tìm giá trị nguyên Bài So sánh: 2225 3151 Bài (1,5 điểm): Cho A = n−2 n+3 B= a)Tìm số tự nhiên n để phân số b)Tìm số tự nhiên x, y cho: Bài 1( điểm): 1  x −  − = 3  a)Tìm x biết: ∈ y để nhận giá trị nguyên, biết: 5x + x+3 Tìm giá trị n để: a) A phân số b) A số nguyên Bài (1,5 điểm): b) Tìm x, y x y= 10 n − n − 10 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x − = y 18 N biết 2x + 624 = 5y 2009 2010 − 2009 2009 + B= A= 2009 2010 + 2009 2011 − Bài 2So sánh: Bài 3( điểm): Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho số 25 ; 28 ; 35 số dư ; ; 15 Câu 3: a) Tìm chữ số cuối số sau: 1232009 A= b) Tìm n nguyên để 8n + 4n + số nguyên Câu 6: a) Chứng minh rằng: 4343 – 1717 chia hết cho + 32 + 33 + 34 + + 3100 ) M40 ( b) Chứng minh rằng: 1001995 + Câu 5: a) Chứng minh rằng: số tự nhiên Câu II : (2 diểm ) a ) Tìm số tự nhiên x cho + < x < b ) Tìm phân số lớn nhỏ Câu III ( điểm ) Kết kiểm tra đầu năm lớp 6A trường THCS người ta thu kết sau : số số Trung bình số giỏi Tính số loại biết sỉ số lớp lớn 30 nhỏ 40 Câu 1: (2.0 điểm) Tìm x biết a) b) x + x +1 + x + + x +3 − 480 = x − x − x − x − x − x − 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 A= a) Cho biểu thức −10 −10 −10 −10 + + + + 56 140 260 1400 b) Tính giá trị biểu thức Câu 6: (1.0 điểm) − So sánh A với 2013 2013 2013 2013 B = 2013 + + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + + 2012 Cho số tự nhiên a, b cho a +1 b +1 + b a a+b ≥ d a b Chứng minh rằng: Câu 6: (2 điểm): Chứng tỏ rằng: có giá trị số tự nhiên Gọi d ước chung lớn − − a) a.(b c) – a.(b + d) = a.(c + d); n b) a n b n  a.b   ÷ = n n c d  c.d  , (với a, b, c, d ∈¢ c ≠0 d≠0 , ,n ∈¥* ) Câu 6: (5 điểm): a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần; b) Tìm hai số tự nhiên a, b biết a.b = 216 ƯCLN(a, b) = 6; c) Tìm cặp số x y nguyên dương cho ( 2.x + 1) ( y − 3) = 2012 = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 Câu 6: (3 điểm): Cho tổng S a) Tính S; b) Chứng minh S chia hết cho · AOB · BOC · · BOC = 5.AOB Câu 6: : Cho góc hai góc kề bù Biết a) Tính số đo góc; b) Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD; c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với tia OA, OB, OC, OD cho) có tất góc? ∈ Câu 6: : Cho a số nguyên có dạng a = 3b + (b Z) Hái a cã thĨ nhËn nh÷ng giá trị giá trị sau ? Tại ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537 b) Cho A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 vµ B = 201273 - So sánh A B Tìm chữ số tận Tìm chữ số tận c¸c sè sau 110 ; 210 , 310 , 410 , 510 ; 610 , 710 , 810 , 910 110 TËn cïng lµ ; 210 = ( 24)2 22 = 162 4= = = (3 ) = 81 = 10 2 410 = (42)5 = 165 = 510 = 810 = (84)2 82 = ( 910 = = , , 610 = )2 64 = ( 1) 710 = (74)2 72 = 64 = 49 = , Phơng pháp : Nếu gặp số có tận cïng lµ , , , , ax ; chia số x cho đa vỊ d¹ng lịy thõa cđa (a4)k a(x - 4k) Nếu gặp số có chữ số tận , : TH1 : Số mũ lẻ Số mũ lẻ TH2 : Số mũ chẵn Số mũ chẵn TH3 : Sè tËn cïng lµ , , , nâng lên lũy thừa số tận không thay đổi (M/s/v/đ/p/t toán6 / 50) Tìm chữ số tận Các số tận ; 1; ;5 ;6 nâng lên luỹ thừa nµo cịng tËn cïng b»ng ; ; ; C¸c sè tËn cïng b»ng ; ; nâng lên luỹ thừa đợc tận cïng b»ng C¸c sè tËn cïng b»ng ; ; nâng lên luỹ thừa đợc tận (M/s/v/đ/p/t toán6/50) Tìm hai chữ số tËn cïng C¸c sè tËn cïng b»ng 01 ; 25 ; 76 ; Nâng lên luỹ thừa tận cïng b»ng 01; 25 ; 76 C¸c sè 320 ; (hc 815) ; 74 ; 512 ; 992 tËn cïng b»ng 01 C¸c sè 220 ; 65 ; 184 ; 242 ; 684 ; 742 tËn cïng b»ng 76 C¸c số 26n (n>1) tận 76 (M/s/v/đ/p/t toán6/51) Tìm ba chữ số tận Các số tận 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa còng tËn cïng b»ng : 001 ; 376 ; 625 ¸p dơng: (M/s/v/®/p/t to¸n6139/51) Chøng tá r»ng 175 + 244 1321 chia hết cho 10 (M/s/v/đ/p/t toán6140/51) Tìm số tự nhiên n để n10 + chia hết cho 10 (M/s/v/đ/p/t toán6141/51) Có tồn số tự nhiên n để n2 + n + chia hết cho không? 9999 (M/s/v/đ/p/t toán6142/52) Tìm hai chữ số tận : 5151 ; ; 6666 ; 14101 ; 16101 99 §Ị 1: 1) Chøng tá r»ng sè sau chia hÕt cho : 20032004 + 20042005 2) So sánh : 2559 3315 3) Tìm hai số tự nhiên có tích 75 ƯCLN chúng 4) Chứng tỏ số 4n -5 6n (n N*) Nguyªn tè cïng 5) Trªn tia ox cho hai điểm A B Tính OB biết : a) OA = 6cm ; AB = 3cm b) OA = 6cm ; AB = 8cm Bµi lµm : 1) Ta cã 20032004 = (20034)501 = ( ) 501 = 20042005 = (Lòy thõa bậc lẻ số có chữ số tận 4)   20032004 + 20042005 = + = vËy tæng : 20032004 + 20042005 2) Ta cã 2559 < 2569 = (28)9 = 272 3315 > 3215 = (25)15 = 275 Do 272 < 275  2559 < 3315 Để so sánh A B ta đa dạng A < C ; B > D vµ C < D => A < B Chó ý : C , D số phân tích đợc tích thừa số nguyên tố có nhiều thừa số nguyên tố khác Hoặc số mũ C,D Phân tích đợc dới dạng tích thừa số nguyên tố có nhiều thừa số khác 3) Gọi hai số cần tìm a , b (a,b ∈ N;a ≥ 5,b ≥ a) Ta cã a.b = 75 ; ¦CLN (a ;b) = a = 5k ; b = 5q (k,q) = => 5k 5q = 75 => k.q = 75 : 25 => k.q = k q = b nên a = 1.5 = k =   b = 3.5 = 15 q = => => ∈  ≥ => a 4) Đặt ƯCLN (4n ; 6n) = d (d N*) Ta cã 4n – d vµ – 6n d { 3(4n - 5) + 2(8 - 6n) }   => d hay d => d = VËy hai sè 4n 6n nguyên tố Chú ý : Phơng pháp chung tìm thừa số cần nhân để triệt tiêu phần chữ B1 : Tìm BCNN (các hệ số chứa chữ) VD : BCNN(4 ;6) = 12 B2 : Chia BCNN cho c¸c hƯ sè chứa chữ , Tìm thừa số phụ tơng ứng VD 12 : = ; 12 : = Sau lấy biểu thức thứ nhân với , biĨu thøc thø hai nh©n víi B3 : Nếu hai số chứa chữ đối => ta làm tính cộng Nếu hai số chứa chữ => ta lµm tÝnh trõ 5) a) Chó ý : có hai trờng hợp xảy : Điểm A nằm điểm O B Điểm B nằm điểm O A b) Chỉ trờng hợp điểm A nằm điểm O B (nếu thay đờng thẳng a cho tia ox câu b có hai trêng hỵp ) CHøNG MINH chia hÕt N vµ Z Chøng minh r»ng : a n4 - n2 chia hÕt cho 12 ∀n∈ N b n(n + 2)(25n2 - 1) chia hÕt cho 24 ∀n∈ N c n3 - n + kh«ng chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n d n3 - n chia hÕt cho 24 víi mäi sè tù nhiªn n lỴ CMR: 31 + 32 + …………… + 3100 chia hÕt cho 120 CMR 34.35.36……… 99.100 chia hÕt cho 333 mà không chia hết cho 334 CMR : ∀n∈ N ta lu«n cã : n5 - n chia hÕt cho 30 CMR: víi p > số nguyên tố p4 - chia hết cho 240 CMR : n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120 Khi n5 - 5n3 + 4n chia hÕt cho 360 CMR: a 22225555 + 55552222 chia hÕt cho b 19611962 + 19631964 + 19651966 + chia hÕt cho c d e f g h i j chøng minh mét sè lµ sè CHÍNH PHƯƠNG (Số phương bình phương số tự nhiên) Phương pháp : Dựa vào định nghĩa Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải toán Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Lời giải : Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, an số phương k Bài tốn : Chứng minh số : l Lời giải : Ta có : số phương m n o p q r s t u v w x Vậy : số phương Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt Ta chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương” Bài tốn : Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương Lời giải : Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chia hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số tốn thú vị số phương : 1) Chứng minh số sau số phương : y z aa 2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay không ? ab.3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + khơng số phương ac 4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương ad.5) Chứng minh : Nếu : n hai số tự nhiên a số phương ae Nhìn chữ số tận af Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; Từ em giải tốn kiểu sau : ag.Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải số phương ah.Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút : aj Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 ak.Bài toán : Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương al Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương am Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 khơng số phương an.Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương ao.Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương ap.2 Dùng tính chất số dư aq.Chẳng hạn em gặp toán sau : ar Bài tốn : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương as Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải at Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho khơng phải số phương au.Tương tự em tự giải toán : av.Bài toán : Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng phải số phương aw Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng số phương ax.Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống” ay.Bài tốn : Chứng minh số : az n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương ba.Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên khơng làm “tương tự” tốn ; Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, Một số phương chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết : số dư Như em giải xong toán bb.3 “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” bc.Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Từ em xét toán sau : bd.Bài toán : Chứng minh số 4014025 khơng số phương be.Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước khơng vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác bf Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không số phương bg.Bài tốn : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác bh.Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải bi Lời giải : Ta có : bj A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 bk.Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A bl Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A khơng số phương bm Các em rèn luyện cách thử giải tốn sau : bn.Bài tốn 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương bo.Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 bp.Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không số phương bq.Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho br Bài tốn 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho khơng có hai mảnh ghi số giống Chứng minh : Khơng thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương bs Bài tốn 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp số phương bt Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho bu.Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số phương bv.Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) bw Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc số mảnh bìa số phương Cậu ta có thực mong mun ú khụng ? Một số phơng pháp tìm x,y nguyên I/ Phơng pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phơng pháp phát tính chia hết: Ví dụ 1: 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i: Gi¶ sư x, y số nguyên thoả mÃn (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y cịng chia hÕt cho 3, ®ã y chia hết cho ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t số nguyên) Thay vào (1), ta đợc: 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53 => x =53 - 17t  x = 53 − 17t   y = 3t Z Do (t ) Đảo lại thay biểu thức x y vào (1) đợc nghiệm Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên đợc biểu thị công thức: x = 53 − 17t   y = 3t 2/ Ph¬ng pháp đa phơng trình ớc số: Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x.y - x - y = Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ ⇔ ⇔ (t ∈Z ) x.( y -1) - y = x (y - 1) - (y - 1) = (x -1) (y - 1) = Do x, y số nguyên nên x - 1, y - số nguyên ớc Suy trêng hỵp sau: x −1 =   y −1 =  x −1 =  y −1 =  x − = −1   y − = −3  x − = −3   y − = −1 ; ; ; Giải hệ ta có cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Phơng pháp tách giá trị nguyên: Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ví dụ cách khác Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ Ta thÊy y Do ®ã x = x.(y-1) = y+2 ≠1 ( v× nÕu y=1 th× x.0 = (không có giá trị x,y thoả mÃn ) y+2 = 1+ y −1 y −1 y −1 Do x nguyên nên nguyên => y-1 ớc => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1 Ta có đáp số nh ví dụ II/ Phơng pháp xét sè d tõng vÕ: VÝ dô 4: Chøng minh r»ng x,y nguyên thoả mÃn biểu thức sau: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho có số d là: ; nên x2 - y2 chia cho cã sè d lµ : ; ; vế phải 1998 chia cho d VËy biĨu thøc kh«ng có giá trị nguyên thoả mÃn b/ Tơng tự ta cã x2 + y2 chia cho cã sè d : 0; 1; vế phải 1999 chia cho d VËy biĨu thøc kh«ng cã giá trị nguyên thoả mÃn Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : 9x + = y2+y (1) Giải: Ta có phơng trình (1) 9x+2 = y(y+1) Ta thấy vế trái phơng trình số chia cho d nªn y.(y+1) chia cho cịng d ChØ cã thĨ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2) ∈Z ) ⇔ 9x = 9k ( k + 1) ⇔ x = k ( k + 1) Thư l¹i: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mÃn phơng trình đà cho Vậy phơng trình (1) có nghiệm tổng quát: x = k ( k + 1)   y = 3k + ( k Z) III/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức: Phơng pháp thứ tự ẩn: Ví dụ 6: Tìm số nguyên dơng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Gi¶i: Gọi số nguyên dơng phải tìm x, y, z Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trß nh phơng trình (1) nên thứ tù c¸c Èn nh sau: 1≤ x ≤ y ≤ z Do ®ã : x.y.z = x + y +z 3z Chia hai vế cho số dơng z ta đợc: { 1; 2; 3} x.y Do đó: x.y = +Víi x.y =1 => x=1, y=1thay vµo (1)ta đợc +z = z loại +Với x.y = =>x=1, y=2 thay vào (1) ta đợc x = +Víi x.y = => x=1, y=3 thay vµo (1) ta đợc z = loại trái với xếp y Vậy ba số phải tìm 1; 2; Phơng pháp xét khoảng giá trị ẩn: Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : ≤z 1 + = x y Gi¶i: Do vai trò bình đẳng x y Giả sư cđa sè nhá y Ta cã: 1 < y>3 y (1) xy , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Bài tËp ¸p dơng : Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau: N = + 22 + 32 + 42 + 52 + …+ 992 A = + + + 16 + 25 + 36 + + 10000 B = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Gỵi ý: 2 2 Tách B = (2 + + … + 20 ) – (1 + + …+ 192) ; tính tổng số ngoặc đơn tìm kết bi toỏn Bài toán Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i Nhận xét : Khoảng cách hai thừa số số hạng , nhân hai vế A với lần khoảng cách ta : 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 + 97.33.101 A= = 161 651 Trong toán ta nhân A với Trong toán ta nh©n A víi Ta cã thĨ nhËn thÊy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách k thừa số hạng tử Bi toỏn : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : Trở lại toán hạng tử tổng A có hai thừa số ta nhân A với lần khoảng cách hai thừa số Học tập cách , bi ny ta nhõn hai vế A với lần khoảng cách hạng tử có thừa số Ta giải toán nh sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980 Tõ ®ã ta có kết tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 Bµi tËp ¸p dơng : TÝnh c¸c tỉng sau : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101 Bài toán : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A= 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) hạng tử A có thừa số Bài toán : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c : A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 2500 = 169150 Trong toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dÃy số mà ta đà biết cách tính dễ dàng tính đợc Bài tập ỏp dng Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( - 3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 333300 = 25164150 Bài tập áp dụng : TÝnh A = 12 + 42 + 72 + … +1002 TÝnh B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh TÝnh TÝnh TÝnh TÝnh B = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 Bài toán : TÝnh tæng S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ Lêi gi¶i : Trước hết ta chứng minh kêt sau : với n số tự nhiên ta có n2 – n = (n – 1)(n + 1) Thật : n2 – n = n( n2 – 1) = n( n2 – n + n – 1) = n[(n2 – n) + ( n – 1)] = n[n(n – 1) + ( n – 1)] = (n 1)n( n + 1) pcm áp dụng kết để tính S Ta cú S = + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ S = 13 – + 23 – + 33 – + 43 – + 53 – +…+ n3 – n + ( + + + …+ n ) S = + 2( 22 – ) + 3( 32 – ) + 4( 42 – ) + …+ n( n2 – ) + ( + + + + …+ n ) S = + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ (n – )n( n + ) + ( + + + + … + n ) S= = = n( n + 1) = n( n + ) Nhận xét V× = + + + + … + n , nên ta có kết quan trọng sau ®©y : 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ +… + n³ = ( + + + + + … + n )² Bài toán 10 : Tính tổng sau : a ) A = + 99 + 999 + 9999 + + b ) B = + 11 + 111 + 1111 + + c ) C = + 44 + 444 + 4444 + + Gi¶i : a) A = + 99 + 999 + 9999 + + = 101 – + 102 – + 103 – + + 1010 – = 101 + 102 + 103 + + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + + 1010 ) – 10 = – 10 = 00 b) B = + 11 + 111 + 1111 + + 9B = 9.(1 + 11 + 111 + 1111 + + ) = + 99 + 999 + + 9B = 00 ( Theo kết câu a) Vậy B = 00 / c) C = + 44 + 444 + 4444 + + = 4(1 + 11 + 111 + 1111 + + ) 9C = 9.4.( + 11 + 111 + 1111 + + ) = 4.( + 99 + 999 + 9999 + + ) = 4.00 = 00 Vậy C = 00 / Bài tập áp dụng : TÝnh c¸c tỉng sau : A = + 22 + 222 + 2222 + + B = + 33 + 333 + 3333 + + C = + 55 + 555 + 5555 + + Bài toán Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 §Ĩ tÝnh A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100 (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 ⇒ A = 33.100.101 = 333 300 2) Mét sè dÃy số dễ dàng tính đợc + +3 + …+ n a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k lµ số II) Khai thác toán Trong toán Các thừa số hạng tử hay cách đơn vị Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có toán Bài toán TÝnh :A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 ⇒ A= + 97.33.101 = 161 651 Trong toán ta nhân A với (a = 3) Trong toán ta nh©n A víi (a = 6) Ta cã thĨ nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách thừa số hạng tử 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số thừa số tích ta có toán Bài toán : TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 ⇒ A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có toán: Bài toán : TÝnh : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 ⇒ A= 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong bµi ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với (bốn lần kho¶ng n ∑ n(n + k)(n + 2k) n =1 cách) Nh để giải toán dạng ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đổi lặp lại thừa số toán ta có toán: Bài to¸n : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong toán ta không nhân A với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dÃy số mà ta đà biết cách tính dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với toán: Bài toán : Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = + 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( + + + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách số ta có toán: Bài toán 7: TÝnh A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Gi¶i : A= + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = + 2(3 + + + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = + 4998 + 161651 = 166650 ì Trong toán cã thĨ sư dơng : (n - a) ((n + a) = n2 - a2 ⇒ n2 = (n - a)(n + a) + a2 a khoảng cách số Bài toán Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( -3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay đổi số mũ toán ta có toán: Bài toán : Tính A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Gi¶i Sư dơng : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n ⇒ ⇒ n3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = + + 1.2.3 + + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + + + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách số toán ta có toán Bài to¸n 10: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sư dơng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n ⇒ ⇒ n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + + + … + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n toán 8, ta làm nh toán 6, Thay đổi số mũ thừa số toán ta có: Bài toán 11: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 Víi c¸ch khai th¸c nh ta khai thác, phát triển toán thành nhiều toán hay mà trình giải đòi hỏi học sinh phải có linh hoạt, sáng tạo Trong toán ta thay đổi số hạng cuối dÃy số hạng tổng quát theo quy luật dÃy *Vận dụng cách giải hÃy giải to¸n sau: TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 mét sè phơng pháp tính tổng I > Phơng pháp dự đoán quy nạp : ... ; 242 ; 68 4 ; 742 tËn cïng b»ng 76 Các số 26n (n>1) tận 76 (M/s/v/đ/p/t toán6 /51) Tìm ba chữ số tận Các số tận 001 ; 3 76 ; 62 5 nâng lên luỹ thừa nµo cịng tËn cïng b»ng : 001 ; 3 76 ; 62 5 áp dụng:... toán6 141/51) Có tồn số tự nhiên n để n2 + n + chia hết cho không? 9999 (M/s/v/đ/p/t toán6 142/52) Tìm hai chữ số tận : 5151 ; ; 66 66 ; 14101 ; 161 01 99 §Ị 1: 1) Chøng tá r»ng sè sau chia hÕt cho : 20032004... 5n3 + 4n chia hết cho 120 Khi n5 - 5n3 + 4n chia hÕt cho 360 CMR: a 22225555 + 55552222 chia hÕt cho b 1 961 1 962 + 1 963 1 964 + 1 965 1 966 + chia hÕt cho c d e f g h i j chøng minh mét sè lµ sè CHÍNH