Bài tập về giới hạn

Alobe.8tb.net Giới hạn dãy số Alobe.8tb.net *Các giới hạn thường gặp: limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limq n = 0 |q| < 1 *Các phép toán giới hạn : lim(u n ± v n ) = limu n ± limv n ; lim(u n .v n ) = limu n ; limv n lim = *Các định lý về giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn Định lý 2: Cho 3 dãy số (u n ),(v n ) và (w n ) Nếu ∀n ta có u n ≤ v n ≤ w n và limu n = limw n = A thì limv n = A Định lý 3: Nếu limu n = 0 thì lim = ∞ Nếu limu n = ∞ thì lim = 0 *Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = 1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2.Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim 1n2n 3n2 3 3 +− − f)lim() g) lim 3.Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim() c) lim) d) lim) e) lim f) lim g) lim 13n 1n3nnn 2 3 23 + ++++ h) lim i) lim() j) lim n() k) lim( nn2n 3 23 −− ) l) lim m) lim(1 + n 2 – ) n) lim 4.Tính các giới hạn a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1 4.Cho dãy (u n ) xác định bởi u 1 = ; u n+1 = a)Chứng minh rằng (u n ) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (u n ) có giới hạn và tính giới hạn đó 5.Cho dãy (u n ) xác định bởi u 1 = ; u n+1 = a)Chứng minh rằng (u n ) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (u n ) có giới hạn và tính giới hạn đó 6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 . b)1,030303030303 . c)3,1515151515 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) 8. Cho dãy (x n ) thỏa 0 < x n < 1 và x n+1 (1 – x n ) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (x n ) tăng. Tính limx n 9. Cho dãy (x n ) thỏa 1 < x n < 2 và x n+1 = 1 + x n – x n 2 ∀n ∈ N a)Chứng minh rằng: |x n – | < () n ∀n ≥ 3 b) Tính limx n 10.Cho dãy số xác định bởi : u 1 = ; u n +1 = Alobe.8tb.net a) Chứng minh rằng: u n < 1 ∀n b) Chứng minh rằng: (u n ) tăng và bị chặn trên c) Tính limu n 11.Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức u 1 = và u n +1 = a) Chứng minh rằng u n < 3 ∀ n b)Chứng minh rằng: (u n ) tăng và bị chặn trên c) Tính limu n Giới hạn hàm số *Các phép toán về giới hạn hàm số [ ] x a x a x a lim f (x) g(x) limf (x) limg(x) → → → ± = ± [ ] x a x a x a lim f (x).g(x) limf (x).lim g(x) → → → = x a x a x a limf (x) f (x) lim g(x) limg(x) → → → = x a x a lim f (x) limf (x) → → = *Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu x a x a limg(x) lim h(x) L → → = = thì x a limf (x) L → = Định lý 3: Nếu x a x a 1 limf (x) 0 thì lim f (x) → → = = ∞ Nếu x a x a 1 limf (x) thì lim 0 f (x) → → = ∞ = Định lý 4: x 0 sinx lim 1 x → = x 0 x lim 1 sinx → = x 0 sin kx lim 1 kx → = x 0 kx lim 1 sin kx → = *Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞ 1.Tính các giới hạn sau: a) 2x 2x3x2 lim 2 2x − −− → b) 1x 3x5x3x lim 2 23 1x − −+− → c) 4x4x x2x lim 2 2 2x ++ + −→ d) 2x3x 1xxx lim 2 23 1x +− +−− → e) 9x8x 9x3x5x lim 24 23 3x −− ++− → f) 3x2x 1x lim 23 4 1x +− − −→ g) 1xx2 3x2x lim 2 2 1x −− −+ → h) 2 3 2x x4 2x3x lim − +− −→ i) 1x xx5x4 lim 2 56 1x − +− → k) 1x 1x lim n m 1x − − → m,n∈N 2.Tính các giới hạn sau: a) x4 35x lim 4x − −+ → b) x x1x1 lim 0x −−+ → c) 49x 3x2 lim 2 7x − −− → d) 4x 31x4 lim 2 2x − −+ → e) 31x4 x2x lim 2x −+ −+ → f) x51 x53 lim 4x −− +− → Alobe.8tb.net g) 3x3 2x3x2 lim 1x + +−+ −→ h) 3x4x 4x7x2 lim 23 1x +− −++ → i) 1x xx lim 2 1x − − → j) 23x 1x lim 1x −+ − → k) 31x4 x2x lim 2x −+ −+ → l) 3x2 37x2 lim 1x +− −+ → m) 1x 1x1x lim 2 1x − −+− + → n) 1x 2x3x lim 2 3 1x − −− → o) 1x x3x3x lim 32 1x − −++ → 3.Tính các giới hạn sau: a) 33 2x x8x8 x lim +−− → b) 1x 2xx lim 3 35 1x + ++ −→ c) 1x1 x lim 3 0x −+ → d) 2 3 2 0x x 1x1 lim −+ → e) 4x5x x4x lim 2 3 4x +− −+ → f) 9x 5x10x2 lim 2 3 3x − −++ −→ g) 2x 2xx10 lim 3 2x − +−− → h) 4x 2x6x lim 2 3 2x − +−+ → i) 3 2 x 2 8x 11 x 7 lim x 3x 2 → + − + − + g) 3 5 4 4 x 1 (1 x)(1 x)(1 x)(1 x) lim (1 x) → − − − − − h) n 2 x 1 x nx n 1 lim (x 1) → − + − − 4.Tính các giới hạn sau: a) x2 x3sin lim 0x → b) x2sin x5 lim 0x → c) x7sin x4sin lim 0x → d) 2 0x x x6cos1 lim − → e) xcos1 x3cos1 lim 0x − − → f) 2 0x x2 x3cosxcos lim − → g) 2 0x x xcos1 lim − → h) x6sin xcosxsin3 lim 6 x − π → i) x8sin xcosxsin lim 4 x − π → j) 11x 1xsinxcos lim 2 44 0x −+ −− → k) xcosxsin1 xcosxsin1 lim 0x −− −+ → l) ) xcos 1 xsin 1 (lim 0x − → m) tgx)x 2 (lim 0x − π → n) xsin xcos12 lim 2 0x +− → o) 2 0x x x2cos.xcos1 lim − → p) xtg x2cosxsin1 lim 2 0x −+ → q) tgx1 xcosxsin lim 4 x − − π → r) 2 0x x11 1x2cos lim −− − → 4.Tính các giới hạn sau: a) x 0 1 3 1 lim . sinx sin 3x x →   −  ÷   b) 3 x 0 tgx sinx lim x → − c) 2 x 0 1 cosx lim tg x → − d) x 2 cosx lim x- /2 π → π e) x 2 lim(1 cos2x)tgx π → + f) x 4 1 tgx lim 1 cotgx π → − − g) x 4 sinx - cosx lim 1 - tgx π → h) 3 x 3 tg x 3tgx lim cos(x + ) 6 π → − π i) x lim x.sin x →∞ π    ÷   j) 2 x 0 2 1 cosx lim tg x → − + k) x 0 1 sin 2x 1 sin 2x lim x → + − − l) x lim(sin x 1 sin x) →∞ + − m) x lim(cos x+1 cos x) →∞ − 5.Tính các giới hạn sau: a) ) 1x 3 1x 1 (lim 3 1x − − − → b) ) 4x 4 2x 1 (lim 2 2x − + + −→ Alobe.8tb.net b) 2 2 x 2 1 1 lim x 3x 2 x 5x 6 →   +  ÷ − + − +   c) x4x )x3x)(1x( lim 3 2 x + +− ∞→ d) 1x2 x3xx lim 2 x − −+ ∞→ e) )x3xx(lim 2 x ++− ∞→ f) )x5x3(lim x −−− −∞→ g) )x5x(xlim 2 x −+ ∞→ h) )x1x(xlim 2 x −+ +∞→ i) )3x7x1x2x(lim 22 x +−−−− +∞→ i) 2 2 x x x 2 3x lim 4x 1 x 1 →∞ + + + + − + j) 2 2 x 9x x 1 4x 2x 1 lim x 1 →∞ + + − + + + h) 2 3 3 x x 2x 3 lim x x 1 →∞ + + − + j) 1xx 1xx1xx lim 2 22 x ++ +−+++ ∞→ k) 1xx16x141 x7 lim 2 x ++++ ∞→ 6.Tính giới hạn các hàm số sau a) 2x x3x lim 2 x + − ∞→ b) )1xxx(lim 22 x +−− ∞→ c) x 1 sinxlim 2 0x → d) 3x2x x2cos3xsin lim 2 x +− + ∞→ e) 1x xxcos5 lim 3 2 x − + +∞→ f) 2 x lim( x x x →∞ + − ) g) 2 x lim(2x 1 4x 4x 3) →∞ − − − − h) x lim x x x x →+∞   + + −  ÷   i) 3 2 3 x lim(x 3x x ) →∞ + − j) ( ) 3 2 3 x lim x 1 x 1 →∞ + − − 7.Tìm 2 số a,b để a) 0)bax1xx(lim 2 x =−−++ +∞→ b) )bax 1x 1x (lim 2 x −− + + ∞→ = 0 8. Tính các giới hạn sau: a) ( ) 2 2 x lim x x 2x 2 x x x →+∞ + − + + b) ( ) 3 3 2 2 x lim x 3x x 2x →+∞ + − − Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục tại x o ⇔ o o x x lim f (x) f (x ) → = *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x o ∈ (a;b) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và x a x b lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b) + − → → = = Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = x 2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = Alobe.8tb.net 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) =    ≥− <+− 1 xkhi 32x 1 x khi 4x3x 2 tại x o = 1 b) f(x) =        = ≠ −− −− 2 xkhi 3 11 2 xkhi 2xx 6xx 2 3 tại x o = 2 c) f(x) = sin x khi x 1 x 1 khi x 1 π  ≠  −   −π =  tại x o = 1 d) f(x) = 2 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 x khi x 1 2  − + ≥   −   − <   tại x o = 1 e) f(x) = 2 4 x khi x 2 x 2 1 2x khix 2  − <  −   − >  tại x o = 2 f) f(x) = 3 3 x khi x 0 2 x 1 1 khi x 0 1 x 1  + ≤    + −  ≥  + −  tại x o = 0 g) f(x) = 3 2 1 cosx khi x 0 sin x 1 khi x 0 6  − ≠     =   tại x o = 0 h) f(x) = 1 2x 3 khi x 2 2 x 1 khi x 2  − − ≠   −  =  tại x o = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x 0 a) f(x) =    ≥+ <−+ 1 xkhi a2x 1 x khi 1x2x3 2 tại x 0 = 1 b) f(x) =      = ≠ − −+ 1 xkhi a 1 x khi 1x 3x2x 2 3 tại x 0 = 1 Alobe.8tb.net c) f(x) = 1 cos4x khi x 0 x.sin 2x x a khi x 0 x 1  − <    +  ≥   + tại x o = 0 d) f(x) = 1 x 1 x khi x 0 x 4 x a khi x 0 x 2  − − + <    −  + ≥   + tại x o = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) =    −≥− −<−− 2 xkhi x 1 2 x khi 7x3x 2 b) f(x) =          >− ≤≤ + + < − −+ 5 x khi 43x 5x2 khi 2x 32x 2 xkhi 4x 10x3x 2 2 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 1 ax + khi x 2 4  + − >   −   ≤   b) f(x) = sin(x ) 3 khi x 1 2cos x 3 a khi x 3 π  −  π ≠  −   π =   5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R a) f(x) =          π > π ≤≤ π −+ π −<− 2 x khi xcos 2 x 2 khi basinx 2 x khi xsin2 b) f(x) =      >− ≤≤+ < 3 xkhix 4 3x1 khi bax 1 x khi x 2 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) x 3 – 2x – 7 = 0 b) x 5 + x 3 – 1 = 0 c) x 3 + x 2 + x + 2/3 = 0 d) x 3 – 6x 2 + 9x – 10 = 0 e) x 5 + 7x 4 – 3x 2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 7. Chứng minh rằng phương trình a) x 3 – 3x 2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x 3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x 3 + 3x 2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) Alobe.8tb.net d) x 3 – 3x 2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x 2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x 5 – 5x 4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;] 9*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu c)Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : = 0 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0 c)Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b] 12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1) 3 (x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m 2 + m + 1)x 4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b] 14.Cho phương trình x 4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm x o ∈ (1;2) và x o > . lim = *Các định lý về giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn Định lý 2: Cho. a x a lim f (x) limf (x) → → = *Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x)