Bài tập về giới hạn

GIỚI HẠN DÃY SỐ: lim c =c 0 n 1 lim k = lim n k =+ ∞ lim q k = 0 (|q| <1) lim q k = + ∞ (q >1). Chia tử số cho n mũ cao nhất hoặc đặt n mũ cao nhất, nhân lượng liên hiệp (nếu cần) . Bài 1: Tính các giới hạn: 1. 2n 1n2 lim + + 2. n4n 1n3 lim 2 2 + + 3. 8n3n2 1n5n lim 2 2 +− +− 4. 2 2 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − + 5. 3 3 4 lim 5 8 n n n + + + 6. 2nn 5n2 lim 2 +− + 7. 1nn3 n2n lim 2 2 ++ + 8. 2n3 1nn2 lim 3 2 − ++ 9. 1n3n n2 lim 24 3 ++ 10. )3n)(2n3( )1n2)(1n( lim ++ −+ 11. ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + 12. ( ) ( ) 3 2 1 lim 6 1 n n n + + 13. 4 32 )1n(n )2n()1n( lim − ++ 14. nnn2 3n2n lim 2 2 −+ ++ 15. 1nn 3nn2 lim 2 ++ + 16. 2 lim 1 n n n − + + 17. 1 lim 1 n n + + 18. 2 1 lim 2 2 n n + + + 19. lim 20. 2 1 lim 2 3 n n + + 21. lim 1n5 1n2n 2 + −+ 22. lim 23. 3 3 2 lim 2 n n n + + + 24. 3 3 2 1 1 lim 3 2 n n + − + − 25. lim 1n 1n3nn 22 + +++ 26. lim 1n3 1nnnn 23 3 + ++++ 27. lim 1nn3 3n21nn 2 22 ++ +++ 28.lim 1n3 1n2nn8 3 3 + +++ 29. 32 3 2 1 lim 1 3 n n n n n n + + + + + 30. )2n)(1n( )n3)(nn2( lim ++ + Bài 2: Tính các giới hạn: 1. ( ) 1n11n2lim 3 +− 2. ( ) 1n21n5lim 3 ++− 3. 2nn3 n2n lim 2 3 −+ − 4. 2n 1n11n2 lim 2 3 − +− 5. ( ) lim 1n n+ + 6. ( ) nnnlim 3 32 ++ Bài 3: Tính các giới hạn: 1. ( ) 2 lim 4n n n− − 2. lim() 3. ( ) 2 lim 3n n− + 4. ( ) lim 1n n+ − 5. ( ) 1nnnlim 22 +−+ 6. ( ) 2 2 lim 5 1n n n n+ + − − 7. 4n2n 1 lim 22 +−+ 8. lim) 9. lim) 10. ( ) nn2nlim 3 23 −− 11. ( ) 3 3 lim 1n n− + 12. 3 3 2 1 lim 1 n n n n + − + − 13. lim 14. lim 15. lim(1 + n 2 – ) 16. ( ) 3 3 2 2 lim 3 1 4n n n n− + − + Bài 4: Tính các giới hạn: 1. 1 4 lim 1 4 n n − + 2. lim 3. lim 4. 3 4 5 lim 3 4 5 n n n n n n − + + − 5. 1 2 3 4 lim 3 4 n n n n + + − + 6. 1 1 2 6 4 lim 3 6 n n n n n + + + − + 7. lim 8. lim 9. lim 10. lim 11. 163 26.42 lim 1n1n 1n2n ++ ++ −+ −+ 12. 2 2 3 4 1 lim 2 n n n n − + + 13. lim với |a| < 1 ; |b| < 1 4.Cho dãy xác định bởi u 1 = ; u n+1 = a)Chứng minh rằng (u n ) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b) Tính lim (u n ) 5.Cho dãy (u n ) xác định bởi u 1 = ; u n+1 = a)Chứng minh rằng (u n ) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b) Tính lim (u n ) 6.Viết các số sau dạng thập phân: a) 2,1111111 b) 1,030303030303 c) 3,1515151515 d) 0.14232323232… 7. Cho dãy (x n ) thỏa 0 < x n < 1 và x n+1 (1 – x n ) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (x n ) tăng. Tính limx n 8. Cho dãy (x n ) thỏa 1 < x n < 2 và x n+1 = 1 + x n – x n 2 ∀n ∈ N a)Chứng minh rằng: |x n – | < () n ∀n ≥ 3 b) Tính limx n 9.Cho dãy số xác định bởi : u 1 = ; u n +1 = a) Chứng minh rằng: u n < 1 ∀n b) Chứng minh rằng: (u n ) tăng và bị chặn trên c) Tính limu n 10.Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức u 1 = và u n +1 = a) Chứng minh rằng u n < 3 ∀ n b)Chứng minh rằng: (u n ) tăng và bị chặn trên c) Tính limu n 11. Cho dãy số (u n ) xác định bởi      −= −= + .6u 3 2 u ,5u n1n 1 Gọi (v n ) là dãy số xác định bởi v n = u n +18. a) Chứng minh rằng (v n ) là một cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tính tổng của cấp số nhân (v n ) và tìm lim u n . GIỚI HẠN HÀM SỐ: Bài 1: Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x 1 14 lim/3 2 2 1 +− ++ → xx xx x 1 21 lim/4 3 + +− −→ x xx x )2(lim/5 3 1 xx x ++ −→ 2 25 lim/6 2 5 + − → x x x Dạng 0 0 : đặt (x -x 0 ) làm nhân tử chung ở tử số và mẫu số rồi đơn giản . Bài 2: Tính các giới hạn: a. 9x 3x lim 2 3x − + −→ b. . 3x 3x4x lim 2 3x − +− → c. 4x 6xx lim 2 2 2x − −+ → d. 20xx 16x lim 2 2 4x −+ − → e. 8x x4 lim 3 2 2x + − −→ f. 6xx2 2x3x lim 2 2 2x ++ ++ −→ g. 2 2 x 5 x x 30 lim 2x 9x 5 → + − − − h. 2 2 1 x 2 2x 5x 2 lim 4x 1 → − + − i. 2 2 x 1 2x 3x 1 lim x 4x 5 →− + + − + + j. 22xx 2x lim 2 2 2x −+− − → k. 4x5x 3x2x lim 1x +− −+ → l. 2 3 2 2 6 lim 8 x x x x → − + − + m. 4 2 x 2 x 16 lim x 2x →− − + n. 3 2 x 1 x 1 lim x x → − − o. 3 2 2 x 1 x x x 1 lim x 3x 2 → − − + − + − p. 1xxx 2x3x lim 23 3 1x +−− +− → q. 4x3x 4x2xx lim 2 23 1x −− ++− −→ r. 3xx3x 27x6x lim 23 24 3x +++ −− −→ s. 3 4 x 1 x 3x 2 lim x 4x 3 → − + − + t. 8x 18xx4 lim 3 2 2x − −+ → u. 4 2 2 3 72 lim 2 3 x x x x x → − − − − v. 5 3 1 1 lim 1 x x x →− + + x. 5 3 x 1 x 1 lim x 1 → − − y. 9x8x 9x3x5x lim 24 23 3x −− ++− → Bài 3: Tính các giới hạn: a. 1x xx5x4 lim 2 56 1x − +− → b. 5 6 2 x 1 x 5x 4x lim (1 x) → − + − c. 3 3 h 0 (x h) x lim h → + − d. 2 3 3 x a x (a 1)x a lim x a → − + + − e. 4 4 x a x a lim x a → − − f. 3 3 h 0 2(x h) 2x lim h → + − g. n 2 x 1 x nx n 1 lim (x 1) → − + − − 1x 1x lim n m 1x − − → m,n∈N n 2 x 1 x nx n 1 lim (x 1) → − + − − 2 1 2 1 lim 1 1 x x x →   −  ÷ − −   n) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x →   −  ÷ − −   c.       − − − → 3 1x x1 3 x1 1 lim ) 4x 4 2x 1 (lim 2 2x − + + −→       +− + +− → 6x5x 1 2x3x 1 lim 22 2x 2 2 x 1 x 2 x 4 lim x 5x 4 3(x 3x 2) →   + − +  ÷ − + − +   2 2 x 2 1 1 lim x 3x 2 x 5x 6 →   +  ÷ − + − +   Bài 4: Tính các giới hạn: x4 35x lim 4x − −+ → x x1x1 lim 0x −−+ → 49x 3x2 lim 2 7x − −− → 4x 31x4 lim 2 2x − −+ → 31x4 x2x lim 2x −+ −+ → x51 x53 lim 4x −− +− → 3x3 2x3x2 lim 1x + +−+ −→ 3x4x 4x7x2 lim 23 1x +− −++ → 1x xx lim 2 1x − − → 23x 1x lim 1x −+ − → 31x4 x2x lim 2x −+ −+ → 3x2 37x2 lim 1x +− −+ → 1x 1x1x lim 2 1x − −+− + → 1x 2x3x lim 2 3 1x − −− → 1x x3x3x lim 32 1x − −++ → a) 2 x 0 x 1 x x 1 lim x → + − + + b) 2 x 7 x 3 2 lim 49 x → − − − c) 2 x 2 2 x 2 lim x 3x 2 → − + − + d) EMBED Equation.DSMT4 2 x 2 4x 1 3 lim x 4 → + − − e) EMBED Equation.DSMT4 3 2 x 1 2x 7 3 lim x 4x 3 → + − − + f) EMBED Equation.DSMT4 x 4 x 5 2x 1 lim x 4 → + − + − g) EMBED Equation.DSMT4 2 2 1 2 3 lim 3 2 x x x x → − + − + − h) EMBED Equation.DSMT4 3 2 2 lim 8 x x x x → − + − i) 2 2 x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2 → − − − − − + j) EMBED Equation.DSMT4 x 4 3 5 x lim 1 5 x → − + − − k) EMBED Equation.DSMT4 x 1 3 8 x lim 2x 5 x → − + − − l) EMBED Equation.DSMT4 x 2 x x 2 lim 4x 1 3 → − + + − EMBED Equation.DSMT4 2 3 1 2 6 4 1 ) lim 2 1 x x x x m x x → + + − + − + n) EMBED Equation.DSMT4 4 3 2 x 1 x 1 lim x x 2 → − + − o) EMBED Equation.DSMT4 3 2 0 1 1 lim 2 x x x x → − − + p) EMBED Equation.DSMT4 3 2 1 1 lim 2 5 3 x x x x →− + + + q) EMBED Equation.DSMT4 3 2 x 2 2x 12 x lim x 2x →− + + + r) EMBED Equation.DSMT4 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − s) EMBED Equation.DSMT4 3 0 1 1 lim 1 1 x x x → + − + − t) EMBED Equation.DSMT4 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − v) EMBED Equation.DSMT4 3 4 x 1 x 1 lim x 1 → − − w) EMBED Equation.DSMT4 3 3 x 1 x 1 lim 4x 4 2 → − + − x) EMBED Equation.DSMT4 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim (x 1) → − + − a. x2 1x21 lim 0x −+ → b. x2 1x21 lim 0x −+ → c. 4x 2x3x lim 2 2x − −− → d. 3x9 x4 lim 0x −+ → e. 2x3x 2xx42x3 lim 2 2 1x +− −−−− → f. x51 x53 lim 4x −− +− → g. 2x 3x21 lim 4x − −+ → h. 31x4 2xx lim 2x −+ +− → i. 3x2 37x2 lim 1x +− −+ → j. 3x3 2xx23 lim 1x + +−+ −→ k. 3x4x 4x7x2 lim 3 1x +− −++ → l. 2x 2x4 lim 3 2x − − → m. 25x 3x2 lim 2 3 5x − +− → n. x x11 lim 3 0x −− → o. x3 x11 lim 3 0x −− → p. 1x 1x lim 3 1x − − → q. 3 3 3 2 0x 2x3x2 1x1 lim +−+ −− → r. 23x 1x lim 2 3 1x −+ − → s. 23x 1x lim 2 3 1x −+ + −→ 33 2x x8x8 x lim +−− → 1x 2xx lim 3 35 1x + ++ −→ 1x1 x lim 3 0x −+ → 2 3 2 0x x 1x1 lim −+ → 4x5x x4x lim 2 3 4x +− −+ → 9x 5x10x2 lim 2 3 3x − −++ −→ 2x 2xx10 lim 3 2x − +−− → 4x 2x6x lim 2 3 2x − +−+ → 3 2 x 2 8x 11 x 7 lim x 3x 2 → + − + − + 3 5 4 4 x 1 (1 x)(1 x)(1 x)(1 x) lim (1 x) → − − − − − Bài 4: Tính các giới hạn: (bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp) a. 2x3x 7x11x8 lim 2 3 2x +− +−+ → b. x x1x1 lim 3 0x −−+ → c. 3x 5x1x lim 3 3x − +−+ → d. 2xx 6x6x lim 2 3 2x −+ ++− −→ e. 1x 3x9x lim 3 1x − ++− → f. 2xx 1x2x2 lim 2 1x −− −−+ −→ g. 1x xx12x lim 2 2 3 1x − +−+− → a. x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − b. x 0 x 9 x 16 7 lim x → + + + − c. 3 x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − d. 3 x 0 x 1 x 1 lim x → + − + e. 3 2 1 3 3 5 lim 1 x x x x → + − + − f. 3 2 x 1 8x 11 x 7 lim x 3x 2 → + − + − + x4x )x3x)(1x( lim 3 2 x + +− ∞→ 1x2 x3xx lim 2 x − −+ ∞→ )x3xx(lim 2 x ++− ∞→ )x5x3(lim x −−− −∞→ )x5x(xlim 2 x −+ ∞→ )x1x(xlim 2 x −+ +∞→ )3x7x1x2x(lim 22 x +−−−− +∞→ 2 2 x x x 2 3x lim 4x 1 x 1 →∞ + + + + − + 2 2 x 9x x 1 4x 2x 1 lim x 1 →∞ + + − + + + 2 3 3 x x 2x 3 lim x x 1 →∞ + + − + 1xx 1xx1xx lim 2 22 x ++ +−+++ ∞→ 1xx16x141 x7 lim 2 x ++++ ∞→ 2x x3x lim 2 x + − ∞→ )1xxx(lim 22 x +−− ∞→ x 1 sinxlim 2 0x → 3x2x x2cos3xsin lim 2 x +− + ∞→ 1x xxcos5 lim 3 2 x − + +∞→ 2 x lim( x x x →∞ + − ) 2 x lim(2x 1 4x 4x 3) →∞ − − − − x lim x x x x →+∞   + + −  ÷   3 2 3 x lim(x 3x x ) →∞ + − ( ) 3 2 3 x lim x 1 x 1 →∞ + − − Dạng ∞ ∞ : Chia tử mẫu cho x mũ cao nhất hoặc đặt x mũ cao nhất làm nhân tử chung . a) x 2x 1 lim x 1 →+∞ + − b) 2 2 x x 1 lim 1 3x 5x →−∞ + − − c) 2 x x x 1 lim x x 1 →+∞ + + + d) 2 2 x 3x(2x 1) lim (5x 1)(x 2x) →−∞ − − + e) 3 3 2 3 2 2 lim 2 2 1 x x x x x →±∞ − + − + − f) 3 2 4 3 2 1 lim 4 3 2 x x x x x →±∞ − − + − g) 3 2 2 2 2 lim 3 1 x x x x x →±∞ − − − − h) 4 2 3 3 1 lim 2 2 x x x x x →±∞ − + − + − i) 2 2 4 x (x 1) (7x 2) lim (2x 1) →±∞ − + + j) 2 3 2 2 x (2x 3) (4x 7) lim (3x 4) (5x 1) →±∞ − + − − k) 2 x 4x 1 lim 3x 1 →∞ + − l) 2 3 2 lim 3 1 x x x x x →+∞ − + − m) 2 3 2 lim 3 1 x x x x x →−∞ − + − n) 2 2 x x x 2 3x 1 lim 4x 1 1 x →± ∞ + + + + + + − o) 2 2 x 4x 2x 1 2 x lim 9x 3x 2x →±∞ − + + − − + p) 2 2 x x 2x 3 4x 1 lim 4x 1 2 x →±∞ + + + + + + − q) 2 x x x 3 lim x 1 →+∞ + + r) 3 3 2 2 lim 2 2 x x x x x →−∞ + + − s) 33 2 2 3 2 2 3 2 ( 2 ) 2 lim 3 2 x x x x x x x x x →−∞ + + + + − t) x (x x x 1)( x 1) lim (x 2)(x 1) →+∞ + − + + − Bài 5:Tính các giới hạn: 5xx3 1x3x2 lim/4 1x 1x2x lim/3 2x 1xx lim/2 3x2 1x lim/1 2 2 x 3 25 x 2 3 x 2 x +− ++ + ++ − ++− + + ∞→∞→+∞→−∞→ 3 3 2 x 2 3 x 4 2 x 3 x 1xx 3x2x lim/8 5x3x 7x3x4 lim/7 1x6x 8x3x lim/6 )4x3( )x41)(1x2)(2x( lim/5 +− ++ +− −+ +− −+ + −+− ∞→∞→∞→∞→ 1x2x 3x2 lim/10 1x3 1x4 lim/9 3 2 x 2 x +− + − + ∞→∞→ Bài 6:Tính các giới hạn: xx xxx x −++ ++++ ∞→ 214 4132 lim/1 2 2 1 12419 lim/2 22 − ++−++ ∞→ x xxxx x Dạng ∞−∞ : Nhân lượng liên hiệp, quy đồng a) )32(lim 3 xx x − +∞→ b) 3 lim (2 3 ) x x x →±∞ − c) 2 lim 3 4 x x x →±∞ − + d) 2 x lim ( x x x) →−∞ + − e) 2 x lim ( x x x) →+ ∞ + − f) )23(lim 2 xxx x −+− +∞→ g) )23(lim 2 xxx x −+− −∞→ h) 2 lim ( 2 4 ) x x x x →±∞ − + − i) )22(lim −−+ +∞→ xx x j) 2 2 x lim ( x 4x 3 x 3x 2) →±∞ − + − − + k) 2 lim ( 5 ) x x x x →±∞ + + l) 2 x lim (2x 1 4x 4x 3) →± ∞ − − − − m) 2 x lim (3x 2 9x 12x 3) →± ∞ + − + − n) )223(lim 2 −++− +∞→ xxx x o) )223(lim 2 −++− −∞→ xxx x p) 2 lim ( 3 2 1) x x x x →±∞ − + + − q) 2 lim ( 3 1 3) x x x x →±∞ − + − + r) 2 lim ( 4 3 2 1) x x x x →±∞ − + − + s) 3 3 2 x lim ( x x x) →±∞ + − t) 3 3 2 x lim ( x x x x) →±∞ − + + v) 3 2 3 x lim ( x 1 x 1) →+ ∞ + − − w) 3 3 2 lim ( 2 1 3 ) x x x x x →±∞ + − − − Bài 7:Tính các giới hạn: a. )xxx(lim 2 x −+ ∞← e. )1xx1xx(lim 22 x ++−+− −∞→ g. )xx3x(lim 3 32 x −+ ∞→ b. )1xx(lim 2 x +− +∞→ f. )3x4x41x2(lim 2 x −−−− ∞→ h. )xxx(lim 3 23 x −+ +∞→  Giới hạn một bên 5. Tìm các giới hạn sau a) 2 2 2 lim 3 1 x x x x − → − + b) 2 3 1 lim 2 x x + → − c) 1 1 lim 1 x x x + → − − d) 1 1 lim 1 x x x − → − − e) 2 3 x 0 x x lim 2x + → + f) 2 3 x 0 2x lim 4x x ± → + g) 2 33 lim 2 2 − +− − → x xx x h) 2 33 lim 2 2 − +− + → x xx x i) 4 3 lim 4 x x x ± → − − j) 2 33 lim 2 2 2 −+ +− − −→ xx xx x k) 2 33 lim 2 2 2 −+ +− + −→ xx xx x l) 3 2 x 1 x 3x 2 lim x 5x 4 − → − + − + g) x 0 1 x lim x x ± →   −  ÷  ÷   h) 2 x 1 x x 2 lim x 1 + → + − − i) x 2 1 cos2x lim x 2 + π → + π − 6. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x o và xét xem hàm số có giới hạn tại x o không ? 2 2 o x 3x 2 (x 1) x 1 a) f(x) x (x 1) 2 với x 1  − + >   − =   − <   = 2 o 4 x (x 2) b) f(x) x 2 1 2x (x 2) với x 2  − <  =  −  − >  = 3 1 x 1 x 0 c) f (x) 1 x 1 3/ 2 x 0 0 o với x  + − >  =  + −  ≤  = 7.Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x o : a) 3 x 1 (x 1) f(x) x 1 Ax 2 (x 1)  − <  =  −  + ≤  với x 0 = 1 b) 3 2 2 x 6 2x 9 A x 3 f (x) x 4x 3x 3x 2 x 3  + + − + <  = − +   − ≥  với x 0 = 3 Dạng :Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : 1 sin lim 0 = → x x x Bài 8: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: a. x2 x5sin lim 0x→ b. 11x x2sin lim 0x −+ → c. xsinx x2cos1 lim 0x − → d. 2 0x x2 x4cos1 lim − → e. 3 0x x xsintgx lim − → f. 2 2 0x x 3 x sin lim → g. x2 x3tg lim 0x→ h. 2 0x x x6cos1 lim − → i. x5cos1 x3cos1 lim 0x − − → j. xcos21 3 xsin lim 3 x −       π − π → k. xsin xcosxsin1 lim 2 2 0x −+ → l. xtg xcos12 lim 2 0x +− → x2 x3sin lim 0x → x2sin x5 lim 0x→ x7sin x4sin lim 0x→ 2 0x x x6cos1 lim − → xcos1 x3cos1 lim 0x − − → 2 0x x2 x3cosxcos lim − → 2 0x x xcos1 lim − → x6sin xcosxsin3 lim 6 x − π → x8sin xcosxsin lim 4 x − π → 11x 1xsinxcos lim 2 44 0x −+ −− → xcosxsin1 xcosxsin1 lim 0x −− −+ → ) xcos 1 xsin 1 (lim 0x − → tgx)x 2 (lim 0x − π → xsin xcos12 lim 2 0x +− → 2 0x x x2cos.xcos1 lim − → xtg x2cosxsin1 lim 2 0x −+ → tgx1 xcosxsin lim 4 x − − π → 2 0x x11 1x2cos lim −− − → 4.Tính các giới hạn sau: x 0 1 3 1 lim . sinx sin3x x →   −  ÷   3 x 0 tgx sinx lim x → − 2 x 0 1 cosx lim tg x → − x 2 cosx lim x- /2 π → π x 2 lim(1 cos2x)tgx π → + x 4 1 tgx lim 1 cot gx π → − − x 4 sinx - cosx lim 1 - tgx π → 3 x 3 tg x 3tgx lim cos(x + ) 6 π → − π x lim x.sin x →∞ π    ÷   2 x 0 2 1 cosx lim tg x → − + x 0 1 sin 2x 1 sin 2x lim x → + − − x lim(sin x 1 sin x ) →∞ + − x lim(cos x+1 cos x) →∞ − a) x 0 sin5x lim 3x → b) 2 x 0 1 cos2x lim x → − c) 2 x 0 cosx cos7x lim x → − d) 2 x 0 cosx cos3x lim sin x → − e) 3 x 0 tgx sinx lim x → − f) x 0 1 3 lim x sinx sin3x →   −  ÷   g) 0 sin2 sin lim 3sin x x x x → + h) 0 1 sin cos2 lim sin x x x x → − − 7.Tìm 2 số a,b để a) 0)bax1xx(lim 2 x =−−++ +∞→ b) )bax 1x 1x (lim 2 x −− + + ∞→ = 0 8. Tính các giới hạn sau: a) ( ) 2 2 x lim x x 2x 2 x x x →+∞ + − + + b) ( ) 3 3 2 2 x lim x 3x x 2x →+∞ + − − Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục tại x o ⇔ o o x x lim f (x) f (x ) → = *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x o ∈ (a;b) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và x a x b lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b) + − → → = = Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = x 2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: f(x) =    ≥− <+− 1 xkhi 32x 1 x khi 4x3x 2 tại x o = 1 f(x) =        = ≠ −− −− 2 xkhi 3 11 2 xkhi 2xx 6xx 2 3 tại x o = 2 f(x) = sin x khi x 1 x 1 khi x 1 π  ≠  −   −π =  tại x o = 1 f(x) = 2 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 x khi x 1 2  − + ≥   −   − <   tại x o = 1 f(x) = 2 4 x khi x 2 x 2 1 2x khix 2  − <  −   − >  tại x o = 2 f(x) = 3 3 x khi x 0 2 x 1 1 khi x 0 1 x 1  + ≤    + −  ≥  + −  tại x o = 0 f(x) = 3 2 1 cosx khi x 0 sin x 1 khi x 0 6  − ≠     =   tại x o = 0 f(x) = 1 2x 3 khi x 2 2 x 1 khi x 2  − − ≠   −  =  tại x o = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x 0 a) f(x) =    ≥+ <−+ 1 xkhi a2x 1 x khi 1x2x3 2 tại x 0 = 1 b) f(x) =      = ≠ − −+ 1 xkhi a 1 x khi 1x 3x2x 2 3 tại x 0 = 1 c) f(x) = 1 cos4x khi x 0 x.sin 2x x a khi x 0 x 1  − <    +  ≥   + tại x o = 0 d) f(x) = 1 x 1 x khi x 0 x 4 x a khix 0 x 2  − − + <    −  + ≥   + tại x o = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) =    −≥− −<−− 2 xkhi x 1 2 x khi 7x3x 2 b) f(x) =          >− ≤≤ + + < − −+ 5 x khi 43x 5x2 khi 2x 32x 2 xkhi 4x 10x3x 2 2 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 1 ax + khi x 2 4  + − >   −   ≤   b) f(x) = sin(x ) 3 khi x 1 2cos x 3 a khi x 3 π  −  π ≠  −   π =   5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R a) f(x) =          π > π ≤≤ π −+ π −<− 2 x khi xcos 2 x 2 khi basinx 2 x khi xsin2 b) f(x) =      >− ≤≤+ < 3 xkhix 4 3x1 khi bax 1 x khi x 2 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) x 3 – 2x – 7 = 0 b) x 5 + x 3 – 1 = 0 c) x 3 + x 2 + x + 2/3 = 0 d) x 3 – 6x 2 + 9x – 10 = 0 e) x 5 + 7x 4 – 3x 2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 7. Chứng minh rằng phương trình a) x 3 – 3x 2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x 3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x 3 + 3x 2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x 3 – 3x 2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x 2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x 5 – 5x 4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;] 9*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu c)Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn : = 0 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ≠ 0 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0 c)Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b] 12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1) 3 (x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m 2 + m + 1)x 4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và α , β là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b] 14.Cho phương trình x 4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm x o ∈ (1;2) và x o > . Chứng minh rằng (v n ) là một cấp số nhân lùi vô hạn. b) Tính tổng của cấp số nhân (v n ) và tìm lim u n . GIỚI HẠN HÀM SỐ: Bài 1: Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x . 1 + → + − − i) x 2 1 cos2x lim x 2 + π → + π − 6. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x o và xét xem hàm số có giới hạn tại x o không ? 2 2 o x 3x 2 (x 1) x 1 a) f(x) x . + 30. )2n)(1n( )n3)(nn2( lim ++ + Bài 2: Tính các giới hạn: 1. ( ) 1n11n2lim 3 +− 2. ( ) 1n21n5lim 3 ++− 3. 2nn3 n2n lim 2 3 −+ − 4. 2n 1n11n2 lim 2 3 − +− 5. ( ) lim 1n n+ + 6. ( ) nnnlim 3 32 ++ Bài 3: Tính các giới