Trường Đại học Bách khoa tp Hỗ Chi Minh
Bo mon Toán Ưng dụng
Giải tích hàm nhiều biến Chương 6: Tích phân mặt
¢ Giang viên Ts Dang Van Vinh (4/2008)
Trang 2Tích phân mặt loại l
1) Định nghĩa : Cho hàm ƒ (x, y, z) xác định
trên mặt cong Š chia mặt cong thành # phần
không trùng lấp nhau , ký hiệu là
S.,52.53 S„ Gọi đ/(Š;) là diện tích cửa
mặt cong Š;, trên mdi mat cong S; ta chon
một điểm tùy ý Ä⁄Z;(x;, v; z;) Thiết lập tổng Hi
Ly — » I (Xj, Vị, Z¡).đ1(57)
Trang 3Xét lim 7;,,néu gidi han này tồn tại hữu
n> o
hạn , không phụ thuộc cách ta chia mặt cong
Ñ và cách chọn điểm tùy ý Ä⁄;(x; y;,z;) thì
giá trị giới hạn ấy gọi là tích phân mặt loại
Trang 53) Cách tính :
®) Nếu phương trình của mặt cong Š cho bởi
Trang 8Tương tự ta có thể chiếu
Trang 9Nếu phương trình cửa mặt cong Š cho bởi
y= y(x,z), D„; là hình chiếu cửa Š xuống
Trang 10*)Néu phương trình cửa mặt cong S cho
bởi x= x(y,Z), 2y; là hình chiếu cửa 5
Trang 11Chú ý : Nếu hình chiếu của S
xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một
đường cong (trường hợp này xảy
ra khi S là một mặt trụ song song
với trục Oz ) thì phải chiếu S
xuống các mặt phẳng tọa độ khác
Trang 15Vidu :Tinh || z ds trong
S
đó S 1a phan ctia mat
Trang 16z=2-x —ở
Trang 17Ví dụ : Tính tích phân Ï[x“ + v2 ds , trong
Ss
đó % là nửa trên của mặt cầu x? ty? +27 =R?
Trang 19Hinh chiéu ctia S xu6ng mat phang Oxy 1a
2
hinh tron x ty? <R?, phương trình của mặt sS
Trang 20
OZ
Trang 21
[fx + y- ds =
Trang 22Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho
S
Trang 24Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho
S
bởi x+ + z =1, z>0,x>0,y>0
Trang 25Vidu: Tinh || x+ y+ z ds trong đó S là
S
mặt xung quanh hình chóp cho bởi
Trang 26Ví dụ: Tính || x+ y+ z & trong đồ S là
S
mặt xung quanh hình chóp cho bởi
x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0
Mặt S gồm có bốn mặt của tứ diện OABC
Tích phân Ï; trên mặt AB€ đã tính trong vi
dụ trước Ta tính tích phần trên các mặt còn
lai OAB, OBC , OCA
Trang 28Trén mat OAB , phuong trinh cla mat 1a
z=0@, hinh chiéu ctia mat xu6ng Oxy 1a
Trang 294) Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 :
*®) Tính diện tích mặt cong 8: || 1á
Trang 30Ví dụ : Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán
Trang 31Ví dụ : Tính diện tích của mặt cong S,
Trang 34
| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai
Định nghĩa mặt hai phía
Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C
Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C Nêu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vécto không đối chiêu thì mặt cong S
được gọi là mặt hai phía
Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đối chiêu thì mặt cong S được gọi là mặt một phía
Trang 36| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai
Định nghĩa mặt định hướng
S là mặt cong hai phía
Nêu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại
là âm thì mặt Š được gọi là mặt định hướng
Chú ý Pháp véctơ của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tac sau:
Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp
Trang 37Vi du
Tìm pháp véctơ của mặt nón z= Xu + y' tại A(1,1,V2}
biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng của trục 0z Phương trình mặt nón: Ƒ(x,y,z)=z—xÍx7+yˆ =0 Pháp véctơ n=(F,,F,,F.)= TT X y |
S dinh hướng phía duéi nén: 7 =
Trang 38Vi du
Tim phap vécto cla x°+y*+z° =4 © tai AÍI, 0,3) biết mặt câu được định hướng phía ngoài
Phương trình : F(x.y,z)=4-xˆ—y °—zˆ =0
Pháp véctơ n= (r F F.)= (—2.x,-2y,—2z) xX? y?
S định hướng phía ngoài nên: n= (2x, 2y, 2z)
Trang 40| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Định nohĩa tích phần mặt loại hai P(x,v,z), Q(x,y,z), R(x,v,z) xác định trên mặt định hướng S
Pháp vécto đơn vị của mặt S là: #= (cos,cos /,cos 7)
Trang 41| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai
Cách tính
Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta có thê sử dụng cách tính tích phân mặt loại một
Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta có cách tính sau:
I = || Pdydz+ Qdxdz + Rdxdy = [[ Pdyds + [[Odxdz +[[ Rdxdy
S 5 S S
Trang 424) Cách tính: 72: = jj R(x, y,z)dxdy
S
Dâu cộng nêu pháp véctơ tạo với chiêu dương 0z
Trang 43Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống
một mặt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ
mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong
(trường hợp này xảy ra khi S là một
mặt trụ song song với trục Öz ) thì tích
Trang 44Tương tự cho cách tính các tích phân
I, =J] Px, y, 2) dydz S
( chiếu xuống mặt phẳng Øyz , biểu diễn
Trang 45Vi du Tính 7= ||(2x + y)dydz+(2y+z)dxđz + (2z + x)dxdy S
trong do S la phan mat phăng x+y+z=3 năm trong hình
Trang 46Vi du Tinh I = [[(x + z)dxdy 5
Trang 485) Công thức Ostrogratxki-Gauss :
Cho Š là mặt kín, lấy hướng ra phía ngoài
Trang 50[| PQ, », 2) dvdz+ Ox, y, z)dxdz+ R(x, y, 2) dedy S
Trang 51
Vidu : Tinh tich phan
{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy
S
Trong đó S là mặt xung quanh , hướng
phía ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt
Trang 53Dùng công thức Ostrogratxki-Gauss ta có
{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy =
Trang 54Ví dụ : Tính tích phan
l[(y+z)dv& + (x— z)dxđ&z + (z +1) dvẩy
S
trong đó Š là mặt hướng phía trên của nửa
Trang 56Công thức viết dưới dạng vectơ
Trang 57Công thức Stokes :
| P(x, y,z)dx+ O(x, y,z) dy + R(x, y,2) đz
C [ tích phân đường loại 2
if (B2 ayier( FR dzdx+ 2S asa
S Oy OF Oz Ox Ox oy
Trang 58Vi du
Tính 7=ii(3x—y”)dx+(3y—z7)dy+(3z— x”)d:
C
trong đó C là giao của mặt phắng 2x+z=2 và mặt
paraboloid z = x* + yˆ ngược chiêu kim đông hơ theo
hướng của trục Ưz
Chọn S là phân mặt 2x + z = 2 năm trong paraboloid
Chọn phía trên của mặt S Pháp véctơ đơn vị của S
—
Trang 60Vi du
Tinh ï =t†(x+ y)dx +(2x— z)dy + ydz
C
trong đó S là giao của mặt phăng z = y“ và mat paraboloid
Trang 61Chuyén vé tich phân mặt loại hai
Trang 62DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2002-2003
Mơn học: Tốn3 Noày thị: 1606/2003 Thời gian làm bài: 90 phút
* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ và LAM TRUC TIẾP LÊN ĐỀ THI
* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)
* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bắng sau Nếu KHÔNG ĐIỀN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SO 01
_ Họ và tên Chữ ký giấm thi 1 |
| Ma sé sinh vién Chữ ký giấm thị 2
Câu 1 : Tìm vi phân cấp 1 và 2 của hàm 2 biến z = (z + w)* tai diém A(2, 0)
d:(A)=_ PEPEễỲễỳặšíđ
Câu 2 : Tìm tất cả các cực trị của hàm 2 biến z(z.) = ð — 3z — 4, với điều kiện z? + ° = MẺ
Câu 3 : Tính diện tích S miền hình phẳng D = {(z.) e FỶ : z?+? < My: z <g: —z <9}
———— ————=>————————————————=——) `" oO ee ee ee ee er ee ee eee ee eee
Trang 63Cau 4: Cau 5 Cau 6: Can 7: Tính thể tích V vật thể giới hạn bởi các mặt cong: z? + 2+ z =4,MÍ?: z=0: 2?+y? = M? Công thức tính V (dạng tích phân lặp): _—_——————————- TỶ ———_ a ˆ —ydr+ady , 45 4 2 sz LẠ : lính tích phan =p Pay? với Ù là đường tròn z“ + „ˆ = V lấy theo chiều dương ry Tinh tich phan mat loai hai: I= j xdudz trong đó Š là mặt phía dưới (theo chiều dương của S
trục Oz) của paraboloid z = z” + ˆ nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = MI
Tinh a = 4 (div F)(A), voi F=2’yi ty’27 +k, O(0,0,0), A(1,2,M), | =0A
8
div F(A) — ee ee ee
Trang 64DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2004-2005
Mơn học: Tốn3 Ngày th: 16/06/2005 Thời gian làm bài: 90 phút
* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LÀM TRỰC TIEP LEN DE THI
* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)
* Sinh viên TỰ ĐIÊN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SỐ 01 _— Họvà tên Chữ ký giám thị I |
Mã số sinh viên Chữ ký giám thị 2 |
Câu 1 : (2đ) a Cho z = z(z.) là hàm ẩn xác định bởi phương trình 2z3 + 2y? + z3 — 3zz — 2u+ 2 = 0
Tinh dz(zx, y),dz(0, 0)
dz(x,y) = dz(0, 0)
b Viết khai triển Taylor cia ham f(z, y, z) = In(2zy+z?) tới cấp 2 tại lân cận điểm 1/(1 1,0)
Câu 2 : (1đ) Tìm cực trị hàm ƒ(z,) = z? + — 2zˆ — 4zụ — 2uˆ với z > 0
Trang 65Cau 3: Cau 4: Câu 5 : (1.54) Thực hiện phép đổi biến thích hợp, đặt cận và tính J = | udxdụ với D D={(z.g) : (z— 1”+ (ụ— 3” <9.y >3)
(1đ) Gọi Š là diện tích phần mặt phẳng z = 5(z + y) được giới hạn bởi mặt cong z = z” + tý
Trang 66TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU 6 VA CAU7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY
Cau 6: (1.5d) Tinh J = [ (e? + ry)dr + (y cosy + x°)dy vdi C' 1a bién cia tam gidc ABC c6 huéng
C
CÙNG chiều kim đồng hồ, với A(1, 1), B(2,2),C(4,1)
Cau 7: (1.5d) Tinh J = j xzdudz + zdzd+ + xdzdụ với S la mặt trong của vật thể xác định bởi S
ety? +27 < 64, z2>0 z ¬
A A
CHU NHIEM BO MON
S$ là biên của vật thể nên S kín
Trang 67DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2005-2006
Mơn học: Tốn3 Thời gian làm bài: 90 phút
* Sinh viên shi họ tên, nhóm, mã số sinh viên đây đủ và LÀM TRỰC TIẾP LEN DE THI
* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)
* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SO 01 | Ho va tén Chữ ký giám thi 1
_ Mã số sinh viên Chữ ký giấm thị 2
Trang 68Cau 3: Cau 4: Cau 5: Cau 6: (1.04) Đổi sang toa d6 cuc x = rcosy:y = rsny Tìm cận của ¿:r và tính 1
T= | > veep drdy v6i D= {(z,y): {(z.y):P 2? +y? < Qy:z +y? < 2y: 2 > uv3} > yv3}
Kết quả: Cận: _ cence, eer Ee YS, eerie Se Sh ee
(1.0 đ) Gọi Š là diện tích phan mat paraboloid z + z? + ? = 4 nằm trong hình trụ 2? +y? =1
Viết công thức ở dạng tích phân lặp với cận và hàm cụ thể để tính 5 Từ đó tính Š Kết quả: Công thức _—_——————————~——~—~~~~——~ 1" [ À 2 2 Pa a ằ (1,54) Cho I = | rdl v6i C laphan tu duéng tron x* + y* = 9 lay phan x < 0:y > 0 Đưa về C tích phân xác định với hàm và cận cụ thể Từ đó, tinh J ` x A ` aw ey
1.0 đ) Tìm hàm hí(uw) với h(1) = 1 để tích phân đường J =
không phụ thuộc đường đi từ 4 đến Ö Với h(y) tìm được, tính 7ï nếu 1 —1,2):B
Trang 69TRINH BAY LOI GIAI CHI TIETCAU 7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY
Câu 7 : (1,5 đ) Tính tích phân mặt loại hai J = II adydz + (4y + 1)drdz + zdxdụ với S là phần hữu
S$
hạn của mặt zˆ + = z bị cắt bởi mặt phẳng z = 2z, phía trên nhìn từ hướng dương Óz
Chú ý: Š không kín; pháp vếctơ của Š tạo với chiều dương ÓØz một góc luôn nhọn
CHU NHIEM BO MON
Thém mat S, la phan mat phang trong paraboloid
Chọn phía dưới cua mat S,
Trang 70DE THI CUOI HOC KỲ 2 NĂM HỌC 2006-2007 Mơn học: TỐN 3 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: 18/06/2007
* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LAM TRUC TIEP LEN DE THI
* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 8 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị) ĐỀ 2314 Câu 1 : Cho z = z(z.z) là hàm ẩn xác định bởi phương trình “=ln“ +4 Tính dz(x,y),dz(0,1) : y Két qua: dz(x,y) = :dz(0,1) =
Câu 2 : Cho hàm số ƒ(z.) = 2# — 3z + 2u + (a — 1)z + (b+ 4)y+c Tìm a,b,c để hàm có cực
Trang 71Câu 4 : Tính diện tích S phan mat z = 2? + y? nam wong hinh tu 2? + y? = 1, trong sóc phần tám thứ nhất ( z > 0 > 0.z > 0) Kết quả: Š = Câu 5 : Tính thể tích V vật thể giới hạn bởi các mặt z + + z = 6,z =0 ==z == 2z và =1 Kết quả: V = Câu 6 : Tính tích phân đường J = [ (z+)dz C + (+ —)dụ, biết cung C thuộc đường z + sim z tir A(0, 0) đến B(zr,z) Kết quả: J =
TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU7 VA CAU 8 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY
Câu 7 : Cho tích phân đường J = | (2ue? + e?” cosu)d+ + (2xe”* — e°” sìn u) dụ Cc
a) Tìm hằng số a để I không phụ thuộc đường đi
b) Với œ ở câu a), hãy tính 7, biết Œ là cung tuỳ ý nối 4(0,z) và B(1,0)
Cau 8: Tinh J = ih 2+dudz + 3udzdz + (5z + 2)dzdụ với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các
S
mặt zˆ +ˆ+ z = 4, z = V22 + t
Trang 72Nội dung ôn thị học ky nam 2007-2008
1 Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp I1, cấp 2
của ham f = f(x,y), ham hợp, hàm ân, đạo hàm theo hướng,
vécto Gradient
2 Ung dụng của DHR: Taylor, cuc tri tu do, cuc tri có diéu
kién, gia tri l6n nhat, gia tri nho nhat, mat phang tiép dién, phap vécto
3 Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng
Ung dụng hình học: diện tích, thê tích, diện tích mặt cong
4 Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ câu Ứng
Trang 735 Tich phan duong loai mot: cach tinh, tich phan duong loai
một trong không gian: chu ý cách tham sô hóa đường cong
trong không gian
6 Tích phân đường loại hai: cách tính, công thức Green, tích
phân không phụ thuộc đường đi Chú ý: điều kiện của định lý Green, điêu kiện tích phân không phụ thuộc đường đi
7 Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính điện tích mặt cong S
$ Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng Cách tính: 1/ chuyên vê mặt loại một (nêu pháp véctơ đơn giản: mat phang); 2/ dung cong thirc Gauss — Ostrogradski): mat kin
Công thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phần