DEMO NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Bản DEMO CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TỔNG HỢP KIẾN THỨC Bài 04 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số a) Phương pháp đổi biến số loại b Giả sử cần tính I = ∫ f ( x ) dx ta thực bước sau a Bước Đặt x = u (t ) (với u (t ) hàm có đạo hàm liên tục [α;β ] , f u (t ) xác định [α;β ] u (α ) = a, u (β ) = b ) xác định α, β β β Bước Thay vào, ta có: I = ∫ f u (t ) u ' (t ) dt = ∫ g (t ) dt = G (t ) α β α = G (β ) − G (α ) α Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại Dấu hiệu Cách chọn a2 − x   π π  x = a sin t t ∈ − ;    2    x = a cos t t ∈ [0; π ]  x − a2  a x =  sin t   x = a  cos t   π π t ∈ − ,  \ {0}  2   π  t ∈ [0, π ] \     x + a2 x = a tan t  π π t ∈ − ;   2  b) Phương pháp đổi biến số loại 155 Tương tự ngun hàm, ta tính tích phân phương pháp đổi biến số (ta gọi loại 2) sau: b Để tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx f ( x ) = g u ( x ) u ' ( x ) , ta thực phép a đổi biến sau  x = a ⇒ t = u (a ) Bước Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) dx Đổi cận    x = b ⇒ t = u (b )  u(b ) Bước Thay vào ta có I = ∫ g (t ) dt = G (t ) u (a) u(b ) u (a ) Phương pháp tích phân phần Cho hai hàm số u v liên tục [a; b ] có đạo hàm liên tục [a; b ] Khi đó: b b ∫ udv = uv − ∫ vdu b a a a Một số tích phân hàm số dễ phát u dv β Dạng f ( x ) ln  g ( x )dx ∫ α Dạng sin ax    f ( x ) cos ax dx  ax  e  β ∫ α Dạng β ∫e α ax sin ax   dx cos ax    u = ln  g ( x )   Đặt   dv = f ( x ) dx  u = f ( x )   sin ax    Đặt   dv = cos ax  dx     ax   e     sin ax    u =  cos ax  Đặt    dv = e ax dx Ưu tiên đặt u theo quy tắc '' log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ '' Tức hàm số dấu tích phân hợp hàm số ta đặt u theo thứ tự ưu tiên trên, lại đặt dv CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI Vấn đề 1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 156 Câu 92 Cho hàm số f ( x ) có ngun hàm ℝ Mệnh đề đúng? ∫ A a f ( x ) dx = ∫ f (1 − x ) dx f (sin x ) dx = π ∫ f (sin x ) dx ∫ π ∫ a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx −a π C B D f ( x ) dx = ∫ Câu 93 Nếu f ( x ) liên tục ∫ f ( x ) dx = 10 , f (2 x ) dx bằng: ∫ A f ( x ) dx ∫0 B 29 C 19 D Câu 94 Hàm số y = f ( x ) có ngun hàm (a; b ) đồng thời thỏa mãn f (a ) = f (b ) Lựa chọn phương án đúng: b ∫ A f '(x )e f (x ) b dx = B a f '(x )e f (x ) f '(x )e f (x ) dx = a b ∫ C ∫ f '(x )e f (x ) b d x = −1 D a ∫ dx = a Câu 95 Cho hàm số f ( x ) có ngun hàm ℝ Xét mệnh đề: π I sin x f (sin x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ II a ∫ 0 a III 1 f (e x ) e x e dx = ∫ f (x ) dx x2 ∫ x f ( x ) dx = ∫ xf ( x ) dx 0 Các mệnh đề là: A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I, II III Câu 96 Cho f ( x ) hàm số lẻ liên tục [−a; a ] Mệnh đề đúng? a A ∫ −a a C ∫ −a a a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx B ∫ f ( x ) dx = −a 0 a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx D −a ∫ −a a f ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) dx Câu 97 Cho f ( x ) hàm số lẻ ∫ f ( x ) dx = Giá trị −2 A 2 ∫ B −2 ∫ f ( x ) dx = Giá trị −1 A.3 B D −1 C Câu 98 Cho f ( x ) hàm số chẵn f ( x ) dx là: ∫ f ( x ) dx là: −1 C D −3 157 Câu 99 Tính tích phân I = ∫ x x + 1dx A 16 B − 16 C 52 D − 52 Câu 100 Cho I = ∫ x x −1dx u = x − Chọn khẳng định sai khẳng định sau: 3 A I = ∫ B I = ∫ u du C I = u u du Câu 101 Biến đổi ∫ 1+ x 1+ x dx thành ∫ f (t ) dt , với t = + x Khi f (t ) hàm hàm số sau? A f (t ) = 2t − 2t B f (t ) = t + t C f (t ) = t − t 1+ x dx Nếu đổi biến số t = x2 Câu 102 Cho tích phân I = ∫ A I = −∫ D I = D f (t ) = 2t + 2t x +1 thì: x 3 t dt t dt B I = ∫ t +1 t −1 C I = ∫ 2 Câu 103 Kết tích phân I = ∫ dx x 1+ x a, b, c ∈ ℚ Khi giá trị a bằng: t dt t −1 tdt t +1 D I = ∫ 2 có dạng I = a ln + b ln ( ) −1 + c với A a = B a = − B a = Câu 105 Cho 3.m − ∫ (x + 2) B I = D a = dx = Khi 144 m − bằng: B −1 158 C a = 4x3 Câu 106 Tính tích phân I = ∫ A I = 2 A − D a = x dx = ln a với a ∈ ℚ Khi giá trị a bằng: x +1 Câu 104 Biết I = ∫ A a = 2 C a = − C D Kết khác ln x dx x ln 2 C I = ln C I = − ln 2 e Câu 107 Đổi biến u = ln x tích phân I = ∫ 1 − ln x dx thành: x2 A I = ∫ (1 − u )du B I = ∫ (1 − u ) e −u du 0 C I = ∫ (1 − u ) e du D I = ∫ (1 − u ) e 2u du u 1 e Câu 108 Cho I = ∫ 1 + ln x dx t = + ln x x Chọn khẳng định sai khẳng định sau: A I = B I = e Câu 109 Biến đổi 2 tdt ∫1 ∫ t dt ∫1 C I = t D I = 14 ln x x (ln x + 2) dx thành ∫ f (t ) dt , với t = ln x + Khi f (t ) hàm hàm số sau? A f (t ) = − t2 t B f (t ) = − + t2 t e Câu 110 Kết tích phân I = ∫ C f (t ) = ln x x (ln x + 1) + t2 t D f (t ) = − + t2 t dx có dạng I = a ln + b với a, b ∈ ℚ Khẳng định sau đúng? A 2a + b = B a + b = C a − b = D ab = Câu 111 Tính tích phân I = ∫ xe x dx e A I = B I = e +1 C I = e −1 D I = e ln Câu 112 Cho I = ∫ e x e x −1dx t = e x −1 Chọn khẳng định sai khẳng định sau: 1 A I = ∫ t dt B I = ∫ t dt C I = ln Câu 113 Biến đổi ∫ dx thành x e +1 2t 3 D I = 3 ∫ f (t ) dt , với t = e x Khi f (t ) hàm hàm số sau? A f (t ) = t2 −t 1 B f (t ) = + t t +1 C f (t ) = 1 − t +1 t D f (t ) = t2 + t 159 e x dx ae + e = ln với a, b số ngun dương x 2+e ae + b −1 Câu 114 Tìm a biết I = ∫ A a = B a = − C a = D a = −2 π Câu 115 Để tính tích phân I = ∫ e sin x cos xdx ta chọn cách đặt sau cho phù hợp? C Đặt t = cos x B Đặt t = sin x A Đặt t = e sin x D Đặt t = e x π Câu 116 Cho tích phân I = ∫ e sin x sin x cos3 xdx Nếu đổi biến số t = sin x thì: 1  B I =  ∫ e t dt + ∫ te t dt    A I = e t (1 − t ) dt ∫0 C I = ∫ e t (1 − t ) dt D I = π Câu 117 Biến đổi ∫ 1   t e d t + te t dt  ∫ ∫    e sin x sin x dx thành ∫ f (t ) dt , với t = sin x Khi f (t ) hàm π hàm số sau? A f (t ) = e t sin 2t B f (t ) = e t C f (t ) = e t sin t D f (t ) = t e π Câu 118 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân I = ∫ cos x sin xdx A I = − π D I = − C I = B I = −π π Câu 119 Tính tích phân I = ∫ sin x (1 + sin x ) dx A I = π 64 B I = 15 π Câu 120 Cho tích phân I = ∫ C I = tan x cos x tan x + 160 (2u + 1) du ∫1 D I = dx Giả sử đặt u = tan x + ta được: A I = 31 B I = (u + 1) du ∫1 C I = u −1) du ( ∫ D I = 2u −1) du ( ∫ π Câu 121 Tính tích phân I = ∫ (1 − cos x ) sin xdx bằng: n A I = n +1 B I = n −1 π Câu 122 Nếu I = ∫ sin n x cos xdx = A n = C I = 2n D I = n n bằng: 64 B n = C n = D n = Vấn đề PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Câu 123 Tính tích phân I = ∫ ln tdt Chọn khẳng định sai? A I = ln −1 B ln e C ln − log10 D ln e ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  x = ⇒ t = Câu 92 Chọn A Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận    x = ⇒ t = 1 Suy ∫ 0 f ( x ) dx = −∫ f (1 − t ) dt = −∫ f (1 − x ) dx = ∫ f (1 − x ) dx 1 Vậy mệnh đề A  x = ⇒ t = Câu 93 Đặt x = 2t ⇒ dx = 2dt Đổi cận    x = ⇒ t = Khi ∫ 2 f ( x ) dx = 10 trở thành ∫ f (2 t ) dt = 10 ⇔ ∫ f (2t ) dt = Chọn A 0  x = a ⇒ t = f (a ) Câu 94 Đặt t = f ( x ) ⇒ dt = f ' ( x ) dx Đổi cận    x = b ⇒ t = f (b )  161 f (b ) b Khi f ' (x )e ∫ f (x ) dx = ∫ e t dt = e f (b ) −e f (a ) = (do f (a ) = f (b ) ) Chọn A f (a ) a Câu 95 Xét I Ta có π π 0 ∫ sin x f (sin x ) dx = ∫ sin x f (sin x ).cos xdx  x = ⇒ t = Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận    x = π ⇒ t =  π 1 Khi ∫ sin x f (sin x ).cos xdx = ∫ t f (t ) dt = ∫ x f ( x ) dx Do I 0 Xét II Đặt t = e kết luận II x Xét III Đặt t = x kết luận III Chọn D a Câu 96 Ta có ∫ −a −a Xét tích phân a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ −a  x = −a ⇒ t = a f ( x ) dx Đặt t = −x ⇒ dx = −dt Đổi cận   x = ⇒ t = Do f ( x ) hàm số lẻ liên tục [−a; a ] nên f (−x ) = − f ( x ) ⇒ f (−t ) = − f (t ) Khi 0 ∫ −a a a a ∫ Vậy a a 0 f ( x ) dx = −∫ f (−t ) dt = −∫ − f (t ) dt = ∫ f (t ) dt = −∫ f (t ) dt = −∫ f ( x ) dx −a a a a a f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = Chọn B −a 0 Câu 97 Áp dụng đáp án câu ta có: a Nếu f ( x ) lẻ liên tục [−a; a ] ∫ f ( x ) dx = Thay a = ta −a ∫ −2 2 f ( x ) dx = = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx = −2 Chọn B −2 Câu 98 Ta có ∫ −1 −2 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −1  x = ⇒ t = Đặt t = −x ⇒ dx = −dt Đổi cận    x = ⇒ t = −1 Do f ( x ) hàm số chẵn nên f (−x ) = f ( x ) ⇒ f (−t ) = f (t ) Suy ∫ 162 −1 −1 0 −1 f ( x ) dx = −∫ f (−t ) dt = −∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt = ∫ f ( x ) dx −1 Vậy f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 2.3 = Chọn C ∫ −1 −1 −1 Câu 99 Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy 2tdt = x dx ⇒ tdt = x dx 3  x = ⇒ t = 2t 52 Đổi cận:  Vậy I = ∫ t dt = Chọn C =  9  x = ⇒ t = 3  x = ⇒ u = Câu 100 Đặt u = x − ⇒ du = xdx Đổi cận:    x = ⇒ u = 3 Suy I = ∫ x x −1dx = ∫ udu Do B sai Chọn B  x = ⇒ t = Câu 101 Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = dx Đổi cận    x = ⇒ t = Suy ∫ 1+ x 1+ x Câu 102 Ta có I = ∫ dx = ∫ t (t −1) 1+ t dt = ∫ (2t − 2t ) dt Vậy f (t ) = 2t − 2t Chọn A 1+ x dx dx = ∫ ( x + 1) 2 x x 1+ x 2  dt = − dx  x +1  x x +1 ⇒ 2  x x + 1 t 2 t = = 1+ ⇒ x = ⇒ x +1 = x2 x t −1 t −1  Đặt t =   x = ⇒ t = t2 Đổi cận:  = − Suy I dt Chọn A  ∫  x = ⇒ t = t −1  Câu 103 Ta có I = ∫ dx x 1+ x =∫ x dx x 1+ x  t = + x  x = t −1 Đặt t = + x ⇒  ⇒ Đổi cận:  2tdt = x dx  x dx = tdt   3 Suy I = 3 tdt  1  t −1 = −  dt = ln  ∫ ∫   (t −1) t  t −1 t + 1 t +1 ( ) 1 1 = − ln − ln − 2 = − ln − ln 3 3 Vậy a = − ; b = − ; c = Chọn B 3 ( )   x = ⇒ t =  x = ⇒ t =  1 −1  = ln − ln   2 + 1 2 −1 = − ln − ln 3 Câu 104 Đặt t = x + , suy dt = xdx ⇒ xdx = ( ) −1 dt 163 2  x = ⇒ t = 1 dt 1 Đổi cận:  Khi I = ∫ = ln t = ln = ln Chọn C   x = ⇒ t = 2 t 2  x = ⇒ t = Câu 105 Đặt x = t ⇒ x dx = dt Đổi cận    x = ⇒ t = 1 Suy ∫ 4x ( x + 2) 2 3.m − ∫ dx = ∫ 4x3 (x + 2) ⇒ 144 m −1 = − Chọn A dx = ⇔ 3.m − = ⇔ m = 36 Câu 106 Đặt t = ln x , suy dt = ln Khi B = ∫ tdt =    1 = −  = − − −  = Khi đó:    t +2  2 (t + ) dt t2 ln = dx Đổi cận: x ln 2 Chọn B  du = dx Câu 107 Đặt u = ln x ⇒  x Đổi cận:   u x = e e Suy ∫  x = ⇒ t =   x = ⇒ t = ln  x = ⇒ u =   x = e ⇒ u = 1 − ln x 1− u dx = ∫ u du = ∫ (1 − u ) e −u du Chọn B x2 e 0 Câu 108 Đặt t = + ln x ⇒ t = + ln x , suy 2tdt = dx x 2  x = ⇒ t = 2 14 Đổi cận:  Suy I = t dt = t = Chọn A   x = e ⇒ t = ∫1 9  dx dt =  x = ⇒ t = Đổi cận:  Câu 109 Đặt t = ln x + , suy  x     x = e ⇒ t = ln x = t − e Khi ∫ ln x x (ln x + ) dx = ∫ 1  t −2  −  dt Chọn D dt = ∫  t t  t Câu 110 Đặt t = ln x + , suy dt = ln x ln x dt dx ⇒ dx = Đổi cận: x x 2  x = ⇒ t = 1 dt Khi I = = ln t   x = e ⇒ t = 2 ∫1 t 2 Câu 111 Đặt t = x , suy dt = xdx ⇒ xdx = = 1 ln Suy a = , b = Chọn A 2 dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi I = 1 e t dt = e t ∫0 Câu 112 Đặt t = e x −1 ⇒ t = e x −1 , suy 2tdt = e x dx 164 = e −1 Chọn C  x = ⇒ t = 2t Đổi cận:  Khi I = ∫ t dt = = Chọn B   x = ln ⇒ t = 3  x = ⇒ t = Câu 113 Đặt t = e x , suy dt = e x dx Đổi cận:    x = ln ⇒ t = ln Suy ∫ 1 dx e x dx dt  = =∫ = ∫  −  dt Chọn D x ∫ x x  e + e (e + 1) t (t + 1)  t t + 1 ln 3   x = −1 ⇒ t = Câu 114 Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Đổi cận:  e    x = ⇒ t = e e2 Suy I = ∫ e dt = ln + t 2+t e2 e  1 + e2 2e + e = ln (2 + e ) − ln 2 +  = ln = ln  e 2e + 2+ e Vậy a = 2; b = Chọn C Câu 115 Đặt t = sin x , suy dt = cos xdx  x = ⇒ t = t t Đổi cận:  Khi I =  ∫ e dt = e  x = π ⇒ t =  = e −1 Chọn B Câu 116 Đặt t = sin x ⇒ dt = sin x cos xdx  x = ⇒ t =  Suy I = ∫ e t (1 − t ) dt Chọn A Đổi cận   π  x = ⇒ t = 2  Câu 117 Đặt t = sin x , suy dt = sin x cos xdx = sin xdx π   x = ⇒ t = Đổi cận:  Khi I = ∫ e t dt Chọn B   π  x = ⇒ t = 2  Câu 118 Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx −1  x = ⇒ t = t4 Đổi cận:  Khi I = −∫ t dt = ∫ t dt =   x = π ⇒ t = −1 −1 = Chọn C −1 Câu 119 Đặt t = + sin x , suy dt = sin x cos xdx = sin xdx  x = ⇒ t = t4 15 I = t dt = = Chọn B Đổi cận:  Khi  ∫  x = π ⇒ t = 4 1  Câu 120 Đặt u = tan x + ⇒ u = tan x + ⇒ 2udu = dx Đổi cận cos x  x = ⇒ u = 2 ( 2u − ) u  Vậy I = du =  (u2 −1) du Chọn C  x = π ⇒ u = ∫1 u ∫1  165  x = ⇒ t =  Câu 121 Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:    x = π ⇒ t =  n +1 0 Suy I = −∫ (1 − t ) dt = ∫ (1 − t ) d (1 − t ) = n n (1 − t ) = n +1 1 Chọn A n +1  x = ⇒ t = Câu 122 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận   π  x = ⇒ t =  n +1 Suy I = ∫     n +1   t 1 t n dt = = = = ⇔ n = Chọn A n +1 n + (n + 1) n +1 64  dt u = ln t du = Câu 123 Đặt  ⇒ t Khi I = t ln t   dv = dt  v = t Chọn D 166 2 − ∫ dt = t ln t −t = ln −1