Chương I. PTLG THƯỜNG GẶP §1. ÔN TẬP CÔNG THỨC §2. PT LG CƠ BẢN §3. MỘT SỐ PT LG THƯỜNG GẶPChương II. PTLG KHÔNG MẪU MỰC § 1. ĐƯA VỀ CÙNG MỘT HÀM SỐ LG §2. ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG §3. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PT CƠ BẢN §4. BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG VÀ NGƯỢC LẠI §5 . HẠ BẬC §6. CHUYỂN HAI HS TAN VÀ COT VỀ HAI HS SIN VÀ COS §7. ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Chuyên đề lượng giác – Ôn thi đại học Chương I PTLG THƯỜNG GẶP §1 ÔN TẬP CÔNG THỨC Hệ thức LG 1/ sin α + cos α = / tan α cot α = cos α / cot α = ( α ≠ kπ ) sin α / = cot α + ( α ≠ kπ ) sin α sin α / tan α = cos α π α ≠ + kπ ÷ π 3/ = tan α + 1 α ≠ + kπ ÷ cos α 2.Cung liên kết: a/Cung đối nhau:( cos ( −α ) = cos α α - ) π :( tan(α + π ) = tan α π +α α cos(α + π ) = − cos α d/Cung phụ ( π sin − α ÷ = cos α 2 cot(α + π ) = cot α π tan − α ÷ = cot α 2 π π :( π +α α π : 1/ sin ( α + ( 2k + 1) π ) = − sin α sin ( α + k 2π ) = sin α 1/ ): π sin + α ÷ = cosα ; 2 3/ ; π −α ) cos ( π − α ) = − cos α cot ( π − α ) = − cot α π −α α ) π cos − α ÷ = sin α 2 π cot − α ÷ = tan α 2 ; 2/ cos ( α + ( k+1) π ) = − cos α cos ( α + k 2π ) = cos α ; tan ( α + kπ ) = tan α α π cos + α ÷ = − sin α 2 : sin hòa cos, cos đối sin f/ Cung số lẻ lần Chú ý : = tan ( π − α ) = − tan α ) Chú ý : cos đối, sin Chú ý: sin ( π − α ) sin α cot ( −α ) = − cot α sin(α + π ) = − sin α e/Cung b/Cung bù nhau: ( sin ( −α ) = − sin α tan ( −α ) = − tan α c/Cung α 2/ cot ( α + kπ ) = cot α 4/ ; Công thức LG thường gặp sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa Công thức cộng: 1/ 2/ cos ( a ± b ) = cos a cos b msinasinb Sin sin cos cos sin Cos cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ) Tang tổng lấy tổng tang Chia trừ với tích tang, dễ òm tan ( a ± b ) = tana ± tanb mtanatanb 3/ Công thức nhân đôi: 1/ 2/ sin 2a = 2sin a.cos a cos 2a = cos a − sin a Cos bình hiệu với sin bình Lại cos, góc nhân đôi = cos a − = − 2sin a tan 2a = 3/ Công thức nhân ba: 1/ 2/ Công thức hạ bậc: Tích thành tổng: Tổng thành tích: tan a − tan a sin 3a = 3sin a − sin a cos 3a = cos a − 3cos a + cos 2a /cos2a = − cos2a 2 2/ sin a = 3cos a + cos 3a cos a = 3/ 3sin a − sin 3a sin a = 4/ 1/cosa.cosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2/sina.sinb = [cos(a−b) −cos(a+b)] 3/sina.cosb = [sin(a+b) + sin(a-b)] a+b a −b cos a + cos b = cos cos 2 1/ cos a − cos b = −2sin 2/ Nhân ba góc bất kỳ, sin ba bốn, cos bốn ba, dấu trừ đặt hai ta, lập phương chỗ bốn, ok a+b a−b sin 2 Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos Sin trừ sin hai cos sin 2 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 sin a + sin b = 2sin a+b a −b cos 2 sin a − sin b = cos a+b a −b sin 2 3/ 4/ tan a ± tan b = sin( a ± b) cos a.cos b cot a ± tan b = cos(a mb) sin a.cos b 5/ 6/ cot x + tan x = *Chú ý: 1/ = sin x.cos x sin x ; 2/ cos x − sin x 2cos2 x cot x − tan x = = = cot x sin x.cos x sin x 3/ x x ± sin x = sin ± cos ÷ 2 cot x − = ; 4/ Tang cộng với tang ta Bằng sin hai đứa chia cos ta cos cos x − s inx s inx t anx − = ; 5/ s inx − cos x cos x *Chú ý: 1/ sin4x + cos4x = (sin2x+cos2x)2 – 2sin2x.cos2x = – 2sin2x.cos2x = 1- sin22x 2/ sin6x + cos6x = (sin2x)3 +(cos2x)3 = (sin2x+cos2x)(sin4x – sin2x.cos2x + cos4x) = (sin2x+cos2x)2– 3sin2x.cos2x = – 3sin2x.cos2x= 1- sin22x 3/ sin4x – cos4x =( sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) = sin2x – cos2x = - cos2x t = tan a Biểu diễn hàm số LG theo a 2t 1-t 2t 1− t2 cot = ; sina= ; cosa= ; tana= ; cot a = t 1+t 1+t 1-t 2t Ví dụ : Chứng minh : 1/ x 3x s inx + sin x + sin x = sin x.(2 cos x + 1) = cos cos x.sin 2 x 3x cosx + cos2 x + cos3 x = cos2 x.(2 cos x + 1) = cos cos x.cos − 2 2/ 3/ cosx + cos3x + cos5x + cos7x = 4cosx.cos2x.cos4x 4/ sinx + sin3x + sin5x + sin7x = 4cosx cos2x.sin4x 5x x cosx + cos2 x + cos3x + cos4 x = cos cos x.cos 2 5/ 3 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 §2 PT LG CƠ BẢN Phương trình sinx = a, cosx = a *TH : |a| >1 phương trình sinx = a cosx = a vô nghiệm ≤1 *TH : |a| x = α + k 2π x = arcsina+k2π ⇔ s inx=sinα ⇔ ⇔ x = π − α + k 2π k ∈ Z ) x=π -arcsina+k2π k ∈ Z ) + Sinx = a ,( + Sinx = a ,( k ∈ Z ) ⇔ cosx=cosα ⇔ x = ±α + k 2π ⇔ x = ±arccosa+k2π k ∈ Z ) + Cosx = a ,( + Cosx = a ,( Chú ý : Các trường hợp đặc biệt ⇔ x=− + Sin x = -1 π + k 2π k ∈Z) ,( ; + Cos x = -1 ⇔ x = kπ k ∈ Z ) + Sin x = ,( ; π ⇔ x = + k 2π k ∈Z) + Sin x = ,( ; Phương trình tanx = a, cotx = a ⇔ t anx=tanα ⇔ x = α + kπ k ∈ Z ) + tanx = a ,( ; k ∈ Z ) ⇔ cot x=cotα ⇔ x = α + kπ + cotx = a ,( ; + Cos x = + Cos x = ⇔ x = π + k 2π π ⇔ x = + kπ ⇔ x = k 2π k ∈Z) ,( ; k ∈Z) ,( ; k ∈Z) ,( ⇔ x = arctana+kπ k ∈Z) + tanx = a ,( ⇔ x = arccota+kπ k ∈ Z ) + cotx = a ,( BÀI TẬP Giải phương trình : sin3x = −2 a/ sin2x = b/ sin5x = c/ sinx = d/ sin2x = e/ sin4x = f/ sin6x = − g/ 4 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 sin7x = − 2 sin8x = − h/ i/ j/ sin9x = −1 sinx = k/ −1 + sin10x = l/ sinx = −1 − 4 m/ Giải phương trình : cosx = a/ cosx = b/ cos2x = c/ cos3x = d/ cos4x = e/ cos5x = f/ cos6x = − g/ cos7x = − 2 cos8x = − h/ i/ j/ cos9x = −1 cos10x = +1 2 k/ 5 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 −1 2 cosx = l/ cosx = m/ Giải phương trình : a/ 2sin2x =0 2cos2x -1 = b/ 2sin x + = c/ Giải phương trình : π sin x + ÷ = −1 3 a/ π sin x − ÷ = − 4 b/ sin x.cos c/ sin x.cos π π + cos x.sin = 4 cos x.cos π π − sin x.sin = − 6 d/ e/ cos f/ g/ h/ i/ j/ π π − cos x.sin = 6 2π 2π sin x − sin cos x = − 3 sin x + cos x = 2 2 sin x − cos x = 2 sin x + cos x = sin x − cos x = sin x − cos x = −2 k/ Giải phương trình sin x = a/ 6 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 sin x = b/ sin 2 x = c/ Giải phương trình cos x = a/ cos x = b/ cos x = c/ 2π cos − 2x ÷= d/ Giải phương trình t anx = − a/ t an2x = −1 b/ t an3x = − c/ t an4x = d/ t an5x = e/ t an6x = f/ t an7x = g/ t an8x = −2 + h/ t an9x = −2 − i/ t an10x = − j/ t an11x = + k/ Giải phương trình : a/ 3tan(3x-5) + =0 tan ( 10 − x ) = + b/ 7 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 Giải phương trình cotx = − a/ cot2x = −1 b/ cot3x = − c/ d/ cot4x = cot5x = e/ f/ g/ h/ 3 3 cot6x = cot7x = cot8x = − cot9x = + i/ 10 Giải phương trình : a/ cot(x-300) -1=0 π cot x − ÷ = + 2 b/ 11 Giải phương trình sin x = sin x a/ sin x = − sin x b/ sin x = cos x c/ π cos x + ÷ = cos 3x 5 d/ π cos x − ÷ = − cos x 3 e/ 12 Giải phương trình cos x = cos x a/ cos x − sin x = cos x b/ 2cos x − = cos5 x c/ − 2sin x = cos8 x d/ sin x = sin x e/ 8 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 f/ 2sin x.cos x = sin x 13 Giải phương trình cos x = cos a/ cos b/ x x − sin = cos3 x 2 2cos c/ x − = cos x − 2sin d/ sin e/ x x = cos x x = sin x x x 2sin cos = sin x 4 f/ 14 Giải phương trình cos x = − cos a/ sin b/ x x − cos = cos x 2 − 2cos c/ 2sin d/ sin e/ f/ x x = cos5 x x − = cos3 x x = − sin x x x −2sin cos = sin x 4 15 Giải phương trình + cos x + cos x = 2 a/ − cos x + cos x = 2 b/ cos x = cos x c/ 9 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 d/ e/ cos x = sin x π x π cos x − ÷ = cos + ÷ 3 2 4 ………………………… §3 MỘT SỐ PT LG THƯỜNG GẶP I.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HS LG *DẠNG : a.t+b =0, ( t= sinu , cosu, tanu, cotu) II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HS LG * DẠNG 1: a sin 2u + bsinu + c = −1 ≤ t ≤ Cách giải : Đặt sinu =t, ( ).PTTT: at + bt + c = … a cos 2u + bcosu + c = * DẠNG 2: −1 ≤ t ≤ Cách giải : Đặt cosu =t, ( ).PTTT: at + bt + c = … * DẠNG 3: a tan 2u + btanu + c = Cách giải : Đặt tanu =t PTTT: at + bt + c = … a cot 2u + bcotu + c = * DẠNG 4: Cách giải : Đặt cotu =t PTTT at + bt + c = … BÀI TẬP 16 Giải phương trình sin x - 5sinx +1 = a/ x x cos + 4cos - = 2 b/ tan 2x + ( +1)tan2x + = c/ cot x - 4cotx +1 = d/ 17 Giải phương trình : ( − sin x ) + 5sin x − = a/ 10 10 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 95 96 97 98 5π π 5cos x + ÷ = 4sin − x ÷– 3 sin x + cos x + tan x + cos x = sin x − cos x x x π x + sin sin x − cos sin x = cos ( − ) 2 sin 3x − 3sin x − cos x + 3sin x + 3cos x − = 99 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm đoạn sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) (0; 2π ) 100 101 Tìm nghiệm 103 104 105 106 108 x x π x 1+ sin sinx- cos sin 2x = 2cos - ÷ 2 4 2 sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x (1 – tanx) (1+ sin2x) = + tanx cos x(2 cos x + 1) = ( ) ( ) − cos x − + = 2sin x − 3cos x + sin x.cos x + sin x + 4cos x − = ∈ [ 2; +∞ ) 109 110 111 sin 3x − sin x = sin 2x + cos2x − cos2x 17π x π ) + 16 = 3.sinxcosx+ 20sin ( + ) 2 12 −2sin x + − sin x + 107 π π cos3 x + + cos5 x − = 6 10 si n(2 x+ 102 phương trình : 2π 0; Tìm x thỏa mãn phương trình 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + = sin x.sin x + cos x − = cos x sin 2(2 x + 1) 2x +1 π + sin − ÷= x −1 x −1 cos x − sin x + 2sin x − cos x + = 112 (đề thi học sinh giỏi (lớp 11)cấp tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu – Năm 2011-2012) 50 50 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 cos3 x.cos3 x + sin x.sin x cos x + = 2 cos x − 113 (đề thi học sinh giỏi (lớp 12)cấp tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu – Năm 2011-2012) cos x ( 4cos x − 3cos x ) + sin x ( 3sin x − 4sin x ) cos x − = cos x + HƯỚNG DẪN Giải phương trình sau: cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) Phân tích : Ta thấy , thay sinx = (cosx =0) pt thỏa mãn Do ta tìm cách biến đổi dang (sinx-1).F(x) pt ⇔ cos x(cos x + 1) + 2(sin x − 1) = ⇔ (1 − sin x )(cos x + 1) + 2(sin x − 1) = sin x − = ⇔ (sin x + 1)(cos x + 1) − = x = k 2π ; x = π + n 2π ĐS: tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) x=− HD: Chia hai vế cho sin2x 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: π π + kπ ; x = ± + n2π pt ⇔ 2(3sin x − 4sin x) − 2(4 cos x − 3cos x) − + ÷= s inx cos x ⇔ 6(sin x + cos x) − 8(sin x + cos x) − + ÷= s inx cos x s inx + cos x ⇔ 6(sin x + cos x) − 8(s inx + cos x)(1 − s inx.cos x) − ÷= s inx.cos x s inx.cos x ≠ s inx + cos x = ⇔ −2 + 8sin x.cos x − =0 s inx.cos x x=± ĐS: 51 π π π 7π + k ; x = − + nπ ; x = + mπ 4 12 12 51 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) Phân tích :Ta thấy |sinx –cosx | |sinx+cosx| cho ta nghĩ tới cos2x = cos 2x – sin2x = (cosx +sinx)(cosx – sinx) Hơn (a +b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) pt ⇔ ( | s inx- cos x | + | s inx + cos x | ) = ⇔ + | cos2 x |= ⇔| cos2 x |= ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = kπ *Chú ý : (a + b)4 + (a – b)4 = 2(a4 + 6a2b2 + b4) Dùng để giải pt dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội) x= ĐS: π + k 2π ; x = α + n2π ; x = π − α + l 2π ; x= sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) π π sin x − ÷ = sin x.sin x + ÷ 4 4 ; (Học Viện BCVT) sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 3sinx- sin x 3cosx+ cos x ⇔ cos x+ sin x = sin x ⇔ 4 HD: pt x=k ĐS: + sin x x= ĐS: π π +k sin x = sin x 7π = sin − x÷ 3π sin x − ÷ với ĐS: x = x = x = −π + kπ −π + kπ 5π + kπ sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x 10 π 12 ĐS: π + kπ sin α = − 2 − HD: Chia hai vế cho cos3x 11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: x = x= HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS: 12 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1) Giải (1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0 ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0 π π + k π x = ± + kπ , π 2π + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ ) 52 52 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 t ≤1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2 Đặt t=cosx, ĐK 1 t = ⇒ cos x = t = sin x - ( loaïi) ⇒ …(biết giải) 13 2sinx+cotx=2sin2x+1 HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0 t ≤1 Đặt t=sinx, ĐK 2(1–2cosx)t –t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2 14 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0 HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp … ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x − 15 Giải phương trình lượng giác: Giải cos x.sin x.sin x ( tan x + cot x ) ≠ cot x ≠ Điều kiện: ( cos x − sin x ) cos x.sin x = ⇔ = sin x sin x cos x cos x cos x + −1 cos x sin x sin x Từ (1) ta có: ⇔ 2sin x.cos x = sin x π x = + k 2π ⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢) x = − π + k 2π x=− So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho sin x + cos x = ( tan x + cot x ) sin x 16 Giải phương trình: Giải sin x + cos x = ( tan x + cot x ) sin x (1) sin x ≠ Điều kiện: 53 π + k 2π ( k ∈ ¢ ) 53 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 1 − sin 2 x − sin x sin x cos x 1 2 (1) ⇔ = + = ⇔ − sin 2 x = ⇔ sin x = ÷⇔ sin x cos x sin x sin x sin x Vậy phương trình cho vô nghiệm 17 Giải phương trình: Giải π sin x − ÷ = sin x − tan x 4 π sin x − ÷ = sin x − tan x 4 π ⇔ 1 − cos x − ÷ cos x = sin x.cos x − sin x ≠ 0) Pt⇔ (cosx ⇔ ⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = sin2x = tanx = sin x ( cos x + 3) − 3cos x − 3cos2 x + ( ) cos x − s inx − 3 = 18 Giải phương trình: Giải sin x(cos x + 3) − 3.cos x − 3.cos x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 = ⇔ sin x.cos x + sin x.cos x − 3.cos3 x − cos2 x + 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 = ⇔ −2 cos x ( cos x − sin x) − cos x( cos x − sin x ) + 8( cos x − sin x) = ⇔ ( cos x − sin x)( −2 cos x − cos x + 8) = tan x = cos x = cos x = (loai) cos x − sin x = ⇔ ⇔ cos x + 3cos x − = π x = + kπ ⇔ ,k ∈Z x = k 2π π x+ ÷ 6 19 Giải phương trình: cosx =8sin3 Giải π x+ ÷ sin x + cos x 6 ⇔ cosx=8sin cosx = 3 sin x + 9sin x cos x + 3 sin x cos x + cos x − cos x = ⇔ (3) Ta thấy cosx = không nghiêm 3 tan x + tan x + 3 tan x = (3) ⇔ ⇔ tan x = ⇔ x = k π ( ) cos x + = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) 20 Giải phương trình: Giải 54 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 54 Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – = cos x − sin x = −1 ⇔ cos x − sin x = (loai vi cos x − sin x ≤ 2) x = π + k 2π π π π ⇔ sin x − = ⇔ sin x − = sin ⇔ (k ∈ Z ) 4 x = π + k 2π ( ) ( ) ⇒ Phân tích : *Ta nhận thấy cosx = -1( sinx=0) thỏa mãn phương trình Vậy ta biến đổi phương trình cos x − 2(2 + s inx) cos x + sin x + 4sin x − = ⇒ ∆ ' = phương trình bậc hai theo cosx: Như vây ta có cách giải * Ta có : cos2x = (cosx + sinx)(cosx – sinx) ⇔ (cos x − s inx)(cos x + s inx + − cos x) + = Như pt Từ đặt t = cosx-sinx, ta có cách giải pt 21 Giải phương trình: 2cos3x + Giải sin x + cos x + cos x = π x − ÷= − cos 3x 3 ⇔ cos π kπ x = + π x = + kπ ⇔ sinx + cosx = ⇔ sin ⇔ cos (k ∈Z) ⇔ x= π π sinx + cos cosx = – cos3x π x − ÷= cos(π − 3x ) 3 π kπ + 22 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = Giải (k∈Z) ` 2+3 cos 3x + sin x + ( cos x cos x − sin x sin x ) = 2+3 2 cos x = π π ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z 16 Pt ⇔ ⇔ 23 Định m để phương trình sau có nghiệm π π π 4sin x sin x + cos x − ÷cos x + ÷ − cos x + ÷ + m = 4 4 4 Giải Ta có: 4sin x sin x = ( cos x − cos x ) * ; π π π cos x − ÷cos x + ÷ = cos x − ÷+ cos x = ( sin x + cos x ) 4 4 2 * 55 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 55 π 1 π cos x + ÷ = 1 + cos x + ÷ = ( − sin x ) 2 ÷ * Do phương trình cho tương đương: 1 ( cos x + sin x ) + sin x + m − = (1) 2 Đặt π t = cos x + sin x = cos x − ÷ 4 (điều kiện: − ≤t ≤ ) sin x = sin x cos x = t − Khi Phương trình (1) trở thành: t + 4t + 2m − = − ≤t≤ (2) với (2) ⇔ t + 4t = − 2m ( D ) : y = − 2m Đây phuơng trình hoành độ giao điểm đường (là đường song song với Ox cắt y = t + 4t − ≤t ≤ trục tung điểm có tung độ – 2m (P): với X − 2 y’ Y + 2+4 2−4 − 2; Trong đoạn , hàm số 2+4 t= y = t + 4t đạt giá trị nhỏ Do yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 2−4 t=− đạt giá trị lớn − ≤ − 2m ≤ + −−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−− 56 56 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) phương trình: cos x + sin 3x sin x + = cos x + + sin x ÷ (Khối A_2002) Giải x= ĐS: π 5π ;x = 3 cot x − = Giải phương trình: cos x + sin x − sin x + tan x (Khối A_2003) Giải x= π + k π ( k ∈ Z) ĐS: Giải phương trình: cos 3x cos x − cos x = (Khối A_2005) Giải x= kπ ( k ∈ Z) ĐS: Giải phương trình: ( ) cos x + sin x − sin x cos x − sin x =0 (Khối A_2006) Giải x= 5π + k 2π ( k ∈ Z) ĐS: 57 57 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x 2 Giải phương trình: (Khối A_2007) Giải x=− π π + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z) ĐS: + sin x 3π sin x − ÷ 7π = sin − x÷ (Khối A_2008) Giải x= −π −π 5π + kπ , x = + kπ , x = + kπ , ( k ∈ Z) 8 ĐS: ( − sin x ) cos x ( + sin x ) ( − sin x ) Giải phương trình: = (Khối A_2009) Giải x=− π 2π +k , ( k ∈Z) 18 ĐS: KHỐI B Giải phương trình sin 3x − cos x = sin x − cos x (Khối B_2002) Giải 58 58 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x=k π π ; x = k , ( k ∈ Z) ĐS: cot x − tan x + sin x = Giải phương trình sin x (Khối B_2003) Giải x=± π + k π , ( k ∈ Z) ĐS: 5sin x − = ( − sin x ) tan x 10 Giải phương trình (Khối B_2004) Giải x= π 5π + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈Z) 6 ĐS: 11 Giải phương trình + sin x + cos x + sin x + cos x = (Khối B_2005) Giải 59 59 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x=± 2π + k 2π ( k ∈ Z) ĐS: 12 Giải phương trình: x cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2 (Khối B_2006) Giải x= π 5π + kπ ; x = + kπ , ( k ∈ Z) 12 12 ĐS: 13 Giải phương trình: sin 2 x + sin x − = sin x (Khối B_2007) Giải x= π 2π 5π 2π +k ;x= +k , ( k ∈Z) 18 18 ĐS: 14 Giải phương trình sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x (Khối B_2008) Giải 60 60 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x= π π π + k ; x = − + k π , ( k ∈ Z) ĐS: sin x + cos x sin x + cos x = ( cos x + sin x ) 15 Giải phương trình: (Khối B_2009) Giải x= π 2k π π + , x = − − k π , ( k ∈ Z) 42 ĐS: KHỐI D 16 Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 Giải x= (Khối D_2002) π 3π 5π 7π ;x= ;x= ;x= 2 2 ĐS: 17 x x π sin − ÷tan x − cos = 2 4 (Khối D_2003) Giải 61 61 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x = π + k 2π , x = − ĐS: π + k π , ( k ∈ Z) ( cos x − 1) ( sin x + cos x ) = sin x − sin x 18 Giải phương trình (Khối D_2004) Giải x=± π π + k 2π , x = − + kπ , ( k ∈Z) ĐS: 19 Giải phương trình: π π cos x + sin x + cos x − ÷sin 3x − ÷ − = 4 4 (Khối D_2005) Giải x= π + k π , ( k ∈ Z) ĐS: 20 Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006) Giải 62 62 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x=± 2π + k 2π , ( k ∈ Z) ĐS: 21 Giải phương trình x x sin + cos ÷ + cos x = (Khối D_2007) Giải x= π π + k 2π , x = − + k 2π , ( k ∈Z) ĐS: sin x − cos x = sin x 22 Giải phương trình (CĐ_A_B_D_2008) Giải x= π 4π 2π + k 2π , x = +k , ( k ∈Z) 15 ĐS: 23 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải 63 63 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064 x=± 2π π + k 2π , x = + kπ , ( k ∈ Z) ĐS: 24 Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải x= π 5π + kπ , x = + k π , ( k ∈ Z) 12 12 ĐS: cos x − sin 3x cos x − sin x = 25 Giải phương trình (Khối D_2009) Giải x= π π π π + k , x = − + k , ( k ∈ Z) 18 ĐS: −Hết 64 64 GV : LƯƠNG VĂN HÙNG – ĐT : 0983232063 - 0983232064