tích phân mặt (toán cao cấp)

Trang 1

Trường Đại học Bách khoa tp Hỗ Chi Minh

Bo mon Toán Ưng dụng

Giải tích hàm nhiều biến Chương 6: Tích phân mặt

¢ Giang viên Ts Dang Van Vinh (4/2008)

Trang 2

Tích phân mặt loại l

1) Định nghĩa : Cho hàm ƒ (x, y, z) xác định

trên mặt cong Š chia mặt cong thành # phần

không trùng lấp nhau , ký hiệu là

S.,52.53 S„ Gọi đ/(Š;) là diện tích cửa

mặt cong Š;, trên mdi mat cong S; ta chon

một điểm tùy ý Ä⁄Z;(x;, v; z;) Thiết lập tổng Hi

Ly — » I (Xj, Vị, Z¡).đ1(57)

Trang 3

Xét lim 7;,,néu gidi han này tồn tại hữu

n> o

hạn , không phụ thuộc cách ta chia mặt cong

Ñ và cách chọn điểm tùy ý Ä⁄;(x; y;,z;) thì

giá trị giới hạn ấy gọi là tích phân mặt loại

Trang 5

3) Cách tính :

®) Nếu phương trình của mặt cong Š cho bởi

Trang 8

Tương tự ta có thể chiếu

Trang 9

Nếu phương trình cửa mặt cong Š cho bởi

y= y(x,z), D„; là hình chiếu cửa Š xuống

Trang 10

*)Néu phương trình cửa mặt cong S cho

bởi x= x(y,Z), 2y; là hình chiếu cửa 5

Trang 11

Chú ý : Nếu hình chiếu của S

xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một

đường cong (trường hợp này xảy

ra khi S là một mặt trụ song song

với trục Oz ) thì phải chiếu S

xuống các mặt phẳng tọa độ khác

Trang 15

Vidu :Tinh || z ds trong

S

đó S 1a phan ctia mat

Trang 16

z=2-x —ở

Trang 17

Ví dụ : Tính tích phân Ï[x“ + v2 ds , trong

Ss

đó % là nửa trên của mặt cầu x? ty? +27 =R?

Trang 19

Hinh chiéu ctia S xu6ng mat phang Oxy 1a

2

hinh tron x ty? <R?, phương trình của mặt sS

Trang 20

OZ

Trang 21

[fx + y- ds =

Trang 22

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

Trang 24

Ví dụ: Tính || x+ +2 ds trong dé S cho

S

bởi x+ + z =1, z>0,x>0,y>0

Trang 25

Vidu: Tinh || x+ y+ z ds trong đó S là

S

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

Trang 26

Ví dụ: Tính || x+ y+ z & trong đồ S là

S

mặt xung quanh hình chóp cho bởi

x+y+Z<l, z>0,x>0,y>0

Mặt S gồm có bốn mặt của tứ diện OABC

Tích phân Ï; trên mặt AB€ đã tính trong vi

dụ trước Ta tính tích phần trên các mặt còn

lai OAB, OBC , OCA

Trang 28

Trén mat OAB , phuong trinh cla mat 1a

z=0@, hinh chiéu ctia mat xu6ng Oxy 1a

Trang 29

4) Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 :

*®) Tính diện tích mặt cong 8: || 1á

Trang 30

Ví dụ : Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán

Trang 31

Ví dụ : Tính diện tích của mặt cong S,

Trang 34

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai

Định nghĩa mặt hai phía

Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C

Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C Nêu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vécto không đối chiêu thì mặt cong S

được gọi là mặt hai phía

Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đối chiêu thì mặt cong S được gọi là mặt một phía

Trang 36

Định nghĩa mặt định hướng

S là mặt cong hai phía

Nêu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại

là âm thì mặt Š được gọi là mặt định hướng

Chú ý Pháp véctơ của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tac sau:

Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp

Trang 37

Vi du

Tìm pháp véctơ của mặt nón z= Xu + y' tại A(1,1,V2}

biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng của trục 0z Phương trình mặt nón: Ƒ(x,y,z)=z—xÍx7+yˆ =0 Pháp véctơ n=(F,,F,,F.)= TT X y |

S dinh hướng phía duéi nén: 7 =

Trang 38

Vi du

Tim phap vécto cla x°+y*+z° =4 © tai AÍI, 0,3) biết mặt câu được định hướng phía ngoài

Phương trình : F(x.y,z)=4-xˆ—y °—zˆ =0

Pháp véctơ n= (r F F.)= (—2.x,-2y,—2z) xX? y?

S định hướng phía ngoài nên: n= (2x, 2y, 2z)

Trang 40

| Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai Định nohĩa tích phần mặt loại hai P(x,v,z), Q(x,y,z), R(x,v,z) xác định trên mặt định hướng S

Pháp vécto đơn vị của mặt S là: #= (cos,cos /,cos 7)

Trang 41

Cách tính

Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta có thê sử dụng cách tính tích phân mặt loại một

Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta có cách tính sau:

I = || Pdydz+ Qdxdz + Rdxdy = [[ Pdyds + [[Odxdz +[[ Rdxdy

S 5 S S

Trang 42

4) Cách tính: 72: = jj R(x, y,z)dxdy

S

Dâu cộng nêu pháp véctơ tạo với chiêu dương 0z

Trang 43

Chú ý : Nếu hình chiếu của S xuống

một mặt phẳng tọa độ nào đó (ví dụ

mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong

(trường hợp này xảy ra khi S là một

mặt trụ song song với trục Öz ) thì tích

Trang 44

Tương tự cho cách tính các tích phân

I, =J] Px, y, 2) dydz S

( chiếu xuống mặt phẳng Øyz , biểu diễn

Trang 45

Vi du Tính 7= ||(2x + y)dydz+(2y+z)dxđz + (2z + x)dxdy S

trong do S la phan mat phăng x+y+z=3 năm trong hình

Trang 46

Vi du Tinh I = [[(x + z)dxdy 5

Trang 48

5) Công thức Ostrogratxki-Gauss :

Cho Š là mặt kín, lấy hướng ra phía ngoài

Trang 50

[| PQ, », 2) dvdz+ Ox, y, z)dxdz+ R(x, y, 2) dedy S

Trang 51

Vidu : Tinh tich phan

{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy

S

Trong đó S là mặt xung quanh , hướng

phía ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt

Trang 53

Dùng công thức Ostrogratxki-Gauss ta có

{| 2° dydz + xdxdz—zdxdy =

Trang 54

Ví dụ : Tính tích phan

l[(y+z)dv& + (x— z)dxđ&z + (z +1) dvẩy

S

trong đó Š là mặt hướng phía trên của nửa

Trang 56

Công thức viết dưới dạng vectơ

Trang 57

Công thức Stokes :

| P(x, y,z)dx+ O(x, y,z) dy + R(x, y,2) đz

C [ tích phân đường loại 2

if (B2 ayier( FR dzdx+ 2S asa

S Oy OF Oz Ox Ox oy

Trang 58

Vi du

Tính 7=ii(3x—y”)dx+(3y—z7)dy+(3z— x”)d:

C

trong đó C là giao của mặt phắng 2x+z=2 và mặt

paraboloid z = x* + yˆ ngược chiêu kim đông hơ theo

hướng của trục Ưz

Chọn S là phân mặt 2x + z = 2 năm trong paraboloid

Chọn phía trên của mặt S Pháp véctơ đơn vị của S

—

Trang 60

Vi du

Tinh ï =t†(x+ y)dx +(2x— z)dy + ydz

C

trong đó S là giao của mặt phăng z = y“ và mat paraboloid

Trang 61

Chuyén vé tich phân mặt loại hai

Trang 62

DE THI HOC KY 2 NAM HOC 2002-2003

Mơn học: Tốn3 Noày thị: 1606/2003 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ và LAM TRUC TIẾP LÊN ĐỀ THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 7 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị)

* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bắng sau Nếu KHÔNG ĐIỀN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SO 01

_ Họ và tên Chữ ký giấm thi 1 |

| Ma sé sinh vién Chữ ký giấm thị 2

Câu 1 : Tìm vi phân cấp 1 và 2 của hàm 2 biến z = (z + w)* tai diém A(2, 0)

d:(A)=_ PEPEễỲễỳặšíđ

Câu 2 : Tìm tất cả các cực trị của hàm 2 biến z(z.) = ð — 3z — 4, với điều kiện z? + ° = MẺ

Câu 3 : Tính diện tích S miền hình phẳng D = {(z.) e FỶ : z?+? < My: z <g: —z <9}

———— ————=>————————————————=——) `" oO ee ee ee ee er ee ee eee ee eee

Trang 63

Cau 4: Cau 5 Cau 6: Can 7: Tính thể tích V vật thể giới hạn bởi các mặt cong: z? + 2+ z =4,MÍ?: z=0: 2?+y? = M? Công thức tính V (dạng tích phân lặp): _—_——————————- TỶ ———_ a ˆ —ydr+ady , 45 4 2 sz LẠ : lính tích phan =p Pay? với Ù là đường tròn z“ + „ˆ = V lấy theo chiều dương ry Tinh tich phan mat loai hai: I= j xdudz trong đó Š là mặt phía dưới (theo chiều dương của S

trục Oz) của paraboloid z = z” + ˆ nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = MI

Tinh a = 4 (div F)(A), voi F=2’yi ty’27 +k, O(0,0,0), A(1,2,M), | =0A

8

div F(A) — ee ee ee

Trang 64

Mơn học: Tốn3 Ngày th: 16/06/2005 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LÀM TRỰC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên TỰ ĐIÊN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SỐ 01 _— Họvà tên Chữ ký giám thị I |

Mã số sinh viên Chữ ký giám thị 2 |

Câu 1 : (2đ) a Cho z = z(z.) là hàm ẩn xác định bởi phương trình 2z3 + 2y? + z3 — 3zz — 2u+ 2 = 0

Tinh dz(zx, y),dz(0, 0)

dz(x,y) = dz(0, 0)

b Viết khai triển Taylor cia ham f(z, y, z) = In(2zy+z?) tới cấp 2 tại lân cận điểm 1/(1 1,0)

Câu 2 : (1đ) Tìm cực trị hàm ƒ(z,) = z? + — 2zˆ — 4zụ — 2uˆ với z > 0

Trang 65

Cau 3: Cau 4: Câu 5 : (1.54) Thực hiện phép đổi biến thích hợp, đặt cận và tính J = | udxdụ với D D={(z.g) : (z— 1”+ (ụ— 3” <9.y >3)

(1đ) Gọi Š là diện tích phần mặt phẳng z = 5(z + y) được giới hạn bởi mặt cong z = z” + tý

Trang 66

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU 6 VA CAU7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Cau 6: (1.5d) Tinh J = [ (e? + ry)dr + (y cosy + x°)dy vdi C' 1a bién cia tam gidc ABC c6 huéng

C

CÙNG chiều kim đồng hồ, với A(1, 1), B(2,2),C(4,1)

Cau 7: (1.5d) Tinh J = j xzdudz + zdzd+ + xdzdụ với S la mặt trong của vật thể xác định bởi S

ety? +27 < 64, z2>0 z ¬

A A

CHU NHIEM BO MON

S$ là biên của vật thể nên S kín

Trang 67

Mơn học: Tốn3 Thời gian làm bài: 90 phút

* Sinh viên shi họ tên, nhóm, mã số sinh viên đây đủ và LÀM TRỰC TIẾP LEN DE THI

* Sinh viên TỰ ĐIỀN vào bảng sau Nếu KHÔNG ĐIÊN, bài thi bị xem là KHÔNG HỢP LỆ DE THI SO 01 | Ho va tén Chữ ký giám thi 1

_ Mã số sinh viên Chữ ký giấm thị 2

Trang 68

Cau 3: Cau 4: Cau 5: Cau 6: (1.04) Đổi sang toa d6 cuc x = rcosy:y = rsny Tìm cận của ¿:r và tính 1

T= | > veep drdy v6i D= {(z,y): {(z.y):P 2? +y? < Qy:z +y? < 2y: 2 > uv3} > yv3}

Kết quả: Cận: _ cence, eer Ee YS, eerie Se Sh ee

(1.0 đ) Gọi Š là diện tích phan mat paraboloid z + z? + ? = 4 nằm trong hình trụ 2? +y? =1

Viết công thức ở dạng tích phân lặp với cận và hàm cụ thể để tính 5 Từ đó tính Š Kết quả: Công thức _—_——————————~——~—~~~~——~ 1" [ À 2 2 Pa a ằ (1,54) Cho I = | rdl v6i C laphan tu duéng tron x* + y* = 9 lay phan x < 0:y > 0 Đưa về C tích phân xác định với hàm và cận cụ thể Từ đó, tinh J ` x A ` aw ey

1.0 đ) Tìm hàm hí(uw) với h(1) = 1 để tích phân đường J =

không phụ thuộc đường đi từ 4 đến Ö Với h(y) tìm được, tính 7ï nếu 1 —1,2):B

Trang 69

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIETCAU 7 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : (1,5 đ) Tính tích phân mặt loại hai J = II adydz + (4y + 1)drdz + zdxdụ với S là phần hữu

S$

hạn của mặt zˆ + = z bị cắt bởi mặt phẳng z = 2z, phía trên nhìn từ hướng dương Óz

Chú ý: Š không kín; pháp vếctơ của Š tạo với chiều dương ÓØz một góc luôn nhọn

CHU NHIEM BO MON

Thém mat S, la phan mat phang trong paraboloid

Chọn phía dưới cua mat S,

Trang 70

DE THI CUOI HOC KỲ 2 NĂM HỌC 2006-2007 Mơn học: TỐN 3 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: 18/06/2007

* Sinh viên ghi họ tên, nhóm, Mã số sinh viên đầy đủ va LAM TRUC TIEP LEN DE THI

* Sinh viên KHÔNG ĐƯỢC sử dụng tài liệu Đề thi gồm 8 câu (nếu thiếu, SV phải báo giám thị) ĐỀ 2314 Câu 1 : Cho z = z(z.z) là hàm ẩn xác định bởi phương trình “=ln“ +4 Tính dz(x,y),dz(0,1) : y Két qua: dz(x,y) = :dz(0,1) =

Câu 2 : Cho hàm số ƒ(z.) = 2# — 3z + 2u + (a — 1)z + (b+ 4)y+c Tìm a,b,c để hàm có cực

Trang 71

Câu 4 : Tính diện tích S phan mat z = 2? + y? nam wong hinh tu 2? + y? = 1, trong sóc phần tám thứ nhất ( z > 0 > 0.z > 0) Kết quả: Š = Câu 5 : Tính thể tích V vật thể giới hạn bởi các mặt z + + z = 6,z =0 ==z == 2z và =1 Kết quả: V = Câu 6 : Tính tích phân đường J = [ (z+)dz C + (+ —)dụ, biết cung C thuộc đường z + sim z tir A(0, 0) đến B(zr,z) Kết quả: J =

TRINH BAY LOI GIAI CHI TIET CAU7 VA CAU 8 VAO MAT SAU CUA DE THI NAY

Câu 7 : Cho tích phân đường J = | (2ue? + e?” cosu)d+ + (2xe”* — e°” sìn u) dụ Cc

a) Tìm hằng số a để I không phụ thuộc đường đi

b) Với œ ở câu a), hãy tính 7, biết Œ là cung tuỳ ý nối 4(0,z) và B(1,0)

Cau 8: Tinh J = ih 2+dudz + 3udzdz + (5z + 2)dzdụ với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các

S

mặt zˆ +ˆ+ z = 4, z = V22 + t

Trang 72

Nội dung ôn thị học ky nam 2007-2008

1 Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp I1, cấp 2

của ham f = f(x,y), ham hợp, hàm ân, đạo hàm theo hướng,

vécto Gradient

2 Ung dụng của DHR: Taylor, cuc tri tu do, cuc tri có diéu

kién, gia tri l6n nhat, gia tri nho nhat, mat phang tiép dién, phap vécto

3 Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng

Ung dụng hình học: diện tích, thê tích, diện tích mặt cong

4 Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ câu Ứng

Trang 73

5 Tich phan duong loai mot: cach tinh, tich phan duong loai

một trong không gian: chu ý cách tham sô hóa đường cong

trong không gian

6 Tích phân đường loại hai: cách tính, công thức Green, tích

phân không phụ thuộc đường đi Chú ý: điều kiện của định lý Green, điêu kiện tích phân không phụ thuộc đường đi

7 Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính điện tích mặt cong S

$ Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng Cách tính: 1/ chuyên vê mặt loại một (nêu pháp véctơ đơn giản: mat phang); 2/ dung cong thirc Gauss — Ostrogradski): mat kin

Công thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phần