các bài toán đa thức casio

Giải bằng tay thì rất vất vả.

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

CHUYÊN ĐỀ:

I KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TỐN ĐA THỨC :

Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a) “

Hệ quả : Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f b

a

ỉ ư- ÷

çè ø

 Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n  N) cĩ n nghiệm x1 , x2 …xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

II BÀI TẬP :

Bài 1 : Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2

Giải : Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta cĩ f(x) = g(x) +mx2 – mx

f(x)  (x – 2 )  f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2 x = 0

Ta cĩ g(2) = –56  f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56  4m2 – 2x – 56 = 0

Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 8x – 80 và f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

Bài tập tương tự :

Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 Tìm m để f(x)  (x + 3)

KQ : m1 5 ; m2 51

3

-Bài 2 :

Tìm a và b sao cho hai đa thức

f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và

g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)

Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0

Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta cĩ f(x) = A(x) + 2a + 3b

g(x)=B(x) –3a +2b

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  f(3) = 0  2a + 3b = –87

g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b  g(3) = 0  –3a +2b = –318

Ta cĩ hệ phương trình : 2a 3b 87

-ïï íï- + =-ïỵ

Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69

Bài tập tương tự :

Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )

P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x +2m – 3n

Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n (m = –4128,8 ; n = –2335,2)

Bài 3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

 Nếu khơng cĩ sự hổ trợ của MTBT thì việc phân tích đa thức trên thành nhân tử là 1 bài tốn khĩ

Một số bài toán

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

Giải: Ấn MODE MODE U 2 Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304

Tìm được nghiệm của đa thức trên : x1 8 , x2 38

-Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Bài tập tương tự :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 65x2 + 4122x +61093

b) 299 x2 – 2004x + 3337

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

Bài 4 :

Cho đa thức x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2 ; f(4) = 1 Tính f(100)

Giải :

Rõ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được Giải bằng tay thì rất vất vả Bài toán này có thể giải quyết như sau :

 Xét đa thức phụ k(x) = x2 – 4x + 1

Ta có : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1

Đặt g(x) = f(x) – k(x)

Ta có : g(0) = f(0) – k(0) = 0

g(1) = f(1) – k(1) = 0 g(2) = f(2) – k(2) = 0 g(3) = f(3) – k(3) = 0 g(4) = f(4) – k(4) = 0

Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x) Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là là 1

Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

mà g(x) = f(x) – k(x)  f(x) = g(x) + k(x)

Vậy f(x) = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) +x2 –4x + 1

f(100) = 9034512001

 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 1 k(2) = –3 , k(3) = –2 (nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :

ì + + =-ïï

-íï

-ïïî

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1

 k(x) = x2 – 4x + 1 Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1

Vậy k(x) = x2 – 4x + 1 là đa thức phụ cần tìm Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1 thì buộc phải tìm cách giải khác

Bài tập tương tự :

a) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

b) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11 Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)

c) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 Hãy tính f(15) f(16) f(18,25)

d) Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21 Tính f(34,567)

Bài 5:

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)

Giải :

Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5

Ta có Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17

Đặt k(x) = P(x) – Q(x)

Ta có k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0 hay k(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4

Lời bình :

Tới đây , làm như bài 5 thì …trật lất bởi vì k(x) phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tìm được có 4 nghiệm !! Bài toán này quá hay !

Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử như sau k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) Vấn đề còn lại là tìm số J như thế nào ?

Tiếp tục :

Vì k(x) = P(x) – Q(x)  P(x) = k(x) + Q(x)

Hay P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

 Hệ số tự do của P(x) là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000

 J = 132000:24 = 5500

Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

 P(15) = 132492410

Bài tập tương tự :

Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197

Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 Tính f(12) (KQ : 38206101)

Bài 6:

Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5

a) Xác định f(x)

b) Tính f(2,33)

Giải:

a) Đặt t = 2x – 3  x t 3

2

+

 f(t) =

æ+ ö÷ æ+ ö÷ æ+ ö÷

f(x)

æ+ ö÷ æ+ ö÷ æ+ ö÷

=ççè ÷÷÷ø + ççè ÷÷÷ø - ççè ÷÷÷ø+

b)f(2,33)

Qui trình ấn phím :

( 2.33 3) 2 shift STO A alpha A x+ ¸ + 3 alpha A x - 4 alpha A + 5= KQ : 34,57410463

Bài 7

Cho đa thức P(x) = 1 x9 1 x7 13x5 82x3 32x

a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)

b) Chứng minh rằng với mọi x Z thì P(x) nhận giá trị nguyên

Giải :

a) Câu a thật ra là gợi ý để giải câu b

Dễ dàng tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0

b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)

 P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :

P(x) = 1

630 (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Với x Z thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyên liên tiếp

Tong đó có ít nhân 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9 Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP

Vì ƯCLN(2,5) = 1  A  10

ƯCLN(7,9) = 1 A  63

ƯCLN(10 ,63) = 1  A  630

 1 A

630 là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x Z